数学竞赛解题方法

《工程问题》解题方法

一、工程问题含义及数量关系

含义：工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效

率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而

就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、工程问题类型及解法

1.合作完工问题

通过计算工效和，来算出工作时间。工效和为所有工作人员的效率之和。

工作总量÷工效和=工作时间

【例1】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

【解析】题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体

数量，因此，把此项工程看作单位“1”。甲队独做需10天完成，那么每天完

成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两

队合做，每天可以完成这项工程的（1/10+1/15）=1/6，工作总量“１”中包含了多少个甲乙的工作效率和，就是他们这项工程的需要的时间。

解：1÷（1/10+1/15）

＝1÷（1/6）

＝6（天）

答：两队合作需要6天完成。

2. 组合合作完工问题

工效和－一方工效 =剩下方工效

【例2】一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？

【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，，甲独做需要30天完成，甲做一天完成这项工程的1/30，甲、乙合做需要6天完成，甲、乙合做一天，完成这项工程的1/12，把甲、乙工作效率之和，减去甲的工作效率1/30，就可得到乙的工作效率（1/12-1/30）=1/20，工作总量“１”中包含了多少个乙的

工作效率，就是乙独做这项工程的需要的时间。

解： 1÷（1/12-1/30）

＝1÷（1/20）

＝20（天）

答：如果乙单独做需要20天。

3.合作+单干完工问题

将整个工程根据题意分段，并分别算出每个过程的参与工作的人的工效和，根据已知量求未知量。

【例3】甲、乙、丙共同加工一批零件，前三天三人一起完成全部工作量

的 1/5，第四天丙没参加，甲、乙完成了全部工作量的1/18，第五天甲、丙没

参加，乙完成了全部工作量的 1/90，第六天起三人一起工作直到工作结束，问加工这批零件一共需要多少天完成？

【解析】将整个零件工作量看作“1”个单位，前五天一共完成了全部工作量的1/5+ 1/18 +1/90 =4/15，三人一起工作每天可完成全部工作量的 1/5÷3 = 1/15，用剩余工作量除以三人每天完成工作量得到完成剩余工作量需要的时

间（1-4/15）÷1/15=11，最后加上原来的5天就是完成这批零件的总时间。

解： [1-（1/5+ 1/18 +1/90）] ÷（1/5÷3）+5

＝（1-4/15）÷（1/15）+5

＝11/15÷（1/15）+5

＝11+5

＝16（天）

答：第六天起三人一起工作直到工作结束，加工这批零件一共需要16天完成。

4.轮流工作完工问题

将整个工程分段，根据“工作时间=工作量÷工作效率”等相关公式按要求解答。

【例4】加工一批零件，原计划每天加工 15个，若干天可以完成。当完成工作任务的 3/5时，采用新技术，效率提高 20%。结果，完成任务的时间提前10天，这批零件共有几个？

【解析】先求出效率提高 20%后每天加工的个数 15×120%=18 个，即每天多 3个。原计划的 10天内共生产 150个零件，而由于每天多 3个导致提前10天结束，则效率提高后共生产了 150÷3=50天。这部分实际生产的时间加上10就是这部分原计划生产的时间50+10=60天，则全部零件原计划生产 60÷

2/5=150天，原计划生产时间乘以原计划每天生产个数就是这批零件的个数。

解： [15×10÷（15×120%-15）+10] ÷(1-3/5)×15

＝[150÷(18-15)+10] ÷(2/5)×15

＝[(150÷3)+10] ÷(2/5)×15

＝(50+10) ÷(2/5)×15

＝60÷(2/5)×15

＝150×15

＝2250（个）

答：这批零件共有2250个。