湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)答案
2019年湖南长郡中学高三理科数学月考高考模拟试卷(附答案)
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理科数学试题!长郡版"第!" 页!共"页"
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数学理科参考答案
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长郡中学2019届高三第一次月考理科数学试卷(含答案)
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数121i z i i+=+-，则z =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.已知集合{}240A x x x =-+≥，1{327}18x B x=<<，{}2,C x x n n N ==∈，则()A B C =（ ） A ．{}2,4 B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,x x n n N =∈3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12- C. 2 D 5.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）A B 2 D ．36.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2yx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ） A ．56千瓦·时 B ．62千瓦·时C. 64千瓦·时 D ．68千瓦·时A ．5003πB ．3 C.1253π D ．3 8.知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为（ ）A ．12-B ．2- C.12D ．2 9.设,a b R ∈，则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112 B ．114 C. 115 D ．11811.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C 、D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ） A ．3(,)2+∞ B ．(2,)+∞ C. 3(1,)2 D ．3(,2)212.设函数()()1x f x e x =-，函数()(),0g x mx m m =->，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．213,3e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,e ⎡⎤+∞⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则y z x =的最大值为 ． 14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
2019-2020学年人教A版湖南省长沙市长郡中学高三第二学期(3月份)第一次段考(理科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期段考数学试卷（理科）（3月份）一、选择题1．若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i，则z的虚部为（）A．B．C．D．2．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}＝（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B} 3．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A．35B．65C．70D．604．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（）A．B．C．D．5．已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．椭圆C：+＝1，F1，F2是其焦点，点P是椭圆C上一点，若△F1PF2是直角三角形，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．27．若α为锐角，且（4cos50°﹣tan40°）tanα＝1，则α＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，且S3，S9，S6成等差数列，则8q3等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．10．已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|＝2|CD|，＝，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．12．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题13．已知n＝（﹣2x）dx，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为．14．某封闭几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为15．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．若数列{a n}的通项公式为，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是．16．若∀x∈[e，+∞），满足恒成立，则实数m的取值范围为．三.解答题17．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，△ABC 的面积为．（1）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（2）若BC＝6AB，AD＝2，求b．18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．19．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．20．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．21．如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2＝1，A（1，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n（A），P n（B），P n（C）．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，P1（B）＝，P1（C）＝（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；（2）掷骰子n次时，若以x轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；（3）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n．，其中a n+b n+c n＝1．证明：数列{b n ﹣}是等比数列，并求a2020．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q 两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．参考答案一.选择题1．若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i，则z的虚部为（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝|1﹣i|+i＝，得z＝．∴z的虚部为．故选：D．2．