大学概率论考点总复习
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。
以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。
2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。
常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。
常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。
五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。
2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结大学概率论是高等数学中的重要分支之一，它研究的是随机现象和随机事件的规律，是研究不确定性的数学理论。
本文将对大学概率论的知识点进行总结。
1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0和1之间的实数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
事件的概率越大，其发生的可能性越高。
2. 随机变量与概率分布随机变量是指一种数值上具有不确定性的变量，它的取值由随机试验的结果决定。
概率分布是随机变量所有取值和其相应概率的分布关系，可以用分布函数、概率密度函数或概率质量函数来进行描述。
3. 离散型随机变量离散型随机变量的取值为有限个或可数个，其概率分布可以用概率分布列来表示。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。
4. 连续型随机变量连续型随机变量的取值为连续的实数集合，其概率分布可以用概率密度函数来表示。
常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。
5. 二维随机变量与联合分布二维随机变量是指具有两个未知数的随机变量，其概率分布可以用联合分布函数或联合概率密度函数来描述。
联合分布函数可以用来计算二维随机变量的概率。
6. 随机变量的独立性两个随机变量的独立性是指它们的联合分布等于其边缘分布的乘积，即P(X,Y)=P(X)P(Y)。
独立性是概率论中重要的概念，可以用来简化计算过程。
7. 条件概率和贝叶斯定理条件概率是指在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理是利用条件概率计算事件的概率的一种重要方法，常用于统计学和机器学习中。
8. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征是对其概率分布进行度量的方式，常见的数字特征有数学期望、方差、标准差等。
数学期望是随机变量取值的平均值，方差是随机变量取值与均值之间的离散程度的平均值。
9. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数增加，事件发生的频率会趋近于其概率。
中心极限定理是指在一定条件下，大量随机变量的和服从近似于正态分布。
大学概率论知识点归纳总结
大学概率论知识点归纳总结概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件的发生规律和概率的计算方法。
作为大学数学课程中的一门核心内容，概率论具有广泛的应用领域，如统计学、金融、物理学等。
本文将对大学概率论的知识点进行归纳总结，以帮助读者系统地理解和掌握这一学科。
一、概率的基本概念及性质1.1 随机试验和样本空间在概率论中，随机试验是指具有不确定性的实验，样本空间是指所有可能结果的集合。
1.2 事件和事件的关系事件是样本空间的子集，包含了几个样本点。
事件之间有包含关系、互斥关系等。
1.3 概率的定义与性质概率是描述某个事件发生可能性大小的数值，它具有非负性、规范性、有限可加性等性质。
二、概率的计算方法2.1 古典概型古典概型是指各个基本事件发生的可能性相等的情况，如掷骰子、扑克牌等。
2.2 几何概型和计数原理几何概型是指基于几何图形的概率计算问题，计数原理用于计算可行结果的数量。
2.3 频率与概率的关系频率是通过实验统计得到的事件发生的相对次数，当试验次数增多时，频率趋于概率。
2.4 条件概率与乘法定理条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，乘法定理用于计算条件概率。
2.5 独立性与乘法定理的应用两个事件的独立性意味着其相互不影响，乘法定理可用于计算独立事件联合发生的概率。
三、随机变量及其分布3.1 随机变量的概念随机变量是指具有随机性的数值变量，可以是离散型或连续型。
3.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量只取有限或可列个值，其分布由概率质量函数描述，如二项分布、泊松分布等。
3.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量可取任意实数值，其分布由概率密度函数描述，如均匀分布、正态分布等。
3.4 期望与方差期望是随机变量取值的平均数，方差描述了随机变量取值的离散程度。
四、常见概率分布及其性质4.1 二项分布与泊松分布二项分布描述了n重伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
概率论总复习-知识总结(一)
概率论总复习-知识总结(一)概率论总复习-知识总结概率论是一门广泛应用于自然科学、社会科学、医学、金融等领域的数学学科，是研究随机事件及其发生规律的学科。
下面就概率论常见的概念、公式和计算方法进行总结和复习。
一、基本概念1. 试验和事件：试验是人为、自然、社会等各种实际现象的模拟或观测过程，试验的每一个结果称为该试验的一个基本事件；事件是由基本事件构成的，即试验结果的任意某些组合，可以是单个事件，可以是多个事件组合形成的复合事件。
2. 样本空间和事件域：样本空间是由一切可能的基本事件组成的集合；事件域是指样本空间中，所有事件的全体，即事件的集合。
3. 必然事件和不可能事件：试验中一定会发生的事件称为必然事件，常用符号Ω表示；试验中不可能发生的事件称为不可能事件，常用符号Ø表示。
4. 等可能概型：所有基本事件的发生是等可能的，即每个基本事件发生的概率相等。
5. 概率的基本性质：对于任何事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1，并且P(Ω) = 1，P(Ø) = 0；对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) =P(A) + P(B)。
二、概率的计算方法1. 古典概型：若试验基本事件有限且等可能，则事件A的概率P(A) = A中基本事件数 / S中基本事件总数。
2. 几何概型：可以利用图形面积的比值计算。
