[2018年最新整理]弹性力学读书报告

弹性力学读书报告

一、弹性力学的发展及基本假设

弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移的一门学科。最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、胡克的胡克定律。之后牛顿三定律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、迦辽金等人的不断努力。使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种复杂的问题，能够解决强度、刚度和稳定性等问题。目前弹性力学的相关理论在土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。

弹性力学的几个基本假设。1 、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的单值连续函数。2、弹性假设：假设物体是完全弹性的。在温度不变时，物体任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。而与它过去的受力状况无关。当外力消除后，它能够恢复原来的形状。弹性假设就是假设物体服从虎克定律，应力与应变成正比关系。3、均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。5、小变形假设：假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。

二、三维方程

2.1三维应力状态下的平衡微分方程

物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。

如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx ，dy ，dz 。在微六面体x=0面上，应力是σx τxy τxz ；在x=dx 面上的应力，

图一

根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开，略去高阶项，可得

,,xy x xz x xy xz dx dx dx x x x

τστσττ???+ + +??? 同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。最后，所有各面上的应力如图一示。

当弹性体平衡时，P 点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有6个平衡方程

0,0,0

0,0,0

x y z x y z F F F M M M ∑= ∑= ∑=∑= ∑= ∑=

考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得 ()()()0yx x x x yx zx yx zx zx dx dydz dydz dy dxdz x y dxdz dz dxdy dxdy Xdxdydz z

τσσστττττ??+-++???-++-+=? 整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得

0yx x zx X x y z

τστ???+++=???（2-1.1） 同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得

00xy

y

zy yz xz z Y x y

z Z x y z

τστττσ???+++=??????+++=???（2-1.2） 这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X ，Y ，Z 是单位体积里的体积力沿x ，y ，z 方向上的分量。

考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C 平衡于x 方向的轴取力矩平衡得

()()02222

yx

zx yx yx zy zy dy dy dz dz dy dxdz dxdz dy dxdy dxdy y z ττττττ??++-+-=?? 于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项

022

yx zy dy dz dxdz

dxdy ττ= 由此可得 yx zy ττ=

同理可得

,xz zx xy yx ττττ= =

这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。根据剪应力互等定理，式（1-1）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。

2.2三维应力状态下的几何方程

{}x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x z εεεεγγγ??????????????????????????????????==??????????+??????????????????+??????????+??????

2.3三维应力状态下的物理方程

()()()111x x y z x x y z z z x y E

E

E εσμσμσεσμσμσεσμσμσ=

--=--=-- 物理方程的矩阵形式

{}()()[]{}100010001000000000000000000122112122122x x y x x z xy xy yz yz zx zx E D μμμμμμσεμμμσεεσγτγτγτμσεμμμμ---????????????????????-????????===????+-??????-????????????????-??????

其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵

{}()()()[]{}1000100010000002100000021000000211x x y x x z xy xy yz yz zx zx E σμμεσμμεμμεσγμτγμτμγτεσ------+++????????????????????????===ψ??????????????????????????????

三、在极坐标系下的基本方程

3.1应力坐标变换

我们知道，直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为

222

cos sin arctan r x y x r y y r x θθθ?=+=?? ??==???

弹性体在一定的应力状态下，可以在已知直角坐标系中求解应力分量，也可以在极坐标中求解。因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系，称为应力的坐标变化。

在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为

cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x x x r x x y r r xy r θθθθθθθθσσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-?=+-??+-?=-+??-?=+??

在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示，变换后可得方程

cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x y x y r xy x y x y y r x y r xy θθσσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-?=++??+-?=--??-?=+??

3.2极坐标下的平衡方程

020r r r r r r K r r r K r r r θθθθθθτσσσθσττθ

?-??+++=????????+++=???? 3.3极坐标下的几何方程为

r r r r r u r u u r r u u u r r r r θθθθθεεθθ??=?????=+??????=+-????

四、弹性力学解题的主要方法

4.1位移解法

位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。把平衡方程、本构方程和几何方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程，从中解出位移分量。然后再代回几何方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。

4.2应力解法

应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。由协调方程、本构方程和平衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程，再加上平衡方程和力边界条件解出六个应力分量。然后由本构方程求出应变分量，再对几何方程积分即可得到位移分量。由于应力与应变间的胡克定律是代数方程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便很多，所以很少采用应变解法。

4.3应力函数解法

在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的位移方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称之为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。

应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求出应力分量），又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理论中最常用的解法之一。

五、弹性力学的应用举例

例一：悬臂梁

（1） 确定应力函数的边界条件

图二

以A （0，h/2）为起始点，调整1ax by c φφ=+++中的任意常数使

00;0A A A

x y φ

φφ??= ; =

=??（a ）

选左手坐标系且M 以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足