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}＝（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B}【分析】解不等式得集合A，根据补集的定义写出∁R A、∁R B，即可得出结论解：集合A＝{x|＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|x≤﹣3}，则∁R A＝{x|x≤﹣3或x≥1}，∁R B＝{x|x＞﹣3}；∴（∁R A）∩（∁R B}＝{x|x≥1}．故选：D．3．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A．35B．65C．70D．60【分析】设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．由a3＝25，S12＝510．可得a1+2d ＝25，12a1+d＝510，联立解出即可得出．解：设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．则a3＝25，S12＝510．∴a1+2d＝25，12a1+d＝510，解得a1＝15，d＝5，∴a12＝15+11×5＝70．故选：C．4．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（）A．B．C．D．【分析】小千和大年比赛至第四局小千胜出，由指前3局中小千胜2局，有1局不胜，第四局小千胜，由此能求出小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率．解：根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小千胜大年、小千与大年和局和小千输给大年的概率都为，∴小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出，由指前3局中小千胜2局，有1局不胜，第四局小千胜，∴小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是：p＝＝．故选：B．5．已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】a＝log0.62＝﹣1，又ab＝1．可得b＝log20.6∈（﹣1，0），而c ＞0，即可得出大小关系．解：a＝log0.62＝﹣1，又ab＝×＝1．∴b＝log20.6∈（﹣1，0），c＝0.62＞0，则c＞b＞a．故选：C．6．椭圆C：+＝1，F1，F2是其焦点，点P是椭圆C上一点，若△F1PF2是直角三角形，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．2【分析】分两种情况讨论，是∠P为90°还是∠F1或∠F2为90°，注意P的纵坐标的取值范围，将P的坐标代入椭圆中，再由角为90°可得P的纵坐标的绝对值，即是P 到x轴的距离．解：设P（m，n），|n|2≤5，由题意可得：+＝1，m2＝9（1﹣），a2＝9，b2＝5，所以c2＝a2﹣b2＝9﹣5＝4，所以c＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），△F1PF2是直角三角形，当∠PF2F1＝90°，或∠PF1F2＝90°结果一样的，则m＝c＝2，代入椭圆可得|n|＝＝；当∠F1PF2＝90°时，而＝（m+2，n），＝（m﹣2，n），所以＝0，即（m+2）（m﹣2）+n2＝0，m2+n2＝4，即9（1﹣）+n2＝4，解得n2＝＞5，不成立，综上所述|n|＝，故选：A．7．若α为锐角，且（4cos50°﹣tan40°）tanα＝1，则α＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先利用三角函数公式化简4cos50°﹣tan40°＝，则tan，从而求出α的值．解：4cos50°﹣tan40°＝4sin40°﹣tan40°＝＝＝＝＝＝，∴，又∵α为锐角，∴α＝300，故选：D．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，且S3，S9，S6成等差数列，则8q3等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】利用等差数列的性质、等比数列的通项公式即可得出．解：）∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3+S6，∴（S9﹣S6）+（S9﹣S3）＝0，即（a7+a8+a9）+（a7+a8+a9）+（a4+a5+a6）＝0，∴2q3（a4+a5+a6）+（a4+a5+a6）＝0，∵，∴q3＝﹣，∴8q3＝﹣4．故选：A．9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx+2的距离为d，则d＝≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选：A．10．已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的对称性，利用f（0）＝f（﹣），建立方程求出a的值，然后利用辅助角公式求出f（x）的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可．解：∵f（x）的图象关于直线对称，∴f（0）＝f（﹣），即﹣＝a sin（﹣）﹣cos（﹣）＝﹣a﹣，得a＝，得a＝1，则f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），∵f（x1）f（x2）＝﹣4，∴f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2或f（x1）＝﹣2，f（x2）＝4，即f（x1），f（x2）一个为最大值，一个为最小值，则|x1﹣x2|的最小值为，∵T＝＝π，∴＝，即|x1﹣x2|的最小值为，故选：D．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|＝2|CD|，＝，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求出解：由|AB|＝2|CD|，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为﹣＝1，由双曲线是以A，B为焦点，∴A（﹣c，0），B（c，0），把x＝c，代入﹣＝1，可得y＝b，即有C（c，b），又设A（﹣c，0），∴＝（c，b），设E（x，y），∴＝（x+c，y），∵＝，∴（x+c，y）＝（c，b），解得x＝﹣c，y＝b•），可得E（﹣c，b•），代入双曲线的方程可得﹣（﹣1）＝1，即e2﹣（﹣1）＝，即e2＝7，即e＝，故选：A．12．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE＝30°，由题意，设CO＝x，则AO＝4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE＝30°由题意，设CO＝x，则AO＝4﹣x，C1O＝，OE＝OA＝2﹣x，∴C1E＝+2﹣x，令y＝+2﹣x，则y′＝﹣＝0，可得x＝，∴x＝，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题13．已知n＝（﹣2x）dx，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为60．【分析】根据题意，由定积分计算公式可得n的值，进而由二项式定理分析（1﹣）6的展开式含x﹣1次方的项，据此分析可得答案．解：根据题意，n＝（﹣2x）dx＝（）dx﹣（2x）dx＝××π﹣（x2）＝6，（1﹣）6的展开式通项为T r+1＝C6r（﹣）r，当r＝2时，有T3＝C62（﹣）2＝，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为60；故答案为：6014．某封闭几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为222+6【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，画出直观图，计算各个面的面积，相加可得答案．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面△ABC的面积为：×8×6＝24；侧面ACDE的面积为：×10＝100，侧面ABFE的面积为：（4+10）×6＝42，侧面CBFD的面积为：（4+10）×8＝56，面EFD中，EF＝6，FD＝10，ED＝10，故面积为：×6×＝6，故几何体的表面积S＝222+6，故答案为：222+615．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．