北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题3：三角函数
2013北京西城区高考一模文数答案试卷
北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．A；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0；10．74-；11．12x=-，2；12．80%；13．24；14．5，722n+．注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得3π()04f=，………………1分即3π3πsin cos044a+==， (3)分解得1a=． (5)分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cosf x x x=+．………………6分22()[()]2sing x f x x=-22(sin cos)2sinx x x=+-sin2cos2x x=+ (8)分π)4x=+．………………10分由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，得 3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ． (12)分所以 ()g x 的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k -+，k ∈Z ． (13)分16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中， 因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………2分 又因为 AC FB ⊥，所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………6分 在等腰梯形ABCD 中可得 1==DC CB ，所以1=FC ．所以△BCD 的面积为 43=S ． (7)分所以四面体FBCD的体积为：13F BCD V S FC -=⋅=． ………………9分（Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA // 平面FDM ，证明如下： ………………10分连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ………………11分所以 EA //MN ． ………………12分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………………13分所以 EA //平面FDM ．所以线段AC 上存在点M ，使得EA //平面FDM 成立． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， ………………1分则41)12531(1)(=+-=A P ． 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41． ………………4分（Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． ………………6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． ………………10分其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ………………12分故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==． (13)分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 ()e xf x a '=+． ………………2分① 当0a =时，()e xf x =，故()f x 在R 上单调递增．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………4分② 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,ln())a -∞-；单调增区间为(ln(),)a -+∞．从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a -=-+-；没有极大值． ………………6分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax g x a x x -'=-=． ………………8分③ 当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． (9)分④ 当0a <时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．当10a -≤<时，ln()0a -≤，此时()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当1a <-时，ln()0a ->，此时()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,1)-∞-． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ………………1分将其代入22143x y +=，整理得2222(43)84120k x k x k +++-=． ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以2122843k x x k -+=+． ………………4分故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+， ………………6分解得12k =±． ………………7分（Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得22243(,)4343k k G k k -++．8分因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dkk k k x k +⨯=---+，解得 2243D k x k -=+， 即 22(,0)43k D k -+． (10)分因为 △GFD ∽△OED ， 所以 12||||S S GD OD =⇔=． ………………11分所以 2243k k -=+， (12)分整理得 2890k +=． ………………13分因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． (14)分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||i i i d A B a b ==-∑，得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=，所以 (,)7d A B =． ………………3分（Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，所以 0∃>λ，使得 ()ii i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数．………………6分所以11(,)(,)||||nni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． ………………8分（Ⅲ）解法一：201(,)||i i i d A B b a ==-∑．设(1,2,,20)i i b a i -=中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,20i m m =++时，0i i b a -<．所以 201(,)||i i i d A B b a ==-∑121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)13d I A d I B ==，所以202011(1)(1)iii i a b ==-=-∑∑， 整理得202011i ii i a b===∑∑．所以 2012121(,)||2[()]i i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑．……………10分因为1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++(1320)(20)113m m ≤+--⨯=+； 又121m a a a m m +++≥⨯=，所以1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[(13)]26m m ≤+-=．即 (,)26d A B ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+． 证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤， 所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以202011(,)|||(1)(1)|i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑201(|1||1|)i i i b a =≤-+-∑202011|1||1|26i i i i a b ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)26d A B ≤． ……………12分 对于(1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分。
2013年北京市朝阳区高三一模数学文科含答案-(1)
