三角函数的图像变换
三角函数的图像变换
三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程等领域中有着广
泛的应用。而其中，图像变换是三角函数中一个非常有趣和重要的概念。图像变换可以通过改变三角函数的参数来改变其图像的形状、位置和大小。本文将探讨三角函数的图像变换，并介绍一些常见的图像变换方法。
首先，我们来讨论正弦函数的图像变换。正弦函数的一般形式为y = A*sin(Bx
+ C) + D，其中A、B、C和D分别是函数的振幅、周期、相位和纵坐标平移量。
通过改变这些参数，我们可以实现正弦函数图像的各种变换。
首先，我们来看振幅的变换。振幅决定了正弦函数图像的上下波动程度。当振
幅A增大时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会增加，图像变得更加陡峭。相反，当振幅A减小时，正弦函数的波峰和波谷的高度也会减小，图像变得更加平缓。
接下来，我们来看周期的变换。周期决定了正弦函数图像的重复性。当周期B
增大时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离增加，图像变得更加拉长。相反，当周期B减小时，正弦函数的波峰和波谷之间的距离减小，图像变得更加压缩。
然后，我们来看相位的变换。相位决定了正弦函数图像的水平位置。当相位C
增大时，正弦函数图像向左平移，波峰和波谷的位置向左移动。相反，当相位C
减小时，正弦函数图像向右平移，波峰和波谷的位置向右移动。
最后，我们来看纵坐标平移量的变换。纵坐标平移量决定了正弦函数图像的垂
直位置。当纵坐标平移量D增大时，正弦函数图像向上平移，波峰和波谷的位置
上升。相反，当纵坐标平移量D减小时，正弦函数图像向下平移，波峰和波谷的
位置下降。
除了正弦函数，余弦函数和正切函数也可以进行图像变换。余弦函数的图像变
换和正弦函数类似，只是相位的变换方向相反。正切函数的图像变换则更为复杂，它的一般形式为y = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C和D同样是函数的参数。
通过改变这些参数，我们可以实现正切函数图像的各种变换，包括振幅、周期、相位和纵坐标平移量的变换。
在实际应用中，三角函数的图像变换可以帮助我们更好地理解和分析各种周期性现象。例如，在物理学中，正弦函数的图像变换可以用来描述振动和波动现象；在工程学中，正切函数的图像变换可以用来分析电路中的交流信号。通过对三角函数图像变换的研究，我们可以更深入地理解这些现象，并且能够更好地应用于实际问题的解决中。
总之，三角函数的图像变换是数学中一个重要且有趣的概念。通过改变函数的参数，我们可以实现正弦函数、余弦函数和正切函数图像的各种变换，包括振幅、周期、相位和纵坐标平移量的变换。这些图像变换不仅有助于我们更好地理解三角函数的性质，还可以应用于各种实际问题的分析和解决中。无论是在几何、物理还是工程领域，三角函数的图像变换都具有重要的意义。
高考数学中的三角函数图像的映象变换
高考数学中的三角函数图像的映象变换 三角函数作为高中数学的基础知识，其图像映象变换是数学考试中必须掌握的知识点。在高考考试中，从题目的大量出现可以看出，对于学生来说，了解清楚三角函数图像的映象变化是取得高分的要点之一。本文将从三角函数的基础知识开始，讲解其图像映象变化的演变过程以及对数学计算的影响。 一、三角函数的基础知识 三角函数是学习高中数学的基础知识，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)。其中，正弦函数 sin(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之内的波浪线；余弦函数 cos(x) 的周期为2π，其函数图像在2π 区间内是一个周期性区间之外的波浪线；正切函数 tan(x) 是一个不断向两侧无限延伸的函数。 二、三角函数图像的映象变换 1. 垂直方向的拉伸和压缩变换
垂直方向的拉伸和压缩变换是指通过改变三角函数图像的振幅，使其映射为一张更高或更矮的图像。具体来说，若三角函数的振 幅从原先的 A 拉伸为 2A，则会使三角函数的波浪线在垂直方向拉伸；反之，若三角函数的振幅从原先的 A 压缩为 A/2，则会使三 角函数的波浪线在垂直方向压缩。 2. 水平方向的平移变换 水平方向的平移变换是指通过移动三角函数图像的水平坐标轴，使其波峰和波谷发生横向位移。具体来说，若将 sin(x) 函数向右 平移 h 个单位，则对应的函数为 sin(x-h)；反之，若将 sin(x) 函数 向左平移 h 个单位，则对应的函数为sin(x+h)。 3. 镜像对称变换 镜像对称变换是指通过对 x 轴或者 y 轴进行镜像反转，使函数 图像在经过镜像后，出现左右位置颠倒的情况。具体来说，若将 sin(x) 函数关于 y 轴进行镜像对称，则对应的函数为 sin(-x)；若将sin(x) 函数关于 x 轴进行镜像对称，则对应的函数为 -sin(x)。
三角函数第七课图像的变换
三角函数第七课 §三角函数图像变换 复习：指出y = sin x 的图像变换为)3 2sin(π +=x y 的图像的两种方法 平移法过程： 两种方法殊途同归 (1) y=sinx 相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(?+ω=x A y (2)y=sinx 周期变换y=sin ωx 相位变换y=sin(ωx+φ)振幅变换)sin(?+ω=x A y 三种变换： 1. 平移变换 ①对“x ”左加右减; ②对“y ”上加下减。 2. 翻折变换 ①关于x 轴翻折 ②关于y 轴翻折 ③关于原点翻折 ④对“x ”加绝对值 ⑤对“y ”加绝对值 3. 伸缩变换
②周期变换 巧求初相角，最高点法 例题如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋?)(A ＞0，ω＞0)，｜?｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 练习： 1.(1)y ＝sin(x ＋4 π )是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (2)y ＝sin(x － 4π )是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (3)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin(x ＋4π )向 平移 个单位得到的. 2.要得到函数y ＝sin(2x －3 π)的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 A.向左平移3 π B.向右平移3 π C.向左平移6 π D.向右平移6 π 3.