3. 组合计数：若A是从n个不同元素中取m个元素集合，则其包含m个元素的子集个数称为A的组合数。
三、条件概率和独立事件1. 条件概率：设A、B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率记为P(B|A)，称为条件概率，P(B|A) = P(AB) / P(A)。
2. 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。
3. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式是用于计算复杂事件的概率，表示为P(B) = ΣiP(Ai)P(B|Ai)；贝叶斯公式是在已知结果的情况下，得出反推因果关系的方法，表示为P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai) /ΣjP(Aj)P(B|Aj)。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论复习知识点总结
第2章要点
一、随机变量及其分布 1.随机变量的概念 2.分布函数：
➢定义：F(x)=P{X≤x} x∈R ➢性质：单调性，有界性，右连续性 ➢利用分布函数求概率：即对任意实数a, b, 有
➢例2.2，2.4，2.5 ，三1，2，4
第2章要点
二、离散型随机变量 1.离散型随机变量的分布律
➢分布律的概念；
若Xi同分布，则
作业： 三、19
第4章要点
一、随机变量的数学期望 ➢离散型随机变量的数学期望 ➢连续型随机变量的数学期望 ➢随机变量函数的数学期望
第4章要点
一、随机变量的数学期望 ➢数学期望的性质 (1) 设c是常数，则有E(c) = c． (2) E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c． (3) E(X + Y) = E(X) + E(Y)． (4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有
➢例2.9 ，2.11 作业：三、10，11
第2章要点
三、连续型随机变量 2.常用连续型随机变量
➢均匀分布 X~U(a, b),
➢指数分布：X~Exp(), >0,
➢正态
第2章要点
四、随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布
第1章要点
三、概率的性质 (1) P() = 0． (2) (有限可加性)
两两互不相容，则
(3) (逆事件的概率) 对任一事件A，有
(4) (单调性)若
P(A) P(B) ,且P(A–B) = P(A) - P(B).
(5) 对任意两个事件A,B有P(A–B) = P(A)–P(AB)．
(6)（加法公式）对于任意两事件A，B有
概率论总复习知识总结
contents
目录
• 概率论概述 • 随机变量及其分布 • 随机变量的数字特征 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验 • 贝叶斯统计推断 • 概率论的应用
01 概率论概述
概率论的基本概念
01
02
03
04
概率
描述随机事件发生的可能性大 小。
随机试验
具有随机性结果的试验。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为$E(X) = int x f(x) dx$，其中$f(x)$是随机变量$X$的概率 密度函数。
方差与协方差
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的量，计算公式为 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$。
方差的性质
方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质。
在贝叶斯决策理论中，决策者需要先对各种可能的结果赋予主观概率，然后根据 这些结果的价值和发生的概率计算期望值，最后选择期望值最大的方案作为最优 决策。
贝叶斯网络与推理
贝叶斯网络是一种基于概率的图形模型，用于表示随机变量 之间的条件独立关系。它由一组节点和有向边组成，节点代 表随机变量，边代表变量之间的概率依赖关系。
协方差的定义
协方差是用来衡量两个随机变量同时取值的分散程度和它 们之间的相关程度的量，计算公式为$Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y - E(Y))]$。
协方差的性质
协方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质 。
矩与特征函数
矩的定义
矩是用来描述随机变量取值分布特征 的量，包括数学期望、方差、偏度和 峰度等。
样本空间
随机试验所有可能结果的集合 。
事件
《概率论》总复习提纲【精选】精心总结
《概率论》总复习提纲【精选】精⼼总结ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第⼀块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，⼏何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独⽴性，贝努⾥试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1）试验可在相同的条件下重复进⾏；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪⼀个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每⼀个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w .（3）随机事件：在⼀定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的⼦集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发⽣必导致B 发⽣”，记为B A ?或A B ?；B A B A ??=且A B ?.（2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对⽴事件Ω=??B A 且Φ=AB . （3）独⽴性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独⽴. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ).（2）多个事件的独⽴：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独⽴． 3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件A 与B ⾄少有⼀个发⽣”，记为B A ?. （2）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发⽣”，记为B A ?