第一章-索洛增长模型
索罗增长模型
第一章索洛经济增长模型The Solow Growth Model基本内容1 索洛模型的基本假定2 离散时间的索洛模型3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长7带技术进步的索洛模型8比较动态分析1 索洛模型的基本假定● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.● 其核心假定是新古典总的生产函数.家庭与生产 I● 封闭经济,唯一的最终产品.● 离散时间，t = 0, 1, 2, ....● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示.家庭与生产II● 假定家庭的储蓄率外生● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表示.● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为(1)Y T F K t L t A t()[(),(),()]●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多的产品.●()A t可以理解为技术.●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.关键假设1Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规模报酬不变) 生产函数3:F R R ++→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足2222()()(,,)0 (,,)0()()(,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ∂⋅∂⋅≡>≡>∂∂∂⋅∂⋅≡<≡<∂∂ 同时, F 关于K 与 L 规模报酬不变.● 假定 F 关于K 与 L 规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.复习定义 假定K 为整数，如果对任意的R λ+∈与K z R ∈，有(,,)(,,)m g x y z g x y z λλλ=，那么函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数.定理 (欧拉定理Euler 's Theorem ) 假定函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数，偏导数分别是x g 与y g ，那么对任意的x R ∈，y R ∈以及K z R ∈，有()()(),, ,,,,x y mg x y z g x y z x g x y z y =+同时，,(),x g x y z 与,(),y g x y z 是关于x 与y 的1m -次齐次式.市场结构与市场出清 I●假定市场是竞争的, 因此也可认为是竞争一般均衡模型. ●家庭拥有劳动, 供给无弹性.●经济中的劳动（力）,)L t , 无论在什么价格下，劳动的供给量均为()L t .●劳动力市场出清条件:())L t L t =上式对所有的t 均成立 , ()L t 劳动需求 (也可视为就业水平). ●一般来说, 互补松弛条件的表述更为准确.●记 t 时期的工资率为 w (t), 于是劳动力市场出清条件可表示为()()),0(L t L t w t ≤≥ and (()()) (0)L t L t w t =-市场结构与市场出清II●假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正. ●家庭拥有资本，并将其出租给厂商.●记t 期的资本租赁价格()R t .●资本市场出清条件:()()s d K t K t =LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定●假定家庭拥有的初始资本存量为()0K●()P t 为t 时期最终产品的价格, 将其标准化为1.●利率r(t)●折旧率δ●家庭得到的实际回报()() r t R t δ=-.厂商优化厂商优化 I●考虑代表性厂商的最大化问题:0)0,()([()()()],()()()(),.L t K t max F K t L t A t w t L t R t K t ≥≥--●注意:●上述最大化问题中的变量是总量.●在F 前面没有系数, 这是因为最终产品的价格已正规化为1.●假定要素市场完全竞争: 在厂商看来，()w t 与()R t 是给定的.●凹的问题,因为F 是凹的.厂商优化 II●由于 F 可微, 一阶条件（FOC ）为:()[()()()],,,L w t F K t L t A t = (2)()[()()()] ,.,K R t F K t L t A t = (3)●在(2) 与(3)中, ()K t 与()L t 分别表示厂商对资本和劳动的需求量.●实际上，可以通过(2)与(3)求解()K t 与 ()L t ,它们是资本租赁价格()R t 和工资率()w t 的函数.厂商优化 III命题 假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0，()()( )()() .Y t w t L t R t K t =+●证明: 可直接从欧拉定理得到（注意到1m =,即规模报酬不变）.关键假设2假设2 (Inada conditions) F 满足 Inada 条件0 0 0 ()() K K K K lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> 00 0 ()() L L L L lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> ●保证内点解.生产函数Figure: Production functions and the marginal product of capital. The example in Panel A satisfies the Inada conditions in Assumption 2, while the example in Panel B does not.2 离散时间Solow 模型Solow模型的动态过程描述 I●K的折旧率为 , 于是1 1()((() ),)K t K t I t δ+=-+ (4) 其中， ()I t 是t 阶段的投资.