坐标系及其变换-完成
坐标系的平移、旋转变换——超详细
坐标系的平移、旋转变换——超详细在数学和物理学中，坐标系的平移和旋转变换是非常重要的概念。
它们被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，用于描述物体在空间中的位置和方向。
本文将深入探讨坐标系的平移和旋转变换，包括其基本概念、数学表示、应用示例等内容，以便读者能够全面了解这一重要的数学概念。
1. 坐标系的基本概念。
坐标系是用来描述空间中点的工具。
在二维空间中，我们通常用笛卡尔坐标系来描述点的位置，它由两个相互垂直的坐标轴组成。
在三维空间中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成。
坐标系的原点是坐标轴的交点，用来表示零点位置。
2. 平移变换。
平移变换是指将坐标系中的点沿着某个方向移动一定的距离。
在二维空间中，平移变换可以表示为：x' = x + a.y' = y + b.其中(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是平移后点的坐标，(a, b)是平移的距离。
在三维空间中，平移变换可以表示为：x' = x + a.y' = y + b.z' = z + c.其中(x, y, z)是原始点的坐标，(x', y', z')是平移后点的坐标，(a, b, c)是平移的距离。
3. 旋转变换。
旋转变换是指将坐标系中的点绕着原点或其他中心点旋转一定的角度。
在二维空间中，旋转变换可以表示为：x' = xcosθ ysinθ。
y' = xsinθ + ycosθ。
其中(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是旋转后点的坐标，θ是旋转的角度。
在三维空间中，旋转变换可以表示为旋转矩阵的形式，这里不做详细展开。
4. 应用示例。
坐标系的平移和旋转变换在计算机图形学、机器人学、航天航空等领域有着广泛的应用。
比如，在计算机图形学中，我们可以通过平移和旋转变换来实现物体的移动和旋转；在机器人学中，坐标系的变换可以用来描述机器人末端执行器的运动轨迹；在航天航空领域，我们可以通过坐标系的变换来描述飞行器的姿态变化。
初中数学平面直角坐标系与坐标变换
初中数学平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述二维平面上的点的位置。
学会使用平面直角坐标系及其坐标变换，对于数学的学习和解题能力的提高至关重要。
本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质以及常用的坐标变换方法。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是由一个平面上的两个相互垂直的直线（通常称为x轴和y轴）所确定的。
x轴和y轴的交点称为原点O，它是平面直角坐标系的起点。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的坐标，y代表点在y轴上的坐标。
二、平面直角坐标系的性质1. 坐标轴：平面直角坐标系中的x轴和y轴互相垂直，且相交于原点O。
x轴是水平方向的，y轴是垂直方向的。
2. 坐标轴的正方向：x轴从左往右延伸，正方向是从左往右；y轴从下往上延伸，正方向是从下往上。
3. 坐标轴的刻度：x轴和y轴上的刻度表示数值，用来表示点在坐标轴上的位置。
沿x轴和y轴的正方向，每个刻度之间的距离相等。
4. 坐标轴的单位：坐标轴上的单位长度可以自行确定，一般用数值表示。
5. 坐标变换：平面直角坐标系可以通过平移、旋转等方式进行坐标变换，不改变原点的位置和坐标轴的方向。
三、坐标变换1. 平移变换：平移变换是平面直角坐标系中最基本的坐标变换。
平移变换只改变点的位置，不改变点的坐标值。
假设有一个点A(x, y)，平移变换后的点A'的坐标为(x+a, y+b)，其中a和b分别表示平移的横向和纵向距离。
例题：已知点A(2, 3)，对平面直角坐标系进行平移变换，使得点A'的坐标为(-1, 4)，求平移的向量。
解答：设平移的向量为（a, b），根据平移变换的定义可得：-1 = 2 + a4 = 3 + b解方程组可得 a = -3，b = 1。
因此，平移的向量为(-3, 1)。
2. 旋转变换：旋转变换是将平面直角坐标系绕原点进行旋转的变换。
旋转变换可以按顺时针或逆时针方向进行。
第三讲坐标变换的原理和实现方法
第三讲坐标变换的原理和实现方法坐标变换是计算机图形学领域中的重要概念之一，它可以用来描述物体在平面或者三维空间中的位置和方向。
