24.3(3) 三角形一边的平行线
24-3数学九年级资料三角形一边的平行线（很好,很全,很详细）
24-3数学九年级资料三角形一边的平行线（很好,很全,很详细）24.3 三角形一边的平行线学习目标：1、通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；2、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3、掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.主要概念：4、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题.主要概念：1、平行线分线段成比例定理用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===. 2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ?=?=? .熟悉定理的几种变形井字型 A 字型 X 字型倒 A 字型畸形(O 无用)3、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例4、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 5、重心的性质三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2、作法：两条中线的交点.3 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.6、三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.7、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 即：如图，如果或或则DE ∥BC .典型例题：【导入】1、同底等高的三角形的面积比是多少？（1：1）2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）4、若cd ab =，（,,,ab c d 均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式：，（让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）,,,,,,,.a d a c c b b d b c d b c a d ac bd b a d c a d a a c b d b c========EBC5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半）【例1】如图若DE ∥BC ，1AD BD=，能否得到1AEEC =?解：由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：1EAD EDB S ADS DB==；由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：EAD EDC S AES EC=. 因为DE ∥BC ，所以 EDB EDC S S ??=，所以EAD EDC S AES EC==1即 . 【例1拓展1】若将DE 向下平行移动能否得到？已知：ABC ?,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥BC .求证： .证明：联结EB ,CD 设E 到BA 的距离为h ，则11,22EAD EDB S AD h S DB h ??= =?, 得EAD EDB S ADS DB=，同理可得EAD EDC S AES EC=，1AD AE DB EC ==CAD AEDB EC=AD AEDB EC=CBCDE ∥BC ,.EDB EDC S S AD AE DB EC ∴=∴=请问：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？今后常用的有三个比例式：【拓展2】若DE 截在AB ,AC 的延长线上，或DE 截在BA ,CA 的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.符号语言：∵DE ∥BC , AD AEBD EC∴=, 用?符号书写：DE ∥BC ?强调在同一条线段上的比例关系.【例2】如图,已知DE ∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE. 解∵DE ∥BC, ∴CEACBD AB =, 由AB =15,AC =10,BD =6,得,∴CE=4 . 【例2拓展练习】1、在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E . （1）已知4,3,5===AE DB AD ，求EC 的长.,,AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===AB ADBC DE=BC15106CE=CE F （2）已知5,4,12===DB EC AC 求AD 的长. （3）已知=BD AD ：3：2，10=AC ，求AE 的长.2、如图，在⊿ABC 中，DE ∥BC ，S ⊿BCD ：S ⊿ABC =1：4，若AC =2，求EC 的长.B3、如图，已知，AB ∥CD ∥EF ，OA =14，AC =16，CE =8，BD =12，求OB 、DF 的长.4、如图，在⊿ABC, DG ∥EC ,EG ∥BC ,求证：2AE =AB ·AD.BC【例3】证明三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.CC分析：DE BC 中的DE 不在△ABC 的边BC 上，但从比例AD AEAB AC=可以看出，除DE外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将DE 移到BC 边上去得CF=DE ，然后再证明AD CFAB BC=就可以了，这只要过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，CF 就是平移DE 后所得的线段. 已知：DE ∥BC ，求证BCDEAC AE AB AD ==. 证明：作DF ∥EC 交BC 于F ,DE ∥BC ,∴四边形DFCE 为平行四边形，得FC =DE , ∵DF ∥EC ,∴AB ADBCFC =, ∴DE AD BC AB=. DE ∥BC 得AD AE AB AC=,∴AC AEAB AD BC DE ==.如上图，当的延长线上时的延长线上或在CA BA AC AB DE ,,结论同样成立，得证。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3 三角形一边的平行线判定定理 教案
三角形一边的平行线判定定理教材分析本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。
第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。
如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。
首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。
以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。
然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。
这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。
学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。
同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。
证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X 型图”或“A 型图”或“分割三角形”，形成证明思路。
24.3(3)_三角形一边的平行线
DE ∥ BC
为什么？
2．例题分析 ．
1.已知：如图，点D,F在边AB 上，点E在边AC上， ， 且DE//BC， AC = AB 求证：EF∥DC.
AE AD
A
F E
D C
B
例2. 如图，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′; 求证：AB∥A′B′.
