向量证明线面平行
向量证明线面平行
引言
在几何学中，我们经常遇到线和面的问题。线与面的关系十分重要，涉及到很多几何性质的证明和应用。而证明线与面平行的问题就是其中之一。本文将通过向量方法来证明线与面的平行关系。
一、向量的基本概念
在开始证明线与面平行之前，我们先来回顾一下向量的基本概念。向量是表示有大小和方向的量，常用符号加粗的小写字母来表示，如a、b。向量的起点和终点分别表示向量的始点和止点，可以通过有向线段来表示。
二、线与面的关系
线与面的关系可以通过线上的一个点与面上的两个不在同一条直线上的点来确定。如果这个点和线上的所有点所组成的向量都与面上的两个点所组成的向量平行，那么我们可以认为线与面平行。
三、线与平面的向量方程
为了证明线与面的平行关系，我们需要先得到线与平面的向量方程。
1.线的向量方程
对于一条线上的任意一点P(x,y,z)，我们可以表示为
r1=a+tb
其中r1表示点P的位置向量，a是线上的一个已知点的位置向量，b是与线平行的向量，t是一个参数。
2.平面的向量方程
对于一个平面上的任意一点Q(x,y,z)，我们可以表示为
r2=c+sd+te
其中r2表示点Q的位置向量，c是平面上的一个已知点的位置向量，d和e
是与平面平行的向量，s和t是两个参数。
四、向量证明线面平行的方法
有了线与平面的向量方程，我们可以通过以下步骤来证明线与面平行：
1.利用线的向量方程，表示线上的点的位置向量；
2.利用平面的向量方程，表示平面上的点的位置向量；
3.求解线与平面上的两个点所组成的向量，并将其与线上的其他点所组成的向
量进行比较；
4.如果这两个向量平行，则可以证明线与面平行。
在具体进行证明时，我们可以先取一个参数值，得到线上的一点的位置向量和平面上的两点的位置向量。然后再取另一个不同的参数值，再次得到线上的一点的位置向量和平面上的两点的位置向量。最后比较这两个向量是否平行，如果平行则证明线与面平行。
五、实例演练
为了更好地理解向量证明线与面平行的方法，我们来看一个实例。假设有一条直线L 过点 A(1, 2, 3)，平面 P 过点 B(4, 5, 6) 和点 C(7, 8, 9)，求证线 L 与平面 P 平行。
1.线的向量方程
根据点 A 和一个与线 L 平行的向量b，我们可以得到线 L 的向量方程为
r1=a+tb
其中a=(1
2
3
)，b还未知。
2.平面的向量方程
根据点 B、点 C 和两个与平面 P 平行的向量d、e，我们可以得到平面 P 的向量方程为
r2=c+sd+te
其中c=(4
5
6
)，d和e还未知。
3.求解线与平面上的向量
取参数值为t=1和s=1，我们可以得到线上一点的位置向量和平面上两点的位置向量分别为：
线上一点的位置向量为r1=a+b=(1
2
3
)+b。
平面上两点的位置向量为r2=c+d+e=(4
5
6
)+d+e。
我们要证明向量r1和r2平行，即向量r1−r2平行于线 L。将r1和r2代入得到：
r1−r2=(1
2
3
)+b−((
4
5
6
)+d+e)
=(−3
−3
−3
)+b−d−e
令r1−r2与b平行：
(−3
−3
−3
)+b−d−e=kb
其中k是一个参数。
根据向量的性质，两个向量平行当且仅当一个向量是另一个向量的倍数。即存在一个参数k使得上式成立。
将方程化简得到
b−kb=d+e−(−3−3−3
)
(1−k)b=d+e+(3 3 3 )
通过比较等式两边的系数可得
1−k=0⇒k=1
(d+e)+(3
3
3
)=0
这说明r1−r2与b平行。即线 L 与平面 P 平行。
六、总结
本文通过向量方法证明了线与面的平行关系。通过线与平面的向量方程，我们可以求得线上的一点的位置向量和平面上的两点的位置向量。通过比较这两个向量是否平行，可以得出线与面平行的结论。
证明线与面平行的方法虽然简单，但在实践中具有重要的应用价值。线与面平行关系是很多几何题目的基础，也是其他数学学科如物理学中的重要概念。因此，掌握向量证明线与面平行的方法对于学习和应用几何学知识非常重要。
刘霞--用向量证明线线平行、线面平行、面面平行
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 高三 数学 刘霞 学习目标：.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行. 复习：1、两向量平行定义、向量与平面平行的定义。 2、共面向量基本定理。 3、线面平行判定定理及性质 4、面面平行判定定理 一、新课讲授： 探究（一）：用向量的方法证明线线平行 位置关系？ 与：若问题关系与重合，则与或：若问题的方向向量分别为，设21212121212 121//v 2?v //1v l l v v l l l l v l l 结论： 探究（二）：用向量证明直线与平面平行 位置关系？与位置关系？则直线与使：若存在唯一一对实数问题关系则不是若与是：若问题的方向向量共面，直线设不共线向量αααl v x y x v l v l l v 21212121y v ,,2? v ,?v 1v += 结论： 推论：如果A,B,C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要条件是，存在一对实数x,y 使得 x y += 探究（三）：用向量证明平面与平面平行 位置关系？ 与位置关系？则平面则：若问题位置关系则：若问题位置关系重合，则与：若问题共面， 设不共线向量分别为βαβββββαββαα2121212121,v ,////v 3?,v //2? ,v 1,v v v v v v 结论：