2013年北京市朝阳区高三一模数学文科含答案-(1)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类） 2013.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12B ．12-C ．1i 2- D . 1i 2 （2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则M N =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]--（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC，则实数m 的 值为A ．15B ．3-C ．35-D ．17- （4）已知命题p ：x ∀∈R ，210xx +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=则下列判断正确的是A ．p⌝是假命题 B ．q是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 （5）若直线y x m =+与圆22420xy x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(22,22B ．()4,0-C ．(22,22--+D . ()0,4（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为原点的抛物线的标准方程是 .（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .（11） 在等比数列{}na 中，32420aa a -=，则3a = ，若{}nb 为等差数列，且33ba =，则数列{}nb 的前5项和等于 .（12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A = ，若60B =，则sin C = .（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数231()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16） （本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一甲城2 4 57109 7 35 63 1 5 8 8乙天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率． (注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为数据nx x x ,,,21的平均数.)（17） （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD，AB AD⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC上的任意一点.（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．PDA BCFE（18） （本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x xa x a x=-++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.（19） （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ,离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.（20）（本小题满分13分）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=，设1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111xx =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b-≤±≤+都成立.)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2013.4一、选择题：题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案A CB D D A D B 二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答案28y x=202；1017；1314[)0,1 []5,5-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）31cos 1()22x f x x ωω-=-+ ……………………………………………1分31cos 2x x ωω=+sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω= (5)分于是()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z.……………………………8分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天，中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为3．………………6分,5（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78）， （75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分 （17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点，所以 EF BC ．因为BCAD，所以EF AD．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PDA BCFE所以EF平面PAD． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC.所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD⊥．又因为AB AD ⊥，PA AB A=，所以AD ⊥平面PAB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB．……………………………………………………8分（Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BCAD，1AB BC ==，2AD =．由平面几何知识可得 CD AC ⊥． 由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PAAC A=，所以CD ⊥平面PAC ． 而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CDPC C=,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，266,PC PF ==．可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 26．……………14分 （18）（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x=-++可知，函数定义域为{}0x x >，且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12a f a '=-++=， 解得2a =.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22a x=.（1）当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. （2）当012a<<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >.则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a .（3）当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（4）当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a+∞. 令()0f x '<，得12a x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a . ……………………………………13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）依题得222,32.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a=，21b=.所以椭圆C的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分（Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE，AF的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯-- 21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857k k k S x x τ+==-=+++++++++=∑.………3分（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++=121010(110)552x x x ++++==.……………………………7分（Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131Sτ≤，对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131Sτ=，所以()Sτ的最大值为131. ……………………………………………………13分注：使得()Sτ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。
2013年北京高考语文、数学(文史类、理工类)、英语试题及答案解析汇总word版
2013年北京高考语文、数学（文史类、理工类）、英语、文综、理综试题及答案解析汇总2013年普通高等学校招生全国统一考试语文 (北京卷)本试卷共8页，150分。
考试时长150分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共5小题。
每小题3分，共15分。
1.下列词语，字形与加点字的注音全部正确的一项是（）A．养殖．业与日剧．增便笺．（jiān）独辟蹊．（xī）径B．醉醺．醺席不暇．暖泥淖．（nào）向隅．（yú）而泣C．滥．摊子自由竞．争卷帙．（dié）运筹帷幄．（wò）D．颤巍．巍信笔涂鸭．蠹．（dù）虫湮．（yīn）没无闻2.下列语句中，没有语病的一项是（）A．近几年，食品药品在安全方面出现的问题被媒体曝光，不同职能部门各管一段的监管模式也因此受到了社会的质疑。
B.第九届中国国际园林博览会在北京永定河西岸盛大开幕，对于513公顷的园博园，为了方便游客，专门开设了电瓶车专线。
C．据世界黄金协会分析，2013年春节前后中国黄金需求高涨的原因，主要由于消费者对中国经济前景充满信心所致。
D．日前，交通管理部门就媒体对酒驾事故的连续报道做出了积极回应，表示要进一步加大对交通违法行为的查处。
3.依次填入句中横线处的词语，正确的一项是（）①文学艺术创造来源于生活，作家塑造的人物形象，往往是以现实生活中的真实人物为创作而形成的。
