从勾股定理到图形面积关系的拓展
浅谈在初中数学教学中彰显数学文化的魅力
浅谈在初中数学教学中彰显数学文化的魅力新课标特别强调数学文化的重要作用，要求通过各种形式来渗透数学文化。
数学文化已经成为重要的教学资源之一，我们若能充分开发与利用好这一资源，让学生在学习数学过程中真正受到文化的熏陶，感受数学丰富的方法、深邃的思想，领略数学发展进程中的五彩斑斓，散发出独特的文化魅力，使每个学生终身受益。
本文分析当前初中数学教学中渗透数学文化的问题原因，由此提出了初中数学教学如何渗透数学文化。
一、当前初中数学教学中渗透数学文化的问题分析首先，功利性的教学目标。
在中考的指挥鞭下，学校数学教学仍以贯彻“数学双基”为教学目标，以提高升学率为主要任务。
于是，数学课堂教学一般采用讲授法进行，教师更注重学生解题能力的培养，要争取在有限的时间灌输更多的数学结论，做更多的应用练习，自然，就忽略了数学文化的渗透。
其次，单一的评价体系。
考试是当前初中教学唯一的评价体系，而书面考试只能从某种程度上考察学生对知识的掌握和运用，却无法全面地考察学生的学习过程、数学素养。
因此，数学教学的评价体系应当多样化，既重结果又重过程，更要重视影响教学过程和结果的各方面因素。
再者，孤立的学科建设。
初中各门课程都是相对孤立地进行教学，各门课程往往都只注重形成学科内的知识体系而忽略学科间的知识联系，我们在数学教学中要注意体现数学与其他学科的联系，体现数学的应用价值，这亦需加强数学文化的渗透。
二、当前初中数学教学中渗透数学文化的途径1、在问题情境的创设中渗透数学文化一个好的问题情境，有利于激发学生的学习欲望和主动参与的兴趣，使学生主动思考问题，积极投入到自主探索、合作交流的氛围之中，从而能够顺利地突出这节课的重点，突破难点。
利用数学文化中的一些趣味故事正能很好地帮助我们创设问题情境。
如我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗？引导学生观察所列方程组有何共同特点？学生观察比较，归纳特点：①两个都是一次方程；②方程组中共有两个未知数。
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
从勾股定理到图形面积关系的拓展定稿版
从勾股定理到图形面积关系的拓展HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】从勾股定理到图形面积的拓展教学目标：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力教学重点：利用勾股定理，解决实际问题教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。
教学过程：一、 向外拓展正方形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+∴ 132s s s =+拓展练习：1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？请试一试．2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=（）3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11.求正方形b的面积.4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和为多少?二、向外拓展正三角形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+如图做三角形2s 的高h ，因为2s 是以b 为边的等边三角形，易得 h=b 23，2s =b b 2321••=243b 同理：2343a s =，2143c s =；)(432232b a s s +=+，根据勾股定理222c b a =+得23243c s s =+=1s 即：132s s s =+三、向外拓展正五边形如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，求证：132s s s =+1s S2 3s证明：如图连接正五边形的中心O 与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h,∵cot α=2c h , ∴αcot 2c h =, ∴ααcot 455cot 22121•=••=c c c S . 同理：αcot 4522•=b s ，αcot 4523•=a s ，∴)(cot 45cot 45cot 45222232a b a b s s +=•+•=+ααα 由勾股定理得：222c b a =+，∴1232cot 45s c s s =•=+α 即：132s s s =+依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n 边形时. αcot 422•=b n s ，αcot 423•=a n s ，αcot 421•=c n S ，根据勾股定理：222cb a =+，1232cot 4sc n s s =•=+α 即：132s s s =+通过上面的证明我们就得到了“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和.”四、向外拓展半圆 同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”. 下面我们来看证明： 已知：如图，直角三角形的两直角边为a,b ，斜边为c,分别以a,b,c 为直径做半圆. 求证：132s s s =+证明：∵ 2218)2(21c c s ππ==，2228)2(21b b s ππ==， 2238)2(21a a s ππ== ∴ )(888222232a b a b s s +=+=+πππ，由勾股定理222c b a =+得：122222328)(888s c a b a b s s ==+=+=+ππππ，即：132s s s =+拓展练习：把大半圆向上翻折，得到如下图：SS欣赏勾股图教学总结：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，从勾股定理到图形面积关系的拓展练习中感受学习数学的魅力，体会古代数学的文化成就．。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(学生版)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.322(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.53(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，若a+b=10cm,c=8cm，则Rt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2【变式训练】1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5，则△ABC的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或302直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c=66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD= 12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是()A.54B.74C.154D.254【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC= 3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.34B.1.5 C.53D.