若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋4 π )，则原来的函数表达式为( ) A.y ＝sin(x ＋ 43π) B.y ＝sin(x ＋2π) C.y ＝sin(x －4π) D.y ＝sin(x ＋4π)－4 π 4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移 3 π ，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( ) A.y ＝sin(2x ＋3π) B.y ＝sin(2x －3π) C.y ＝sin(2x ＋32π) D.y ＝sin(2x －32π ) 5. 函数y ＝cos( 4 32π π+x )的最小正周期是__________. 6.要得到函数y ＝cos(2x －4 π )的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A.向左平移8π个单位 B.向右平移8 π 个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 7.把函数y ＝cos(3x ＋ 4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移4 π B.向左平移4 π C.向右平移12 π D.向左平移12 π 8.如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( ) A.A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6 π B.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43π C.A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43π D.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6 π
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征 三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数 图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。在本文中，我 们将探讨三角函数的变换和它们的特征。 一、平移变换 平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。对于三角函 数而言，平移的规律如下： 1. 正弦函数（Sine Function）的平移： a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0， 则向右平移；若a < 0，则向左平移。 b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。 2. 余弦函数（Cosine Function）的平移： a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0， 则向右平移；若a < 0，则向左平移。 b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。 二、伸缩变换
伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。对于三角函数而言， 伸缩的规律如下： 1. 正弦函数的伸缩： a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1， 则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。 b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。 2. 余弦函数的伸缩： a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1， 则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。 b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。 三、翻转变换 翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转的操作。对于三角函 数而言，翻转的规律如下： 1. 正弦函数的翻转： a. 沿横轴翻转：f(x) = sin(-x)，函数图像相对于原点进行翻转。 b. 沿纵轴翻转：f(x) = -sin(x)，函数图像相对于y轴进行翻转。 2. 余弦函数的翻转：
三角函数图像变换顺序详解(全面)
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
三角函数图像变换规律
三角函数图像变换规律 三角函数图像变换是数学和物理学中重要的一部分，它将函数变换为图像表示。这里，我们将探讨三角函数图像变换的各种变换规律。 首先，让我们来讨论一下sin (x)的变换规律。三角函数的变换可以分为一次变换、二次变换和三次变换，其中一次变换是指对于给定的sin (x)来说，将x作为一次变换的函数。图像中的sin (x)图像变换规律是在坐标原点(0，0)的情况下，假设原函数的值是一定的，则在做一次函数变换时，原点会绕着y轴旋转，由此形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状是一致的，只是位置发生了变化。图像变换后，原点在原来函数上恒定距离处又会产生新的一点，经过多次变换后，这样的模式称为周期性振荡模式，它定义了以一定周期性振荡的模式运行，在未来将得到更多的研究。 其次，我们讨论一下cos (x)的变换规律。cos (x)的变换规律与sin (x)的变换规律大致相同，也分为一次变换、二次变换和三次变换。但是，cos (x)的图像变换与sin (x)的变换还是有一些不同之处。首先，cos (x)的图像变换规律是在坐标原点（0，0）的情况下，当处于一次变换过程中时，原点会绕着x轴旋转，形成一个新的抛物线，与原抛物线的形状相同，只是位置发生了变化。其次，当cos (x)进行二次变换时，其图像变换规律会发生变化，该函数会绕着原点旋转，而不是绕着x轴旋转，即原点会在函数上恒定距离处产生新的点，不断重复，形成一个新的抛物线，与原函数形状大体相同;最后，在三次变换时，cos (x)变换规律将会有所不同，在此条件下，