②一辆运载盐酸的货车在高速公路上发生侧翻事故，交通、消防部门的人员迅速赶赴出事现场，并做出了紧急。
③保险丝是电路安全的报警器，当电路里的电流超过允许值时，保险丝就会，从而切断电源，保障线路和电器的安全。
A．原形处置融化 B.原型处治融化C．原型处置熔化 D.原形处治熔化4.给下面语句排序，衔接恰当的一项是（）①因为较弱的电磁辐射，也会对人的神经系统与心血管系统产生一定的干扰。
②人的大脑和神经会产生微弱的电磁波，当周围电器发出比它强数百万倍的电磁波时，人的神经活动就会受到严重干扰。
【解析】北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U A B ð等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5}【答案】B解：因为{2,3}A B = ，所以(){1,4,5}U A B = ð，选B. （2）复数21i-等于 （A ）1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i +【答案】D 解：22(1)11(1)(1)i ii i i +==+-+-，选D.（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 【答案】C解：因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】A解：第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选A.（5）“2230x x -->成立”是“3x >成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B解：由2230x x -->得3x >或1x <-。
北京市西城区2013一摸文科数学习题和答案
北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U AB =ð（A ）{|01}x x <<（B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y =角=θ（A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种 （B ）72种（C ）84种（D ）96种5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A）6 （B）12+（C）12+ （D）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是 （A ）1(0,]4（B ）1[,)4+∞ （C ）1(0,]8（D ）1[,)8+∞8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是 （A ）线段 （B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为 ．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______． 12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =， 则圆O 的半径长为______；BP =______． 13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c at b c a b=⋅,}b cc a． （ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测． （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率； （Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3axg x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n nB b b b S =∈，定义1122(,,,)nnAB b a b a b a =---； 1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使A B B C λ=，则(,)(,)(d A B d B C d A C+=； （ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使A B B C λ=？说明理由；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230xy y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1+ 14．1，． 注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分 即ππsincos 04422a -=-=， ………………3分 解得1a =． ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- (7)分22(cos sin )2x x x =-+ ………………8分cos 22x x =+ ………………9分π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得 ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528． ………………5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=， 所以BC AC ⊥． ………………2分 又因为 AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD⊥，所以⊥FC 平面ABCD． ………………5分所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． (6)分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,,1)2222C A BDE --．所以)1,21,23(-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.x y z -+=⎨= 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|5||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n ， 所以BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0,10.22b a b tc =⎧-+=⎪⎩ 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ，………………13分即 002110⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且11()ax f x a x x -'=-=． ………………2分 ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a ；单调增区间为(,)a +∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+． ………………6分③ 当0a>时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分④ 当0a=时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． ()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞． ………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设(,0)F c -，则tan 60bc︒== ………………2分 将b = 代入 222a bc =+，解得2a c =． ………………3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c +=． ………………5分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． (7)分则2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243Dck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ (11)分222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7i i i d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由*5a ∈N ，得 51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||nni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． (6)分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BC λ=． ………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，则(,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=． 因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分 （Ⅲ）解法一：因为1(,)||ni i i d A B b a ==-∑，设(1,2,,)ii b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m=时0ii b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<．所以 1(,)||ni i i d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以11(1)(1)nniii i a b ==-=-∑∑， 整理得 11nniii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]ni i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑． (10)分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=， 所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤． ……………12分 对于(1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有A，nB S ∈，且(,)(,)d I A d I B p==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分 解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n ni i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)ni i i b a =≤-+-∑11|1||1|2n ni i i i a b p ===-+-=∑∑． (11)分上式等号成立的条件为1ia =，或1ib =，所以 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于(1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有A，nB S ∈，且(,)(,)d I A d I B p==，(,)2．d A B pd A B的最大值为2p．……………13分综上，(,)。