把上图中的四边形OABC绕O点旋转 绕 点旋转 点旋转180° 把上图中的四边形 ° 得下图，而已知的条件不变， 得下图，而已知的条件不变，结论还成立 用口答形式) 吗？(用口答形式 用口答形式
判断题: 三、巩固练习一.判断题 巩固练习 判断题 1、如图（1），在△ABC中,点D与点E分别在AB、 AC上, AD=3cm, DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm,则 DE∥BC。 ( ) 2、如图（2），已知:BD与EC相交于点 A,AB=8,AE=6,AC=12,AD=9. 则DE∥BC。( ) AB DE = 3.如图(3),若 ,则L1//L2//L3 ( ) AC DF
24.3三角形一边的平行线 24.3三角形一边的平行线 （3）
风华初级中学
赵阳
一、复习
1）三角形一边的平行线的性质定理？
2）三角形中位线定理 3）如图，根据三角形中位线的性质知：当
AD AE = = 1时 DB EC
DE ∥ BC
当
AD AE = DB EC
DE ∥BC ？
二、学习新课
AD AE 已知 ： DB = EC DE ∥ BC 求证：
如果D ,E分别在AB,AC的延长线上时，或在反向 延长线上时，以上结论同样成立
三角形一边的平行线判定定理推论
《24.3三角形一边的平行线》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《三角形一边的平行线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生理解平行线的概念，掌握三角形一边的平行线的基本性质。
2. 通过实际案例和练习，培养学生运用平行线性质解决实际问题的能力。
3. 增强学生的空间想象力和逻辑思维能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下几个部分：1. 基础知识回顾：要求学生回顾平行线的定义和基本性质，包括平行线的识别方法以及同位角、内错角、同旁内角等概念。
2. 课堂知识点讲解：讲解三角形一边的平行线及其性质，如三角形中一条边与另一条延长线平行时，对应的内角关系等。
3. 实例分析：选取几个与三角形一边的平行线相关的实际问题，分析问题的解题思路和步骤，使学生理解如何运用平行线的性质解决实际问题。
4. 练习题：设计一系列与平行线性质相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题等，题型要涵盖基础知识和应用题。
5. 作业布置：要求学生完成一定量的练习题，并留有适当的思考题，为下一课时的学习做好准备。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材和作业指导书，理解并掌握平行线的概念和性质。
2. 在完成作业过程中，学生需独立思考、认真分析，注意审题和解题步骤的规范性。
3. 学生在完成练习题时，要注重对知识的理解和应用，避免死记硬背。
4. 学生在完成作业后，需认真检查答案，确保准确无误。
四、作业评价1. 教师需对学生的作业进行认真批改，对错误的地方进行指导和纠正。
2. 教师需对学生的作业进行评价，对学生的进步和不足进行总结和反馈。
3. 鼓励学生在完成作业后进行自我评价和反思，找出自己的不足之处，以便更好地改进学习方法和提高学习效果。
五、作业反馈1. 教师需将批改后的作业反馈给学生，让学生了解自己的错误和不足。
2. 教师需针对学生的错误和不足进行指导和帮助，帮助学生改正错误和提高学习效果。
3. 教师需根据学生的反馈和表现，及时调整教学计划和教学方法，以提高教学质量和学生的学习效果。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在学习《三角形一边的平行线》这一课题时所掌握的知识与技能。
24.3(4)三角形一边的平行线
D E l1 G l2
F
G
F
l2 C l3
B
B
C
l3
1
1
2
F
G
l2 C l3
B C l3
B
• 例题1：已知：如图， l1// l2//l3，AB=3，AC=8， DF=10，求DE、EF的长.