二、例题讲解： 例1： 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'，点M ，N 分别是面对角线A'B 与面对角线A'C'的中点。 (1) 求证：MN//侧面ADD' A ’ (2) 求证： MN//AD'且 MN= 2 1AD ’ (3) 求证：面A'C'B//面ACD' 练习1已知矩形ABCD 和矩形ADEF ，AD 为公共边，但它们不在同一个平面，点M 、N 分别在对角线BD 、AE 上，且BM= 31BD ，AN=3 1AE,证明直线MN//面CDE
高中数学证明线面平行的方法
高中数学证明线面平行的方法 在高中数学学习中，证明线面平行是一个常见的问题。这个问题需要我们运用一定的数学知识和技巧，来证明两条线段或两个平面之间的平行关系。 下面介绍一些证明线面平行的方法： 1. 向量法 向量法是证明线面平行的常见方法。我们可以用向量来表示线段和平面的方向，然后通过向量的内积来判断它们是否平行。 具体来说，如果两个向量的内积为0，那么它们就是垂直的；如果内积不为0，那么它们就是平行的。 例如，如果要证明直线AB与平面P平行，则可以假设向量AB和平面P的法向量n不平行。然后计算向量AB和n的内积，如果结果为0，则AB与P垂直；如果结果不为0，则AB与P平行。 2. 三角形相似法 如果两个平行线段或两个平面之间的平行关系不容易用向量法证明，可以使用三角形相似法。 具体来说，我们可以选择一个三角形，在两个平行线段或平面上各取一个点，然后通过证明两个三角形相似来证明它们平行。 例如，如果要证明平面P和平面Q平行，则可以选择一个三角形ABC，在平面P上取点A和B，在平面Q上取点C，然后证明三角形ABC和三角形ACB相似，从而得出平面P和平面Q平行的结论。 3. 平行四边形法
平行四边形法是证明线段平行或平面平行的一种简单方法。 具体来说，我们可以找到一个平行四边形，其中两条边分别是要证明平行的线段或平面，然后证明它的另外两条边也平行，从而得出结论。 例如，如果要证明线段AB与线段CD平行，则可以找到一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是相邻的两条边，AC和BD是另外两条边，然后证明AC和BD也平行，从而得出线段AB与线段CD平行的结论。 综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。除了上述方法，还有投影法、反证法等方法。大家可以尝试学习和运用这些方法，提高数学证明的能力。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练 08利用空间向量证明平行、垂直 一、考点传真： 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 二、知识点梳理： 证明平行、垂直问题的思路 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．?3?其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 三、例题： 例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A 1B 1∥ED . 又因为ED ?平面DEC 1，A 1B 1?平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1. （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ?平面ABC ，所以CC 1⊥BE . 因为C 1C ?平面A 1ACC 1，AC ?平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1. 因为C 1E ?平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E . 例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， PA PD ⊥， PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =， AC CD == （1）求证：PD ⊥平面PAB ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求 AM AP 的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)∵面PAD 面 ABCD AD = ，面PAD ⊥面ABCD ， ∵AB ⊥AD ，AB ?面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ， ∵PD ?面PAD ， ∴AB ⊥PD ，
立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直
立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直【考点梳理】 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2．空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分 别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0 【考点突破】 考点一、利用空间向量证明平行问题 【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD. [解析]法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0). 设点C的坐标为(x0，y0，0).
