专题5多项式函数值比较大小

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如何比较函数式的大小

解题宝典高中数学各类试题中经常会出现比较函数式大小的题目.此类问题主要考查函数式的运算法则、函数的图象和性质、对数与指数的互化等，属于基础题目.本文重点介绍三种比较函数式大小的方法，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.一、同类式法同类式法是指将所要比较的两个函数式化为同一种类型的式子进行比较的方法.同类式法常用于比较形式、结构均不同的两个函数式.在解题时，我们要运用函数运算法则和换底公式将两个函数式化为底数、真数、指数相同的式子，然后根据函数的单调性、对称性来比较两个式子的大小.例1.比较log 23和32的大小.分析：这两个函数属于不同类型的函数，一个是对数，一个是常数，可以采用同类式法来比较它们的大小.需将32转化为与对数函数底数相同的函数，然后利用对数函数的性质来比较它们的大小.解：32=log 2232=log 28，而log 23=log 29，则log 28<log 29，所以32<log 23.二、中间值法中间值法是比较函数式大小的基本方法，是指借助中间值来比较两个函数式的大小.有些函数式的大小很难比较，此时，我们可以将中间值分别与两个函数式进行比较，以解答问题.选择合适的中间值是运用该方法解题的关键.例2.设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，比较2x 、3y 、5z 三者的大小.解：设2x =3y =5z =t >1，则x =log 2t ，y =log 3t ，z =log 5t ，那么2x 3y =2log 2t 3log 3t =2ln 33ln 2=ln 9ln 8>1，则3y <2x ，而2x 5z =2log 2t 5log 5t =2ln 55ln 2=ln 25ln 32<1，则2x <5z ，所以3y <2x <5z .通过观察、分析可知，x 、y 、z 分别是三个指数函数的指数，且三个指数函数的底数并不相同，很难快速比较出它们的大小.不妨将指数函数转化为对数函数x =log 2t ,y =log 3t ,z =log 5t ，然后运用中间值法来求解，将它们的值分别与1进行比较，便可得出问题的答案.三、构造函数法构造函数法是解答函数问题的重要方法.在运用构造函数法比较两个函数式的大小时，需首先结合所要比较的两个函数式的结构和特点，构造出合适的函数模型，然后对新函数进行求导，根据函数的单调性与其导函数的关系判断函数在定义域内的单调性，进而比较出两个函数式的大小.例3.已知a >b ≥3，请比较ln a a 与ln bb的大小.分析：通过观察，可以发现，要比较的两式的结构相同，可构造函数f ()x =ln xx，对函数进行求导，便可判定函数的单调性，再根据a >b ≥3比较出两函数式的大小.解：设f ()x =ln x x ，f ′()x =1-ln xx 2，当0<x <e 时，ln x <1，f ′()x >0，此时f ()x 在(]0,e 上单调递增；当x >e 时，ln x >1，f ′()x <0，此时f ()x 在[)e ,+∞上单调递减；∵a >b ≥3>e ,∴f (a )<f ()b ,∴ln a a <ln bb.综上所述，同类式法、中间值法、构造函数法都是比较函数式大小的重要方法.同类式法、中间值法是常用的两种方法，较为简单，只需灵活运用函数的运算法则即可解出；而构造函数法比较复杂，需结合函数的特点来构造函数.但无论运用哪种方法，同学们都要注意有解题中灵活运用函数的图象和性质以及数形结合思想.（作者单位：甘肃省民勤县第四中学）43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

大招5泰勒公式法速解比大小问题(含答案解析)