A B D E l1 l2
C
F
l3
• 例题2：已知线段a、b、c.求作线段x,使a： b= c： x
a b c
• • • • • • •
练习：书P20 总结： 1、这节课的收获 2、平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例 3、平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段 相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 • 数学语言表示：
24.3（4）三角形一边的平行线
• 一、复习 • 三角形一边的平行线性质定理： • 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例. • 数学语言表示：
A
A
E A D l
D
E
B C E l
B C
B
C
D
• 二、新课 • 1、思考：如图，已知△ABC，直线l1与边AB、 AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分 别相交于点F、G， l1// l2//BC.那么所截得的对应 线段是否成比例？ A
D E l1 G
F
l2 C
B
• 2、平行线分线段成比例定理： • 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线 段成比例 • 3、平行线等分线段定理： • 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直 线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得 D E 的线段也相等 l D E l • 数学语言表示： F G l
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册第24.3节《三角形一边的平行线》主要介绍了三角形一边的平行线的判定方法。
本节内容是在学生掌握了平行线的性质、平行公理以及三角形的基本概念的基础上进行学习的，为后续学习三角形的相关性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质和平行公理，对三角形的基本概念也有了一定的了解。
但是，对于如何利用这些性质和概念来判定三角形一边的平行线，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探索，从而掌握三角形一边的平行线的判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形一边的平行线的判定方法，能运用所学知识解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形一边的平行线的判定方法。
2.教学难点：如何引导学生发现并证明三角形一边的平行线。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、思考、探索，发现三角形一边的平行线的判定方法。
2.案例分析法：通过分析具体案例，使学生理解并掌握三角形一边的平行线的判定方法。
3.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学素材：相关案例、图片、视频等。
3.课件准备：制作课件，展示三角形一边的平行线的判定方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平行线的性质和平行公理，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示三角形一边的平行线的判定方法，引导学生观察、思考、探索。
3.操练（10分钟）教师提出相关问题，学生分组讨论，运用所学知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示典型例题，引导学生独立解答，巩固所学知识。
24.3(4)三角形一边的平行线
平行线等分线段定理：
两条直线被三条平行线所截，如果在一条 直线上截得的线段相等，那么在另一条直 线上截得的线段也相等
l1 ∵DE∥FG∥BC
l2
几何语言：
l3
又∵ DF=FB ∴ EG=GC
平行线分线段成比例定理常见的 图形：
“井”型
畸形
“A”型
“X”型
例题分析：
例题1： 如图AD∥BE ∥CF，AB=3，AC=8，DF=10， 求DE,EF的长
平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条平行线所截，截得的对 应线段成比例
平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条平行线所截，截得的对 应线段成比例 几何语言：
添加：如果DF=FB
如图：
DF EG FB GC
l1
得出： EG=GC
l2
l3 ∵DE∥FG∥BC
DF EG DB EC
∴
BF CG BD CE
DF EG DB EC
DF EG 即： FB GC
BF CG 成立吗？ BD CE
边 AB 与 AC 被三条平行线所截， 结果： 截得的对应线段成比例
将△ABC的三边AB、AC和 变式： BC改成直线DB、直线EC和 直线BC，其他条件不变
l1
结果可表述：
边 DB AB 与直线 与边AC EC被三条平行 l 2 直线 线所截，截得的对应线段成 l3 比例
巩固练习：
1)在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，且 AE：EB=5：3， DC=16cm， 求FC的长。
2）．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7， 求EC的长.
例题2 已知线段a,b,c,求作线段x,使a：b=c：x
24.3(3)三角形一边的平行线
H
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与 边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长， 与线段BC的延长线交于点P. （3）若 ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数 关系式.
H
6.过△ ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中 线AD分别交于和E.求证：AE:ED=2AF:FB
三角形一边的 平行线的判定
1.三角形一边的平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的对应线段成 比例.
字母 A 型
A
复 习
字母 X 型
E D
A
D B
E C
B C
2.三角形一边的平行线的性质定理的推论
平行于三角形的一边的直线，截其它两 边所在的直线，截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例.
所得的对应线段成比例，那么
A
这条直线平行于三角形的第三边
AD AE 已知： DB EC 求证： DE∥BC
C
D B
E’
E
问题二
AB AC 已知： AD AE
A求证： DE∥BC NhomakorabeaB D
C E
问题三
AD AE 已知： AB AC
求证： DE∥BC
E D
A
M
N
B
C
1.三角形一边的平行线的判定定理 A
问题四
AD DE 若 那么 DE∥BC吗？ AB BC 你能举反例吗?
