三种函数,一脉相承
探讨三次函数及其图像
探讨三次函数及其图像三次函数是高中数学中一个重要的内容，它的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。
本文将探讨三次函数及其图像的相关知识。
一、三次函数的定义和形式三次函数是指函数的最高次幂为3的多项式函数，通常表示为y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a≠0。
三次函数的定义域为全体实数。
二、三次函数的图像特点1. 定义域和值域：三次函数的定义域为全体实数，值域的范围是整个实数空间。
2. 对称性：三次函数的图像可以有对称的特点。
当a为正数时，图像关于y轴对称；当a为负数时，图像关于x轴对称。
3. 零点和极值点：三次函数的零点是使得函数取值为0的横坐标点，也就是方程ax³+bx²+cx+d=0的解。
根据高中代数学的知识可知，三次函数至多有三个零点。
而极值点是函数的最高点或最低点，求解极值点的方法是求导。
4. 拐点：拐点是三次函数图像由凹变凸或由凸变凹的转折点。
根据高中微积分的知识可知，三次函数有至多两个拐点。
三、三次函数的图像三次函数的图像形态丰富多样，可以通过分析函数的系数来判断图像的具体形状。
1. 当a>0时，函数的图像是开口向上的，并且在拐点附近是向下凹的。
2. 当a0时，函数的图像是开口向下的，并且在拐点附近是向上凸的。
3. 当a=0时，函数的图像是二次函数的图像。
此时，三次函数变成了二次函数。
四、三次函数的应用三次函数的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。
1. 利用图像特点解方程：由于三次函数的零点对应图像的横坐标，因此可以通过观察图像来解三次函数的方程。
2. 利用极值点求解最优问题：三次函数的极值点对应图像的最高点或最低点，在解决最优问题时可以通过求解极值点来得到最优解。
3. 利用拐点解决变化问题：三次函数的拐点对应图像的转折点，可以用来解决某个变量随另一个变量变化而产生转折的问题。
综上所述，三次函数是高中数学中的重要内容。
三类函数可积
三类函数可积
函数可积性是微积分中的一个重要概念，它决定了函数在某个区间上的定积分是否存在。
根据函数的特性，通常可以将函数分为三类：连续函数、有界函数和单调函数。
这三类函数都是可积的。
连续函数是指函数在定义域内的每一点都连续，没有间断点。
对于连续函数，其图像是连续不断的曲线，因此，在闭区间上的连续函数一定存在定积分。
这个结论是微积分学中的基本定理之一。
有界函数是指函数在定义域内有上界和下界。
有界函数的图像总是在上下界之间波动，因此，有界函数在闭区间上也是可积的。
单调函数是指函数在某个区间内单调增加或单调减少。
单调函数的图像是单调上升或单调下降的直线，因此，单调函数在闭区间上也是可积的。
值得注意的是，这三类函数只是可积函数的一部分，还有一些函数不属于这三类，但也是可积的。
例如，一些有震荡间断点的函数在某些区间上也是可积的。
综上所述，三类函数可积是因为它们在闭区间上都有一定的性质，保证了定积分的存在性。
这些性质包括连续性、有界性和单调性。
这些结论在微积分学中具有重要的应用价值，例如在计算面积、解决物理问题等方面都有广泛的应用。
同时，这些结论也是进一步学习微积分学的基础。
三个数字相乘的函数
三个数字相乘的函数在数学领域，三个数字相乘的函数一直备受关注。
这个函数定义为：f(x, y, z) = x * y * z。
它表示了三个数x、y、z的乘积。
本文将详细介绍这个函数，包括其图像、性质、应用场景以及扩展和优化。
一、函数的图像和性质1.图像三个数字相乘的函数f(x, y, z)的图像可以表示为三维空间中的一个曲面。
在笛卡尔坐标系中，函数的图像呈现出类似于山峦起伏的形态。
当x、y、z中有一个为0时，函数值为0；当x、y、z都不为0时，函数值随着x、y、z的变化而变化。
2.性质（1）奇偶性：f(-x, -y, -z) = -f(x, y, z)，故函数为奇函数。
（2）单调性：在固定两个变量的情况下，第三个变量越大，函数值越大。
（3）周期性：函数无周期性。
二、函数的应用场景1.物理学：在物理学中，三个数字相乘的函数常用于描述三个物理量之间的关系，如力、速度和时间之间的关系。
2.工程学：在工程领域，该函数可用于计算三个变量的联合作用，如力学中的力矩、电流和电压等。
3.经济学：在经济学中，三个数字相乘的函数可以用来描述成本、收益和投资之间的关系。
4.社会科学：在社会科学中，该函数可用于分析三个变量之间的相互影响，如人口、资源和环境之间的关系。
三、函数的扩展和优化1.扩展：在实际应用中，三个数字相乘的函数可以扩展为多个变量相乘的函数，如f(x1, x2, ..., xn)。
2.优化：对于给定的函数f(x, y, z)，可以通过求导数的方法来寻找函数的最值。
