5--典型环节传递函数-延时环节
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典型环节传递函数
Zi
(i 1,2, , m)
9
-1.33 -2 z2 -1
-0.5 z1
图2-7 传递函数的零极点图
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模
态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F ( s) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) a3 an a1 s a2 (s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
B( s) br [ ( s p1 ) r ] s p1 A( s)
br j 1 d j B( s ) { j[ ( s p1 ) r ]}s p1 j! ds A( s)
br 1 {
d B( s ) [ ( s p1 ) r ]}s p1 ds A( s)
10
2.3.4典型元部件的传递函数 电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
E -电位器电源(v)
max －电位器最大工作角(rad)
11
图2-8 电位器
E
U (t )
U(t)
θ
-∏
∏
(t )
(b)
(a)
U (t ) K1 (t )
E E K1 2
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
(i 1,2, , m)
9
-1.33 -2 z2 -1
-0.5 z1
图2-7 传递函数的零极点图
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模
态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F ( s) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) a3 an a1 s a2 (s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
B( s) br [ ( s p1 ) r ] s p1 A( s)
br j 1 d j B( s ) { j[ ( s p1 ) r ]}s p1 j! ds A( s)
br 1 {
d B( s ) [ ( s p1 ) r ]}s p1 ds A( s)
10
2.3.4典型元部件的传递函数 电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
E -电位器电源(v)
max －电位器最大工作角(rad)
11
图2-8 电位器
E
U (t )
U(t)
θ
-∏
∏
(t )
(b)
(a)
U (t ) K1 (t )
E E K1 2
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
典型环节的传递函数
2.4 典型环节的数学模型P22
一、比例环节（Proportional Element）P23
二、惯性环节（Inertial Element） P23
三、积分环节（Integral Element）
P24
四、微分环节（Derivative Element） P26
五、振荡环节（Oscillating Element） P28
一、 比例环节
二、惯性环节（Inertial Element）P23
1.
动态微分方程：
dc(t) dt
c(t)
Kr(t)
2. 传递函数： 3. 阶跃响应
G(s) C(s) K
R(s) s 1
——时间常数 K——比通1 例系数
t
c(t) K (1 e )
过 原 点
惯性越大， 越大 当 t (3 ~ 4) 时，输出接近稳态值
5.零极点分布
j S平面
1 0
Re
只有一个极点
1
6.两个实例：
①
R2
u i R1 - C
+
②
R
ui
C
uo
Z1 R1,
而
Z2
R2 1 R2Cs
Uo(s) Z2
R2 R1
Ui (s) Z1 1 R2Cs
'
~ ui 为积分环节。
四、微分环节（Derivative Element） P26
理想微分环节：
1. 动态微分方程：
c(t)
dr(t)
dt
2. 传递函数
G(s) C(s) s
典型环节传递函数
θ 1 θ 2
u(t ) K1[1 (t ) 2 (t )] K1 (t )
K1 2 K11 图2-9 电位器
U(t)
K1是单个电位器的传递函数， (t ) 1 (t ) 2 (t ) 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
U (s) K1 ( s )
5 振荡环节
n 1 G( s) 2 2 2 2 T S 2TS 1 S 2 n S n
2
T
1
式中 ξ－阻尼比 , (0 1) n -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
n
振荡环节的单位阶跃响应曲线
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其
电位器的负载效应一般要求rl17测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置直流测速发电机交流测速发电机dt图210测速发电机转子角速度radsktktsk18电枢控制直流伺服电动机例29中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为tmk2tmk1tmk1stm图212两相伺服电动机两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成