函数会绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的抛物线，该抛物线上点的位置会比原函数上更加密集。 最后，我们来讨论一下tan (x)的变换规律。类似于sin (x)和cos (x)，tan (x)也可以进行一次、二次和三次变换，其图像变换的规律也大致相同。在一次变换时，原点绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状大体相同;二次变换时，原点绕着原点旋转，而不是绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同;三次变换时，原点绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同。 综上所述，三角函数图像变换是数学和物理学中重要的一部分，我们探讨了sin (x)、cos (x)和tan (x)的图像变换规律，这些规律最终形成一个周期性振荡模式，进一步加深了对三角函数变换规律的理解，为进一步推广应用做出了新的贡献。
三角函数的变换与性质
三角函数的变换与性质 三角函数在数学中起着重要的作用，它们与三角学和几何学密切相关。本文将探讨三角函数的变换与性质，包括平移、缩放和反射等变换，以及周期性、奇偶性和对称性等性质。 1. 平移变换 三角函数的平移变换指的是在横轴或纵轴方向上对函数图像进行平 移操作。对于y = sin(x)来说，平移变换可以表示为y = sin(x - a)或y = sin(x + a)，其中a表示平移的量。当a大于0时，图像向右平移；当a 小于0时，图像向左平移。 同样地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以用相似的方式 进行平移变换。平移变换可以帮助我们理解函数图像的移动规律，对 解决实际问题中的几何和物理相关问题具有重要意义。 2. 缩放变换 三角函数的缩放变换是指改变函数图像在横轴或纵轴方向上的尺度。对于y = sin(x)来说，缩放变换可以表示为y = a*sin(x)或y = sin(ax)，其中a表示缩放的比例。当a大于1时，函数的振幅增大，图像变窄；当 a小于1时，函数的振幅减小，图像变宽。 类似地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，缩放变换也可以用类 似的方式进行。缩放变换可以帮助我们研究函数图像的形状和变化， 对数学建模和图像处理等领域有着广泛应用。
3. 反射变换 三角函数的反射变换是指改变函数图像关于横轴或纵轴的对称性。 对于y = sin(x)来说，反射变换可以表示为y = -sin(x)或y = sin(-x)，其 中负号表示对称性的改变。经过纵轴反射后，图像关于纵轴对称；经 过横轴反射后，图像关于横轴对称。 对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以通过反射变换来改变图 像的对称性。反射变换有助于我们研究三角函数图像的特征和性质， 对对称几何和信号处理等领域有一定的应用价值。 4. 周期性 三角函数具有明显的周期性特征，即函数在一定区间内的值重复出现。对于y = sin(x)来说，它的周期为2π，即在每个2π的区间内，函 数的值会重复。类似地，y = cos(x)和y = tan(x)等函数也具有相应的周 期性。 周期性使得三角函数在周期性现象的描述和分析中起到重要的作用，如声波振动、天体运动等。周期性还与傅里叶级数展开和信号处理等 相关领域密切相关。 5. 奇偶性和对称性 三角函数的奇偶性与其图像关于原点的对称性相关。对于y = sin(x) 来说，它是一个奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)；而y = cos(x)是一个 偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
三角函数的像变换与平移
三角函数的像变换与平移 三角函数是数学中非常重要的概念之一，在三角函数中，像变换与平移是两个重要的概念。它们描述了函数图像在坐标系中的移动和变形过程。本文将重点介绍三角函数的像变换与平移。 1. 像变换（Image Transformation） 像变换是指通过特定的变换规则，改变函数图像的形状、位置或尺寸等性质。对于三角函数而言，常见的像变换包括拉伸、压缩、翻转和反转等。 1.1 拉伸（Stretch） 拉伸是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更长或更短。对于正弦函数（sin）和余弦函数（cos）而言，拉伸可以分别沿横轴和纵轴方向进行。 例如，当正弦函数的图像被沿横轴方向拉伸时，函数的周期将变得更长，波峰和波谷之间的距离增加；而当余弦函数的图像被沿纵轴方向拉伸时，函数的振幅（波峰或波谷与横轴的距离）增加。 1.2 压缩（Compression） 压缩是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更短或更窄。与拉伸相反，压缩使函数的周期变短，波峰和波谷之间的距离缩小；同时，压缩会使函数的振幅减小。 1.3 翻转（Reflection）
翻转是指将函数图像相对于横轴或纵轴进行对称变换，以改变图像的朝向。对于正弦函数和余弦函数而言，翻转可以使波形上下颠倒或左右翻转。 1.4 反转（Inversion） 反转是指将函数图像的正负进行翻转，使得原本正值的部分变为负值，负值的部分变为正值。对于正弦函数和余弦函数而言，反转会使波形关于横轴或纵轴进行对称。 2. 平移（Translation） 平移是指将函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动，以改变图像的位置。对于正弦函数和余弦函数而言，平移可以使波形向左或向右平移一定的距离，或者向上或向下平移。 2.1 横向平移（Horizontal Translation） 横向平移是指将函数图像沿横轴方向上移动，通常用参数h表示平移的距离。当h为正值时，函数图像向右平移；当h为负值时，函数图像向左平移。 2.2 纵向平移（Vertical Translation） 纵向平移是指将函数图像沿纵轴方向上移动，通常用参数k表示平移的距离。当k为正值时，函数图像向上平移；当k为负值时，函数图像向下平移。 3. 总结
三角函数的变换