通过对函数进行优化，可以提高其在实际应用中的性能。
总之，三个数字相乘的函数在数学、物理、工程、经济和社会科学等领域具有广泛的应用。
了解这个函数的性质和应用，有助于我们更好地解决实际问题。
“函数y=f(x)”解码-精品文档
“函数y=f（x）”解码在中学教学的实践中，函数一直以来都是初高中教学的一个非常重点的内容.严格意义上说，初中的函数和高中的函数在本质上是没有什么区别的，但是，一个在初中学习函数感觉非常轻松的学生，到了高中后，感觉比较吃力，综合二十多年的一线教学感悟，笔者在这里对函数y=f（x）从=、f（x）、f、x、（）、y=f（x）六个方面进行解码，谈谈函数的本质特征，探究初高中函数一脉相承的内在逻辑联系.1. 解码函数y=f（x）中的=：y=f（x）从左边到右边就是将初中的“y是x的函数”中的“y”变为高中阶段的f（x）；从右边到左边就是将高中阶段的f（x）变为初中的“y是x的函数”中的“y”. 这从等号的意义可以使高中学生学习这一符号语言不感到神秘抽象，能从初中所学自然过渡到高中的学习，从而降低了高中学习函数的难度. 通过这一等号功能将学习函数y=f（x）的难度降低，变得更加容易了.2. 解码函数y=f（x）中的f（x）：函数y=f（x）能比较直观地把初中函数的文字语言变为高中函数的符号语言. 如：在初中，已知二次函数y=x2+2x+3，当x=3时，求y的值，而到了高中，此题变为已知二次函数f（x）=x2+2x+3，求f（3）的值. 通过初中函数的文字定义化为高中的符号定义，解码了函数y=f （x）的简捷性.3. 解码函数y=f（x）中f：f（x）中的“f”是初中传统函数中的“某一变化过程”，而这一变化过程所反映出的就是函数的表示方法的三种形式：解析法、列表法、图象法.也是高中近代函数“特殊映射”所反映的对应关系，其表示方法的三种形式仍是：解析法、列表法、图象法.但高中函数y=f（x）呈现了以下三个特征：第一，解析法中表达式可以把初中所学的一个解析式变为多个解析式表示，即分段函数，如：已知f（x）=x2+2x+3，x∈[3，+∞），0，x∈（-2，3]，，x∈（-∞，-2]，求：f（5），f（1），f（-3）的值；第二，解析法中表达式可以把初中所学的一个解析式变为不知道的，即抽象函数，如：已知函数f（x）满足：f（xy）=2f（x）+f（y），f（2）=3，f（3）=π，求f（36）的值；第三，解析法中表达式仍可以保留初中所学的一个解析式，如：f（x）=x+，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）.通过以上的三种呈现方式，把函数y=f（x）的抽象性化为具体性.4. 解码函数y=f（x）中的x：函数y=f（x）中的变量x具有赋值功能.如果x赋值具体的数，就是求函数的值，如：已知f（x）=2x+，求f（5），f（f（3））的值.如果x赋值为字母而不是变量，仍旧是求函数的值，如已知：f（x）=x2-3，求f（a），（2a+3）.如果x赋值为函数，就产生一个新的函数，如：已知函数f（x）=2x+1，求f（x2+3x）.如果x赋值为与x相关的量，还会产生函数的奇妙性，如已知函数y=f（x）满足2f（x）+f=3x，求f（x）.分析思路：由于条件的信息只有这个表达式，如果把f（x）看成m，把f看成n，此表达式就可看成一个二元一次方程，要求m就差一个方程，因而就差一个与之相关的方程，此题只有x与之间有变量间的联系，故把x赋值得：2f+f（x）=，比较两式利用方程组思想可得：f（x）=2x-. 通过以上变量x的赋值功能，解码了函数y=f（x）的内容的丰富性.5. 解码函数y=f（x）中的（）：f（x）中的“f作用下的”括号具有整体性功能. 这个括号相当于一个“文件夹”（注这是一个特殊的文件夹，其特殊性就相当于一个房间，不管房间装的是什么数集，但它总在这一个房间变化内而不会超越）即“f作用下的”的括号的范围是一样的. 如果“文件夹”里面装的是x，就是初中所学的函数直接反映自变量x与因变量y之间的关系；如果“文件夹”里面装的是函数g（x）就是高中阶段所学的复合函数y=f（g（x））. 这时我们把“文件夹”看做变量t 的话就是初中所学的“y是t的函数，t是x的函数”两次复合而成的，这时的t就是一个桥的作用，如果把这一桥拆掉仍是“y 是x的函数”，这只不过反映出复合函数y=f（g（x））比初中函数其变化过程复杂而已. 再者我们把y是t的函数作为外函数，t是x的函数作为内函数，这时外函数的f是对“文件夹”而不是直接对“x”而言，这体现括号的整体性功能.如已知f （x+1）=x2+2x，这时“f”的含义不是变量的平方与变量的两倍的和，而是变量的平方与1的差，即f（x）=x2-1（其方法为换元法）；又如：已知复合函数y=f（g（x））的定义域不妨设为（a，b]，求复合函数y=f（h（x））的定义域.