大招5泰勒公式法速解比大小问题高考题目中常常利用泰勒公式解决指数函数e x y =，对数型函数()ln 1y x =+，三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =等与一元高次函数之间的放缩、近似计算、比较大小等问题.解决此类问题的关键点如下：→Step 1列泰勒公式观察已知条件的特征，与函数e x y =，()ln 1y x =+等相对照，列出对应的泰勒公→Step 2求函数值根据已知条件，代入自变量的值并近似计算求函数值→Step 3给出结论根据计算结果，给出判断结果【典例1】已知1718a =，1cos 3b =，13sin 3c =，则（）A.a b c<< B.b c a << C.b a c<< D.c a b<<【大招指引】由泰勒公式得得到1cos 3b =、13sin 3c =的近似值，再进行比较大小.【解析】由泰勒公式得，()()22cos 112!2!kk x xx k =-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅，(),x ∈-∞+∞，令13x =，得到2411111cos 10.94503234!3b ⎛⎫⎛⎫=≈-⨯+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()()3211sin 1,,3!21!k k x x x x x k --=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-∞+∞-，令13x =，得到241sin1111133sin 10.9816133!35!33c ⎛⎫⎛⎫==≈-⨯+⨯≈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，170.944418a =≈，所以a b c <<，故选A.【题后反思】本题也可以利用构造函数法进行求解：因为当π02x <<时，tan x x >，所以13sin133tan 113cos 3c b ==>，所以b c <.令()()21cos 02f x x x x =+>，则()sin 0f x x x '=->，()f x 在()0,∞+上单调递增，故211cos00132f ⎛⎫>+⨯= ⎪⎝⎭，即2111cos 1323⎛⎫+⨯> ⎪⎝⎭，所以117cos 318>，从而有b a >.综上，a b c <<.故选A.【温馨提醒】泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度；一般根据题目需要，取前两项或前三项，最多取前四项.【举一反三】1．设0.02e 1a =-，ln1.02b =，151c =，1d =，则（）A ．b a；在ln 1≤-x x 中令101100x =，得1011011ln 1100100100<-=，即c a <；所以.故选：C【题后反思】1x e x ≥+，ln 1≤-x x 这两个不等式可以通过作差构造函数，利用导数进行证明：如：构造()1xy e x =-+，则'1x y e =-，当()',0,0x y ∈-∞<函数递减，当()'0,,0x y ∈+∞>函数递增，故时函数取得最小值为0；故1x e x ≥+（当且仅当时取“=”）【温馨提醒】常见函数的泰勒展开式相关不等式：结论1：ln(1)(1)x x x +≤>-.结论2：ln 1(0)x x x ≤->.结论3：11ln x x-≤（）.结论4：.结论5：1x x e +≤；；.结论6：；结论7：结论8：.结论9：.【举一反三】2．设131,ln ,sin 2222a b c π===，则（）A ．b a c <>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>4．设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <>B ．c b a >>C ．c a b>>D ．b a c >>6．已知20222023e a -=，ln2024ln2023b =-，1sin 2023c =，则（）A ．c a b<>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．b c a>>8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（）A ．a b c<<B ．b c a<<C ．b a c <<D ．c a b<<参考答案：1．ACD【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定a 与b ，b 与c ，d 与b ，d 与c 大小关系.【详解】解：0.02e 1a =-，()ln1.02ln 10.02b ==+，1151501c ==+，11d =--，对于A ，设()()()e ln 11,0,xf x x x ∞=-+-∈+，则()1e 1xf x x ='-+，令()()1e 1x g x f x x '==-+，则()()21e 01x g x x '=+>+恒成立，所以()f x '在()0,x ∈+∞上单调递增，则()()00f x f ''>=恒成立，所以()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，则()()0.020.02e ln1.02100f f =-->=，即0.02ln1.02e 1<-，所以b a <，故A 正确；对于B ，设()()ln ,1,h x x x x x ∞=-∈+，则()ln 0h x x '=>，故()h x 在()1,x ∈+∞上单调递增，则()()1.02 1.02ln1.02 1.0211h h =->=-，整理得21ln1.0210251>=，所以b c >，故B 不正确；对于D ，设()()()()23211,0,1m x x x x =+-+∈，则()()()()()2242131321311m x x x x x x x '=+-+=-++=-+-，当()0,1x ∈时，()()()3110m x x x =-+->'，所以()m x 在()0,1x ∈上单调递增，所以有()()()()230.0210.0410.0200m m =+-+>=，即210.0410.0210.02+⎛⎫>+ ⎪+⎝⎭，所以1151>，则d c <，故D 正确；由前面可知,d c c b <<，所以d b <，故C 正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查构造函数结合导数比较指对幂大小问题，属于难题.解决本题的关键是处理好指对幂式子中自变量的位置，结合作差法比较大小，构造差函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较0.02e 1a =-，ln1.02b =大小，将转换得()ln1.02ln 10.02b ==+，可构造差函数()()()e ln 11,0,xf x x x ∞=-+-∈+，求解导数()f x '结合导函数的性质即可确定()f x 在()0,∞+的单调性，从而可得函数值大小，即可判断,a b 大小关系.2．A【分析】构造()()1ln 0g x x x x =-->，对()g x 求导，可得()g x 的单调性和最值，可知1ln x x -≥，得出a b >，同理构造π()sin 2f x x x =-，可得c a >，即可得出答案.【详解】令()()1ln 0g x x x x =-->，()111x g x x x-'=-=，令()0g x '>，解得：1x >；令()0g x '<，解得：01x <<；所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g x g ==，所以1ln x x -≥，由1ln x x -≥可知a b >，设π()sin 2f x x x =-，则π()cos 12f x x '=-在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数．且ππ4106224f -⎛⎫=⋅-='> ⎪⎝⎭．所以函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数．所以1(0)02f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即π11sin 222>．即：c a >．故选：A ．3．A 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a>1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ=故1cos 411sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+，241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．4．