因为AQ →＝3QC →， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ → ·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD . 法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0). ∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则 (x －x 0，y －y 0，0)＝1 4(－x 0，2－y 0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋3 4y 0，∴OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0 又由法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0， ∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
知识图谱 -利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直 错题回顾 利用向量证明空间中的平行关系 知识精讲 一．直线的方向向量与直线的向量方程 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量． 2．直线的方向向量 空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定，如图，点是直线上的一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上任一点，有，这样点和向量，不仅可以确定直线的位置，还
可具体表示出上的任意点；直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量． 3．直线的向量方程 直线上任意一点，一定存在实数，使得①，①式可以看做直线的参数方程，直线的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点，点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式 ②，如果在上取，则上式可以化为 ③；①②③都叫做空间直线的向 量参数方程． 二．平面的法向量 1．平面法向量的定义 已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交．
2．平面法向量的性质 （1）平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 三．用向量方法证明空间中的平行关系 1．线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明或与重合，只需要证明，即． 2．线面平行 （1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明； （2）根据线面平行的判定定理：如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可； （3）根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行．已知两个不共线向量与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或在内存在两个实数，使．
8.7空间向量在立体几何中的应用——证明平行与垂直
1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP → ＝t a ，则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量. (2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB → ，叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )
3、2、1用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
3、2、1用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、 平面与平面平行 编号：9 编制：戴金娜 审核：刘红英 时间：2012－2－15 一、学习重点：掌握用向量的方法证明直线与直线平行、直线与平面平行点在平面内。 学习难点：灵活用向量方法证明空间中平行关系 二、知识梳理 1、设直线l 1和l 2的方向向量分别是为1v 和2v ，由向量共线条件得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔1v ∥2v 。 2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量1v 、2v 与平面a 共面（图（2））， 一条直线l 的一个方向向量为1v ，则由共面向量定理， 可得l ∥a 或l 在平面a 内⇔存在两个实数x 、y ，使 1v ＝x 1v ＋y 2v 。 3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量1v 、2v 与平面a 共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a ∥β或a 与β重合⇔1v ∥β且2v ∥β 4、点M 在平面ABC 内的充要条件 由共面向量定理，我们还可得到：如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是，存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM xAB yAC =+ 成立。 对于空间任意一点O ，由上式可得(1)OM x y OA xOB yOC =--++ ，这也是点M 位于平面ABC 面内的充要条件。 知识点睛 用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意： （1）若l 1、l 2的方向向量平行，则包括l 1与l 2平行和l 1与l 2重合两种情况。 （2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。 例1：如图3－28，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点。 求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝ 12 AD ′。
【高中数学】选择性必修第一册第一章 1
第2课时 空间中直线、平面的平行 学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 知识点一 线线平行的向量表示 设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2. 知识点二 线面平行的向量表示 设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则 l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0. 知识点三 面面平行的向量表示 设n 1 ，n 2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2 . 思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定． 1．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n ＝(2,1，－1)，则( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l ∥α或l ⊂α 答案 D 2．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫－2，1，1 2，则平面β的法向量可以是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，12，1 4 B ．(2，－1,0) C ．(1,2,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1，2 答案 A 3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是________． 答案 α∥β 解析 ∵u ＝－1 4 v ，∴α∥β.