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A DE的位置，A D交AB于点F．若△BA F为直角三角形，则AE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DE折叠，点A落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①A 与点E在直线AC的异侧时．如图②，直接写出∠A EB-∠A DC的大小；②A 与点E在直线AC的同侧时，且△A DE的一边与BC平行，直接写出∠ADE的度数．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC∥DM，AB=12，BM=18，求BC的长．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长尺．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为 cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．。
利用勾股定理求面积
S2
π 8
a2,S3
π 8
b 2 ,S1
π 8
c2
S2 S3 S1
总结：与直角三角形三边相连的正方 形、等腰直角三角形、等边三角形以 及半圆甚至正多边形都有相同的结论： 即两直角边上图形面积的和等于斜边 上的图形的面积。
பைடு நூலகம்
1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边 和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为
a2 b2 c2
3 2
c2
S2
S3
S1
探究二：向外拓展半圆
1、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=b,BC=a,AB=c，分别以Rt △ABC三边为 边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2， S3表示，求证：S1 S2 S3
ACB 90
a2 b2 c2
由以上探究知：SDCA SCBF SABE
即：S1 S4 S3 S5 S2 S4 S5 S6
S1
S3
S2
S6
68 2
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勾股定理在求图形面积中的应用
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=b,BC=a,AB=c，分别以Rt △ABC三边为边向 外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表 示，容易得出S1，S2，S3之间的关系
为 S1 S2 S3 ．
探究一：向外拓展三角形
1、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=b,BC=a,AB=c，分别以Rt △ABC三边为
边向外作三个等腰直角三角形，其面积分
勾股定理拓展与拔高
勾股定理拓展与拔高勾股定理的应用及拓展勾股定理是直角三角形的重要性质之一，表达了直角三角形三边之间的关系，常用于计算。
具体应用包括：已知两边求第三边，已知一边和另两边的关系求另两边，以及证明线段平方关系的问题。
此外，满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数，例如3、4、5和5、12、13等。
判定一个三角形是直角三角形的方法是先确定最大边，验证是否满足勾股定理，若满足则是直角三角形，否则不是。
在具体问题中，勾股定理的应用也是多种多样的。
例如，可以利用勾股定理证明一个三角形是直角三角形，如在正方形ABCD中，若F为DC的中点，E为BC上一点且EC=4BC，则可以证明∠EFA=90°。
又如，在等腰△ABC中，若底边BC=20，D为AB上一点，CD=16，BD=12，则可以利用勾股定理的逆定理计算△ABC的周长。
此外，勾股定理还可以应用于折叠问题，如在矩形ABCD中，若AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△XXX沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则可以求出CE的长度。
最后，勾股定理还可以应用于卡车通过大门问题。
若卡车宽度为w，高度为h，大门宽度为a，高度为b，且a≥w、b≥h，则卡车能通过大门的条件为a²+b²≥w²+h²。
某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3m，AB=2m。
现有一辆装满货物的大卡车，高2.5m，宽1.6m。
猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由。
这是一道几何应用题，需要用到勾股定理。
首先需要算出卡车的斜边长，即$\sqrt{2.5^2+1.6^2}\approx2.96m$。
由于门的宽度是2m，因此只需要判断卡车的高度是否小于门的高度即可。
由于2.5m小于半圆的直径，因此卡车能通过厂门。
如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10cm，宽为4cm。
初中数学精品教案：从勾股定理到图形面积关系的拓展
从勾股定理到图形面积的拓展教学目标：1理解并会用勾股定理进行有关拓展面积的计算。
2.通过观察图形，探索图形之间面积的关系渗透数学建模的思想。
3.探索图形面积规律的过程中，体验由数到形，由特殊到一般的思维过程感受数学学习的魅力。
教学重点：利用勾股定理拓展到其他面积的相关计算。
教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。
教学过程：一，知识回顾：2. 通过构建正方形证明勾股定理3. 视屏观看欧几里得的勾股定理证明从而引出课题。
二，发现新知：1. 分别以Rt △ACB 的三边为边长向外作三个正方形，面积分别记为S1 ,S2和S3,请猜想它们之间的关系，并说明理由。
2.分别以Rt △ACB 的三边为边长向外作三个矩形，其中宽为长的一半，面积分别记为S1 ,S2和S3,请猜想它们之间的关系，并说明理由.1.同学们看到这个直角三角形，你能想到我们学过的那些知识呢？cbaC ABcb aCcb aS 1S 2S 3CABcbaS 2S 3S 1练习. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是9、25、4、9，则最大正方形E 的面积是 （ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、942. 分别以Rt △ACB 的三边为边长向外作三个半圆，面积分别记为S1 ,S2和S3,请猜想它们之间的关系，并说明理由。