分析思路：定义域是指变量x的范围，此题的条件与结论的唯一联系是两个不同复合函数的外函数是一样的，所以f作用下的“文件夹”的范围是一样的，故其思路图如下：例如：已知复合函数y=f（x2+2x）的定义域为[-1，3]，求y=f（2x+6）的定义域.解：因为-1≤x≤3，-1≤x2+2x≤15，所以-1≤2x+6≤15，解不等式得：-≤x≤，所以y=f（2x+6）的定义域为-，.通过以上f（x）中的“f作用下的”括号的整体性功能解码了已知复合函数y=f（g（x））求f（x）以及求复合函数y=f（g （x））的定义域这两大难点，使其抽象性变为了可操作性.6. 整体解码函数y=f（x）：在函数的三要素（定义域、对应法则、值域）中，值域是因函数的定义域、对应法则的确定而确定，故其实质就只有定义域和对应法则两个核心要素，因而在解决函数相关问题时定义域与对应法则是“成对”出现而不能分离. 传统函数定义中的变量x在某一范围内取值明确了函数的定义域，而高中函数y=f（x）中是隐含了函数的定义域，在教学中不注意这点学生很容易产生错误. 如（1）：求函数f（x）=x2-4ln（x-1）的单调递增区间，学生常出现的解法为：因为f ′（x）=2x-≥0，不等式的的解集为[-1，1）∪[2，+∞），所以所求函数的单调递境区间为：[-1，1），[2，+∞）. 此解法没有注意定义域为（1，+∞），其正确答案应是[2，+∞）；再如，设函数f（x）=x--alnx（a∈R），讨论f（x）的单调性.学生常出现的解法：f ′（x）=1+-=，令g（x）=x2-ax+1，其判别式Δ=a2-4.（1）当a≤2时，Δ≤0，f ′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增.（2）当a2时，Δ>0， g（x）=0的两个根为x1=，x2=. 当x0；当x1x2时，f ′（x）>0，所以f（x）分别在-∞，，，+∞上单调递增，f（x）在，上单调递减.从此题的解法来看忽略了f（x）的定义域为（0，+∞）这一条件，分类讨论情况的种类不一样，而以上解题过程的每一种情况的答案都明显有问题，其难度也明显降低了（因为如果方程有两个不等根，那么这两个根是否在其定义域内，对此没有讨论），如注意定义域为（0，+∞）这一条件，则其正确解法如下：f（x）的定义域为（0，+∞）f ′（x）=1+-=. 令g（x）=x2-ax+1，其判别式Δ=a2-4.（1）当a≤2时，Δ≤0，f ′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增.（2）当a0，g（x）=0的两个根都小于0，在（0，+∞）上f ′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）当a>2时，Δ>0，g（x）=0的两个根为x1=，x2=当00；当x1x2时，f ′（x）>0所以f（x）分别在0，，，+∞上单调递增，f（x）在，上单调递减.通过以上两个不同题的解会发现学生只关注了解析式而忽略了函数y=f（x）中隐含的定义域而导致错误，因而在其教学中应强调函数y=f（x）的定义域与对应法则“成对”，由此解决函数y=f（x）相关问题的准确性.综上所述，笔者在函数定义的研究过程中，从六个方面逐一解剖了函数y=f（x）每个符号的含义，并且从整体上探究了函数y=f（x）三要素的内在联系，让我们明确了函数的本质特征，化抽象为具象，让教师在教学中，不仅能够更清晰地分析教材，而且能够指导学生高屋建瓴地灵活运用函数的概念，把握函数的变化，以不变应万变，给学生最明确的解题思路和方法指导，轻松解决函数定义相关的一系列问题. 本文如果能够给教师和学生带来一些方便，实属万幸，如果有不当之处，请各位同行指正.。
第26章反比例函数单元教学计划
第26章反比例函数单元教学计划第一篇：第26章反比例函数单元教学计划第26章反比例函数单元教学计划一、“课标要求”1、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
2、结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。
3、能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
4、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
5、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
6、结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
7、结合具体情景体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定函数的表达式。