●对于封闭经济, 产出等于消费与储蓄（投资）之和 ,()()()Y t C t I t =+ (5) ●注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨论社会福利等方面的话题.Solow 模型的动态过程描述II●由于经济是封闭的 (同时不考虑政府支出)，于是.()()()()S t I t Y t C t ==-●假定家庭的储蓄率是常数，则()(),S t sY t =(6) 1()()()C t s Y t =-(7) ●于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率s ）可表示为()()( 1 1 )()()()().s K t K t S t K t sY t δδ=-+=-+Solow 模型的动态过程描述 III●资本的供求相等 ()().s K t K t =●同时也有劳动力市场供求相等 ()().L t L t =●结合 (1) 与 (4), 可得 Solow 增长模型的动态方程: ()[()()1 ,, 1.()]()()K t sF K t L t A t K t δ+=+- (8) ●非线性差分方程.●Solow 增长模型的均衡由该方程以及 ()(())()L t or L t and A t 来刻画.定义均衡 I●没有家庭优化, 但仍然有厂商最大化行为以及要素市场的出清.定义 在Solow 模型中，对于给定的序列 {}0()(),t L t A t ∞= 以及初始资本存量()0K , {}0,,,()()()(,)()t K t Y t C t w t R t ∞=是资本、产出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中()K t 满足 (8), ()Y t 由(1)给出, ()C t 由 (7)给出, ()w t 与 ()R t 分别由 (2) 与 (3)给出.●注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.不考虑人口增长与技术进步时的均衡不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●进一步假定（稍后放松假定）:●没有人口增长;假定总人口为常数 L > 0， 即() L t L =. ●假定没有技术进步，即() A t A =.●定义资本-劳动比率（人均资本）为 ((,))K t k t L ≡(9)●利用规模报酬不变, 人均产出) ()(/y t Y t L ≡可表示为,1, ()()(() ).K t y t F A L f k t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦≡ (10)不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II ●注意()f k 依赖于A, 本可以将生产函数写成,()f k A ;但由于A 是常数，因此可以假定 A = 1.●由欧拉定理0 ()(())()(())()(())0.R t f k t w t f k t k t f k t -'=>'=> (11) ●由假设1可知（11）中的要素价格均为正.例子: Cobb-Douglas 生产函数 I●一类特殊的生产函数，但应用很广泛:1()[()()()]()( ,,,01)Y t F K t L t A t AK t L t ααα-==<<●满足假设1和 2.●两边同时除以()L t ,()() y t Ak t α=●由 (11)可得(1)()()()()Ak t R t Ak t k t ααα--∂==∂ ●由欧拉定理,()()() 1.()()()w t y t R t k t Ak t αα==--例子: Cobb ‐Douglas 生产函数II●或者直接从 Cobb-Douglas 生产函数有,()111()()() () ,R t AK t L t Ak t ααααα----==()()()()()()1 1 ,w t AK t L t A t k ααααα-=-=-直接可验证满足欧拉定理.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●将 (8)的两端同时除以 L 可得人均量的表达式:()(()1 1).)(()k t sf k t k t δ+=+- (12) 定义 稳态均衡（steady-state equilibrium ）* ()k t k =.该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达).稳态人均资本不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II●上图实线代表 (12)，虚线是45 线.●它们的（正的）交点*k 表示稳态人均资本 **.()f k k s δ=(13)●注意到还有另一交点0k =,因为已经假定0(0)f =.●忽略该稳态值:●如果资本不是必不可少的（essential ）, ()0f 可能大于0 0k =可能变为稳态均衡点●本交点,即使存在，也不稳定。
5-罗默高级宏观经济学
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
基本模型部分 第一章 索罗增长模型
• 四、生产投入品的变动 • 劳动、知识、资本如何随着时间如何变 动？ • 该模型中，时间是连续的（而非离散 的）。 • •
•
资本、劳动和知识的初始水平被看做既定。 劳动和知识以不变的速度增长： L • （1）劳动力的增长：(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt] / L(t ) n • （2）知识的增长：A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g • X • ( 一个变量上面加一点表示其对时间的导数。 (t ) dX / dt )
• 二、关于生产函数的假设 • （1）规模报酬不变： • F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0 • 含义： • （整体）经济足够大，专业化收益被穷尽；
• • • 其他投入品（如自然资源）相对不重要。 在自然资源有限的情况下，规模报酬递减。 马尔萨斯 罗马俱乐部
• • • • • • • • • •