或AB .（3）差事件、对⽴事件(余事件)：“事件发⽣A ⽽B 不发⽣”，记为A B -称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对⽴事件；易知：B A B A =-. 4、事件的运算法则1) 交换律：A B B A ?=?，BA AB =；2) 结合律：C B A C B A ??=??)()(，)()(BC A C AB =； 3) 分配律：BC AC C B A ?=?)(，))(()(C B C A C AB ??=?； 4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =?，B A AB ?=，可推⼴kkkkkkAA A A ==,5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（了解）ΩΩ设是⼀个样本空间，为的某些⼦集组成F()A P A ?∈的⼀个事件域.,定义在上的⼀个集值函数满⾜:F.F 1()0;P A ≥）⾮负性： 2()1;P Ω=）规范性： 123,,A A ）可列可加性：设是可列个互不相容事件，则11()()n n n n P A P A ∞∞===∑().P A A 则称为事件的概率（2）频率的定义：（了解）事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则⽐值n n A 称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(.（3）概率的统计定义：（了解）频率具有稳定性，即()n kf A n=随n 的增⼤越来越靠近某个常数p ，称p 为事件A 的（统计）概率.在实际问题中，当n 很⼤时，取()().n P A p f A =≈（4）古典概率（有限等可能型）：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发⽣的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件A 发⽣的概率为：n A k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（5）⼏何概率（⽆限等可能型）：（了解）若试验基本结果数⽆限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、⾯积、体积等)成正⽐，⽽与其位置及形状⽆关，则（试验对应⼏何概型），“在区域Ω中随机地取⼀点落在区域A 中”这⼀事件A 发⽣的概率为：()A P A Ω的测度的测度.（6）主观概率：（了解）⼈们根据经验对该事件发⽣的可能性所给出的个⼈信念. 6、概率的基本性质（1）不可能事件概率为零： ()0P Φ=. （2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即i jA A =Φ，（i j ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件,()()B A P B P A ?≥则，且()()()P B A P B P A -=-.（4）互逆性：()1()P A P A =-且()1P A ≤.（5）加法公式：对任意两事件B A 、，有=?)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推⼴到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=，且()()()P A B P A P B ?≤+7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是两个事件，若()0,P A >则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发⽣的条件下事件B 发⽣的条件概率．（2）乘法公式：设()0,()0,P A P B >>则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==.称为事件B A 、的概率乘法公式.其可推⼴成有即个的情形,详见书上第16页，其主要的意义在说明了前⾯的事件对后⾯的事件发⽣的概率产⽣影响. 8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的⼀个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有∑=ni i i A B P A P B P 1)|()()(＝称为全概率公式.应⽤背景：若影响某⼀事件（“结果”）发⽣有⼏种不同的情况（“原因”），那么计算结果的概率就要⽤全概率公式, 相当于其是由原因计算结果.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的⼀个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有),,1(,)|()()n j A B P A P A B P A P B A P ni iij j j ==∑=称为贝叶斯公式或逆概率公式.应⽤背景：若影响某⼀事件（“结果”）发⽣有⼏种不同的情况（“原因”），那么若告诉你结果已发⽣，那么要计算某⼀种情况（“原因”）发⽣的概率时，就要⽤到贝叶斯公式，相当其主要的应⽤是要由结果计算原因. 9、贝努⾥(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努⾥试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常⽤)(A P p =表⽰，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独⽴地进⾏n 次，所得的试验称为n 重贝努⾥试验，记为nE ．（3）把E 重复独⽴地进⾏可列多次，所得的试验称为可列重贝努⾥试验，记为∞E ．以上三种贝努⾥试验统称为贝努⾥概型．（4）nE 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n kn k k n ≤≤=---其中1(01)p q p +=≤≤.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在⼀定条件下必然发⽣的事件，不可能事件指的是在⼀定条件下必然不发⽣的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的⽅便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件A 与B 必有⼀个事件发⽣，且⾄多有⼀个事件发⽣，则A 、B 为互逆事件；如果两个事件A 与B 不能同时发⽣，则A 、B 为互斥事件.