三，探究新知分别以直角三角形的三边为边向外作其它的某一种图形，面积也满足S1+S2=S3.要求：1.在学习单上尝试画出草图，并写出简要的证明过程;2.先独立思考,再小组交流.cba ABCcb aABCcba ABCcb aABCcbaS 2S 3S 1CAB3.总结归纳运用四，拓展运用：1如图，已知在Rt △ABC 中， ∠ ACB=Rt ∠，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的是多少?2.如图，分别以Rt △ACB 的三边为直径作三个半圆，三个阴影部分的面积分别记为S1 ,S2和S3, 那么S1 ,S2和S3有什么样的数量关系呢？3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，分别以AB 、AC 、BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BDMC ，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，若S 正方形ABEF=25，S 正方形ACPQ=9，则S1+S2+S3+S4等于（ ）A.12B.15C.18D.20 五，回顾总结cbaS 3S 1S 2CBAS2S1S3S4EFBACc baBa 2 +b 2=c 2s 1+s 2=s 3ACS 2S 1S 2。
勾股定理及常见题型分类
勾股定理及常见题型分类一、知识要点：1.勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的证明方法包括几何证明和代数证明，其中几何证明使用勾股树。
3.勾股定理的逆定理是指若一个三角形的三边满足勾股定理，则该三角形是直角三角形。
4.勾股定理常见题型包括勾股定理的应用、勾股定理的证明和勾股定理的逆定理。
二、典型题题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积1.如图所示，正方形A、B、C、D构成了一棵勾股树，求最大正方形E的面积。
2.如图所示，直线l上有三个正方形a、b、c，已知a、c 的边长分别为6和8，求b的面积。
3.如图所示，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，探索三个半圆的面积之间的关系。
4.如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是S1+S2=S3.5.如图所示，依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是4、5、6、7.题型二：勾股定理与图形问题1.如图所示，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是n+1.2.如图所示，求该四边形的面积。
3.如图所示，已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为3.4.如图所示，某公司的大门为长方形ABCD，上部为以AD为直径的半圆，已知AB=2.3m，BC=2m，卡车高2.5m，宽1.6m，判断卡车是否能通过公司的大门，并说明理由。
5.如图所示，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
题型三：已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm、2cm，则斜边长为√5cm。
2.已知直角三角形的两边长为3cm、2cm，则另一条边长的平方是5cm²。
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13
2、如图，阴影正方形部分的面积是 84 3、如图，直线l上有三个正 方形，面积分别为a,b,c,若 a=5,c=11，则b为（ C ） A．5 B．6 C．16 D．55 4
. 10
如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为 边，向外分别作正三角形，那么是否存在 s1+s2=s3呢？
如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为 直径，向外分别作半圆，那么s1+s2=s3依然成 立吗？
如图，已知在Rt△ABC中， ∠ ACB=Rt∠， AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积 分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 2π .
C
S1
A
S2
B
已知：如图，以Rt△ABC的三边a、b、c为 边分别向外作等腰直角三角形．面积分别为S1、 S2、S3，若斜边c＝6，则S1+S2为 ．
四边形ABCD中AB∥CD，∠ADC＋∠BCD＝ 90°，以AD、AB、BC为斜边均向形外作等腰 直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 ＋S3＝4S2，则CD＝( ) A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
如图，在△ABC中，∠ACB＝90º ，AC＞BC，分 别以AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形 ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设 △AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、 S3，则下列结论正确的是（ ） A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1
角形中，在斜边 上所画的任何图 形的面积，等于 在两条直角边上 所画的与其相似 的图形的面积之 和。”
如图所示， sⅠ，sⅡ，sⅢ之间有什么数量关系？
sⅡ
sⅠ sⅢ
s1 s2 s3
sⅠ+ sⅡ=sⅢ
这节课你收获了……
a2+b2=c2
s1+s2=s3
如图，已知△ABC的三边长为别为5，12， 13，分别以三边为直径向上作三个半圆， 求图中阴影部分的面积。
E
S1
F
A C
S2
D B
S3
G
M
S1+S2= 18
S1+S2= 9
1 2 1 2 1 2 s1 a , s2 b , s3 c 2 2 4
已知：如图，以Rt△ABC的三边a、b、c为 边分别向外作等腰直角三角形．面积分别为S1、 S2、S3，若斜边c＝6，则S1+S2为 ．
斜边或直角边
其实，在欧几 里得时代，人 们就已经知道 了勾股定理的 一些拓展。例 如，《原本》 第六卷曾介绍： “在一个直角 三
1 2 1 2 1 s1 s2 a b (a 2 b 2 ) 8 8 8
1 a 2 1 2 s1 π( ) πa 2 2 8 1 2 1 2 同理，s2 b , s3 c s1 s2 c s3 8
兰亭镇中学
在Rt△ABC中，分别以a,b,c为边向外作正方 形，如图所示，则s1,s2,s3有什么数量关系？
a2+b2=c2
s1+s2=s3
1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形．若正方形A、B、C、D的面积分别是9、 25、4、9，则最大正方形E的面积是 （ C ） A、13 B、26 C、47 D、94