A
A
E'
D B
E C
B
D
E C
练一练
1. △ABC的边AB、AC上各有一点D、E， 使DE//BC的条件是（ ）
24.3(3)三角形一边的平行线(精)
B
C
（三）对于 X 型图，采用两边截取，证全等而得 DE∥BC，见书。 （四）证明举例：如图，已知 AB∥ AB ，BC∥ BC ，求证 AC∥ AC
O
OA OB OA OB OC OB BC∥ BC OC OB
AB∥ AB
AD AE DB EC AB AE DB EC AB AC AD AE
2∥BC
拓 展 链 接
练习册 24.3（3） * 作 业 布 置 必做题 （课内外） 课课练 选做题 （课内外） 1、由比例式判定两直线平行的方法不习惯，需细心指导；大多数学生书写较好； 2、对于同一法与截取法的辅助线方法不作要求。
教师：
围绕三角形一边的平行线的判定定理创设问题情境‘通过启发、诱导、组织变式 训练等，不断发出信息，让学生有节奏地动脑、动口、动手，积极地去探索、分 析和解决问题，获得知识，使学生的思维得到充分的训练．
多媒体演示
自主探究，得出结论
基础较弱
教师加以提示，引导
*教学过程： （一）引入由比例式判定两直线平行的定理 在△ABC 中，直线 DE 分别截 AB 和 AC 于点 D 和 E，且满足下列条件之一： ①
A
C
OA OC AC ∥ AC OA OC
A
B
B
C
（五）学生操作：P57，仿举例格式，做 N1
（六）小结：注意由比例式判定两直线平行的四线段只能是非平行线。 对学有困难生的设计： 若不能理解探索的过程，则结合图形，一定要知道什么样儿的条件能得到什么结论： 1）A 字型 条件： 结论：
AD AE AB AE AB AC ，② ，③ ，即可得 DE∥BC。 DB EC DB EC AD AE
上海教育版数学九上24.3《三角形一边的平行线》ppt课件
当 l1∥l2∥l3,
AB BC时
AB DE BC EF
A B C
D l1 E l2
F l3
三条平行线截两条直线，所得的 对应线段成比例.
若：BC // DE 则：
A
A
E
D
A
D
EB
C
B
CD
EB
C
平截“A” 型
平截“X” 型
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其它直线上截得的线段也相等.
例题： 如图，D是△ABC的BC边上的点，
BD：DC=2：1，E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, 求：BE：EF的值.
A
E中 F
B
D
C
求：BE：EF的值. 解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
P
n E y
F ?yy
n
2k
k
B
D
C
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
则 PE DE 1， BP BD 2,
直线l与边AB,AC的延长线相交,那么AD AE ?
DB EC
A
AB AC DB CE
B
C
D
EL
还可以得到哪些比例式？
三角形一边的 平行线
平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边的延长线）所得的对应线段成比例。
A
如果： BE // CF
DE
那么：AB AE
BC EF
B
C
E
D
A
BA E
CB
若：BC // DE 则：
A
A
E
D
A
D
EB
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B
( 课本P.18练习 ) 2. 已知：如图，点A1、B1、C1分别在射线OA、OB、 OC上，且AB//A1B1，BC//B1C1 . 求证：AC//A1C1 . OA OB = AA1 BB1 O AB//A1B1
A B A1 B1
? ?
C C1
BC//B1C1
OB OC = BB1 CC1 OA OC = AA1 CC1 AC//A1C1
D B
E C
F
∵ CF//DB，CF=DB .
∴ 四边形BCFD是□ . ∴ DF//BC，即：DE//BC .
说明：根据比例的性质可知， AD AE 在关系式：① ， = DB EC BD CE AD AE = ② ，③ = AB AC AB AC 中，由其中一个可推出其余两个. 因此，以关系式①、②、③之一 为已知条件，都可推出DE//BC .
B
C
→ 议一议：
如图，在△ABC中，点D、E分别 DE AD 在边AB、AC上，如果 , = D BC AB 能否推出DE//BC，为什么？
B
A
E’
E C
适时小结： 三角形一边的平行线性质定理推论的逆命题 是不成立的!
利用中间比来过渡是证明线段比例关系的一种重要思路.
已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在 AF AD 边AC上，且DE//BC ， . = AD AB 求证：EF//DC . AD AE = AB AC
9 B
D6ຫໍສະໝຸດ ( 课本P.18练习 )1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (3) AD=8cm，AC=16cm，AE=6cm，AB=12cm ；
A 12 8 D B 6 E 解：DE与BC不平行 . 理由：∵ AD=8，AB=12， 16 AE=6，AC=16 ； AD 8 2 ∴ = = ， AB 12 3 C AE 6 3 = = AC 16 8 . AD AE ∴ ∴ DE与BC 不平行. ≠ AB AC
1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (2) AD=6cm，DB=9cm，AE=4cm，AC=10cm ；
解：DE与BC平行 . A 理由：∵ AD=6，DB=9， 4 AE=4，AC=10 ；∴ AB=15 . E 10 AD 6 2 ∴ = = ， AB 15 5 C AE 4 2 = = AC 10 5 . AD AE ∴ ∴ DE//BC . = AB AC
第二种情况： 如果点D、E分别在AB、AC的延长线上(如图1)； 或在它们的反向延长线上(如图2)，且具备： BD CE AD AE AD AE ① ,② ,③ = = = AB AC DB EC AB AC 的条件之一，那么也可以用上述同样的方法推出 DE//BC .