北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习 文科数学 Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类） 2013.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则M N =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]--（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=- ，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- （4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R，sin cos x x +=则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．(22 B ．()4,0-C．(22---+ D . ()0,4（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. C.203D. 8（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使00()(1)()63f x f x f x n +++++= ，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）以双曲线2213x y -=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .正视图侧视图俯视图（11） 在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，若{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7s i n b a B =，则s i n A = ，若60B =，则sin C = .（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值（14A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数21()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16） （本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率； （Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)（17） （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面A B C D ，且P A A C ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在， 写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．（18） （本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a 的值；甲城市2 4 57109 7 35 63 1 5 8 8乙城市PDABCFE（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.（19） （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2,0)A ,离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证:k k '⋅为定值.（20）（本小题满分13分）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ= ，设1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2013.4一、选择题：（注：两空的填空，第一空分，第二空分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()22x f x x ωω-=-+ ……………………………………………1分1cos 2x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分 于是()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z .……………………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分 （Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………6分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为： （29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43）， （53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78）， （75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点， 所以 EF BC ．因为BC AD ，所以EF AD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC . 所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，PA AB A = ，所以AD ⊥平面PAB ， 而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分 （Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.P DA BCFE在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥.由已知，AB AD ⊥，BC AD ，1AB BC ==，2AD =． 由平面几何知识可得 CD AC ⊥．由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PA AC A = ，所以CD ⊥平面PAC ． 而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CD PC C = ,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，PC PF ==可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为3．……………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >， 且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12af a '=-++=， 解得2a =.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22ax =.（1）当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.（2）当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >. 则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.（3）当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（4）当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a. ……………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题得222,22.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=---， 令3x =， 则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯-- 21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑.………3分（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++ =121010(110)552x x x ++++== . ……………………………7分 （Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤， 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分 注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。
北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题9圆锥曲线
