第五章_单自由度系统的振动..
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单自由度振动系统
单自由度振动系统m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或 （角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。
根据牛顿定律：mx+cx+kx=F1.单自由度系统无阻尼自由振动mx+kx=0；x+kmx=0；令w m2=k/m，求微分方程的解，得x=c1e iw n t+c2e−iw n t=c1+c2cosw n t+i c1−c2sinw n t=b1cosw n t+b2sinw n t将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0x=Asin(w n t+φ); A=x2+x02w n2; φ=tg−1x0w nx01.1固有频率系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。
w n=km ；f n=12πkm1.2固有频率计算方法1）公式法。
根据公式w n=km计算2）静变形法。
根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。
3）能量法。
根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。
4）瑞利法。
考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为w n=km+ρl3，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据T s =12m s x 2，计算即可。
1.3扭转振动根据扭转运动的牛顿定律 M =I θ，M 为施加到转动物体上的力矩，I 转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。
圆盘转动惯量为I ，轴的转动刚度为kθ。
系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与θ方向相反的弹性恢复力矩-K θθ。
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
结构力学-单自由度体系的自由振动
mh3 T 2 24 EI
Vibration Characteristic
y(t ) Asin( t )
Acceleration： Inertia Force：
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
这是一个齐次方程，其通解为
y(t ) C1 cost C2 sin t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 C1 y0
(0) v0 y
C2
v0
v0
,
y (t ) y0 cos t
sin t
y (t ) y0 cos t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，
而且惯性力的方向与位移的方向一致。
幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA
2
由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时
l
1 m
EA ml
st Wl T 2 2 g EAg
例: 求图示结构自振频率 。（EI 为常数，杆件自身 质量不计） [分析] 图乘法求位移
A m C l h
1 1 2 2 1 2 h2 B ( h h hl h) (h l ) EI 2 3 2 3 3EI
y y
v0
sin t
T
0
t
y cos t
-y
y
单自由度体系的强迫振动
2）求荷载的频率
2πn 62.83s1
60
3）求动荷因数
Kd
1
2
1
2
1
1 ( 62.83)2
56
3.86
4）求最大竖向位移
ymax
y
W st
Kd
ysFt
Wl 3 48EI
Kd
Fl3 48EI
l3 48EI
(W
Kd
F)
7.26mm
5）求最大应力
max
W st
Kd
F st
l 4WZ
(W
Kd1 ysFt
Wl 3 3EI
K d1
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd1F )
7.2 mm
y2max
y
W st
Kd2
ysFt
Wl 3 3EI
Kd2
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd2
F)
6.3 5 m m
4）求两种情况中的最大弯矩。最大弯矩发生在固定
端处。最大弯矩由两部分组成：第一部分是由重力引
纯强迫振动任一时刻质点的位移为
y(t)
F
m(2
2
)
sint
F
m2 (1
2 2
)
sint
令
ysFt
F11
F
m 2
y(t)
ysFt
1
1
2 2
sint
最大动位移为
ydmax
ysFt
1
1
2 2
ysFt Kd
式中：Kd——动荷因数，即 K d
ydmax
y
F st
单自由度体系的自由振动
令
ω2 = k
m
y + ω 2 y = 0
运动方程的解 y + ω 2 y = 0 可由振动的初 2
始条件来确定
常系数的线性齐次微分方程，其通解为