（b)
(t ) 转子角速度（rad/s）
Kt
Ω (s)
H (s)
Kt SKt 图2-11
U(s)
输出斜率（v/rad/s）
U ( s) Kt S ( s)
U(s)
G( s)
G( s)
U ( s) Kt ( )
18
电枢控制直流伺服电动机 例2-9中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为
G (s) C (s) R( s)
如果将
S
d dt
置换 传递函数 微分方程
8
性质7
传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输 入时的输出响应。
u(t ) K1[1 (t ) 2 (t )] K1 (t )
K1 2 K11 图2-9 电位器
U(t)
K1是单个电位器的传递函数， (t ) 1 (t ) 2 (t ) 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
U (s) K1 ( s )
5 振荡环节
n 1 G( s) 2 2 2 2 T S 2TS 1 S 2 n S n
2
T
1
式中 ξ－阻尼比 , (0 1) n -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
n
振荡环节的单位阶跃响应曲线
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其
电位器的负载效应一般要求rl17测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置直流测速发电机交流测速发电机dt图210测速发电机转子角速度radsktktsk18电枢控制直流伺服电动机例29中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为tmk2tmk1tmk1stm图212两相伺服电动机两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成
（b)
(t ) 转子角速度（rad/s）
Kt
Ω (s)
H (s)
Kt SKt 图2-11
U(s)
输出斜率（v/rad/s）
U ( s) Kt S ( s)
U(s)
G( s)
G( s)
U ( s) Kt ( )
18
电枢控制直流伺服电动机 例2-9中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为
G (s) C (s) R( s)
如果将
S
d dt
置换 传递函数 微分方程
8
性质7
传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输 入时的输出响应。
典型环节传递函数及伯德
G(s) =
= τ 2s 2 + 2 ζτs + 1
R(s)
29
7. 二阶微分环节
Gjω 1 2ζ Tjω T 2 jω2
L ω 20lg 1 T2ω 2 2 2ζ Tω 2
ω tg1 2ζ Tω
1 T 2ω 2
二阶微分 环节的幅 频和相频 特性分别 与振荡环 节的相应 特性是关 于横轴对 称。
2
4
6 8 10
7. 二阶微分环节
28
二阶微分环节的传递函数是振荡环节的倒数。
特点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关。
方块图为:
R (s)
τ 2s 2 + 2 ζτs + 1
C (s)
运动方程： 传递函数：
d 2r(t)
dr(t)
c(t) = τ 2
+ 2 τζ
+ r(t)
dt 2
dt
C(s)
L( ) dB
40
0.7
20
0.3 0.2
0
( )
180 90
0.7
0.3 0.2
40
0
1
1
10T
T
10
T
1 T
( ) 90
0.1 0.2 0.3
0.7 1
0.1 0.2 0.3 0.7 1
L() 40 lgT 40 lg1 0(dB)
180 0.1
0.2
0.4 0.6 0.8 1
说明 ω ω为n 二T阶1 系统(振荡环节)的转折频率。
/n
产生谐振峰值，阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
Y (s) E(s) G1(s)G2 (s) G(s)
典型环节的传递函数
15
输出量与输入量对时间积分成正比，即 输出量随时间的增长而不断增长， 增长的斜率为1/T.
R1
Ur
K0
Uc
积分放大器原理
c(t) r(t)
t
4
实例：积分环节的特点是它的输出量为输入 量对时间的积累。如水箱的水位与水流量、 烘箱的温度与热流量、机械运动中的转速 与转矩、位移与速度、速度与加速度、电 容的电量与电流等。
R(s) Ts 1
R1
ur t i1(t)
C1
该环节存在储能元件，典型惯性环节的 微分方程为一阶常微分方程，其特点 是当系统输入有阶跃变化时，系统输 出是由零逐渐跟上，如图所示。(a)为 系统的输入变化，(b)为系统的输出 响应。输出按单调指数规律上升.
7
也就是说，当输入量发生突变时，输出量不能 突变，只能按指数规律逐渐变化，就反映了该环 节具有惯性。
微分环节常用来改善系统的稳态误差。
• 3.理想微分环节
微分方程： 传递函数：
y(t) dx(t)
dt
G(s) Y(s) s
X (s)
实用微分环节：
G(s)
Y (s) X (s)
Ts 1 Ts
动态响应：当x(t)=1(t),R(s)=1/s时， Y (s) G(s)X (s) s • 1