【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013届北京东城区一模数学文科）已知点(2,1)A ,抛物线24y x =的焦点是F ,若抛物线上存在一点P ,使得PA PF +最小,则P 点的坐标为（ ）A ．(2,1)B ．(1,1)C ．1(,1)2D ．1(,1)42 ．（2013届北京丰台区一模文科）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该椭圆的离心率是 （ ）ABCD3 ．（2013届北京海滨一模文）抛物线24y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当FPM ∆为等边三角形时,其面积为 （ ）A．B ．4C ．6D．4 ．（2013届北京门头沟区一模文科数学）点P 是以12F F ，为焦点的椭圆上的一点,过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线,垂足为M 点,则点M 的轨迹是 （ ）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆5 ．（2013届北京大兴区一模文科）抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 （ ）A ．1B ．2C ．D ．46 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．47 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A B ．2 C ．115D ．3二、填空题9 ．（2013届北京大兴区一模文科）已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为32,实轴长为4,则双曲线的方程是_________10．（2013届北京西城区一模文科）抛物线22y x =的准线方程是______;该抛物线的焦点为F ,点00(,)M x y 在此抛物线上,且52MF =,则0x =______. 11．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O 则点M 到该抛物线焦点的距离为_______________。
北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则A B 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-俯视图7. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ．11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 . 13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．14. 将连续整数1,2,,25 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .A 1B 1CBD 1C 1ADE三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A BC D 中，12AA=AD=，E 是棱CD 上的一点． （Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ； （Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由． 17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：组别 分组 频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2b频率分布表频率频率分布直方图x（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t+=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在合计 ▓ ▓两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+ ，记其“特征值”为λ，求证： 1.n n λ+<北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1一、选择题：（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x xf x +=+- 111sin cos 222x x =+- …………………………………………2分1).242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分(Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分 则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x取得最小值…………………13分 （16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ………………………………………………………………2分 在矩形11A D DA 中，因为12AA=AD=，所以11AD A D ⊥．……………………4分 所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为E CD ∈，所以1B E ⊂面11A B CD ，由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B CD ， …………………………………………7分 所以11B E AD ⊥． …………………………………………………………………8分 （Ⅲ）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． ………………………9分 理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ． 因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点， 所以PM ∥11A B ，且1112PM A B =．……10分 又DE ∥11A B ，且1112DE A B =． 所以PM ∥DE ，且PM DE =， 所以四边形PMED 是平行四边形，所以DP ∥ME ．…………………………11分 又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． …………………………………………………………13分A 1B 1CBD 1C 1ADEPM此时，1112AP A A ==． …………………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,A B A C A D B C B D C D A X A Y ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY共15种情况．…………………………………………………………………………6分 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分 有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分 （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,ABA C A DB CB DC DX Y 共7种情况． …………………………………………………………………………11分 所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分 （18）（本小题满分13分）解：222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x '=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分 从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 设2()2h x ax x a =-+， （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得0x <<或x >；……………8分由()0f x '<，即()0h x <x <<．………………………9分 所以函数()f x的单调递增区间为1(0,a和1()a+∞，单调递减区间为11(,a a+． ……………………………………11分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F .所以83EF ==，解得2t =. ……………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . …………5分 设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++， 11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +. 所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++ , …………………………………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 22264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分 所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分 （Ⅱ）当3n =时，数表为7 1 4 5 8 2 3 6 9此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分当4n =时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分当5n =时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分 猜想“特征值”为1n n+. …………………………………………………………………7分 （Ⅲ）设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+所以2211n n n n n+<-+，从而1.n n λ+<…………………………………………13分13 1 5 9 10 14 2 6 7 11 15 3 4 8 12 1621 1 6 11 16 17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 510 15 20 25。
北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试(文史类)