C【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-，导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当(0,)x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <时，()0h x <，所以当01x <时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.方法二：比较法解：0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <；②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-，令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=--，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c >故.c a b <<5．C【分析】构造函数()()ln 11xf x x x =+-+，求导得到函数单调性，得到1(0)3f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求出41ln34>，构造()e 1ln(1)x g x x =--+，求导得到函数单调性，得到1(0)3g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故41ln 3>，得到答案.【详解】设()()ln 11x f x x x =+-+，则2211()1(1)(1)x f x x x x '=-=+++，∴0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增．∴1(0)3f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即41ln 034->，∴41ln34>，a b >．设()e 1ln(1)x g x x =--+，则1()e 1xg x x '=-+，∴当0x >时，()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调递增．∴1(0)3g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭41ln 03-->，41ln 3>，即.c a >．综上，c a b >>.故选：C ．【点睛】方法点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.6．D【分析】构造函数()e 1xf x x =--及函数()sing x x x =-，结合函数的单调性可比较a 与c ，构造函数()()sin ln 1h x x x =-+，结合函数的单调性可比较b 与c ，即可得解.【详解】令()e 1xf x x =--，0x <，则()e 10xf x '=-<在(),0-∞上恒成立，故()f x 在(),0-∞上单调递减，故()()01010f x f >=--=，故2022202320222022e 1020232023f -⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2022202320221e 202320231-=>-，即12023a >，、令()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，故()g x 在定义域内单调递增，故()111sin 0000202320232023g g ⎛⎫=->=-= ⎪⎝⎭，即a c >；令()()sin ln 1h x x x =-+，01x <<，则()22111cos 12sin 1212121x xh x x x x x⎛⎫'=-=-->-⨯-⎪+++⎝⎭()()()22111102121x x x x x x +-=--=>++在()0,1上恒成立，故()h x 在()0,1上单调递增，又()0sin 0ln10h =-=，故()1002023h h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故12024sin ln 20232023⎛⎫> ⎪⎝⎭，即c b >，故有a c b >>.故选：D.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对a 与c ，可通过构造()e 1x f x x =--，从而比较a 与12023的大小关系，构造()sin g x x x =-，从而比较c 与12023的大小关系，可得a 与c 的大小关系，通过构造()()sin ln 1h x x x =-+可比较b 与c 的大小关系.7．C【分析】通过将a ，b 变形，构造函数()()111x f x x -=-比较a ，b ，将c 泰勒展开，再与a 进行比较即可.【详解】由已知，101911100.9a -⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，10019911100.990b -⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，设()()()()11111ln 11ln 11e e x x x x x f x x -⎛⎫-- ⎪--⎝⎭=-==，()0,1x ∈，则()()()11ln 11e 1ln 1x x f x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'⎡⎤⎛⎫'=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中()()()22ln 111111ln 1111x x x x x x x x x '-+⎡⎤-⎛⎫⎛⎫--=--+-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()()ln 1g x x x =-+，则()1111x g x x x '=-+=--，当()0,1x ∈时，()0g x '<，∴()g x 在()0,1上单调递减，()()00g x g <=，∴当()0,1x ∈时，()11ln 10x x '⎡⎤⎛⎫--> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()0f x '>，()f x 在()0,1上单调递增，∴1110100f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即1011001111110100--⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴有a b >.对于c 与a ，()()sin 9sin 3π9sin 9.429sin 0.4c ==->->，将sin 0.4泰勒展开，得30.4sin 0.40.40.38933!>->，()()()()()()901234012349999910.10.10.10.10.10.1a C C C C C =-<-+-+-+-+-10.90.360.0840.01260.38860.3893c =-+-+=<<，∴a c <.综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c a b >>.故选：C.【点睛】对于数值比较大小，可使用等价变形化同构，再构造函数，利用函数的单调性进行比较.8．B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 11f x x =++,()()ln 121g x x =+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系.【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x --='=+，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，()0f x '>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x --=+'，由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021-，即b <c ；综上，b c a <<，故选：B.[方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,f f b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,g g a c =∴综上，b c a <<，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.。