若数列{a n}的通项公式为，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．【分析】由题意知恒成立，从而可得数列为单调递增数列，从而可得恒成立，即a≥﹣n（n+1）（2n﹣9），从而解得．解：∵数列通项公式且数列具有性质P（10），∴，∴恒成立，∴数列为单调递增数列，∴恒成立，即a≥﹣n（n+1）（2n﹣9），由数轴标根法作图如下，故最大值在n＝1，2，3或4上取得，当n＝1时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝14，当n＝2时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝30，当n＝3时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝36，当n＝4时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝20，故a≥36．故答案为：[36，+∞）．16．若∀x∈[e，+∞），满足恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，2e]．【分析】通过①m≤0，判断是否满足题意；②m＞0时，由，利用函数的单调性转化求解即可．解：①m≤0，恒成立，所以满足恒成立，显然成立；②m＞0时，由，由f（x）＝xe x在[e，+∞）为增⇒m≤2xlnx在[e，+∞）恒成立，由g（x）＝2xlnx在[e，+∞）为增函数，g（x）min＝2e，0＜m≤2e，综上，m≤2e，故答案为：（﹣∞，2e]．三.解答题17．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，△ABC 的面积为．（1）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（2）若BC＝6AB，AD＝2，求b．【分析】（1）由ABC的面积为且D为BC的中点可得△ABD的面积为，再由三角形的面积公式及正弦定理可求sin∠BAD•sin∠BDA；（2）由（1）可得BC＝6AB，可求sin∠BAD，3sin∠BDA，再由余弦定理可求．解：（1）∵D为BC边的中点，△ABC的面积为，∴△ABD的面积为，∴，∴3AB•BD＝，由正弦定理可得，＝∴3AB•BD＝＝，∴sin∠BAD•sin∠BDA＝（2）∵BC＝6AB，且D为BC的中点，∴BC＝2BD＝6AB，即BD＝3AB，△ABD中，由正弦定理可得，，∴sin∠BAD＝3sin∠BDA，由（1）可知，sin∠BAD•sin∠BDA＝∴sin∠BAD＝1，sin∠BDA＝，∴∠BAD＝90°，Rt△ABD中，AD＝2，∴AB＝1，BD＝3，∴BC＝2BD＝6，△ABC中，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝1+36﹣2×1×6×＝33，∴b＝．18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．【分析】（Ⅰ）连结DF，BF．通过计算DF2+AF2＝9+3＝DA2，推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，证明BF⊥D'F，然后证明D'F⊥平面ABC．推出D'F⊥BC．（Ⅱ）说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面AD'F的一个法向量．平面BD'F的法向量通过向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．【解答】满分．（Ⅰ）证明：连结DF，BF．在矩形ABCD中，，∴，∠DAC＝60°．…（1分）在△ADF中，∵，∴DF2＝DA2+AF2﹣2DA•AF•cos∠DAC＝9，．…∵DF2+AF2＝9+3＝DA2，∴DF⊥AC，即D'F⊥AC．…又在△ABF中，BF2＝AB2+AF2﹣2AB•AF•cos∠CAB＝21，…∴在△D'FB中，，∴BF⊥D'F，…又∵AC∩FB＝F，∴D'F⊥平面ABC．∴D'F⊥BC．…（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE⊥AC于O，并延长交AB于E．沿着对角线AC翻折后，由（Ⅰ）可知，OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），E（1，0，0），， (7)）k AB＝﹣1平面AD'F，∴为平面AD'F的一个法向量．…设平面BD'F的法向量为＝（x，y，z），∵F（0，t，0），∴，由得取y＝3，则，∴．…∴，即，∴．∴当时，二面角A﹣D'F﹣B的大小是．…19．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．20．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a 的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝e﹣x+x，则f′（x）＝﹣+1．令f'（x）＝0，得x＝0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x＝0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）＝1f（x）的最小值为1．（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0（*）令g（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1，则①若a≥﹣2，由（1）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0．∴（*）式成立．②若a＜﹣2，令，则∴函数ϕ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由于ϕ（0）＝2+a＜0，．故∃x0∈（0，﹣a），使得ϕ（x0）＝0，则当0＜x＜x0时，ϕ（x）＜ϕ（x0）＝0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减，∴g（x0）＜g（0）＝0，即（*）式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．21．如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2＝1，A（1，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n（A），P n（B），P n（C）．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，P1（B）＝，P1（C）＝（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；（2）掷骰子n次时，若以x轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；（3）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n．，其中a n+b n+c n＝1．证明：数列{b n ﹣}是等比数列，并求a2020．【分析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；（2）随机变量X4的可能取值为1，﹣，结合（1）运用概率乘法公式，可得随机变量的分布列和期望；（3）易得b n＝c n，即b n﹣1＝c n﹣1，n≥2，由条件推得2b n+b n﹣1＝1，由构造等比数列，可得b n＝+•（﹣）n﹣1，即可得到所求值．解：（1）P2（A）＝•+•＝，P2（B）＝•＝，P2（C）＝•＝，P3（A）＝••+••＝，P3（B）＝（+）•＝，P3（C）＝（+）•＝；（2）随机变量X4的可能取值为1，﹣，由（1）可得P（x4＝1）＝（P3（B）+P3（C））•＝（+）•＝，P（x4＝﹣）＝（P3（A）+P3（C））•+（P3（A）+P3（B））•＝，则X4的分布列为x41﹣PE（X4）＝1•+（﹣）•＝；（3）证明：易得b n＝c n，即b n﹣1＝c n﹣1，n≥2，n≥2时，b n＝（a n﹣1+c n﹣1）＝（a n﹣1+b n﹣1），又a n﹣1+b n﹣1+c n﹣1＝1，可得2b n+b n﹣1＝1，由b n﹣＝﹣b n﹣1+﹣＝﹣（b n﹣1﹣），可得数列{b n﹣}是首项为，公比为﹣的等比数列，则b n﹣＝•（﹣）n﹣1，即b n＝+•（﹣）n﹣1，又a n＝1﹣b n＝1﹣2[+•（﹣）n﹣1]＝[1﹣（﹣）n﹣1]，故a2020＝[1+（）2019]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q 两点，求|PQ|的值．