4A.C . 一-D. -23. k =1 ”是直线x - y • k =0与圆x 2 ■ y 2 =1相交”的A .充分不必要条件 C.充分必要条件B.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图•若输入x = 3，则输出k 的值是B . 4C . 5 D.65.已知x 0 ,y 0，且2x ■ y = 1，则xy 的最大值是1 A.-4 C. 41B.-8 D. 86.已知三棱锥的底面是边长为 1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A.B. C.D .北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类）2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项•1.设集合 A={x0 vxc2}，集合 B ={x log 2 x >0}，则 AR B 等于A . tx|x ：：2? B. \x|x 0?C. ：x|0 ：：x ： 2?D.；x|V ：x 2：2•已知i 是虚数单位，若复数 （1 ai ）（2 i ）是纯虚数，则实数 a 等于俯视图a * + a x 丈 07.已知函数f （x ）=（ ' - ' （ aw R ）,若函数f （x ）在R 上有两个零点，则 a 的取2x —1,XA O值范围是D . 〔-1,08.在棱长为1的正方体ABCD - ABCQ ,中，R , P 2分别为线段AB , BD ,（不包括端点） 上的动点，且线段 P 1P 2平行于平面 A 1ADD 1，则四面体RP 2AB 的体积的最大值是A.—24第二部分（非选择题 共110分）、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上 9.已知数列1,a,9是等比数列，数列14^2,9是等差数列，则2 2 210.在=ABC 中，角A , B ,C 所对的边分别为 a , b , c ，且b c -a -bc ，则A= ___________x y -1 _0,11.若关于x , y 的不等式组 x -1 — 0,（ a 为常数）所表示的平面区域的面积等于 2,ax - y 1 _ 0则a 的值为 ____ .12. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为斤（-.、5,0），点P 在双曲线上，且线段 PF 1的中点坐标为（0, 2 ）,则此双曲线的方程是 __________ ，离心率是 —.13. 在直角三角形 ABC 中，.ACB =90 , AC 二BC = 2，点P 是斜边AB 上的一个三等T T T T分点，贝U CP CB CP CA 二 _______ .14. 将连续整数1,2,1山25填入如图所示的5行5列的表格中，使每B.------ 的值为b b 2行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 _______ ，最大值为 _________ .三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15. (本小题满分13分)x x 2 x已知函数 f(x)二 sin cos cos 1.2 2 2(I)求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间； (n)求函数f (x)在［―,二-］上的最小值.4 2 16. (本小题满分14分)若不存在，请说明理由. 17. (本小题满分13分)某中学举行了一次 “环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛. 为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 (得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计.请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表(I)写出a,b,x, y 的值;(n)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取 2名同学到 广场参加环保知识的志愿宣传活动 •(i)求所抽取的 2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；(ii) 求所抽取的 2名同学来自同一组的概率.在长方体 ABCD-A 1BQ 1D 1 中，AA=AD 二 2 , E 是棱 CD 上的一点? (I)求证: AD 1丄平面ABD ； (n)求证:B 1^ _ AD 1 ；(川)若E 是棱CD 的中点，在棱 AA 上是否存在点P ,使得DP //平面RAE ?若存在，求出线段 AP 的长; 组别分组 频数频率第1组 [50, 60) 8 0.16第2组 [60, 70) a 矚 第3组 [70, 80) 20 0.40 第4组 [80, 90) 矚 0.08 第5组[90, 100]2b合计A 1频率 频率分布直方图组距18. (本小题满分13分)1已知函数 f(x)二 a(x )—21 nx(a^ R).x(I)若a =2，求曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (H)求函数f(x)的单调区间.19. (本小题满分14分)相交于点B ，且当m=0时，EF =- 3(I)求椭圆C 的方程；(H)设点 A 的坐标为(-3,0)，直线AE , AF 与直线x = 3分别交于M , N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点 B ?并请说明理由 20. (本小题满分13分)将正整数1,2,3,4,111,n 2 ( n 一2)任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各a行和各列中的任意两个数 a,b ( a b )的比值一，称这些比值中的最小值为这个数表的b征值”.(I)当n =2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；(□)若a j 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数(1乞i 辽n , 1 < j < n )，且满足 l i (j -i -1)n ,i ：： j,a ii请分别写出n -3,4,5时数表的“特征值”，并由此归ji (n-i j -1)n, i 一 j,纳此类数表的“特征值”(不必证明)；(川)对于由正整数1,2,3,4jH,n 2排成的n 行n 列的任意数表，若某行(或列)中，存在两个数属于集合｛n 2 - n ，1,n 2 -n 2^|,n 2｝，记其“特征值”为■,求证:已知直线l : ^ my 1(m R )与椭圆2 2C 冷j 1t °相交于E ，F 两点，与x 轴北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类）2013.1、选择题：三、解答题： （15）（本小题满分13分）x x 1 COSX 彳 解：（I ） f （x ）二 sin cos 12 2 224244— 5 — 则函数f (x)单调减区间是[2k 二• ，2k 「： •] , k Z . ...... 9分44,/ 口7 二 (n )由一-x ，得 x..................................................... 11 分4 2 2 44t兀3兀5兀+1 则当x，即x 时，f (x)取得最小值^ . .......................... 13分42 42（16）（本小题满分14分）解：（I ）在长方体 ABCD-ABC^!^中，因为AB 丄面A 1D 1DA , 所以AB 丄AR ........................................................................ 2分在矩形A 1D 1 DA 中，因为AA=AD= 2，所以A0 — AD . .................................. 4分1 . 1 12分二—sin x — cosx __ 2 2 2、、2 二 1d /亠\......4分sin(x) 2 42f (x )白6分所以函数 I （x ）的最小正周期为 2二・ ...., 3 二ji5兀由 2kx 2k , k Z ，则 2kx _ 2k所以AU _面ABD .（n ）因为 E CD ，所以BE 面ABCD , 由（i ）可知， AD , _ 面 AB ,CD ,所以 B,E _ AD , . ..................................................(川)当点P 是棱AA 的中点时，有 DP //平面BjAE . ............................................. 9分 理由如下： 在AB 「取中点M ，连接PM,ME .1所以PM // AB ,，且PMA3 .……10分21 又 DE // AB ,，且 DEAB ,.所以 PM // DE ，且 PM 二 DE , 所以四边形PMED 是平行四边形，所以 DP // ME . ........................................ 11 分 又 DP 二面 BAE , ME 面 BAE , 所以DP //平面RAE .1此时，APA 1A ^1 . .................................................................................... 14 分2（17）（本小题满分13分）解：（I ）由题意可知， a =16, b = 0.04, x = 0.032, y = 0.004 . .............................. 4 分 (n) (i)由题意可知，第4组共有4人，记为A, B,C,D ，第5组共有2人，记为X ，丫 . 从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有ABACADB,CBDCD AXBXCBY ,CX ,CY ,DX ,DY ,XY共15种情况. ........................................................ 6分 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E , ............. 7分 有 AX, AY , BX,BY,CX,CY,DX ,DY,XY 共 9 种情况......... 8 分15 53 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率一 . ................ 10分5因为p 是棱AA ,的中点，M 是中点, 13分(ii)设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有/BACA^BCBDCPXY共7种情况. .......................................................... 