8、能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解K>0与K<0时图像的变化。
9、能用反比例函数解决简单实际问题。
二、教材分析：本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象、本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题、反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础。
本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。
三、教学目标知识与技能：(1)领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
（2）能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式。
（3）掌握反比例函数的图象的性质。
（4）能利用反比例函数的图象的性质解决实际问题。
过程与方法：经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程。
运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。
情感态度与价值观：体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。
培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
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三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数变化规律
三次函数的变化规律主要取决于函数的系数和自变量的值。
以下是一些可能影响三次函数变化规律的常见因素：
1.函数的系数：三次函数的系数决定了函数的开口方向、对称轴和顶点等基本性质。
例如，如果二次项系数为正，则函数图像开口向上；如果二次项系数为负，则函数图像开口向下。
2.自变量的值：自变量取不同的值时，函数值也会发生变化。
例如，当自变量取对称轴的值时，函数取得最值。
3.函数的导数：导数可以反映函数的变化速度和方向。
通过求导可以找到函数的极值点、拐点等关键点，从而更好地了解函数的变化规律。
4.函数的奇偶性：奇函数和偶函数的性质不同，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。
这些对称性质也会影响函数的变化规律。
综上所述，三次函数的变化规律是一个复杂的问题，需要考虑多个因素的综合影响。
要了解更多关于三次函数的变化规律，建议查阅数学专业书籍或咨询数学专业人士。
九年级数学三次函数知识点
九年级数学三次函数知识点数学是一门既让人头疼又让人着迷的学科。
而在九年级数学的课程中，三次函数是一个极为重要的部分。
无论是在解题还是应用中，掌握三次函数的知识都是至关重要的。
本文将为大家详细介绍九年级数学中三次函数的一些重要知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们来了解一下什么是三次函数。
三次函数又称为三次多项式函数，它的一般形式可以表示为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数，且a ≠ 0。
在这个表达式中，x是自变量，f(x)是因变量。
三次函数的特点是，它的最高次数项是 x^3，即三次幂。
接下来，我们来讨论三次函数的图像特点。
对于任何一个三次函数，它的图像都是一条连续的曲线。
而这条曲线的整体形态将受到函数的各个系数的影响。
首先，当 a 的值为正时，曲线的开口将朝上；当 a 的值为负时，曲线的开口将朝下。
其次，当 b 的绝对值较大时，曲线将有一个较为明显的弯曲度；而当 b 的绝对值较小时，曲线将更加平缓。
此外，c 的正负也将对曲线的位置产生影响，当 c 的值为正时，曲线将向左平移；当 c 的值为负时，曲线将向右平移。
最后，d 表示函数的纵坐标偏移量，它决定了曲线与 y 轴的交点位置。
在解三次函数的问题中，常常需要求解它的零点。
零点即是函数 f(x) = 0 的解，也就是函数与 x 轴相交的点。
求解一个三次函数的零点通常可以使用因式分解法、配方法和根、系数关系等方法。
其中，因式分解法是最常见的方法。
我们可以将三次函数因式分解为一个一次函数和一个二次函数的乘积，然后再求解出它们的零点。
另外，当我们已经知道一个零点时，可以使用余因子定理求得另外两个零点。
通过这些方法，我们可以准确地求解出三次函数的所有零点。