在计算机图形学中，常常需要将物体从一个坐标系变换到另一个坐标系，以便于进行操作、渲染或者显示。
1.坐标变换的原理在进行坐标变换之前，首先需要给定一个参考坐标系，通常称之为世界坐标系。
然后，需要确定一个局部坐标系，用来表示参考坐标系中的一些物体。
局部坐标系通常是以物体的一些点为原点，以物体一些方向为坐标轴的。
坐标变换的原理可以归结为两个步骤：平移和旋转。
平移是指将物体沿着参考坐标系的一些方向移动一定的距离。
平移可以用一个向量表示，这个向量称为平移向量。
在平移过程中，物体的位置发生了变化，但是物体的方向不会改变。
旋转是指将物体沿着参考坐标系的一些轴进行旋转。
旋转可以用一个旋转矩阵表示，这个矩阵称为旋转矩阵。
在旋转过程中，物体的位置不变，但是物体的方向发生了变化。
2.实现方法实现坐标变换的方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
（1）矩阵变换法矩阵变换法是坐标变换的一种常用方法，它通过矩阵的乘法来实现坐标的转换。
首先，需要将物体的坐标变换矩阵相乘，得到变换后的坐标。
然后，将变换后的坐标赋给物体的顶点，即可实现物体的坐标变换。
矩阵变换法可以实现平移、旋转、缩放等各种变换。
（2）四元数插值法四元数插值法是一种基于四元数的坐标变换方法，它通过插值四元数来实现物体的平滑旋转。
四元数插值法可以避免欧拉角存在的万向节锁问题，保留了旋转矩阵的简洁性。
四元数插值法适用于需要平滑旋转过程的场景，比如游戏中的角色动画。
（3）欧拉角变换法欧拉角变换法是一种将物体从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法，它通过欧拉角来表示物体的旋转角度。
欧拉角变换法可以实现物体的绕固定轴旋转，比如绕x轴、y轴或z轴旋转。
欧拉角变换法的优点是简单易懂，但是在实际应用中容易出现万向节锁问题。
（4）四元数变换法四元数变换法是一种将物体从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法，它通过四元数来表示物体的旋转。
地理空间坐标系及坐标变换
➢ 在应用中空间基准需要解决的相关问题
地理信息的空间基准涉及参考椭球、坐标系统、水准原点、 地图投影、分带等多种因素,因此地理信息的空间基准是一个 复杂问题。 由于不同历史时期我国采用不同的空间基准,造成不同时期 地理信息数据的空间基准不一致的现象，给空间数据共享和应 用带来极大困难。空间基准的统一成为多源空间数据集成与融 合研究的重点。
空间数据坐标变化方法
投影变换
仿射投影
相似变换
橡皮拉伸
2.2 坐标变换方法
投影变换：已知变换前后两个空 间参考的投影参数，利用投影公 式的正解和反解算法，推算变化 前后两个空间参考系之间点的一 一对应函数关系。投影变换是坐 标变换中精度最高的变换方法。 允许角度与长度变形。 大多数GIS软件提供常见投影之间 的转换。
➢ 变形纠正：遥感影像本身的几何变形；扫描地形图或遥感影像 过程变形，没压紧、产生斜置或扫描参数设置不恰当等，都会 使被扫入的地形图或遥感影像产生变形；
➢ 坐标旋转平移
坐标变换原因
2.2 坐标变换方法
➢ 利用一系列控制点与转换方程，在投影坐标上配准地图、影 像的过程。
➢ 实质：空间数据从一种数学状态到另一种数学状态的变换， 实质是建立两个平面点之间（或球面坐标和平面坐标）的一 一对应关系，实现由设备坐标（数字化仪坐标或栅格图像坐 标）到现实世界坐标（实际地理坐标）的转换，同时可以控 制数据采集的精度。
3）将变换方程应用于输入要素， 生成输出图层
利用转换公式，原坐标系所有点实 现变换，具有实际地理坐标。
X Y
a0 a1x a2 b0 b1x b2 y
3.1坐标系与坐标变换
3 计算机图形处理技术 3.1坐标系与坐标变换
图形的输入和输出都是在—定的坐标系中进 行的。为了提高图形处理的效率和便于用户理解， 在输入输出的不同阶段需要采用不同的坐标系。 图形学常用到的坐标系基本上有以下三级。 世界坐标系(World Coordinate System，WC) 设备坐标系(Device Coordinate System，DC) 规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate System，NDC)
世界坐标系
用户针对不同的实际问题而定义的原始坐标系称为用户坐标系。 常用的用户坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐 标系等。直角坐标系(又称笛卡尔坐标系)成为计算机图形学中 最常用的用户坐标系、也称为世界坐标系。