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2＝1，∴C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∴圆心到直线的距离d＝＝，∴|PQ|＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【分析】（Ⅰ）当b＝1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．解：（Ⅰ）由题意，当b＝1时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|＝，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）＝2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）＝2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|＝|b2+1|＝b2+1；g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|＝≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|＝|a2+c2+2b2|＝a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）＝a2+c2+b2﹣1＝（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac﹣1＝0，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。
2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题
2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第一次适应性考试（一模）数学（理）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知3,4a b ==，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE 的内切圆内部的概率为A.(50349π- B.449πC.(25349π- D.249π 4. 已知()31sin 2,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则()sin αβ+的值为B.312-D.312+ 5.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,x y 的值满足A. 2xy =B. 19y x -=C. 169xy =D. 109y x -=6.已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为2n a an bn c =++(,,a b c 为实数，n N *∈)，且()201720182019,,0k k k a a a k +++>恒为等差数列；命题q ：数列{}n b 的通项公式为()11,n bn aq q n N -*=>∈时，数列{}n b 为递增数列.若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为 A. (),0-∞B. [)0,+∞C. ()0,+∞D. (],0-∞7.已知函数()2,24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分()412f x dx ⎰的值为 A. 948π+ B. 144π+ C. 12π+ D. 324π+8.函数()()t a n0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<>⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A.B.C.4D.210.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线225y x =与双曲线C 交于纵坐标为1的点M ，直线1F M 与抛物线的准线交于N ，若112955F N F M =，则双曲线的方程为 A.22145x y -= B.221169x y -= C.22154x y -= D.221916x y -= 11.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()222222401111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________. 15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r 为_________.16.在各项均为正数的等比数列{}3148,n a a a a -=中，当取最小值时，则数列{}2n na 的前n 项和为_________.三、解答题(共70分。
长郡中学2019届高考模拟卷理数答案
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2019届湖南省长郡中学高考模拟押题试卷(一)数学(理科)含答案
绝密★启封前2019届湖南省长郡中学高考模拟押题试卷（一）数学（理）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知全集U R =，集合{|14}A x x x =<->或，{|23}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为（ ） A ．{|24}x x -≤< B ．{|34}x x x ≤≥或 C ．{|21}x x -≤≤- D ．{|13}x x -≤≤2.（2019·河南九校联考）已知复数z 的共轭复数112iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．35 B ．35i C ．35- D ．35i -3.（2019·海口市调研）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则84S S =（ ） A ．12 B ．1716C ．2D ．17 4.（2019·贵州省适应性考试）已知α，β表示两个不同平面，a ，b 表示两条不同直线.对于下列两个命题：①若b α⊂，a α⊄，则“//a b ”是“//a α”的充分不必要条件； ②若a α⊂，b α⊂，则“//αβ”是“//a β且//b β”的充要条件. 判断正确的是（ ）A ．①，②都是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①，②都是假命题5.（2019·菏泽市模拟）若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 6.执行如图所示的算法框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱8.（2019·唐山市二模）已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<9.（2019·合肥市质检）已知实数x ，y 满足103101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，若z kx y =-的最小值为5-，则实数k 的值为（ ）A ．3-B ．3或5-C ．3-或5-D ．3± 10.（2019·甘肃省二诊）设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实数根； ③函数()f x 可能是R 上的偶函数； ④方程()0f x =最多有两个实根. 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①②④11.（2019·银川市质检）已知抛物线C ：216y x =，焦点为F ，直线l ：1x =-，点A l ∈，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若5FA FB =，则FA =（ ）A ．．35 C ．．40 12.已知'()f x 是函数()()f x x R ∈的导数，满足'()()f x f x =，且(0)2f =，设函数3()()ln ()g x f x f x =-的一个零点为0x ，则以下正确的是（ ）A ．