将上式中的两项表示为k的函数，图示如下。 稻田条件意味着，最初实际投资高于持平投 资，最后实际投资必然低于持平投资，实际 投资线与持平投资线必然相交，所以稳态必 然存在。并且，由于f“（k）<0,意味着二者 仅相交一次。
(n+g+δ )k
f(k)
sf(k)
f(k) K1时的 k (t )
令c=1/AL, 则有： F（K/AL,AL/AL) = F（K/AL,1) =1/AL*F(K,AL)=Y/AL 定义：有效劳动的人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL， 则有 y = f(k)（生产函数的密集形式） 含义：每单位有效劳动的平均产量仅仅取决 于单位有效劳动的平均资本。 • 总产量 ？
• 三、对经济增长的理论解释 • 本章主要讨论传统的经济增长模型，索 罗模型。 • 索罗模型： • 所有增长问题研究的出发点 • 与索罗模型从根本上不同的理论，也需 要通过和索罗模型的比较才能得到理解。
索洛增长模型
k的动态学
由于有 k K / AL 用链式法则，我们可以得到下面的推 导过程：
•
•
K (t)
K (t)
•
•
k(t) A(t)L(t) ( A(t)L(t))2 ( A(t) L(t) L(t) A(t))
•
•
•
K (t) K (t) L(t) K (t) A(t)
A(t)L(t) A(t)L(t) L(t) A(t)L(t) A(t)
•
•
•
由于K / AL k, L/ L n, A/ A g, K sY (t) K (t),则，
•
k (t )
sY
(t )
K (t)
k (t )n
k (t ) g
s
Y (t)
k(t) nk(t) gk(t)
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
应用Y / AL f (k),有
生产函数假定：规模报酬不变 规模报酬不变的假定使我们可以使用密集形式
的生产函数：
F ( K ,1) 1 F (K, AL) AL AL
K 是每单位有效劳动的平均资本数量， AL F (K, AL) / AL就是每单位有效劳动的平均产量 定义k K / AL，y Y / AL，则 y f (k)
储蓄率上升对产量的影响
y f (k ) k (s, n, g, )
s
s
•
k 是由k 0定义的，因此k 满足
sf (k (s, n, g, )) (n g )k (s, n, g, )
对上述方程求关于s的导数，得
sf (k ) k f (k ) (n g ) k
s
s
k s
索洛模型详解PPT课件
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一. 假设条件
1. 索洛模型成立 2. 储蓄率s可以调整； 3. 目标：未来消费水平最高。
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二、黄金律
1. 含义: 长期中消费水平 最高的稳定状态，被称为资 本积累的“黄金律”水平。
2. 数学表达 我们知道： c = y – i 假定稳定状态的人均资本 为k*，则有：
i* =sf（k*）=δk* 由c = y－i 可得,
c*=f（k*）－δk* 。
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❖ 表明：稳定状态资本水平 的提高，对稳定状态的人 均消费有对立的影响，它 通过使产出增加提高消费， 但又因为需要有更多的产 出去替代折旧掉的资本而 使消费减少
❖ 消费最大化即求c的最 大值
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三、黄金律的基本条件
y’=f（k’）
数量就是δk，与k成正比。
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折旧
δk δk
0
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k
9
二. 资本积累和稳态
❖ 5. 资本积累和稳态
综合以上，一个经济中投资和折旧对资本存量的影 响能够用下列方程反映：
Δk = i －δk= s f（k）－δk 其中，Δk是这一年中新增的资本量，反映资本存量变化。
当s f（k）>δk， 则Δk>0，资本存量增加； 当s f（k）<δk， 则Δk<0，资本存量减少; 当 s f（k）=δk， 则Δk=0，资本存量不变。
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投资、折旧和稳态
δk* y
f(k)
i*=δk*
sf(k)
0
k1 k* k2
k
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索洛增长模型
y* f k * k * s, n, g,
s
s
k *是k 0来决定的，因此k *满足：
sf k * s, n, g, n g k * s, n, g,
sf k * k * f k * n g k *
s
s
k * s
n
g
f k *
sf
k *
2.储蓄率增加的影响程度分析
，
Y FK K FAL AL
❖ 其中 FK 是资本的边际生产力，FAL是有效劳动的边际 生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 n g
在增长，所以， 。 K(t) (n g)K(t)
•
(AL)(t) (n g)A(t)L(t)
Y的增长率
❖ 从以上可推导：
Y(t)
FK
K(t)
FAL
(
•
（劳动密集型）； ❖ 生产函数的集约形式满足新古典假设； ❖ 人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，
人口和知识呈指数增长。
（二）模型的动态学
❖ k的动态变化
kt dk d K t AtLt
dt
dt
Kt At Lt
K t
At Lt
2
AtLt
Lt At
Kt At Lt
K t At Lt
在平衡增长路径上，资本获得的总收入（完 全竞争市场假设）：
k * f k *
所以 K k * 可以用资本收入占总收入的比重来
估计
完全竞争市场假设
单位资本报酬=f (k*)，
所以总资本报酬=f (k*) k*
资本报酬占总产出的比例=
f (k*) k* f (k*)
=
索洛增长模型PPT课件
图2-7
中国1978-2009年GDP及人均GDP增长率（%）
.