y(t) = A1 cosωt + A2 sinωt
若当 t = 0 时 y = y0 初位移
y(0) = y0 = A1 cosω × 0 + A2 sin ω × 0
因此，自振周期（或频率）的计算十分重 要。
例 计算自振频率
14
EI=常数
如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚 结点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架) 计算刚度系数方便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：12EI
l3
一端铰结的杆的侧移刚度为：3EI
l3
例 计算自振频率
1
k11
EI=常数
12 EI l3
y = y0 初速度
y(0) = y0 = −ωA1 sinω × 0 + ωA2 cosω × 0
A1 = y0
A2
=
y0
ω
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
位移的多项表达式
位移、速度的单项表达式
3
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
若令
y(t) = a sinϕ cosωt + a cosϕ sin ωt
结构自振周期、频率
6
自振周期的倒数称为工程频率 f = 1
（或频率），记作 f
T
频率 f 表示单位时间内的振动次数，其常用单位
单自由度系统受迫振动
B(n2 2 ) sin(t ) 2B cos(t ) h sin t
解得
B
h
(n2 2 )2 4 22
tan
2 h n2 2
幅频特性与相频---称为静力偏移 β 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。 s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。
由二部分组成： ＊第一部分振动的频率是自由振动频率 d；由于阻尼的作 用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动
＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减 －稳态受迫振动。
特解为: 代入方程
B 2 sin(t ) 2B cos(t ) n2B sin(t ) h sin t
arctan
1
1 s
2s3 2 (2s)
2
特系 性统 曲的 线幅
频 特 性 和 相 频
单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段
受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加
回顾： mx cx kx F0 sin t 显含t，非齐次微分方程
m1
d2x dt 2
m2
d2 dt 2
(x
e sin t)
cx
kx
整理后得系统的微分方程为
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
引入 微分方程化为标准形式 解得
令
解得
其幅频特性和相频特性曲线
【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为 m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在 振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的 振动规律为 xe e sin t 。求测振仪中物块的运动 微分方程及其受迫振动规律。
解得
B
h
(n2 2 )2 4 22
tan
2 h n2 2
幅频特性与相频---称为静力偏移 β 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。 s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。
由二部分组成： ＊第一部分振动的频率是自由振动频率 d；由于阻尼的作 用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动
＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减 －稳态受迫振动。
特解为: 代入方程
B 2 sin(t ) 2B cos(t ) n2B sin(t ) h sin t
arctan
1
1 s
2s3 2 (2s)
2
特系 性统 曲的 线幅
频 特 性 和 相 频
单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段
受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加
回顾： mx cx kx F0 sin t 显含t，非齐次微分方程
m1
d2x dt 2
m2
d2 dt 2
(x
e sin t)
cx
kx
整理后得系统的微分方程为
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
引入 微分方程化为标准形式 解得
令
解得
其幅频特性和相频特性曲线