0(0,1)x ∈B ．0(1,2)x ∈C ．0(2,3)x ∈D ．0(3,4)x ∈第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.（2019·武汉市调研）将函数()sin f x x x =-的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小正值为 ．14.（2019·郑州一预）抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线1bx ay +=的斜率25k ≥-的概率是 ．15.（2019·长沙市模拟）M 、N 分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v ⋅的最小值为 ．16.已知数列{}n a 中，对任意的*n N ∈若满足123n n n n a a a a S ++++++=（S 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中S 为4阶公和；若满足12n n n a a a T ++⋅⋅=（T 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中T 为3阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量3sin,14x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 44x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x m n =⋅. （1）求()f x 的最大值，并求此时x 的值；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足31()2f B +=，2a =，3c =，求sin A 的值. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA PB =，O 为AB 的中点，OD PC ⊥.（1）求证：OC PD ⊥；（2）若PD 与平面PAB 所成的角为30，求二面角D PC B --的余弦值.19.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀非优秀总计男生 15 35 50女生 30 40 70 总计4575120（1）试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++20()P K k ≥0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.635（2）为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和数学期望.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(22,2)，且离心率为22，1F ，2F 是椭圆E 的左，右焦点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 是椭圆上E 关于y 轴对称两点（A ，B 不是长轴的端点），点P 是椭圆E 上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，求证：直线1MF 与直线2MF 的交点G 在定圆上.21.设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--. （1）如果存在12,[0,2]x x ∈使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （2）如果对于任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[0,2)θπ∈.（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin 6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.23.选修4-5：不等式选讲 设α，β，γ均为实数.（1）证明：cos()cos sin αβαβ+≤+，sin()cos cos αβαβ+≤+. （2）若0αβγ++=.证明：cos cos cos 1αββ++≥.理科数学一、选择题1-5: DABBC 6-10: CADDA 11、12：BA二、填空题13.3π14. 16 15. 4 16. 2520-三、解答题17.解析：（1）2()cos cos 444x x x f x =+1cos2222xx+=+1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=+，k Z ∈，即243x k ππ=+，k Z ∈时， ()f x 的最大值为32.（2）∵11()sin 2622B f B π⎛⎫=++=⎪⎝⎭，∴sin 26B π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∵0B π<<，∴26263B πππ<+<，∴263B ππ+=， ∴3B π=，在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-14922372=+-⨯⨯⨯=，∴b =ABC ∆中，由正弦定理得， sin sin a bA B=，∴2sin 7A ==.18.解析：（1）证明：连接OP （图略），因PA PB =，O 为AB 的中点，故OP AB ⊥. ∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， ∴OP ⊥平面ABCD ， ∴OP OD ⊥，OP OC ⊥，∵OD PC ⊥，∴OD ⊥平面OPC ， ∴OD OC ⊥，又∵OP OC ⊥，故OC ⊥平面OPD ， 所以OC PD ⊥.（2）取CD 的中点E ，连接OE ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.不妨设1AD =，则2AB =，所以(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，(1,1,0)D -，P ，从而(1,1,PC =，(0,2,0)CD =-.设平面PCD 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1100PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11112020x y z y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，可取1(2,0,1)n =.同理，可取平面PCB 的一个法向量为2(0,2,1)n =--. 于是1212121cos ,3n n n n n n ⋅<>==-⋅，所以二面角D PC B --的余弦值为13-.19.解析：（1）因为2K 的观测值2120(15403530)45755070k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 2.057 2.706≈<，所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关.（2）用分层抽样的方法抽取时抽取比例是624515=， 则抽取女生230415⨯=人，抽取男生215215⨯=人.依题意，X 可能的取值为0，1，2.242662(0)155C P X C ====；1142268(1)15C C P X C ===；22261(2)15C P X C ===.X 的分布列为：X0 12X的数学期望为：()012515153E X =⨯+⨯+⨯=.20.解析：（1）由条件得4a =，b c ==所以椭圆E 的方程为221168x y +=. （2）设00(,)B x y ，11(,)P x y ，则00(,)A x y -， 直线PA 的方程为101110()y y y y x x x x --=-+，令0x =，得100110x y x y y x x +=+，故1001100,x y x y M x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得1001100,x y x y N x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，10011102x y x y F M x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，1001210x y x y F N x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以，100112102x y x y F M F N x x ⎛⎫+⋅= ⎪+⎝⎭100110x y x y x x ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭22221001108x y x y x x -=-+- 222201102210818116168x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+- 880=-+=，所以，12F M F N ⊥，所以直线1F M 与直线2F N 交于点G 在以12F F 为直径的圆上.21.