比较函数式大小的三个途径

知识导航一般地，比较函数式的大小主要是比较指数函数式、对数函数式、幂函数式的大小.由于大部分的函数式中的底数、指数、真数均不相同，所以很难直接比较出它们的大小，我们需要采取一些相应的办法，如利用函数的单调性、图象，借助中间量等来比较两个函数式的大小.一、利用函数的单调性在某一定区间内，指数函数、对数函数、幂函数都具有单调性.当两函数式的底数相同时，可以建立恰当的函数模型，根据函数的单调性来比较两个函数式的大小；当两函数式的底数不相同时，可先利用换底公式以及指数函数、对数函数、幂函数的运算法则，将二者化为底数相同的函数式，再结合函数的单调性进行比较.例1.试比较以下两组数的大小.()10.332与0.335；()220.5与40.3.解析：对题中的两组数进行观察不难发现，这两组数都属于指数函数.可首先将它们的底数统一，然后根据底数与1之间的关系来判断函数的单调性.一般地，对于指数函数y=a x，当a>1时函数递增，当0<a<1时函数递减.最后根据函数的单调性比较两组数的大小.解：（1）由于两数的底数相同，且0<0.3<1，所以函数y=0.3x是单调递减函数，又32>35，所以0.332<0.335.()2由于4=22,所以40.3=()220.3=20.6,而函数y=2x是单调递增函数，且0.5<0.6，所以20.5<40.3.二、利用函数的图象我们知道，当a>1时，对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离x轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离y轴越近.当a>1时，指数函数y=a x()a>0，a≠1的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离y轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离x轴越近.当α>0时，幂函数函数y=xα的图象在区间（0,+∞）上是增函数；当α<0时，图象在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上单调递增.在解题时，我们可以结合函数式的特点构造出函数模型，然后结合函数的图象来比较函数式的大小.例2.比较下列两组数的大小.()131.2与21.2；()2æèöø233与æèöø3432.解析：(1)31.2与21.2是指数同为1.2的指数函数，在对其进行比较时，可以首先将y=3x、y=2x的图象画在同一坐标系中，然后将x=1.2代入，观察此时y的大小即可得出31.2>21.2.()2由于æèöø233=æèöø4932，将y=æèöø4932与y=æèöø3432的图象画在同一直角坐标系中，继而观察当x=32时y值的大小，就可以快速得出结论：æèöø233<æèöø3432.运用函数的图象来比较函数式的大小比较直接、简便.三、借助中间量有时候，要比较的两个函数式的真数、底数、指数各不相同，且它们之间没有任何联系，那么我们就需要借助中间量来比较它们的大小.常用的中间量有0、1、-1.可将函数式分别与中间量进行比较，如此便可判断出它们的大小关系.例3.比较以下函数式的大小.()11.70.3与0.93.1；()2log20.3，logπ3与log35.解析：()1中两个函数式的指数与底数均不同，且无法统一，可借助中间量来对其进行大小比较.∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，∴1.70.3>0.93.1.()2中的两个函数式较为复杂，可同时将0和1作为中间量来比较三者的大小.∵log20.3<log21=0，0=logπ1<logπ3<logππ=1,∴log20.3<logπ3<log35.在比较函数式的大小时，同学们要注意分清所要比较的函数式之间的区别，建立联系，构造合适的函数模型或中间量，然后利用函数的单调性、图象、中间量来比较函数式的大小.(王林37。

初中数学精品课件：函数中的大小比较

与△ABC有交点，则k的取值范围为
.
f(1)>1 方程
有两个相等的实数根
1 k 4
拓展提升第二关
如图，线段AB两个端点的坐标分别为(0.5，1) ， (3，1)，若抛物线
y ax2 x 与线段AB有交点，则a的取值范围为
.
当抛物线开口向上时，f(0.5)≤1， f(3)≥1
0a2
当抛物线开口向下时，分两种情况：
九年级数学专题学习之
函数中的大小比较
回忆一道题
若二次函数 y x2 2x c 的值恒大于0，则c的取值范围为 c<1 .
思路一：如图所示，抛物线开口向上，只要抛物线与x轴没有交点，即可符合要求.
因此，只要令 b2 4ac 0即可得到答案.
思路二：如图所示，抛物线开口向上，有最小值，
只要最小值大于0，那么所有的值都会大于0
m<f(2) m>g(2)
1 m2 2
解决几个问题
例2.若抛物线 y x2 2x c与x轴的一个交点在 (2，0)和(3，0)之间，
（不包括端点），则c的取值范围为
.
f(2)<0 f(3)>0
3 m 0
解决几个问题
变1.如图，线段AB两个端点的坐标分别为(-2，3) ， (3，3)，
若直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的取值范围为
因此，只要令 4ac b2 0 即可得到答案. 4a
也就是说，当x=1时，y>0即可.我们把当x=m时的函数值记作f(m) 那么当x=1时，y>0就可以记作f(1)>0
解决几个问题
例1.如图，直线l：y=-x+1，点B(2，m)在直线l上，则m= -1 . m=f(2)