【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为 m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在 振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的 振动规律为 xe e sin t 。求测振仪中物块的运动 微分方程及其受迫振动规律。
第五讲-单自由度无阻尼强迫振动
(1) 1
( n ) (T Tn )
(2) 1 ( 0 ) (T Tn )
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态强迫振动完成多个循环 强迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动
x(t )
2 /
稳态强迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环 强迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
第五讲 单自由度无阻尼强迫振动
简谐激励下的无阻尼强迫振动
弹簧－质量系统
设
F (t )
m k
F (t ) F0 sin t
F0
外力幅值
x 0
F (t )
m
m x
外力的激励频率
振动微分方程：
kx
（1）
mx cx kx F0 sin t
引入记号
F0 k n , X0 m k
（7）
x 0 x0 , x 0 x0
（8）
C1 x0 , C2
n
x0
X
（9）
因此，对应于该初始条件的解为
x t x0 cos nt
自由伴随振动 （简谐激励）
n
x0
sin nt
自由振动（初始条件）
1 X 0 sin nt X 0 sin t 2 2 1 1
解： m kx F0 cost 的全解： x
X0 c1 x0 1 2 求一阶导数： x(t ) c1n sin nt c2n cos nt X 0 sin t 2
由 x(0) x0
由 x(0) x0
x0 c2n
c2 x0 / n
( n ) (T Tn )
(2) 1 ( 0 ) (T Tn )
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态强迫振动完成多个循环 强迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动
x(t )
2 /
稳态强迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环 强迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
第五讲 单自由度无阻尼强迫振动
简谐激励下的无阻尼强迫振动
弹簧－质量系统
设
F (t )
m k
F (t ) F0 sin t
F0
外力幅值
x 0
F (t )
m
m x
外力的激励频率
振动微分方程：
kx
（1）
mx cx kx F0 sin t
引入记号
F0 k n , X0 m k
（7）
x 0 x0 , x 0 x0
（8）
C1 x0 , C2
n
x0
X
（9）
因此，对应于该初始条件的解为
x t x0 cos nt
自由伴随振动 （简谐激励）
n
x0
sin nt
自由振动（初始条件）
1 X 0 sin nt X 0 sin t 2 2 1 1
解： m kx F0 cost 的全解： x
X0 c1 x0 1 2 求一阶导数： x(t ) c1n sin nt c2n cos nt X 0 sin t 2
由 x(0) x0
由 x(0) x0
x0 c2n
c2 x0 / n
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Ae
nt
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd xR
当
2<<1时
2π N 1 2
ln
ln 2π N ln 2π N
此式对估算小阻尼系统的 ζ值是很方便的。例如， 经过10个周期测得P、R两点的幅值比 r=2，将N=10、 r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这 种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
2 r1 n n 2 0
2 r2 n n 2 0
微分方程的解为
x e
nt
(C1e
2 n 2 0 t
C2 e
2 n 2 0 t
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
2 x Ae nt sin( 0 n2 t ) 或
x Ae
nt
sin(d t )
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
d n
2 0
2
称有阻尼自由振动的圆频率
x Ae
nt
c c m
f (t )
k
m
xs
k
kx
cx
m
o x x
x
m x
o x
振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力 Fk kx ；方向指向平衡位置O；
dx （2）粘性阻尼力 Fc c cx ；方向与速度方向相反。 dt
cx m x 根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为：
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自由振动问题虽然比强迫振动问题单纯 ,但自由振 动反映了系统内部结构的所有信息，是研究强迫 振动的基础．