因⽽，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，⽽互斥适⽤与多个事件的情形.作为互斥事件在⼀次试验中两者可以都不发⽣，⽽互逆事件必发⽣⼀个且只发⽣⼀个. 3、两事件独⽴与两事件互斥两事件A 、B 独⽴，则A 与B 中任⼀个事件的发⽣与另⼀个事件的发⽣⽆关，这时)()()(B P A P AB P =⽣，这两事件的发⽣是有影响的，这时0)(,=Φ=AB P AB .可以⽤图形作⼀直观解释.在图1.1左边的正⽅形中，)(21)(,41)(B P A P AB P ===，表⽰样本空间中两事件的独⽴关系，⽽在右边的正⽅形中，0)(=AB P ，表⽰样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率)|(B A P 与积事件概率)(AB P)(AB P 是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，⽽)|(B A P 是在试验E 增加了新条件B发⽣后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率.虽然A 、B 都发⽣，但两者是不同的，⼀般说来，当A 、B 同时发⽣时，常⽤)(AB P ，⽽在有包含关系或明确的主从关系时，⽤)|(B A P .如袋中有9个⽩球1个红球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求：（1）第⼆次才取到⽩球的概率；（2）第⼀次取到的是⽩球的条件下，第⼆次取到⽩球的概率.问题（1）求的就是⼀个积事件概率的问题，⽽问题（2）求的就是⼀个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，⽽该结果⼜不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑⽤全概率公式，在对样本空间进⾏划分时，⼀定要注意它必须满⾜的两个条件.贝叶斯公式⽤于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第⼆块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每⼀个可能结果Ω∈ω，都有唯⼀的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常⽤⼤写字母Z Y X 、、等表⽰.根据其取值的情形可以分成为离散型随机变量（可能取值⾄多可列）随机变量连续型随机变量（可能取值充满某个区间）奇异型随机变量2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的⼀切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为1212n nx x x p p p ?? ???其中1,0=≥∑i常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为(1,)((1,))Xb p B p ，分布列为10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k或1~X q p ??（2）⼆项分布：记为(,)((,))X b n p B n p ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n（3）泊松分布，记为()(())X P πλλ，概率函数,,1,0,!}{>===-λλλk k e k X P k泊松定理：设0>λ是⼀常数，n 是任意正整数，设λ=nnp ，则对于任⼀固定的⾮负整数k ，有!)1(lim k e p p C k kn n k nknn λλ--∞→=-.根据泊松定理可得，当n 很⼤(⼤于50)且p 很⼩（⼀般是⼩于0.05）时，⼆项分布可以⽤泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k kn k k nλλ--≈-，其中np =λ3、分布函数及其性质分布函数的定义：设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性： )(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F；（2）单调性：如果21x x <，则)()(21x F x F ≤；（3）右连续：即)()0(x F x F =+；（4）极限性：1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）完美性： )()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<.4、连续型随机变量及其分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在⾮负函数()p x ，使对于任⼀实数x ，有()()xF x p t dt -∞=?，则称X 为连续型随机变量.函数()p x 称为X 的概率密度函数，简称为概率密度.概率密度函数具有以下性质：（1）()0p x ≥；（2）()1p x dx +∞-∞=?；（3）2112{}()x x P x X x p t dt<≤=?；（4）0}{1==x X P ；（5）如果()p x 在x 处连续，则()()F x p x '=. 常⽤连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为),(~b a U X ，概率密度为1,,()0,a x b p x b a≤≤=-其它分布函数为>≤≤--<=b x bx a ab a x a x x F ,1,,0)(P c X d b a-<<=- （2）指数分布：记为()XExp θ，概率密度为/1,0,()0,x e x p x θθ-?>?=其他，分布函数为/1,0,()0,x e x F x θ-?->=??其他.⽆记忆性质：对于任意,0,s t >有{|}{}P X s t X s P X t >+>=>.（3）正态分布：记为),(~2σµN X ，概率密度为2()2(),x p x X µσ--=-∞<<+∞，相应的分布函数为∞---=xx dtex F 222)(21)(σµπ当1,0==σµ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别⽤)(x ?和)(x Φ表⽰X 的密度函数和分布函数，即-=Φ=x t x dte x ex 222221)(,21)(ππ性质：①若2(,)XN µσ,则其密度函数关于x µ=对称，从⽽1()()2P X P X µµ>=<=. ② )(1)(x x Φ-=-Φ. ③若2(,)XN µσ,则(0,1)X N µσ-，即⼀般正态分布),(~2σµN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σµ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3i y 有相同值时，要合并为⼀项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为()X p x ，则)(X g Y =的概率密度有两种⽅法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f XY .