函数值的大小比较(解析版)

专题01函数值的大小比较函数值的大小比较在近年的高考中经常出现，并且呈现出试题越来越难的趋势，基本在选择题最后3道中出现。

前些年通常考查利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性或图象比较大小，近两三年考查趋势转移到构造复杂函数，利用导函数研究所构造的函数的单调性，再利用赋值比较大小。

特别是去年高考题中该类题型越来越刁钻，常规解法已无法满足解题所需。

函数值的大小比较所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况，解题同时需要的技巧多，试题灵活，突出对函数单调性的运用，考查学生的数形结合与方程思想，及构造、放缩等相关知识。

一、热点题型归纳题型1、利用单调性（或图象）比较大小题型2、利用0，1比较大小题型3、取介质比较大小题型4、利用换底公式比较大小题型5、分离常数再比较大小题型6、作差法与作商法比较大小题型7、利用均值不等式比较大小题型8、构造函数法比较大小（lnx x型函数）题型9、构造函数比较大小（综合型）题型10、放缩法比较大小题型11、函数奇偶性和单调性等综合题型12、三角函数值比较大小二、最新模考题组练三、十年高考真题练【题型1】利用单调性（或图象）比较大小【解题技巧】当底数相同，或指数（真数）相同时，一般函数单调性（图象）进行大小比较即可。

若底数、指数（真数）可转化相同，也可以采用上述方法。

一般在转化时还会用到指数或对数的运算性质。

【典例分析】例1.（2022·河南·开封高三阶段练习）122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小．【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<，∴c<ab>cB ．a>c>bC ．b>a>cD ．c>a>b【答案】B【详解】试题分析：利用换底公式可得a =log 23.6=log 43.62，然后根据对数函数y=log 4x 在（0，+∞）的单调性可进行比较即可．解：∵a =log 23.6=log 43.62∵y=log 4x 在（0，+∞）单调递增，又∵3.62＞3.6＞3.2∴log 43.62＞log 43.6＞log 43.2即a ＞c ＞b 故选B点评：本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题．【变式演练】1.（2023·重庆·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6<，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x=在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C 2．（2022·河南·高三模拟）若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b【题型2】利用0，1比较大小【解题技巧】当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图像及特殊值。

比较两个多项式的大小关系

比较两个多项式的大小关系概述本文档旨在介绍如何比较两个多项式的大小关系。

多项式是由一系列项组成的代数表达式，其中每一项由系数和指数的乘积组成。

比较多项式的大小关系可以帮助我们确定它们在数轴上的位置。

比较多项式的大小关系的方法以下是比较两个多项式的大小关系的一些方法：1. 观察首项的系数和指数多项式的首项是指最高次幂的项。

观察首项的系数和指数可以帮助我们判断多项式的大小关系。

如果两个多项式的首项系数不相同，则系数较大的多项式更大；如果两个多项式的首项系数相同，但指数不相同，则指数较大的多项式更大。

2. 比较次高项的系数和指数如果两个多项式的首项系数和指数都相同，我们可以观察次高项的系数和指数来进一步判断它们的大小关系。

同样地，如果次高项系数不相同，则系数较大的多项式更大；如果次高项系数相同，但指数不相同，则指数较大的多项式更大。

3. 继续比较更低的次数项如果两个多项式的首项和次高项都相同，我们可以继续观察更低次数的项，以确定它们的大小关系。

重复上述步骤，直到找到两个多项式中不同的项或比较完所有项。

4. 特殊情况：多项式为常数项如果两个多项式都只有常数项，比较大小关系就变得非常简单了。

只需要比较它们的常数项的大小即可。

较大的常数值对应的多项式更大。

示例以下是一个比较两个多项式大小关系的示例：多项式A：3x^2 + 2x + 1多项式B：2x^2 + 3x + 1通过观察首项和次高项，我们可以看到A和B的首项系数和指数都相同。