即输出量相对于输入量滞后一个恒定时间。
在延迟时间很小的情况下，延迟环节可 以用一个小惯性环节来代替。
实例：液压油从液压泵到阀控油缸的管道传 输产生的时间上的延迟；热量通过传导因 传输速率低而造成的时间上的延迟；各种 传送带因传送造成的时间上的延迟；晶闸 管整流电路，当控制电压改变时要等到下 一个周期开始后才能响应。
则
y(t) (t)
5--典型环节传递函数-延时环节
3．举例 ① 液压油从液压泵到阀控油缸间的管道传输产生的时间上
② 热量通过传导因传输速率低而造成的时间上的延迟。 ③ 晶闸管整流电路，当控制电压改变时，由于晶闸管导通
后即失控，要等到下一个周期开始后才能响应，这意味 着，在时间上也会造成延迟(对单相全波电路，平均延 迟时间 =5ms；对三相桥式， =1.7ms) ④ 各种传送带(或传送装置)因传送造成的时间上的延迟。 ⑤
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
3．举例
一钢板轧机如图，若轧机轧辊中心线到厚度测量仪的距
离为d (这段距离无法避免)，设轧钢的线速度为v，则测
得实际厚度的时刻要比轧制的时刻延迟 （
）。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间
1．微分方程
式中 —
(Delay Time)。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
2．传递函数与功能框
由拉氏变换延迟定理可得
若将
按泰勒(Tayor)
由于 很小，所以可只取前两项，
上式表明，在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用 一个小惯性环节来代替。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement) 2．传递函数与功能框
延时环节的 功能框图
阶跃响应
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
② 热量通过传导因传输速率低而造成的时间上的延迟。 ③ 晶闸管整流电路，当控制电压改变时，由于晶闸管导通
后即失控，要等到下一个周期开始后才能响应，这意味 着，在时间上也会造成延迟(对单相全波电路，平均延 迟时间 =5ms；对三相桥式， =1.7ms) ④ 各种传送带(或传送装置)因传送造成的时间上的延迟。 ⑤
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
3．举例
一钢板轧机如图，若轧机轧辊中心线到厚度测量仪的距
离为d (这段距离无法避免)，设轧钢的线速度为v，则测
得实际厚度的时刻要比轧制的时刻延迟 （
）。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间
1．微分方程
式中 —
(Delay Time)。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
2．传递函数与功能框
由拉氏变换延迟定理可得
若将
按泰勒(Tayor)
由于 很小，所以可只取前两项，
上式表明，在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用 一个小惯性环节来代替。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement) 2．传递函数与功能框
延时环节的 功能框图
阶跃响应
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
5--典型环节传递函数-延时环节
④ 各种传送带(或传送装置)因传送造成的时间上的延迟。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
3．举例 一钢板轧机如图，若轧机轧辊中心线到厚度测量仪的距 离为d (这段距离无法避免)，设轧钢的线速度为v，则测 得实际厚度的时刻要比轧制的时刻延迟 （ ）。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayEleme
1．微分方程
式中 — (Delay Time)。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement) 2．传递函数与功能框
由拉氏变换延迟定理可得 若将 按泰勒(Tayor)
3．举例
① 液压油从液压泵到阀控油缸间的管道传输产生的时间上
② 热量通过传导因传输速率低而造成的时间上的延迟。
③ 晶闸管整流电路，当控制电压改变时，由于晶闸管导通
后即失控，要等到下一个周期开始后才能响应，这意味 着，在时间上也会造成延迟(对单相全波电路，平均延
迟时间
⑤
=5ms；对三相桥式，
=1.7ms)
由于
很小，所以可只取前两项，
上式表明，在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用 一个小惯性环节来代替。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement) 2．传递函数与功能框
延时环节的
功能框图
阶跃响应
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
5传递函数典型环节
d uc K K dt
在零初始条件下， c (s) Ks ( s ) U
传递函数：
U c ( s) G( s) Ks ( s )
§2.4 典型环节及传递函数(16)
§2.4.3 微分环节： 例： dui ui iC dt R 在零初始条件下：
1 I ( s ) (1 RCs)U r ( s ) R