其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数. 2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑=≤=≤=k y xY k dxx fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(然后求 ()[()]Y Y p y F y '=. 结论：若2(,)X N µσ，则22(0)(,)aX b a N a b a µσ+≠+.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上，对试验的每⼀个可能结果Ω∈ω，都有唯⼀的实数)(ωX 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按⼀定法则给定的，⽽随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；⼜普通函数的定义域是⼀个区间，⽽随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数)(x F 的连续性定义左连续或右连续只是⼀种习惯.有的书籍定义分布函数)(x F 左连续，但⼤多数书籍定义分布函数)(xF为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算)F时，xX=点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于}{1==xXP，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于}{1≠=xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对)(xF定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的联合分布列，⼆维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独⽴性和不相关性，常⽤多维随机变量，随机向量函数的分布.1、⼆维随机变量及其联合分布函数 12(),(),,()(,,),n X X X F P ωωωΩ如果随机变量定义在同⼀概率空间上则称12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（为n 维(n 元)随机变量或随机向量.n 当=2时,称为⼆维随机变量,常记为(,).X Y 联合分布函数的定义：设12(),(),,()n XX X X n ωωωω=（）（）是维随机变量,,nx R n ?∈则称元函数121122(,,,),,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（为随机向量12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（的联合分布函数2,,n =特别时称为⼆维联合分布函数即(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤⼆维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性： ),(y x F 是变量x 或y 的⾮减函数；（2）有界性： 1),(0≤≤y x F ；（3）极限性：1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ， ， ，，但注意(,)(),(,)()Y X F y F y F x F x +∞=+∞=，其中()X F x 与()Y F y 分别表⽰X 与Y 的分布函数.（4）连续性: ),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（5）⾮负性: 对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表⽰随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、⼆维离散型随机变量及其联合分布列如果⼆维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为⼆维离散型随机变量.设),(Y X 为⼆维离散型随机变量,它的所有可能取值为,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布列.表3.1联合分布列具有下列性质：（1）≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、⼆维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在⼀个⾮负函数),(y x p ,使得⼆维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有∞-∞-=xydydx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是⼆维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）⾮负性对⼀切实数y x ,，有0),(≥y x p ；（2）规范性1),(=??+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平⾯域D 上，),(Y X 取值的概率=∈Ddxdyy x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p y x y x F =.常⽤连续型随机变量的分布：(1) 设D 是平⾯上的⼀个有界区域，其⾯积为A .若⼆维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1,(,),(,)0,x y D f x y A ?∈?=其它，则称(,)X Y 服从区域D 上的⼆维均匀分布.(2) ⼆元正态分布：其密度函数不要求背，具体的请见课本P67. 4、⼆维随机变量的边缘分布设),(Y X 为⼆维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X },{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘（边际）分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布列.