11分 所以P(F)-15答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 7.......................................... 13分15(18) (本小题满分13分)21 x2 ax 2x a'八解: f (x) =a(1 牙)2, ........................................................... 1 分XX x令 h(x) =ax -2x a .xx x曲线y 二f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 「(1) = 2 . .................................... 2分从而曲线 y 二f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 y _0 =2(x -1), 即 2x -y -2 =0 ..................................................................................... 4 分(n)函数 f (x)的定义域为(0, •：：).设 h(x) = ax 2 -2x - a ,(1 )当 a _ 0 时，h(x) =ax 2 -2x ■ a ：：： 0 在(0, •：：)上恒成立，则f (x) ：：：0在(0,二)上恒成立，此时f(x)在(0,=)上单调递减. ............... 6分(2)当 a 0 时，厶=4 —4a 2, (i)若 0 ::: a < 1 ,1 _ jrz a 21+由 f(x) 0，即 h(x) 0，得 0 . x或 x; ........ 8 分a a1 — J 1 _a 21 + J 1 _ a 2由 f (x) ::： 0 ，即 h (x) ::: 0，得 ------- ：:：x --------------- . ................................. 9 分aa1 _ J 1 _a2 1 + a 2所以函数f(x)的单调递增区间为(0, — )和(一 ，•：：),a a1 _ 訥 _a2 1 + J 1 _a 2单调递减区间为(一 ，一 )......................................... 11分a a(ii)若a_1 , h(x) _0在(0,=)上恒成立，则f(x)_0在(0,匸：)上恒成立，此时f(x)11 2(I)当 a =2 时，函数 f(x)=2(x)-21 nx , f(1)=0, f(x)=2(1 2) -在(0,匸：)上单调递增.13分（19）（本小题满分14分）解：（I）当m =0时，直线l的方程为x =1，设点E在x轴上方,4X/2T 8所以EF|=-3-=3,解得t=2.2 2所以椭圆C的方程为—y 1 .9 2(n)由92 2x y ’-- + --- =1 2 22，得(2m2+9)y2x = my 14my-16 二0，显然m R .4m -16设E(x1，y1),F(x2，y2),则y1 y22m29片=m% 1, x2二my2 1.又直线AE的方程为y二-^^（x 3）,论+3y厂莎（x+3），解得M（3,电）,x +3x =3同理得N（3,-^建）.x2+3所以BM =(2,-^), BN =(2,-6y^), ................................................................................... 9 分x13 x23又因为BM BN =(2,-^)⑵-6^)咅+3 x2+3=4 . 36畑=4 . 36 心(洛+3)(X2+3) (m% +4)嘶+4)_ 4(my「4)( my? 4) 36y』2— 2m yy 4m(y「y?) 16_ -16(4m2 36) -16 4m2 16 4(2m2 9)-32m2+16(2m2+9)0,2 2 2 -64m -576 -64m 128m 576 n ---------------------------------------------- =0 .所以B^ _ BN ,所以以MN 为直径的圆过点 B . （20）（本小题满分13分）证明：（I ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能， 2,3或2,4或3,4.得到数表的不同特征值是 （n ）当n = 3时，数表为此时，数表的“特征值”为此时，数表的“特征值”为此时，数表的“特征值”为猜想“特征值”为na n 2（川）设a,b （ a b ）为该行（或列）中最大的两个数，则 厂b n- n+1n 1 _ n 3 -(n 3 1)— 2 n n(n _n 1)13分 14分当n = 4时,数表为 13 7 4 114 11 8 5 2 15 12 9 6 3 16当n =5时，数表为 211 6 11 16 1722 2 7 12 1318 23 3 8 914 19 24 4 5 10 15 20 25 因为二 n13分所以An 1 :::-- ，从而，：:：n n0,沁园春•雪< 毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
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【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题1：集合一、选择题1 ．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知集合}12|{},1|{>=<=x x N x x M,则MN = （ ）A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x2 ．（2013届北京东城区一模数学文科）已知全集{1,2,3,4}U =,集合{1,2}A =,那么集合U A ð为 （ ）A ．{3}B ．{3,4}C ．{1,2}D ．{2,3}3 ．（2013届北京丰台区一模文科）若集合A={sin ,}yy x x R =∈,B={-2,-1,0,1,2},则集合(R A ð)B 等于（ ）A ．{-2,-1}B ．{-2,-1,0,1,2}C ．{-2,-1,2}D ．{2,2}-4 ．（2013届北京海滨一模文）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N | N | ,则A B = （ ）A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{4,5,6}D ．{3,4,5,6}5 ．（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知集合{}24A x x=≤,{}1B x x =<,则集合B A 等于（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}1x x ≥C ．{}2x x ≤D ．R {}-2x x ≥6 ．（2013届北京大兴区一模文科）设集合2{|1}=>A x x ,2{|log 0|}=>B x x ,则ÇA B 等于（ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．{|11}，或x x x <-> 7 ．（2013届北京西城区一模文科）已知全集{|||5}U x x =∈<Z ,集合{2,1,3,4}A =-,{0,2,4}B =,那么U AB =ð（ ）A ．{2,1,4}-B ．{2,1,3}-C ．{0,2}D ．{2,1,3,4}-8 ．（2013届房山区一模文科数学）已知全集U =R ,集合{|(3)0}M x x x =->,则C M R （ ）A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(,3]-∞D ．(,0)(3,)-∞+∞9 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）设集合{}1>=x x P ,{}02>-=x x x Q ,则下列结论中正确的是A.Q P =B.R =⋃Q PC.Q P ⊆D.P Q ⊆10．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设集合{}4,3,2,1=U，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ）A ．{}2,1B ．{}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,111．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论：①[]20133∈；② []22-∈；③[][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈” 其中，正确结论的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设集合{02}A xx =<<，集合2{log 0}B x x =>，则A B 等于（ ）A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<13．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U AB ð等于（ ）A ．{2,3}B ．{1,4,5}C ．{4,5}D ．{1,5}14．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为 （ ）A ．1B ．3C ．5D ．715．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知集合{}24A x x=<，{}0,1,2B =，则A B = （ ）A ．φB ．{}0C ．{}0,1D ．{}0,1,216．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．1(,1)(0,)2-∞-D ．1(,1)(,1)2-∞- 17．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））已知集合{1,2,3},{|14}M N x x ==<<，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题1：集合参考答案 一、选择题 1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. A 7. B; 8. A 9. C 10. 【答案】B解：因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}U A =，ð,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.11. 【答案】C解：因为201340253=⨯+，所以[]20133∈，①正确。