除了求解零点之外，还有一类与三次函数相关的问题是关于图像的变化过程。
我们可以通过观察函数的系数来得出一些推论。
比如，当a 的绝对值较大时，曲线的上升和下降过程将更为剧烈；而当a 的绝对值较小时，曲线的变化过程将相对缓和。
高一数学《函数及其表示》知识讲解
高一数学《函数及其表示》知识讲解高一数学《函数及其表示》知识讲解《函数及其表示》是高一数学的一个知识点，下面小编为大家介绍高一数学《函数及其表示》知识讲解，希望能帮到大家！考点一映射的概念1．了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2．映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一的一个元素y 与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。
包括：一对一多对一考点二函数的概念1．函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的.取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3．区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]= {xa<x≤b}⑤(a,+∞)={xx>a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=R考点三函数的表示方法1．函数的三种表示方法列表法图象法解析法2．分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
能力知识清单考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
三次函数
三次函数百科名片三次函数基本概念与性质形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。
三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。
目录1二.零点求法1.盛金公式12.盛金判别法13.盛金定理14.传统解法三.三次函数性态的五个要点1四.三次函数对称中心1.三次函数有对称中心12.推广五.其他性质展开编辑本段二.零点求法求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
1.盛金公式一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3= (－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
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10.关于函数 关于函数y=2x -8x，下列叙述中错误的是 关于函数 ， （ D ） A、函数图象经过原点 、 B、函数图象的最低点是（2，-8） 、函数图象的最低点是（ ， ） C、函数图象与 轴的交点为（0，0）， 轴的交点为（ ， ）， 、函数图象与x轴的交点为 （4，0） ， ） D、函数图象的对称轴是直线 、函数图象的对称轴是直线x=-2
角坐标系中直接画出简图， 角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数
8.（2010•毕节地区）把抛物线 （ 毕节地区） 毕节地区 把抛物线y=x +bx+c的 的 图象向左平移3个单位 再向下平移2个单 个单位， 图象向左平移 个单位，再向下平移 个单 所得图象的关系式为y=x2-3x+5，则有 位，所得图象的关系式为 ， （ B ） A、b=3，c=7 B、b=-9，c=25 、 ， 、 ， C、b=3，c=3 D、b=-9，c=21 、 ， 、 ， 9.（2011•随州 9.（2011•随州）已知函数 (x − 1)2 − 1(x ≤ 3) 随州）
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B、y=2（x+3） +1 D、y=-2（x-1） -1
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2011年呼和浩特市中考压轴题： 年呼和浩特市中考压轴题： 年呼和浩特市中考压轴题 已知抛物线y 的图象向上平移m 已知抛物线 1=x2+4x+1的图象向上平移 的图象向上平移 个单位（ ＞ ）得到的新抛物线过点（ ， 个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1， 8）． ）． 的值， （1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写 ） 的值 的形式； 成 y2=a（x-h）2+k的形式； （ ） 的形式 轴下方的部分沿x轴 （2）将平移后的抛物线在 轴下方的部分沿 轴 ）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿 翻折到x轴上方 轴上方， 翻折到 轴上方，与平移后的抛物线没有变化 的部分构成一个新的图象． 的部分构成一个新的图象．请写出这个图象 对应的函数y的解析式 的解析式， 对应的函数 的解析式，并在所给的平面直