当),(Y X 为连续型随机变量，则称+∞∞-+∞∞-==dxy x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()(分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数. 性质：221212(,)(,,,,)X Y N µµσσρ，则211(,)XN µσ，222(,)Y N µσ.5、随机变量的独⽴性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ?=则称随机变量X 与Y 相互独⽴.设),(Y X 为⼆维离散型随机变量，X 与Y 相互独⽴的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为⼆维连续型随机变量，X 与Y 相互独⽴的充要条件是对⼏乎⼀切实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.性质：221212(,)(,,,,)X Y N µµσσρ，则0X Y ρ=?与相互独⽴.6、两个随机变量函数的分布设⼆维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ?=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdyy x p z F zy x Z ??≤=),(),()(?.对于⼀般的函数?,求()Z F z 通过分布函数的⽅法，如第三章，习题29就是使⽤这种⽅法.但对于以下的⼏个，更加常⽤的是公式的⽅法. 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p .（1）Y X Z +=的分布:dyy y z p dx x z x p z p Z ??+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.特别地，若X 与Y 相互独⽴，则()()()()().Z X Y X Y p z p x p z x dx p z y p y dy +∞+∞-∞-∞=-=-?（2）Z X Y =-的分布：()(,).Z p z p z y y dy +∞-∞=+?特别地，若X 与Y 相互独⽴，则()()().Z X Y p z p z y p y dy +∞-∞=+?（3）Z XY =的分布：1()(,).||Z zp z p x dx x x+∞-∞=?特别地，若X 与Y 相互独⽴，则1()()().||Z X Y zp z p x p dx x x+∞-∞=?（4）Y XZ =的分布若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：+∞∞-=dyy yz p y z p Z ),()(.性质：①若(,),(,),(,)X b n p Y b m p X Y X Y b n m p ++且与相互独⽴，则.②若1212(),()().XY X Y X Y πλπλπλλ++且与相互独⽴，则③若221122(,),(,)XN YN µσµσ，且X 与Y 相互独⽴的，则22221212(,).X bY cN a b c a b µµσσ+++++a7．最⼤值与最⼩值的分布 1,,n X X n 设是相互独⽴的个随机变量,则1()()(max(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤1()ni i F y ==∏1()()(min(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤11(1())n i i F y ==--∏其中的()i F y 表⽰的是随机变量i X 的分布函数.疑难分析1、事件},{y Y x X ≤≤表⽰事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不⼀定等于}{}{y Y P x X P ≤?≤？如同仅当事件B A 、相互独⽴时，才有)()()(B P A P AB P ?=⼀样，这⾥},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤?≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独⽴时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、⼆维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯⼀确定边缘分布，因⽽也唯⼀确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯⼀确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ?=知，⼀个条件分布和它对应的边缘分布，能唯⼀确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独⽴，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ?=.说明当Y X 、独⽴时，边缘分布也唯⼀确定联合分布，从⽽条件分布也唯⼀确定联合分布.3、两个随机变量相互独⽴的概念与两个事件相互独⽴是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独⽴，是指组成⼆维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中⼀个分量的取值不受另⼀个分量取值的影响，满⾜}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤.⽽两个事件的独⽴性，是指⼀个事件的发⽣不受另⼀个事件发⽣的影响，故有)()()(B P A P AB P ?=.两者可以说不是⼀个问题.但是，组成⼆维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同⼀试验E 的样本空间上的两个⼀维随机变量，⽽B A 、也是⼀个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎⼀致，从⽽独⽴性的定义⼏乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和⽅差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中⼼矩，协⽅差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布列为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k kk p x 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果⼴义积分+∞∞-dxx xp )(绝对收敛，则称此积分值?+∞∞-=dxx xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(；（2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+；对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独⽴，则)()()(2121X E X E X X E =；对任意n 个相互独⽴的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望（1）设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.。