三角函数的变换 三角函数是数学中重要的概念，它描述了角度和三角形之间的关系。在数学和物理领域，我们经常需要对三角函数进行变换，以便简化计 算或者得到更加具体的结果。以下将介绍三角函数的常见变换及其特点。 1. 平移变换 平移变换是最常见的三角函数变换之一。平移变换将函数图像沿着 横轴或纵轴平移一定的单位。对于正弦函数sin(x)，平移变换可以表示 为y = sin(x - c)或y = sin(x + c)，其中c表示平移的单位。这种变换改 变了正弦函数的相位，使得图像在横向移动。 2. 伸缩变换 伸缩变换是通过改变三角函数的振幅或周期来实现的。对于正弦函 数sin(x)，伸缩变换可以表示为y = a*sin(bx)，其中a和b分别表示振 幅和周期的变化系数。当a>1时，振幅增大；当0 4. 相位差变换 相位差变换是通过改变角度值来实现的。对于正弦函数sin(x)，相 位差变换可以表示为y = sin(x + d)，其中d表示相位差。相位差变换改 变了正弦函数的起始位置，使得图像在横向发生移动。 5. 复合变换 除了单独的平移、伸缩、反转和相位差变换，我们还可以将它们组 合起来进行复合变换。通过在函数的输入和输出上进行多次变换，可 以得到更加复杂的函数图像。例如，可以将平移和伸缩变换组合来实 现在横向上平移并且改变振幅的效果。 三角函数的变换在数学和物理中有着广泛的应用。它们可以用来描 述周期性现象、波动传播以及信号处理等。通过灵活运用变换的技巧，我们可以简化计算过程并得到更加准确的结果。 总结 三角函数的变换是数学中重要的概念之一。平移、伸缩、反转和相 位差变换是常见的三角函数变换方式，它们分别改变了函数图像的位置、振幅、正负号和起始位置。通过灵活运用变换的技巧，我们可以 更加方便地处理三角函数相关的问题。 三角函数的周期性与像的变换三角函数是数学中重要的基本函数之一，它具有周期性和像的变换特点。本文将围绕三角函数的周期性和像的变换展开讨论。 一、周期性 三角函数的周期性是指函数图像呈现出重复的规律性。对于正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)而言，它们的周期都是2π。也就是说，当x 增加2π时，函数的值会重复。 例如，我们可以观察正弦函数sin(x)的图像。从x=0开始，sin(x)的图像逐渐上升，当x增加到2π时，sin(x)的值回到初始值0，图像呈现出闭合的周期性。 在数学中，我们将周期为2π的正弦函数和余弦函数称为基本周期函数，可以通过平移、伸缩等变换得到新的周期函数。 二、像的变换 三角函数的像的变换是指通过改变函数的参数，可以使函数图像发生平移、伸缩、翻转等变化。 1. 平移变换 平移变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行整体移动。以正弦函数sin(x)为例，当我们对其进行平移变换sin(x+a)时，函数图像将沿x 轴向左平移a个单位。 类似地，对于余弦函数cos(x)而言，cos(x+a)的平移变换也是沿x轴向左平移a个单位。 2. 伸缩变换 伸缩变换是指通过改变函数的振幅和周期，改变函数图像的形状和大小。以正弦函数sin(x)为例，当我们对其进行伸缩变换sin(bx)时，函数图像的周期由原来的2π/b变为2π/(b|)。 同时，振幅也会发生变化，由原来的1变为1/|b|。当b>1时，函数图像在x轴上横向收缩；当0 三角函数图像的变换 三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。 一、平移变换 平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。二、伸缩变换 伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。当b大于1时，函数图像横向压缩；当0 除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来 得到更复杂的函数图像变换。比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。 以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论 这些变换对函数图像的具体影响。 1.平移变换的影响： 平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。假设原函数图像 位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原 来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。 2.伸缩变换的影响： 横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。当b大于1时，函数图像在x轴方 向上被压缩，变得更加陡峭；当0 高中数学中的三角函数与图像变换 在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，它与图像变换密切相关。通过研 究三角函数的性质和图像变换的规律，我们可以更深入地理解数学的美妙之处。 一、三角函数的基本性质 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。它们的定义域是实数集，值 域是[-1,1]。其中，正弦函数的图像是一条连续的波浪线，余弦函数的图像是一条 连续的曲线，正切函数的图像是一条在某些点上无限接近于正无穷或负无穷的曲线。这些函数在数学和物理中有广泛的应用，如波动现象、周期性运动等。 二、三角函数的图像变换 图像变换是指通过一定的规则对函数的图像进行平移、伸缩、翻转等操作，从 而得到新的图像。在三角函数中，平移、伸缩和翻转是常见的图像变换方式。 1. 平移变换 平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。对于三角函 数而言，平移变换可以改变函数的图像在坐标平面上的位置。例如，对于正弦函数y=sin(x)而言，将其平移向右2个单位可以得到y=sin(x-2)，而平移向上3个单位可 以得到y=sin(x)+3。平移变换可以使函数的图像在坐标平面上上下左右移动，从而 改变函数的位置。 2. 伸缩变换 伸缩变换是指将函数的图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩。对于三角函 数而言，伸缩变换可以改变函数的图像在坐标平面上的形状。例如，对于正弦函数y=sin(x)而言，将其在横轴方向上压缩一半可以得到y=sin(2x)，而在纵轴方向上拉 伸2倍可以得到y=2sin(x)。伸缩变换可以使函数的图像在坐标平面上变得更加宽 或更加窄，从而改变函数的形状。 3. 翻转变换 翻转变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向进行翻转。对于三角函数而言，翻转变换可以改变函数的图像在坐标平面上的方向。例如，对于正弦函数y=sin(x) 而言，将其沿着横轴翻转可以得到y=-sin(x)，而沿着纵轴翻转可以得到y=sin(-x)。翻转变换可以使函数的图像在坐标平面上上下或左右翻转，从而改变函数的方向。 三、三角函数与图像变换的应用 三角函数与图像变换的应用非常广泛。在物理学中，三角函数的图像变换可以 用来描述波动现象，如声波、光波等。在工程学中，三角函数的图像变换可以用来设计和分析电路、信号处理等。在计算机图形学中，三角函数的图像变换可以用来生成动画、模拟物理效果等。 总结起来，高中数学中的三角函数与图像变换是一个有趣且重要的话题。通过 研究三角函数的基本性质和图像变换的规律，我们可以更深入地理解数学的美妙之处，并将其应用于实际问题中。