按结构参数的特性分 线性：常系数线性微分方程 系统内弹簧恢复力、阻尼力和惯性力分别 与振动位移、速度、加速度成正比 非线性：非线性微分方程 线性 满足叠加定理
} f (t ) ® x (t )
已知载荷和结构参数求结构的响应、研究结构的动态特性。
参辨识或系统辨识——第一类逆问题（识别与修改）
已知载荷和结构响应求结构参数和数学模型。
研究方法：参数辨识和系统辨识的各种方法 机械系统动力学问题：模态参数辨识方法。
模态质量
模态参数
模态刚度
模态阻尼 模态振型
质量
结构物理参数
刚度 阻尼
内容--三大课题
2 sin t sin t 2 sin t
2
T
f
1 T 2
2f
周期/秒
频率/赫兹
y A sint
初相
补充2.3
振动的表示方法
② 旋转向量表示法
平面上旋转向量与沿时间轴展开 的谐波函数之间存在严格的对应关 系
按振动的位移特性分为： 纵坐标 直线 横坐标 圆弧线 （角振动）
补充2.3
2.3.1
振动的表示方法
一般表示方法
– 函数表示 表示振动的某些物理量（位移、速度、加速度） 随时间t变化的规律。
x x(t )
①图象表示 以时间为横横坐标，以振动物理量为纵坐标
①周期振动表示 x = x(t + nT) n=1,2….. T —— 周期 (秒/s)
补充2.3
振动的表示方法
Im b O Z A ωt a Re
③ 复数表示法 旋转位置可用复向量来表示
Z=a+jb
Z a 2 b2 A
Re Z a A cos t
arg Z t
Im Z b A sin t
Z A(cost j sin t ) Ae jt
2 2
f1(t ) ® x 1(t )
C 1f1(t ) + C 2 f2(t ) = C 1x 1(t ) + C 2x 2(t )
单度 按系统自由度数分： 多度 无限多
常微
偏微分 位移函数
自由度——全面地描述系统运动所需独立坐标的最小数目。
按运动规律 简谐 周期 瞬态 只在一定时期内存在 随机 非确定函数（概率统计法）
用复数的虚部表 示振动则等价于
x A sin t
可用事先预定的复数的虚部或实部来表示简谐振 动
补充2.3
jt X Xe
振动的表示方法
简谐振动位移、速度、加速度的复数表示:
其中
X X e —初始的复向量
j
位移: x(t ) Im[X ] Im[Xe jt ]
j t j t 速度 : x(t ) Im[ X ] Im[ jXe ] Im[Ve ] 加速度 : x(t ) Im[ X ] Im[ 2 Xe jt ] Im[ Ae jt ]
f =1/T—— 频率（赫兹/Hz）
补充2.3
2.3.2
振动的表示方法
简谐振动的表示方法
是正弦式或余弦函数 最基本的振动形式，最简单的周期振动 ，所以，是研究其它振动的基础。
① 正、余弦函数表示法
x =A cosωt 或 y =A sin ωt
ω : 角（圆）频率 A: 振幅 ω t: 相位 更一般：
载荷辨识——第二类逆问题（再现和控制）
已知结构参数和响应求载荷。
研究方法：通常先进行第一类逆问题的计算，得到结构参数，
才能进行载荷识别。
补充2 振动基础知识
• 什么是振动？ • 振动的分类
• 振动的表示方法
• 简谐振动的基本性质 • 动力学模型
补充2.1 什么是振动
一种特殊形式的运动（质点，围绕其平衡位置作往复运动） 机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动。 机械振动系统，就是指围绕其静平衡位置作来回往复运动的机械 系统，单摆就是一种简单的机械振动系统。 振动系统三要素： 惯性—保持动能的特性,能使系统当前运动持续下去.
补充2.3
X Xe
j
振动的表示方法
Im
j j ( ) 2
因此,当t = 0时, 复矢量的初值: V
V jX j X e X e
Ve
j ( ) 2
X Re
A 2 X 2 X e j 2 X e j ( ) A e j ( )
位移、速度、加速度的幅值的大小和相 A V X
2
求导
等价于
乘 jω
相 位
等价于
在复平面上将复数矢量逆时针 旋转 2 ，即相位增加 2 ， 幅值增大ω倍。
弹性—储存势能的特性,能使系统位置恢复到平衡状态. 阻尼—耗散能量的特性,能使系统能量消耗掉. 这三个基本要素通常分别由物理参数质量M、刚度K和阻尼C表征。
振动的特点：
能用力学基本原理解释的逻辑学科， 数学概念完全与物理现象相协调； 物理现象是可以体验和测量得到的
补充2.2
振动的分类
按产生的原因分 自由振动——系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度 )的激励而引起的振动,初始干扰或外激励取消后开始振动 . 强迫振动——持续的外作用力激励下的振动. 自激振动——系统内部激发及反馈相互作用下，而 产生稳定的周期振动（无周期外力作用）
x(t)=Asin(ω t+
φ) v(t)= Aω cos (ω t+φ)= Aω sin(ω t+φ+π/2) a(t)= -Aω 2sin (ω t+φ)= Aω 2sin (ω t+φ+π) 速度超前位移π/2相位，加速度超前位移π相位。 加速度大小与位移成正比，方向与位移相反， 始终指向平衡位置
补充1.1
研究对象-机械系统
输入（激励）:力、力矩、位移等 输出（响应）：位移、速度、加速度
参数模型：固有频率、惯量、质量、刚度、 阻尼比、极点、留数、模态振型等
系统特性：
非参数模型：脉冲响应函数(IRF)、
频率响应函数(FRF)
补充1.2
内容--三大课题
响应予估——正问题（监测与评价）
研究方法：模态分析法、机械阻抗分析法、有限元法等