R
ur(t)
C
i(t)
传递函数：
G( s)
I ( s) 1 1 Ts, 式 中T RC U r ( s) R R
§2.4 典型环节及传递函数(6)
§2.4.4 惯性环节：
时域方程： Ty ' (t )
y (t ) k x(t ), t 0
k Ts 1
传递函数： G ( s ) Y ( s)
若输入输出变量选择不同，同一部件可以 有不同的传递函数 ； 任一传递函数都可看作典型环节的组合。
§2.4 典型环节及传递函数(2)
§2.4.1 比例环节：按比例复现输入信号的变化。
时域方程：
y (t ) k x(t ), t 0
Y (s) k X (s)
r(t),c(t) k 1 0
传递函数： G ( s )
§2.4.4 惯性环节：实例：
①
R2
u i R1
C +
uo
1 1 1 R2Cs R2 Z1 R1 , Cs , Z 2 Z 2 R2 R2 1 R2Cs R2 U i ( s) U 0 U o (s) R1 而 , Z1 ( s ) Z 2 U i (s) 1 R2Cs
1
§2.4 典型环节及传递函数(7)
在零初始条件下， c (s) Ks ( s ) U
传递函数：
U c ( s) G( s) Ks ( s )
§2.4 典型环节及传递函数(16)
§2.4.3 微分环节： 例： dui ui iC dt R 在零初始条件下：
1 I ( s ) (1 RCs)U r ( s ) R
R
ur(t)
C
i(t)
传递函数：
G( s)
I ( s) 1 1 Ts, 式 中T RC U r ( s) R R
§2.4 典型环节及传递函数(6)
§2.4.4 惯性环节：
时域方程： Ty ' (t )
y (t ) k x(t ), t 0
k Ts 1
传递函数： G ( s ) Y ( s)
若输入输出变量选择不同，同一部件可以 有不同的传递函数 ； 任一传递函数都可看作典型环节的组合。
§2.4 典型环节及传递函数(2)
§2.4.1 比例环节：按比例复现输入信号的变化。
时域方程：
y (t ) k x(t ), t 0
Y (s) k X (s)
r(t),c(t) k 1 0
传递函数： G ( s )
§2.4.4 惯性环节：实例：
①
R2
u i R1
C +
uo
1 1 1 R2Cs R2 Z1 R1 , Cs , Z 2 Z 2 R2 R2 1 R2Cs R2 U i ( s) U 0 U o (s) R1 而 , Z1 ( s ) Z 2 U i (s) 1 R2Cs
1
§2.4 典型环节及传递函数(7)
《自控原理》典型环节的传递函数
3.结构图： 结构图： 结构图 R(S)
1 T2S2+2ξTS +1
C(S)
七、二阶微分环节
d2r(t) dr(t) 2 + r(t) =c(t) 1.微分方程： 微分方程： 微分方程 τ + 2ξτ 2 dt dt
τ：环节的时间常数;ξ：阻尼比。
2.传递函数： 传递函数： 传递函数
G ( s ) = τ S + 2ξτS + 1
G(S)=K
R(S)
K
C(S)
二、积分环节
1.微分方程： c(t)=∫r(t)d(t) 微分方程： 微分方程 ∫ 2.特点： 特点： 特点 输出对输入信号上在时间上的积分。 输出对输入信号上在时间上的积分。 1
3.传递函数： 传递函数： 传递函数
G(S)=
R(S)
S
4.结构图： 结构图： 结构图
1 S
种简单的形式组成，这些典 型的单元，称作典型的环节。
1、比例环节： 、比例环节： 2、积分环节： 、积分环节： 3、纯微分环节： 、纯微分环节：
G(S)=K 1 G(S)= S G(S)=S
1 G(S)= 4、惯性环节： 、惯性环节： TS+1 5、一阶微分环节： G(S)= τS+1 、一阶微分环节： ω2n 6、二阶振荡环节： G(S)= 2 、二阶振荡环节： S +2 ξωnS+ω2n ω 7、二阶微分环节： G ( s ) = τ 2 S 2 + 2ξτS + 1 、二阶微分环节： τ G(S)=e-τs 8、延迟环节： 、延迟环节：
4.结构图： 结构图： 结构图
S
四、惯性环节（一阶环节） 惯性环节（一阶环节）
1 T2S2+2ξTS +1
C(S)
七、二阶微分环节
d2r(t) dr(t) 2 + r(t) =c(t) 1.微分方程： 微分方程： 微分方程 τ + 2ξτ 2 dt dt
τ：环节的时间常数;ξ：阻尼比。
2.传递函数： 传递函数： 传递函数
G ( s ) = τ S + 2ξτS + 1
G(S)=K
R(S)
K
C(S)
二、积分环节
1.微分方程： c(t)=∫r(t)d(t) 微分方程： 微分方程 ∫ 2.特点： 特点： 特点 输出对输入信号上在时间上的积分。 输出对输入信号上在时间上的积分。 1
3.传递函数： 传递函数： 传递函数
G(S)=
R(S)
S
4.结构图： 结构图： 结构图
1 S
种简单的形式组成，这些典 型的单元，称作典型的环节。
1、比例环节： 、比例环节： 2、积分环节： 、积分环节： 3、纯微分环节： 、纯微分环节：
G(S)=K 1 G(S)= S G(S)=S
1 G(S)= 4、惯性环节： 、惯性环节： TS+1 5、一阶微分环节： G(S)= τS+1 、一阶微分环节： ω2n 6、二阶振荡环节： G(S)= 2 、二阶振荡环节： S +2 ξωnS+ω2n ω 7、二阶微分环节： G ( s ) = τ 2 S 2 + 2ξτS + 1 、二阶微分环节： τ G(S)=e-τs 8、延迟环节： 、延迟环节：
4.结构图： 结构图： 结构图
S
四、惯性环节（一阶环节） 惯性环节（一阶环节）
典型环节的传递函数
典型环节的传递函数
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1