大学概率论总复习-
为(,), 函数值在区间[0, 1]上的实值函数
F ( x ) P ( X x ) ( x )
为随机变量X的分布函数.
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集合论
样本空间Ω
样本点ωi
随机试验
试验结果
数量化
对应
函数论 实数集 (,) 实数 x(,)
若干样本点构成事件A
随机变量X表示事件A
事件A的概率P(A)
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
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4. 随机事件
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
5. 样本点
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为
这个试验的一个样本点，记作 i(i1,．2, )
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性质6 加法定理的推广形式
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)
A
B
C
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第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率
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第三章 基本知识点
1. 条件概率的定义
设A，B为同一随机试验中的两个随机事件 , 且 P(A) > 0， 则称已知A发生条件下B发生 的概率为B的条件概率，记为
P(B| A) P(AB)
2. 乘法定理
P(A)
P (A B ) P (A )P (B |A ) P(B| A) P(AB)
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第一章 随机事件与概率一、主要概念及公式1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合.2. 随机事件：样本空间的子集.3. 频率：事件A 发生次数与试验次数的比值.4. 概率：刻画随机事件A 在试验中发生的可能性大小的、介于0与1之间的数称为P (A )事件A 的概率，它满足非负性、规范性、可列可加性。
5. 古典概型：试验具有以下两个特点的概率类型： (1)试验的样本空间只包含有限个元素； (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同 .概率的古典定义:在古典概型时,().A P A =包含的基本事件数样本空间中的基本事件总数6. 条件概率：设A 、B 是两个事件，且P (A )>0, 称()()()P AB P B A P A =为 事件A 发生条件下B 发生的概率.7. 独立性:设A ,B 是两个事件,若()(),P A B P A =则称事件A ,B 相互独立. ,A B A B A B A B 若与相互独立，则与与，与都相互独立. 8. 事件的关系：,A B =,AB ,AB ,A B -,AB =Φ.A9. 概率性质：(1) 0()1P A ≤≤，()0P Φ= ()1P Ω=；(2) ()()()();P BA P B A P B P AB =-=-特别的，,()()().A B P B A P B P A ⊂-=-当时 (3) ()1();P A P A =- (4) ()()()();P AB P A P B P AB =+-推广:1121111()()()()(1)();n nn i i i j i j k n i i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P A A A -=≤<≤≤<<≤==-+++-∑∑∑10. 加法公式：()()()();P A B P A P B P AB =+-A B 、互不相容时， ()()();P AB P A P B =+11. 乘法定理: ()()()(()0);P AB P B A P A P A =>，独立事件的乘法公式：()()()(,).P AB P A P B A B =，相互独立 推广到有限多个独立事件：11()(),(n ni i i i i P A P A A ===∏相互独立）；12. 全概率公式:(1)事件(1,2,,)i A i n =两两互不相容；(2)1ni i A ==Ω，则1()()().ni i i P B P A P B A ==∑13. 独立试验序列：独立试验序列中，设P (A )=p ,则n 次试验中事件A 恰发生m 次的概率为()(01,1,).m n n mn n P m C p qp p q -=<<+-， 14. 随机试验：具有以下三个特点的实验 (1)可在相同的条件下重复进行； (2)每次实验结果可能不止一个；(3)实验前不能确定哪个结果会出现. 15. 概率的三个性质：(1)非负性: ()0;P A ≥ (2)规范性：()1;P Ω= (3)可列可加性:(1,2,,)i A i n =两两互不相容；则有11()().n ni i i i P A P A ===∑二、基本习题1．袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，一次从袋中任意取两球， 观察其颜色, 写出此随机事件的样本空间。