继续比较更低次数的项，我们找到了不同的项，即常数项。

多项式A的常数项为1，多项式B的常数项也为1。

由于常数相同，我们无法确定哪个多项式更大。

结论比较两个多项式的大小关系可以通过观察它们的首项、次高项以及更低次数的项来进行。

首项系数和指数不相同时，系数较大的多项式更大。

如果首项相同，但次高项系数不相同，则次高项较大的多项式更大。

如果所有项都相同，则无法确定哪个多项式更大。

比较函数值的大小

盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬湖北省孝感市肖港初级中学邮编432023初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中，我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小解法1：运用增减性比大小例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线xy 3=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数xy 3=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为抛物线322++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线xy 3-=上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为反比例函数xy 3-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0>y ，0<y ，因此21y y >.解法3：运用距离比较二次函数值的大小例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小例5：当O900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O，当∠B 逐渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所以/BA BCBA BC >. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值逐渐减小，所以当O900<<<βα时，αcos >βcos我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小（一）预备知识：1、比较不同函数值大小的前提条件：当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比较1y 与2y 的大小.解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.（二）运用三线六域比较不同函数值的大小例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线xey =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；CA / 图（2）/C 图（3）)0(≠k b)0(≠+m n因为在①、③区域内，直线在曲线的上面，所以1y >2y因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y由以上分析过程，我们可得到三线六域中的三个结论：结论一：在六个区域中，当x 的值分别等于两交点横坐标时，两函数值相等；结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.（三）三线六域的类比应用当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8：如图，抛物线)0(21≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围分为五个区域，类比例7，观察每个区域，同理可得：当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.④⑤。

【备战2014】高考数学-高频考点归类分析-函数值和大小比较(真题为例)

函数值和大小比较问题典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知125=ln =log 2=x y z eπ-，，，则【】A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x 【答案】D 。

【考点】对数、指数的比较大小的运用。

【解析】采用中间值大小比较方法：∵=ln ln =1x >e π，551=log 2log 5=2y <，12111===24z e >e -，121==1z e <e-， ∴y <z <x 。

故选D 。

例2. （2012年天津市文5分）已知0.21.251222log 2a b c -⎛⎫⎪⎝⎭===，，，则a b c ，，的大小关系为【】（A ）c <b <a （B ）c <a <b （C ）b <a <c （D ）b <c <a 【答案】A 。

【考点】指数函数、对数函数的性质。

【分析】∵0.20.2 1.21()222b -==<，∴ a b <<1。

又∵14log 2log 2log 25255<===c ，∴a b c <<，故选A 。

例3. （2012年安徽省理5分）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是【】()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1 ()D ()f x x =-【答案】C 。

【考点】求函数值。

【解析】分别求出各函数的(2)f x 值，与2()f x 比较，即可得出结果： ()A 对于()f x x =有(2)=2=2=2()f x x x f x ，结论成立；()B 对于()f x x x =-有()(2)22=22=2=2()f x x x x x x x f x =---，结论成立；()C 对于()f x x =+1有() ()f x x f x x 2=2+12=2+2，，∴(2)2()f x f x ≠，结论不成立；()D 对于()f x x =-有()()f x x f x 2=-22=，结论成立。

比较函数式大小的三种思路

一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a 0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50探索探索与与研研究究即a >c ，综上所述，c <a 1分别判断出a 、b 、c 三者的大小关系.函数与不等式之间联系紧密，在比较较为复杂的函数式的大小时，往往要灵活运用函数的性质以及与函数相关的重要不等式结论来辅助解题.二、借助中间值中间值法是比较函数式大小的一种常用方法.有时我们很难直接判断出要比较的函数式的大小，此时可采用中间值法来解题.首先将函数式分别进行化简，以确定其大概的取值范围，并判断其正负；然后选取合适的中间值，如0、1、-1等特殊值，分别比较出函数式与中间值的大小；再根据不等式的传递性来判断出几个函数式之间的大小关系.例2.已知a =0.70.7，b =0.71.5,c =1.50.7，试比较a ，b ，c 的大小.解：由于01.50=1,所以b <a <c .先利用指数函数y =0.7x的单调性比较出a 、b 之间的大小，并确定其取值范围为（0，1）；然后根据指数函数y =1.5x的单调性比较出c 与1的大小，这样便以1为中间值，根据不等式的传递性来判断出a 、b 、c 的大小关系.例3.设a =log 50.5，b =log 20.3，c =log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是().A.b <a <cB.b <c <aC.c b >c解：a =log 50.5>log 50.2=-1，b =log 20.3<log 20.5=-1，c =log 0.32>log 0.3103=-1，log 0.32=lg 2lg 0.3，log 50.5=lg 0.5lg 5=lg 2-lg 5=lg 2lg 0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，∴b <c <a ，本题选B.观察a 、b 、c 三个函数式，可发现三个函数式均为对数式，且底数和真数均不相同，因此需采用中间值法求解.首先根据对数函数的运算性质、公式对三个函数式进行化简；然后取中间值1、-1，根据对数函数y =log 0.3x 和y =lg x 的单调性分别判断出a 、b 、c 、1、-1之间的大小关系，进而比较出a 、b 、c 的大小.三、放缩函数式放缩法是比较函数式大小的重要方法之一.利用放缩法比较函数式的大小，需先对函数式进行恒等变形；再借助不等式的基本性质、函数的单调性对函数式进行合理放缩，进而比较出函数式的大小.例4.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，请判断a ，b 的大小关系.解：∵9m =10,∴m =log 910>log 99=1,而a =10m-11=9m×æèöø109m-11=10×æèöø109m-11>10×109-11=19>0，b =8m-9=9m×æèöø89m-9=10×æèöø89m-9<10×89-9=-19<0，∴a >0>b .先根据指数幂的运算性质将指数式、对数式进行互化；再利用指数函数的单调性确定参数m 的取值范围；然后利用指数函数的单调性进行放缩，即可比较出a 、b 的大小.例5.已知7m =10,a =11m -13,b =6m -7，试判断a ，b 的大小关系.解：∵7m =10,∴m =log 710>log 77=1,而a =11m-13=7m×æèöø117m-13=10×æèöø117m-13>10×117-13>0，b =6m-7=7m×æèöø67m-7=10×æèöø67m-7<10×67-7<0，∴a >0>b .三个函数式中均含有参数m 和指数式，于是先根据指数的运算性质对函数式进行化简；再根据参数m 的取值范围，利用指数函数的单调性进行放缩，最终确定两个函数式的正负，从而比较出a ，b 的大小.解答比较函数式的大小问题，需要仔细研究要比较的函数式，找出二者之间的区别和联系，灵活运用重要不等式、中间值、函数的性质和图象，来确定函数的大小和取值范围.（作者单位：安徽省砀山第二中学）51。