②
2 y= x
2
=> ？=>？ =>？ =>？ ？ ？ ？
？ ？ ？ ③ y=x +2x-3=> ？=>？ =>？ =>？
请根据特殊点的坐标分别作出下列二次函数在坐标系 内的草图(要求标明所有特殊点 要求标明所有特殊点)： 内的草图 要求标明所有特殊点 ：
1) y=2x2-12x+10 2) y=2(x+2)(x-2)
3 时对应的函数值y的取值范围 的取值范围； 在-3＜x≤ − 时对应的函数值 的取值范围； ＜ 2
），问是否存 （ ）， （3）设一次函数 3=nx+3（n≠0），问是否存 ）设一次函数y 在正整数n使得 使得（ ）中函数的函数值y=y3时， 在正整数 使得（2）中函数的函数值 对应的x的值为 的值为-1＜ ＜ ，若存在，求出n的 对应的 的值为 ＜x＜0，若存在，求出 的 若不存在，说明理由． 值；若不存在，说明理由．
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• 抛物线的运动问题只需抓住顶点和开 抛物线的运动问题 口方向这两个要素的变化 即可。
将二次函数y=-2（x-1）2-1的图象先向右平移一 （ ） 的图象先向右平移一 将二次函数 个单位，再沿x轴翻折到第一象限 轴翻折到第一象限， 个单位，再沿 轴翻折到第一象限，然后向右平移 一个单位，再沿y轴翻折到第二象限 以此类推， 轴翻折到第二象限…以此类推 一个单位，再沿 轴翻折到第二象限 以此类推， 如果把向右平移一个单位再沿坐标轴翻折一次记 次变换， 作1次变换，那么二次函数 次变换 那么二次函数y=-2（x-1）2-1的图象 （ ） 的图象 经过2009次变换后，得到的图象的函数解析式为 次变换后， 经过 次变换后 （ A ） A、y=2（x-2） +1 C、y=-2（x+2） -1
三种函数，一脉相承 三种函数，
1.回顾一次函数和反比例函数，清理、巩固函数与 图像的脉络关系； 2.函数图象的混合与单调性； 2.二次函数图像的平移。
第一部分：函数的脉络
• 例：①y=2x+3=> 无数点的坐标=>图像：直 y=2x+3=> 无数点的坐标=>图像： =>图像 • =>特殊点的坐标 =>单调性 线 =>特殊点的坐标 =>单调性
A、
B、
C、
D、
第三部分：抛物线的平行移动
• 二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0) 配方： • 二次函数 y=2x2 +4x+3 配方：
它们的图像在什么位置？ 它们的图像在什么位置？
结论： 结论： 抛物线的平移--- 左加右减， 抛物线的平移--- 左加右减，上加下减
1.（2009•庆阳）将抛物线 （ 庆阳） 向下平移1个单 庆阳 将抛物线y=2x2向下平移 个单 位， 得到的抛物线是（ D 得到的抛物线是（ ） A、y=2（x+1）2 B、y=2（x-1）2 、 （ ） 、 （ ） C、y=2x2+1 D、y=2x2-1 、 、 2.（2010•成都）把抛物线 成都） 向右平移1个单位 个单位， （ 成都 把抛物线y=x2向右平移 个单位， 所得抛物线的函数表达式为（ 所得抛物线的函数表达式为（ D ） A、y=x2+1 B、y=（x+1）2 、 、 （ ） C、y=x2-1 D、y=（x-1）2 、 、 （ ） 3.（2010•桂林）将抛物线 桂林） （ 桂林 将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶 绕它的顶 点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ） 点旋转 ° 所得抛物线的解析式是（ A、y=-2x2-12x+16 B、y=-2x2+12x-16 、 、 D、y=-2x2+12x-20 C、y=-2x2+12x-19 、 、
y= ( x − 5)2 − 1( x ≻ 3)
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若使y=k成立的 值恰好有三个，则k的值 成立的x值恰好有三个 若使 成立的 值恰好有三个， 的值 为（ D ） A、0 B、1 C、2 D、3 、 、 、 、
解：函数的图象如图： 函数的图象如图：