一、证明线线平行 例1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS . 证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M ⎝⎛⎭⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 则MN →，RS → 分别为MN ，RS 的方向向量， 所以MN → ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，RS →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23， 所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS → ，因为M ∉RS ， 所以MN ∥RS . 方法二 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→ ＝c ， 则MN →＝MB 1—→＋B 1A 1—→＋A 1N —→＝1 3c －a ＋12b ， RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝1 2b －a ＋13c . 所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS → . 又R ∉MN ，所以MN ∥RS . 反思感悟 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形． 证明 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→ 为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎫1，1，12，
证明线面平行的判定定理
证明线面平行的判定定理 线面平行是几何学中一个重要的概念，这也是影响几何图形的基本原理之一。历来几何学家们总是想要阐明线面平行的思想，以及客观究竟什么是线面平行，以及它们之间的关系。为了明确线面平行的概念，几何学家通过长期的实验和推理，形成了一个可以检验线面是否平行的定理，而这就是证明线面平行的判定定理。 证明线面平行的判定定理指出：若两线段之一两端都在一个平面内，而另一线段两端都在另一个平面内，则这两条线段所在的平面一定是平行的，即若两空间中的两条线段，其两端在完全不同的平面中，则这两条线段所在的平面是平行的。 我们来用数学的方法证明该定理。设有两条线段ab和cd，其中ab的两端位于平面α中；cd的两端位于平面β中，且α⊥β。定义α的法向量为n1，β的法向量为n2，令n1×n2=n3。由规范余弦定理，即可得出n3=0，说明n1=n2，即α=β，从而证明了该定理。 由于证明线面平行的判定定理明确了两条线段所在的平面是否 平行的标准，因此可以用它来检验几何图形中两条线段是否平行，也可用它来检验不同几何图形中两条线段是否平行。 比如，若两个平面图形中，两条线段分别位于其中，则可以首先求出每个平面图形的法向量，然后比较两个法向量的方向是否一致，若一致则两条线段所在的平面一定是平行的，若不一致则两条线段所在的平面就有可能是不平行的。 此外，由于证明线面平行的判定定理涉及到线段的概念，因此也
可以用于检验两个空间图形中线段是否平行。例如，在空间图形中，可以求出每条线段所在平面的法向量，然后比较两条线段所在平面的法向量是否一致，若一致则两条线段所在的平面一定是平行的，若不一致则两条线段所在的平面就有可能是不平行的。 从上述可知，证明线面平行的判定定理在几何学中具有重大的意义。它不仅可以用来检验几何图形中两条线段是否平行，还可以用来检验空间图形中线段是否平行，而且方便快捷，计算简单，十分有效。 因此，证明线面平行的判定定理在几何学中的应用越来越广泛，但仍需要进一步的研究。未来，随着几何学的发展，证明线面平行的判定定理将会有更多创新，帮助我们进一步理解几何学中的线面平行。
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与 已知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n =（0，1，0） 则：02b EF n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥ 所以EF ∥平面SAD ． （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
证明线面平行的条件
证明线面平行的条件 一、线面平行的定义 线面平行是指一条直线与一个平面没有交点，也就是说，这条直线和平面之间没有共同的点。 二、线面平行的条件 要证明一条直线与一个平面平行，需要满足以下条件： 1. 直线与平面的法向量平行 直线与平面的法向量平行是判断线面平行的基本条件。如果一条直线的方向向量与平面的法向量平行，那么这条直线与平面平行。 2. 直线上的一点到平面的距离 在直线上取一点，然后计算这个点到平面的距离。如果这个距离是一个常数，那么这条直线与平面平行。 3. 直线与平面的夹角 直线与平面的夹角也可以用来判断线面平行的条件。如果直线与平面的夹角为零度或180度，那么这条直线与平面平行。 三、证明线面平行的方法 1. 使用向量法证明线面平行 向量法是证明线面平行最常用的方法之一。具体步骤如下： 1.确定平面的法向量。 2.确定直线的方向向量。 3.判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行。
4.如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则可以得出结论，直线与平面平 行。 2. 使用距离法证明线面平行 距离法也是证明线面平行的一种方法。具体步骤如下： 1.在直线上取一点P。 2.计算点P到平面的距离。 3.移动点P，并再次计算点P到平面的距离。 4.如果这两次计算得到的距离是相等的，那么可以得出结论，直线与平面平行。 3. 使用夹角法证明线面平行 夹角法也可以用来证明线面平行的条件。具体步骤如下： 1.确定直线与平面的夹角。 2.判断直线与平面的夹角是否为零度或180度。 3.如果直线与平面的夹角为零度或180度，则可以得出结论，直线与平面平行。 四、线面平行的应用 线面平行的概念在几何学和物理学中有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： 1.平行线与平行面的相交关系。 2.平行线与平面的投影关系。 3.平行线与平面的交点计算。 4.平行线与平面的解析几何问题。 五、总结 线面平行是几何学中的重要概念，可以通过判断直线与平面的法向量平行、直线上的一点到平面的距离、直线与平面的夹角等条件来证明。线面平行的应用广泛，特别是在几何学和物理学中。了解线面平行的条件和证明方法，对于解决相关的几何问题非常有帮助。