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【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题3：三角函数一、选择题1 ．（2013届北京门头沟区一模文科数学）为得到函数sin (π-2)y x =的图象,可以将函数πsin (2)3y x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位2 ．（2013届北京门头沟区一模文科数学）若△ABC 的内角A ． B ．C 所对的边a 、b 、c 满足422=-+c b a )(,且C =60°,则ab 的值为 （ ）A ．348-B ．1C ．34D ．323 ．（2013届北京大兴区一模文科）函数()f x =（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增,在π(0,)2上递减 C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减,在π(0,)2上递增4 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）在ABC∆中,内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,,若C c B b A a sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定5 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+6 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则下面结论中正确的是 （ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的值域是[ 二、填空题7 ．（2013届北京市延庆县一模数学文）在ABC ∆中,c b a ,,依次是角C B A ,,的对边,且c b <.若6,32,2π===A c a ,则角=C _______.8 ．（2013届北京东城区一模数学文科）函数()sin()3f x x π=-的图象为C ,有如下结论:①图象C 关于直线56x π=对称;②图象C 关于点4(,0)3π对称;③函数)(x f 在区间5[,]36ππ内是增函数,其中正确的结论序号是____.(写出所有正确结论的序号)9 ．（2013届北京丰台区一模文科）若3cos ,tan 05x x =<,则sin x =________.10．（2013届北京海滨一模文）在ABC ∆中,若4,2,a b ==1cos 4A =,则______.c =11．（2013届北京大兴区一模文科）函数f x x x()s i nc o s =的最小正周期是________________12．（2013届北京西城区一模文科）在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边边长分别为a ,b ,c ,且cos 3cos 4A bB a ==.若10c =,则△ABC 的面积是______. 13．（2013届房山区一模文科数学）在△ABC 中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c ,24A a c π==,,则角C 的大小为____.14．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知32sin =α,则()απ2cos -的值等于_______________.15．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=c = ．16．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在ABC △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =17．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ．18．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）若3sin 5α=-，且tan 0α>,则cos α= ．19．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知ABC ∆中，，BC=1，，则AC 等于______.20．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）tan 225 的值为________. 21．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知函数π()sin()6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．22．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））在ABC ∆中，角CB A ,,所对的边分别为c b a ,,，,1,3,3===b a A π则=c ，ABC ∆的面积等于 . 三、解答题23．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期和单调递增区间;(Ⅱ)若]6,0[π∈x ,求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值. 24．（2013届北京东城区一模数学文科）在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin cos b A B =. (Ⅰ)求角B ;(Ⅱ)若b =,求ac 的最大值.25．（2013届北京丰台区一模文科）已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+-(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和单调递增区间;(Ⅱ)求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.26．（2013届北京海滨一模文）已知函数2()2cos )f x x x =--.(Ⅰ)求π()3f 的值和()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间ππ[,]63-上的最大值和最小值.27．（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知函数)-2π(cos cos sin )(2x x x x f +=. (Ⅰ)求)3π(f 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及值域.28．（2013届北京大兴区一模文科）在∆A B C 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5=A ,π4B =,b =.(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积.29．（2013届北京西城区一模文科）已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4. (Ⅰ)求实数a 的值;(Ⅱ)设22()[()]2sin g x f x x =-,求()g x 的单调递增区间.30．（2013届房山区一模文科数学）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.31．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知函数()())2,0,0(sin πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示.(Ⅰ)求函数()x f 的解析式; (Ⅱ)求函数())44cos(2ππ++=x x f y ])32,6[(--∈x 的最大值和最小值.32．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．33．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本小题满分13分）已知函数()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.34．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数2()sin cos cos 1222x x xf x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.35．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知函数2()cos cos f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值．36．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅ 的值.37．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.（I ） 求角A 的大小；（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.38．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．39．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos 0B B +=． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b =，5a c +=，求△ABC 的面积．40．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本小题满分13分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题3：三角函数参考答案一、选择题 1. B 2. C 3. D 4. B 5. 【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。