【Ω={两白,一白一黑,两黑}】 2．设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表达下列事件(1) 至少有一个发生__________； (2) 一个都没有发生 ； (3) 恰好有一个发生___________；(4) 至少有两个发生 ； (5) 最多有一个发生 ； (6) 仅A 发生 .【,,A B C ABC ABC ABC ABC ++,AB BC AC ,AB BC AC ,.ABC 】 3．设A , B 为相互独立的事件,()0.4,()0.3,P A P B ==求().P A B 【0.88】 4．设A ,B 为两事件,__()0.6,(/)0.2,P A B P B A ==求__(),().P A P AB 【0.5;0.1】5．设A,B 为两事件,,()0.7,()0.5,A B P A P B ⊃==求()P AB ，().P A B 【0.3;1】 6．设随机事件,A B 及A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6,求()P A B ，()P AB ， ().P AB 【1/3；0.1；0.3】7．设()0.5P A =,()0.6P B =,(/)0.4P B A =,求()P AB ,()P AB . 【()()()0.2,P AB P A P B A ==()()()0.4P AB P B P AB =-=】8．口袋中一装有3只红球，5只黑球，今从中任意取出2只球，求这2只球恰为一红一黑的概率。
【11352815().28C C P A C == 】9．一本有4本分册的文集，按任意顺序放在书架上，求将各分册按自左向右或自右向左的顺序排列的概率。
【24112=！】 10．一只口袋中有100只球，其中红球为10只，每次从中任取一只球， 取出后不再放回，求第三次才取得红球的概率？【9089101009998P =⨯⨯】 11．某仓库中有10箱同样规格的产品，已知其中有5箱、3箱、2箱 依次是第一、二、三厂生产的，且三个工厂该产品的次品率依次为111,,101520，现从这10箱产品中任取一箱，取得的这箱中任取一件产品， 求取得次品的概率。
【设A 为任取一个产品为次品，设i B 为取自第i 厂,i =1,2,3 31()()() 3.5%.i i i P A P B P A B ==⨯=∑】12．某工厂有一、二、三3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%、35%、40%，3个车间中产品的废品率分别为5%、 4%、2%，求全厂产品的废品率。
【设A 表示全厂产品的废品率,i B 表示任取一件产品是第i 车间生产的，1,2,3i =。
31()()(/)i i i P A P B P A B ==∑0.83%=】 13．某人带有n 把钥匙去开自己的房门，其中只有一把能打开. 他随机地 从中逐一任取一把去试开房门，试过的钥匙不再重试，求他第k 次试开 时打开房门的概率（1≤k ≤n ）.【设k A =“第k 次试开时打开房门”（1≤k ≤n ）， i B =“第i 次试开时选对钥匙”，则121()()k k k P A P B B B B -= ，1211122121()()()()k k k k P B P B B P B B B B P B B B B ---= 12(1)11(2)(1)n n n k n n n k n k ----=⋅⋅⋅⋅-----1/.n =】 14．转炉炼高级砂钢，每一炉钢的合格率为0.7，有若干炉同时冶炼，若 要以99%的把握至少炼出一炉合格钢，问至少要有几个转炉同时炼钢？ 【设A =“任一炉炼出合格钢”, p =0.7 , B =“至少炼出一炉合格钢”, 则要求001()(1)1(1)0.99,ni i n i n n n i P B C p p C p p -==-=--≥∑ 即10.30.99,n -≥解得n ≈3.824, 取n =4. 】第二章 一维随机变量及其分布一、主要概念及公式1．随机变量:设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X (ω)是定义在样本空间 Ω上的单值函数，称X=X (ω)为随机变量。
2．离散随机变量及概率分布列：随机变量的取值是有限个或可列无限多个，称为离散随机变量。
概率分布列:设离散随机变量所有可能的取值为(1,2,)i x i =,()i i P X x p ==,1,2,,i =且i p 满足 (1)非负性:0i p ≥； (2)规范性:11,i i p ∞==∑称(),(1,2,,,)i i P X x p i n ===为X 的概率分布列。
3．四种常见的离散随机变量：（1）(0—1)分布:随机变量X 的概率分布列为:1()(1),0,1.x xp x p p x -=-=（2）超几何分布：随机变量X 的概率分布列为：(),0,1,,(,,),,.x n x M N MnNC C p x x n n N M n N M N C --==≤≤都是正整数且（3）二项分布：随机变量X 的概率分布列为：(),0,1,,.(01,1)x x n xn p x C p q x n p p q -==<<+=（4）泊松分布：随机变量X 的概率分布列为： (),0,1,,(0).!xp x e x x λλλ-==>为常数4．随机变量的分布函数：x 为任意实数, F (x )=P (X ≤x )称为X 的分布函数. 分布函数的性质: (1)0≤F (x )≤1;(2)F (x )是非减函数; (3)F (+∞)=1,F (-∞)=0; (4)离散随机变量：()()().i i x xF x P X x p x ≤=≤=∑(5)离散随机变量的分布函数在分界点处是右连续； 连续随机变量的分布函数是连续函数.5．连续性随机变量及概率密度: 随机变量可取得某一区间内的任何数值.概率密度:对随机变量X ,如果存在非负可积函数 f (x )(-∞<x<+∞), 使得 对于任意两个数a , b (a <b ),都有()(),ba P a xb f x dx <<=⎰ 则称f (x )为X 的 概率密度.对连续随机变量有: ()P a x b <<=()P a x b ≤<=()P a x b <≤=().P a x b ≤≤ 概率密度的性质: (1)非负性: ()0,();f x x ≥-∞<<+∞(2)规范性:() 1.f x dx +∞-∞=⎰连续随机变量分布函数与概率密度的关系:()(),F x f x '=()().xf x dx F x -∞=⎰ 6．三种重要的连续型随机变量(1) 均匀分布(X ~U [a ,b ]): 概率密度为1()0,a xb f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其它.(2) 指数分布 ((X ~e [λ]): 概率密度为0(),(0).0,0x e x f x x λλλ-⎧≥=>⎨<⎩， (3) 正态分布2~(,)X N μσ: 概率密度为22()21(),()2x f x e x μσπσ--=-∞<<+∞，,0.μσσ>其中为常数， ① 标准正态分布N (0,1)的概率密度及分布函数：221(),,,2x x eφπ-=-∞+∞ 221().2x xx edx π--∞Φ=⎰② 标准正态分布N (0,1)的分布函数的性质： (1) (0)0.5Φ=； (2)()1Φ+∞=； (3)()1().x x Φ-=-Φ 7．随机变量函数的分布：离散型（略）连续型：已知X 的概率密度()X f x ,求()Y g X =的概率密度()Y f y 的步骤： (1)先求Y 的分布函数()()[()]Y F y P Y y P g X y =≤=≤=,其积分限为y 的函数;(2)上式两边对y 求导，即得Y 的概率密度。