根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个， 时 对应成立的 有恰好有三个 有恰好有三个， 根据图象知道当 ∴k=3． ． 故选D． 故选 ．
第二部分：函数单调性与系数的关系
1.（2005•内江）若M（- ，y1）、 （- ， （ 内江） ）、N（ 内江 （ ）、P（ 三点都在函数y= （k y2）、 （ ，y3）三点都在函数 ＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关 ）的图象上， 系为（ 系为（ A ） A、y2＞y1＞y3 B、y2＞y3＞y1 、 、 C、y3＞y1＞y2 D、y3＞y2＞y1 、 、
4.函数 1=2x+3与二次函数 2=x +2x-3 的 函数y 与二次函数y 函数 与二次函数 图象在同一坐标系中， 取什么值时 取什么值时， 图象在同一坐标系中，x取什么值时， y1＜y2 ? x＜− 6 或x＞ 6 ＜ ＞
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5. （2010•兰州）二次函数 兰州） 兰州 二次函数y=ax2+bx+c的图象如 的图象如 图所示，则一次函数y=bx+b2- 4ac与反比例函 图所示，则一次函数 与反比例函 数y= a + b + c 在同一坐标系内的图象大致为 （ A ） x
6.（2009•陕西）将抛物线 （ 陕西） 平移， 陕西 将抛物线y=x2-4x+3平移，使它平移 平移 后的顶点为（ ， ），则需将该抛物线（ ），则需将该抛物线 后的顶点为（-2，4），则需将该抛物线（ C ） A、先向右平移 个单位，再向上平移 个单位 个单位， 、先向右平移4个单位 再向上平移5个单位 B、先向右平移 个单位，再向下平移 个单位 个单位， 、先向右平移4个单位 再向下平移5个单位 C、先向左平移 个单位，再向上平移 个单位 个单位， 、先向左平移4个单位 再向上平移5个单位 D、先向左平移 个单位，再向下平移 个单位 个单位， 、先向左平移4个单位 再向下平移5个单位 7.（2009•天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线 天津） （ 天津 在平面直角坐标系中， y=x2+x-2关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物 关于x轴作轴对称变换 关于 轴作轴对称变换， 线关于y轴作轴对称变换 轴作轴对称变换， 线关于 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得 的新抛物线的解析式为（ 的新抛物线的解析式为（ C ） A、y=-x2-x+2 B、y=-x2+x-2 、 、 C、y=-x2+x+2 D、y=x2+x+2 、 、
在函数y=3x2+6x+12的图象上，则y1，y2， 的图象上， （ 2 ，y3）在函数 的图象上 y3的大小关系为（ 的大小关系为（ ） C A、y1＞y2＞y3 、 C、y2＞y3＞y1 、 B、y2＞y1＞y3 、 D、y3＞y1＞y2 、
2.（2001•宁波）已知点（-1，y1）、（ ，y2）、 宁波） 宁波 已知点（ ， ）、（-3， 1
3.（2008•恩施州）如图，一次函数 1=x-1与反 （ 恩施州） 恩施州 如图，一次函数y 与反 2 比例函数y 的图象交于点A（ ， ）， ），B 比例函数 2= x 的图象交于点 （2，1）， 的取值范围是 （-1，-2）， 则使 1＞y2的x的取值范围是 ， ）， 则使y （ B ） A、x＞2 ＞ B、x＞2或-1＜x＜0 ＞ 或 ＜ ＜ C、-1＜x＜2 ＜ ＜ D、x＞2或x＜-1 ＞ 或 ＜
4.（2009•孝感）将函数 （ 孝感） 的图象向右平移a 孝感 将函数y=x2+x的图象向右平移 的图象向右平移 的图象， 的图象 （a＞0）个单位，得到函数 ＞ ）个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象， 的值为（ 则a的值为（ B ） 的值为 A、1 B、2 C、3 D、4 、 、 、 、 5.（2009•乌鲁木齐）要得到二次函数 （ 乌鲁木齐） 的 乌鲁木齐 要得到二次函数y=-x2+2x-2的 图象，需将y=-x2的图象（ D ） 的图象（ 图象，需将 A、向左平移 个单位，再向下平移 个单位 个单位， 、向左平移2个单位 再向下平移2个单位 B、向右平移 个单位，再向上平移 个单位 个单位， 、向右平移2个单位 再向上平移2个单位 C、向左平移 个单位，再向上平移 个单位 个单位， 、向左平移1个单位 再向上平移1个单位 D、向右平移 个单位，再向下平移 个单位 个单位， 、向右平移1个单位 再向下平移1个单位