解析：（1）存在12,[0,2]x x ∈使得12()()g x g x M -≥成立，等价于12max [()()]g x g x M -≥.由32()3g x x x =--，得22'()3233g x x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭.令'()0g x >得0x <，或23x >， 又[0,2]x ∈，所以()g x 在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 285()327g x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭， max ()(2)1g x g ==.故12max max min [()()]()()g x g x g x g x -=-11227M =≥， 则满足条件的最大整数4M =.（2）对于任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，等价于在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上， 函数min max ()()f x g x ≥.由（1）可知在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()g x 的最大值为(2)1g =. 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()ln 1af x x x x =+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立.设2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--，可知'()h x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，又'(1)0h =，所以当12x <<时，'()0h x <；当112x <<时，'()0h x >. 即函数2()ln h x x x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在区间(1,2)上单调递减， 所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.22.解析：（1）将222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=，得：22(2)1x y -+=.（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线. 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>.将6πθ=代入1C ：230ρ-+=，解得ρ=同理，将76πθ=代入1C 得，ρ=.故1C ，2C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭. 23.证明：（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-cos cos sin sin αβαβ≤+cos sin αβ≤+；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin cos cos sin αβαβ≤+cos cos αβ≤+.（2）由（1）知，cos(())cos sin()αβγαβγ++≤++cos cos cos αβγ≤++，而0αβγ++=，故cos cos cos 1αββ++≥.。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题含详解
2019年4月长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三数学下学期第一次适应性考试(一模)试题理(含参考答案)
2019届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题 理本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知3,4a b ==，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE 的内切圆内部的概率为A.(50349π- B.449πC.(25349π- D.249π 4. 已知()31sin 2,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则()sin αβ+的值为A.12B.312-C.12D.312+ 5.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,x y 的值满足A. 2xy =B. 19y x -=C. 169xy =D. 109y x -=6.已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为2n a an bn c =++(,,a b c 为实数，n N *∈)，且()201720182019,,0k k ka a ak +++>恒为等差数列；命题q ：数列{}n b 的通项公式为()11,n bn aq q n N -*=>∈时，数列{}n b 为递增数列.若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为A. (),0-∞B. [)0,+∞C. ()0,+∞D. (],0-∞7.已知函数()2,24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分()412f x dx ⎰的值为 A. 948π+ B. 144π+ C. 12π+ D. 324π+8.函数()()t an 0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<>⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB 为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A.B.C.4D.210.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线225y x =与双曲线C 交于纵坐标为1的点M ，直线1F M 与抛物线的准线交于N ，若112955F N F M =，则双曲线的方程为A.22145x y -= B.221169x y -= C.22154x y -= D.221916x y -= 11.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值 A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()22222241111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________. 15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r 为_________.16.在各项均为正数的等比数列{}3148,n a a a a -=中，当取最小值时，则数列{}2n na 的前n项和为_________.三、解答题(共70分。
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理科数学试题参考答案!长郡版"!!"
三#解答题
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二#填空题
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