无论是在物理、工程还是计算机领域，三角函数与图像变换都发挥着重要的作用，为我们解决问题提供了有力的工具。让我们一起探索数学的奥秘，发现其中的乐趣和应用价值吧！ 三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议，变A 伸压 y 无疑， 变φ 要把系数提，正φ 左进负右移． 周期变换是通过改变x 的系数来实现的，即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关．这是因为ω π 2=T ，故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍，则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变)，故有“变T 数倒系数议”之说． 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x 的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说． 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容．对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图像，哪是新函数的图像，再据本歌诀所述，很快就可得到解决． 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像，可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x ， 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可．故选(B)． 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=，即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得，须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可．故选(B)． 点评 由于当ω ϕ- =x 时, 相位0 =+ϕω x ．因而，我们可称此时的相位为零相位．由此可 见，在作相位变换时，其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的．对于本题而言，由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ，故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ，π 处．易知要平移的数值是： 3 )4 (12 π π π = - -，方向是向 右的．显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法． 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1，只需把C 上所有的点先向右平移 ，再将 ． ( ) (A) 5 2π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位，横、纵坐标都伸 三角函数图像的变换 一．x y sin =图像的三种变换： ①函数x y sin =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵 坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到 函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ϕ ω 个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 二．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π ω T = ；③频率：12f ω π = =T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122 x x x x T =-<． 三．练习 1.已知简谐运动()2sin( )()3 2 f x x π π ϕϕ=+< 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小 正周期T =_________；初相ϕ=__________． 2.三角方程2sin(2 π －x )=1的解集为_______________________． 3.函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π <ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________ ． {2,}3 x x k k Z π π=±∈ )48sin(4π+π-=x y 第3题 三角函数图形的变换 1、正弦与余弦函数图象的变换 2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象 一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种 变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍 (ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移 ω ϕ| |个单 位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象 得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上 再扩充到R 上 沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短 沿x 轴平 移|ωϕ |个单位 纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短 【经典例题】 图像变换一：左右平移 1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4 π 个单位，所得函数的解析式为 _________ 2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5 π 个单位，所得函数的解析式为 _________ 图像变换二：纵向伸缩 3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。 