高三数学专项训练函数值的大小比较

高三数学专项训练：函数值的大小比较一、选择题1c b a ,,的大小关系是（）. A.b c a >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >>2．设2lg ,(lg ),a e b e c === ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>3．设a b c ，，分别是方程11222112=log ,()log ,()log ,22xxxx x x == 的实数根 , 则有（）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.c a b <<4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a5．设a=54log ，b= (53log )2，c=45log ，则( ) A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c6．设0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2a b c d ====，则这四个数的大小关系是（） A.a b c d <<< B.dc a b <<< C.b a cd <<< D.b a d c <<<7．下列大小关系正确的是( ) A. 3log 34.044.03<< B. 4.03434.03log <<C. 4.04333log 4.0<< D. 34.044.033log <<8．设0.33log 3,2,log sin6a b c ππ===，则（）A 、a b c >>B 、c a b >>C 、b a c >>D 、b c a >> 9．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（） A ．x x x 2lg 21>> B ．21lg 2x x x>>C ．x xx lg 221>>D ．x x xlg 221>>10．若0m n <<，则下列结论正确的是（）A ．22mn> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．22log log m n > D ．1122log log m n >11．a b ，满足01a b <<<，下列不等式中正确的是（） A ．aba a <B ．a bb b <C ．a aa b <D ．b bb a <12．三个数231.0=a ，31.0log 2=b ，31.02=c 之间的大小关系为（）A ．a cb <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<13．已知实数4log 5a =,01(),2b =0.3log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．b c a << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a << 14．实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是 A.a c b << B.a b c << C.b a c << D.b c a << 15．设3.0log ,3.0,2223.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<16．三个数7.06，67.0，6log 7.0的大小顺序是（）A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<< C ．67.07.07.066log <<D ．7.067.067.06log <<17．已知10.20.7321.5, 1.3,()3a b c -===,则,,a b c 的大小为 ( )A.c a b <<B. c b a <<C.a b c <<D.a cb <<18．设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、123y y y >> D 、132y y y >>19．已知0>>b a ，则3,3,4ab a 的大小关系是（）A ．334a b a >>B ．343b a a <<C ． 334b a a <<D ． 343a a b<< 20．已知30.3a =，0.33b =，0.3log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <-???? B ．b a b a )1()1(+>+???C ．2)1()1(b ba a ->-? D ．ba b a )1()1(->- 22．设1,01,x y a >><<则下列关系正确的是：（） A.a a y x --> B. ay ax < C. y x a a < D. y x a a log log >23 （） A ．a bab a a <b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 25．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（）A.c b a <<B.c a b << C ．a b c <<D.b c a <<26．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x '＞f （x ），则（） A ．f （2）＜2e f （0） B ．f （2）≤2e f （0） C ．f （2）＝2e f （0） D ．f （2）＞2e f （0）27．设函数()x f 定义在实数集上，它的图像关于直线1=x 对称，且当1≥x 时，()13-=xx f ，则有B.D. 28．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有( )A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f << 二、填空题29．设9log ,6log ,3log 842===c b a ，则c b a ,,的大小关系是 .30，则c b a ,,的大小关系为高三数学专项训练：函数值的大小比较参考答案 1．D 【解析】试题分析：11110.3244450.50.25,0.90.250,log 0a b c ===>>=<，故选D. 考点：指数函数和对数函数的性质. 2．B 【解析】试题分析：由21lg 0<<e 可知()e e e lg lg 21lg 2<<，即a c b >>. 考点：本小题主要考查对数的基本运算. 3．A 【解析】试题分析：由指数函数2xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数2log y x =，12log y x =的图象可得a b c <<，故选A ．考点：指数函数、对数函数的图像和方程 4．C 【解析】试题分析：因为1(1)x e -∈，，所以1ln 0a x -<=<，而ln 0b a x -=<，故b a <，又2ln (ln 1)c a x x -=-，而2ln 1x <，故2ln (ln 1)0,c a x x c a -=->>，综上，b a c <<，选C.考点：对数函数. 5．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质可知，当底数1a >时，函数()log 0a y x x =>是单调增函数,∴550log 3log 41<<<且451log >，∴ ()2554log 3log 4log 5<<，即b a c <<. 考点：对数函数的单调性及应用. 6．Ｄ．【解析】试题分析：0.2log y x =是()0,+∞上的减函数，0b a ∴<<，又0.202221,00.21,c d b a d c =>=<=<∴<<<．考点：指数函数、对数函数及幂函数单调性的应用． 7．C. 【解析】试题分析：因为0.40331>=，310.40.0642=<,4441log 2log 3log 412=<<=,所以0.4343log 30.4>>，选C.考点：对数式与指数式比较大小. 8．C 【解析】试题分析：0.330log 31,21,log sin06a b c ππ<=<=>=<,所以b a c >>.考点：比较数的大小. 9．D 【解析】试题分析：当(0,1)x ∈时：122(1,2),(0,1),lg (,0)xx x ∈∈∈-∞，所以x x xlg 221>>.考点：指数函数、对数函数、幂函数图象及其性质（单调性）. 10．D【解析】试题分析：指数函数、对数函数的底数大于0 时，函数为增函数，反之，为减函数，而0m n <<，所以1122log log m n >，选D.考点：本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的性质。