11
350000 300000 250000 200000 150000 100000
50000 0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
29252
21763
21124
18409
12140
33885 22885 19766
0
美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-5 2008年按购买力平价法计算的GDP(亿美元)
.
9
50000 46716
45000
40000 35000 30000
34099
35613
.
13
30000 25000 20000 15000 10000
5000 0
图2-10 中国1978-2009年人均GDP（元）
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
.
14
3．经济增长与经济发展的区别与联系 （二）增长的源泉
35445
34045
30756
36444
25000
20000 15000 10000
5000
16139
5962
2972
10296
0
美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-6 2008年按购买力平价法计算的人均GDP(美元)
罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
高等宏观经济学-1-索罗模型
第二章索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式AttFYtK)(t(L)())((),其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(AL K F ALAL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f ”(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品 【证明】Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：)('1)('k f ALk ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2k kf k f AL Kk ALf k f AL Y -=-+=∂∂ （3）稻田条件：∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D 生产函数)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<αααk ALKAL K F k f ===)()1,()( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。
索洛斯旺增长模型PPT课件
(二)稳态与平衡增长路径
3.参数变化的影响
4.收敛问题
5.模型的结论
1.基本假设
(一)关于生产函数的假设
假定经济社会在任何时间点上都是通过投入一定数量的资本、劳动和知识来生 产出一定数量的社会总产品。用Y表示社会总产品的产量，即总产出，用K表示投 入的资本量，L表示投入的劳动的量，A表示投入的知识量。产出Y、资本K、劳动L 和知识A是我们要集中研究的四个变量，这里把A看成是劳动效率或有效劳动：在 知识A的作用下，投入一个单位劳动相当于没有知识投入情况下的A个单位劳动， 意味着随着时间的推移，尽管劳动投入量保持不变，但有效劳动却是不断增加的。
经济中的技术进步可表述为劳动密集型，即生产函数可写为：
Y(t) = F(K(t), A(t)L(t))
(2-1)
如此形式的生产函数具有如下两层重要含义。
第一，时间因素不是以直接的方式，而是以间接的方式通过资本因素K、劳动因
素L和知识因素A进入生产函数关系之中的。
第二，知识与劳动连带进入生产函数。这种形式的技术进步就是劳动密集型技
术进步。
对于生产函数Y=F(K，AL)主要做出了三个假设：社会生产的规模报酬 不变、资本投入的边际收益递减、满足稻田条件。 1．规模报酬不变
对于规模报酬不变假设，可以从两个方面理解。第一层含义是说经济足 够大，使得专业化和社会分工的好处能被经济社会全部得到。第二层含义 是认为除了资本、劳动和知识之外，其他投入要素在生产中相对来讲都不
平衡增长状态表
项目 总产量Y 有效劳动AL
增长率 g+n g+n
资本K
g+n
人均资本K/L
g
人均产量v=Y/L
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第一章 索洛增长模型一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。
几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。
理解该模型实质上便是理解增长理论。
但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。
（按边际产品取得收益的传统途径）。
()((),()())Y t F K t A t L t =假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =∀≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。