4、由函数R x x y ∈=,sin 4的图像得到R x x y ∈=,sin 的图像，应该是将函数 R x x y ∈=,sin 4上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或 “缩短”）为原来的______（横坐标不变）而得到的图像。 图像变换三：横向伸缩 5、对于函数R x x y ∈=,3s i n 的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或“缩短”）为原来的______ （纵坐标不变）而得到的图像。 图像变换四：综合变换 6、用两种方法将函数x y sin =的图像变换为函数)3 2sin(π +=x y 的图像 解：方法一： x y sin =−−−−−→−)(x y 2sin =−−−−→ −) ()32sin(6(2sin ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡ +=x x y 方法二： x y sin =−− −−→−) () 3 sin(π +=x y −−−−→ −) ()3 2sin(π + =x y 总结：方法一： 先伸缩后平移()A →→ϕω 方法二：先平移后伸缩 ()A →→ωϕ 三角函数图像平移变换 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这 两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移 个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 1.为得到函数的图像，只需将函数 的图像（ A ） A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移 5π 12 个长度单位 C ．向左平移个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ D ） A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移 π 3 个单位 D ．向左平移 π 6 个单位 3.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ B ） (A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度 (C)向左平移 6π个单位长度 (D)向左平移3 π 个单位长度 4.把函数sin y x =（ ）的图象上所有点向左平行移动 个单位长度，再 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是C A ，x R ∈ B ，x R ∈ 三角函数图像平移变换 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换） 先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移 ω ϕ| |个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。 1。为得到函数πcos 23y x ⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ） A ．向左平移5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6个长度单位 D ．向右平移5π 6个长度单位 2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛ ⎫=- ⎪3⎝ ⎭的图象（ D ） A ．向右平移 π6个单位 B ．向右平移π 3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π 6 个单位 3.为了得到函数)6 2sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ） (A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π 个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3 π 个单位长度 4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标 缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C A sin(2)3y x π=-，x R ∈ B sin()26x y π =+，x R ∈ C sin(2)3y x π=+，x R ∈ D sin(2)3 2y x π =+,x R ∈ 5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π =+的图像B 三角函数y A x =+sin()ωϕ的图像变换 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1结合具体实例，理解y=Asin ）（ϕω+x 的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin ）（ϕω+x 的简图。会用计算机 画图，观察并研究参数ϕω,,A ，进一步明确ϕω,,A 对函数图象的影响。 2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin ）（ϕω+x 的图象。 3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。 1、函数图象的左右平移变换 如在同一坐标系下，作出函数)3sin(π +=x y 和)4 sin(π -=x y 的简图， 并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。 解析：函数)3 sin(π +=x y 的周期为2π，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简 图。 设Z x =+ 3π，那么Z x sin )3sin(=+π，3 π -=Z x 当Z 取0、ππππ2232，，，时，x 取-πππππ3 6237653、、、、。所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ，⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。 列表： x - π 3 π 6 23π 76π 53π x + π3 π 2 π 32π 2π sin()x + π 3 1 －1三角函数的周期性与像的变换
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