A
E
D
A
B D
C E
B
C
( 图1 )
→ 这节课你有什么收获和感悟？
A D B
A
E C
1. 三角形一边的平行线判定定理： 如果一条直线截三角形的两边所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形 的第三边 .
2. 三角形一边的平行线判定定理推论： 如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两 边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段 成比例，那么这条直线平行于三角形的第三 边.
4 B D 3 解：DE与BC平行 . 理由：∵ AD=3cm，DB=4cm， 1.8 AE=1.8cm，CE=2.4cm ； E AD 3 AE 1.8 3 2.4 ∴ = = = . ， DB 4 EC 2.4 4 C AD AE ∴ = DB EC ∴ DE//BC .
( 课本P.18练习 )
B
A
D
E C
可见三角形一边的平行线性质定理的逆命题是成立的 . 这样，我们就得到以下定理：
如果一条直线截三角形的两边 所得的对应线段成比例，那么 这条直线平行于三角形的第三边 .
符号表达式之一： AD AE ∵ = DB EC
A D
E C
B
∴ DE//BC (三角形一边的平行线判定定理) 适时小结： 定理中是截三角形两边的对应线段成比例， 与平行线段无关 !
三角形一边的平行线性质定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例 . 问1：三角形一边的平行线性质定理的逆命题是什么？ → 如果一条直线截三角形两边所在的直线所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 问2：我们如何证明这个文字命题呢？ 先画出符合题意的图形，在写出 “已知”、“求证”，然后“证 明” .
B D
C
E A
D
E
B
C
3. 可利用“线段的比例关系”推出 “两直线的平行关系”， 又多了一种判定两直线平行的方法 . 4. 利用中间比来过渡是证明线段比例关系的一种重要思路.
《 练习册 》 习题24.3(3)
E
D
A
A
A
D B
E C B
D C B E
C
还记得：三角形一边的平行线性质定理吗？
→ 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例 .
只与被截得的线段有关，与平行线段无关！
E A
D
A
A
D B
E C
B D C E
B
C
如图，∵ DE//BC ，可得到哪些对应线段成比例？ AD AE DB EC AD AE ∴ …… ； ； = = = DB EC AB AC AB AC
A
D C E
F D
E C
B
A
B
F D
? ?
E C
AD AE ∴ ( ? ) = AB AC AF AD 又 = AD AB AF AE ∴ = AD AC
∴ EF//DC . ( ? )
( 课本P.18练习 )
1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (1) AD=3cm，DB=4cm，AE=1.8cm，CE=2.4cm ； A
已知：如图1，在△ABC中，点D、E AD AE 分别在AB、AC边上，且 . = DB EC 求证：DE//BC A 证明：过点C作CF//AB,交DE 的延长线于点F . AD AE 则： = CF EC AD AE 又 = DB EC AD AD ∴ = CF DB ∴ CF=DB .
中 间 比
( 图2 )
如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的 延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边.
A
符号表达式之一： AD AE ∵ = DB EC
E
E A
D
B D
C
∴ DE//BC
( 图2 ) ( 图1 ) 适时小结： 三角形一边的平行线判定定理及其推论，为我们 提供了一种全新的两直线平行的判定方法!
如果一条直线截三角形两边所在的直线所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
这个命题可以分为两种情况来讨论： 第一种情况： 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边. 已知：如图，在△ABC中，点D、E AD AE 分别在AB、AC边上，且 . = DB EC 求证：DE//BC . AD AE 不妨以 为例 B = DB EC
A
要证明 //DC，只要证得对应线段成比例就 DEEF //BC OK！证哪些对应线段成比例比较好呢？
F D
E C
? ?
AF AE = AD AC
B
已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在 AF AD 边AC上，且DE//BC ， . = AD AB A 求证：EF//DC . 证明：∵ DE//BC ,
A
D
E C
已知：如图，在△ABC中，点D、E AD AE 分别在AB、AC边上，且 . = DB EC 求证：DE//BC
A D
A
E C
F
D B
E C
F
B
问：当点 D、E分别是AB、AC的中点时， 曾记否？当年我们如何证明 我们能否用同样的 AD AE 方法证明本题？ 三角形的中位线定理？ = 是否依然成立？ 此时DE是△ABC DB EC 的什么重要线段?
( 课本P.18练习 )
1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (4) AB=2BD，AC=2CE .
A D
解：DE与BC平行 . 理由：∵ AB=2BD，AC=2CE ；
E C
BD 1 CE 1 ∴ = 2 ， = . AB 2 AC BD CE ∴ = AB AC ∴ DE//BC .