规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：当11/,(,)(,)(,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==⇒=，其中，KAL是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。
定义Kk AL=，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ⇒=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。
[人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==]紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，'()0f k >，''()0f k <。
因为：'(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =⇒∂∂='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资本量的增加而下降。
另()f •被假设满足稻田条件：''0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=，其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。
，它是确保经济的路径并不发散。
（举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义） 二、生产投入的时间变化描述资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长：()()L t nL t •=，()()A t gA t •=（n 与g 是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一个导数，()()/L t dL t dt •=，为变量的变化率。
而变量的增长率指其变化的速率，它等于其自然对数的变化率，如，ln ()()1ln ()/()()()d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t •===。
ln ()ln (0)L t L nt ⇒=+()(0)nt L t L e ⇒=（同理可得出()(0)gt A t A e =）假设产出仅在消费与投资之间分配，其中投入投资的产出份额s 是外生且不变的，投入投资的一单位产出可获得一单位的新资本。
现有资本以速率δ折旧，即有：()()()K t sY t K t δ•=-（索洛模型简化：只存在一种单一的产品，政府不存在，就业波动被忽视，生产正好可用于三种投入的总生产函数描述，并且储蓄率（s ）、折旧（δ）、人口增长（n ）与技术进步（g ）不变。
）三、模型的动态学解释1、k 的动态学由于/k K AL =，求关于时间t 的导数，可得：2()()()()()K K K K L K A k A L L A AL AL AL AL L AL A sY K nk gk ALsf k k nk gk sf k k n g δδδ•••••••=-+=---=--=---=-++ 它表示单位有效劳动的资本存量的变化率（k •）为如下两项的差：第一项()sf k 为每单位有效劳动的实际投资；第二项()k n g δ++为持平投资，即为使k 保持在现有水平上所必须进行的投资量。
理由是现有资本正在折旧及有效劳动量正在以（n g +）的速率增长。
（1）实际与持平投资图：（稻田条件保证了上图的实际投资曲线先陡峭，后下降，且只有相交一个点） （2）相位图：用相位图说明作为k 的函数的k •的变化：如果k 初始小于*k ，实际投资大于持平投资，因而k •为正，反之，如果k 大于*k ，实际投资小于持平投资，因而k •为负，如果k 等于*k ，则k •为零。
因此，无论k 在哪里开始，它总会收敛于*k 。
索洛模型中k 的相图（3）平衡增长路径：当k 收敛于*k ，则劳动与知识正分别以速率n 与g 增加。
资本存量K 等于ALk ，由于k 在*k 处不变，那么，K 正以速度n g +增长，在资本与有效劳动正以速率n g +增长的条件下，规模报酬不变的假设意味着产出Y 正以该速率增长。
人均资本（K/L ）及人均产出(Y/L)正以速率g 增长。
即意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于一个平衡增长路径，模型的每个变量正以一个不变的速率增长，人均产出增长率只由技术进步惟一地决定。
四、储蓄率变化的影响政策最有可能影响索洛模型有参数是储蓄率。
1、对产出的影响。
s 的增加把实际投资线向上移动，因而*k 上升，如图：用于投资的储蓄率增加的效应k 不会立即跳跃到*k 的新值上。
当k 初始等于*k 的旧值，实际投资大于持平投资，k•为正。
因此，k 开始上升，且持续上升，直到达到*k 的新值才保持不变。
如下图所示：k在这里，0t 表示储蓄率增加的时刻，依据假设，s 在0t 时刻跳跃，并且在此后保持不变。