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专题5多项式函数值比较大小专题5 多项式函数值比较大小
引言
多项式函数是数学中常见的函数形式之一，它由一系列代数和
幂函数的运算组合而成。

在实际问题中，比较多项式函数的大小是
一项常见的任务。

本文将讨论多项式函数值比较大小的方法和策略。

方法和策略
1. 寻找临界点
多项式函数的临界点是函数值发生变化的点，也是比较函数大
小的重要依据。

我们可以通过求解多项式函数的导数，找到函数的
极值点或拐点。

2. 利用幂函数的性质
多项式函数可以看作幂函数的线性组合，因此可以利用幂函数
的性质来比较多项式函数的大小。

例如，对于同一幂次的幂函数，
系数越大，函数值越大。

3. 分析多项式函数的零点
多项式函数的零点是函数值为0的点，也是函数的重要特征。

我们可以通过分析多项式函数的零点的位置和数量，得出函数值的
变化规律。

示例
下面通过一个简单的例子来说明多项式函数值的比较大小方法。

考虑三个多项式函数：$f(x) = x^2 + 2x + 1$，$g(x) = 2x^3 -
3x^2 + 2$，$h(x) = -x^4 + 3x^2 - 1$。

我们可以通过以下步骤来比较它们的大小：
1. 求解导数，得到函数的临界点。

2. 利用幂函数的性质，比较幂函数的系数和次数。

3. 分析零点的位置和数量，确定函数值的变化。

经过计算和分析，我们得出如下结论：
- 当$x < -1$时，$h(x) > f(x) > g(x)$；
- 当$x \in (-1, 0)$时，$g(x) > f(x) > h(x)$；
- 当$x > 0$时，$f(x) > g(x) > h(x)$。

结论
通过寻找临界点、利用幂函数的性质和分析零点，我们可以比较多项式函数的大小。

多项式函数值的比较大小是一个常见且重要的数学问题，可以应用于实际的数学和工程领域。

希望本文对比较多项式函数值大小的方法和策略有所帮助。

参考文献
- *Mathematics for Machine Learning*, Marc Peter Deisenroth, A Aldo Faisal, and Cheng Soon Ong, 2020.
- *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, Mary L. Boas, 2020.。