由于s 的跳跃使实际投资以一个正的数量大于持平投资，k •由0跳跃到一个严格的正的数量上。
k 逐渐由*k 的旧值上升到其新值上，并且k •逐渐地返回到零。
此外，每个工人的平均产出Y/L 等于()Af k 。
当k 不变时，Y/L 以A 的增长率（g ）增长。
当k 正在增加时，Y/L 的增长起因于A 在增长，也起因于k 在增加。
因而Y/L 的增长率大于g 。
然而，当k 达到*k新值时，只有A 的增长对Y/L 的增长产生作用。
Y/L 的增长率恢复到g 。
因此，储蓄率的永久性增加产生了每个工人的平均产出增长率的暂时性增加。
此时k 的上升，最终会增加至新增储蓄率被用于维持k 的高水平。
每个工人的产出增长率初始为g ，在0t 时刻向上跳跃，然后返回到其初始水平。
因而每个工人的平均产出开始上升并且高于其处在平衡路径上时的水平，并且接着逐渐返回到一个较高的路径上，后者同第一个路径平行。
储蓄率的变化具备水平效应，但不具备增长效应，它改变了经济的平衡增长路径，因而也改变了任何时点上每个工人的产出水平。
但这并不影响平衡路径上每个工人的平均产出增长率。
在索洛模型中，只有技术进步的增长率的变化具有增长效应，所有其他变化只会产生水平效应。
2、对消费的影响每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出乘以该产出用于消费的份额1s -。
(1)()s f k -。
s 在0t 时刻处呈非连续的变化每单位有效劳动的消费初始发生向下跳跃。
随着k 的上升与s 仍处在较高水平上，消费逐渐地上升。
储蓄对消费的影响分析：假设*c 表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费。
即***()()c f k sf k =-。
在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资*()n g k δ++。
因此， ***()()c f k n g k δ=-++，其中，*k 是由s 、n 、g 与δ决定的。
因此，可将*k 表示为：**(,,,)k k s n g δ=。
对上式求关于s 的导数，得：**'*(,,,)[((,,,))()]c k s n g f k s n g n g s sδδδ∂∂=-++∂∂ 由于s 的增加会提高*k ，即*(,,,)0k s n g sδ∂>∂，那么，s 的增加是否在长期内提高或降低消费，这取决于资本边际产品'*()f k 是否大于或小于()n g δ++。
当k 的上升，每单位有效劳动的投资的增加必定会等于()n g δ++与k 的乘积，以便使增加可被维持。
如果'*()f k 是小于()n g δ++，那么，由增加的资本所获得的产出的增加并不足以把资本存量维持在较高水平上，消费必定下降以便保持较高的资本存量。
如果'*()f k 是大于()n g δ++，那么，由必存在相当高的产出去保持k 处在较高水平上，消费上升。
（s 的上升是否提高或降低消费取决于*k 是处在()f k 的斜率的大小，如果'*()f k 大于持平投资的斜率()n g δ++，则s 的上升提高消费；'*()f k 小于持平投资的斜率()n g δ++，则s 的上升降低消费，'*()f k 等于持平投资的斜率()n g δ++－平行，则s 的的边际变动不会对消费产生影响，且在各种平衡增长路径上，消费处在其最大的可能水平上。
此时的*k 值就是著名的资本存量的黄金律水平。
3、储蓄在长期内对产出的影响（定量分析）：**'*(,,,)()y k s n g f k s sδ∂∂=∂∂ （1） 为求出*y s∂∂，需先求出*k s ∂∂，我们知道，*k 是由k •＝0的条件界定的，因此，*k 满足：**((,,,))()(,,,)sf k s n g n g k s n g δδδ=++对上式求关于s 的导数，则得出：**'**()()()k k sf k f k n g s sδ∂∂+=++∂∂**'*()()()k f k s n g sf k δ∂⇒=∂++- （2）把（2）式代入（1）式得到：*'**'*()()()()y f k f k s n g sf k δ∂=∂++- （3） 将（3）两边同乘以*/s y 转变为弹性，另利用**()()sf k n g k δ=++去替换s ，得到：*'****'**'**'**'***'***'***'**()()()()()()()()()()()()()()()()/()()()(1()/())s y s f k f k y s f k n g sf k n g k f k f k n g sf k n g k f k f k n g n g k f k f k k f k f k k f k f k δδδδδδ∂=∂++-++=++-++=++-++=-由于*'**()/()k f k f k 是在*k k =处的产出关于资本的弹性。
用*()K k α表示这个弹性，即可获得：****()1()K K k s y y s k αα∂=∂- 如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本获得其边际产品，那么，在平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本获得的总产出量是*'*()k f k 。