世界坐标系有右手坐标系(图a)和左 手坐标系(图b)之分。
世界坐标系可以是二维的，也可以是三 维的。
从n维空间映射到n+1维空间是一对多的变 换。当取h＝1时，n+1维空间向量为：
（x1， x2， x3 ，…..xn，1）
则称为规范齐次坐标，这种表示是唯一的。
它仅仅是无穷多个位置向量的一个特例。 例如，二维空间的点(x，y)的齐次表示为 (hx，hy，1)。如果规定它的齐次坐标的第 三个分量h必须是1，即（x，y，1），则 称为规范齐次坐标。
绘图坐标系
规格化设备坐标系是介
于世界坐标系与设备坐标系 之间的一种坐标系，它是与 设备无关的坐标系，约定坐 标轴的取值范围是从0.0到 1.0。用户坐标系的取值范围 因实际问题而异，而设备坐 标系的取值范围又因设备而 异，所以，引入规格化设备 坐标系可提高图形应用程序 的可移植性。
常用坐标系之间的关系与转换
7.5 常用坐标系之间的关系与转换一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。
同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。
对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。
现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。
同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。
、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐标为(E, L)a 将该图与图？一5上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。
加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽 于是可以直接写岀X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑式(7-26)得X=Ncos^cosZr ”Y =NcQsBsinL > (7—78)Z=N (1—护〉sin^ ；BB 7-231.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地直角坐标(X, Y, Z)。
直角坐标系和坐标变换
直角坐标系和坐标变换直角坐标系是描述平面或空间中点位置的一种常用坐标系统。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。
坐标轴上的数值表示了点在对应轴上的位置，从而确定了点在整个坐标系中的位置。
而坐标变换则是通过一定的规则将点在一个坐标系中的表示转变为另一个坐标系中的表示。
一、直角坐标系直角坐标系是一种二维坐标系，由水平的x轴和垂直的y轴构成。
x轴和y轴的交点称为原点，通常用O表示。
在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
x轴和y轴的正方向上，数值逐渐增大。
在直角坐标系中，可以通过距离和角度来描述点和图形的性质。
例如，两点之间的距离可以使用勾股定理计算，而斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度。
二、坐标变换坐标变换是指将点在一个坐标系中的表示转变为另一个坐标系中的表示。
常见的坐标变换包括平移、旋转、缩放和镜像等。
1. 平移平移是指将一个点在坐标系中沿着某个方向移动一定距离。
如果要将一个点P(x, y)沿着x轴方向平移a个单位，y坐标保持不变，则新坐标是P(x+a, y)；如果要将点P沿着y轴方向平移b个单位，x坐标保持不变，则新坐标是P(x, y+b)。
2. 旋转旋转是指将一个点或图形绕某个中心点按一定角度进行旋转。
在二维直角坐标系中，可以使用旋转矩阵对点进行旋转。
设点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度，则新坐标是P'(x', y')，其中：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ3. 缩放缩放是指将一个点或图形按照一定比例进行放大或缩小。
在二维直角坐标系中，可以使用缩放矩阵对点进行缩放。
设点P(x, y)按照比例s 进行缩放，则新坐标是P'(x', y')，其中：x' = s * xy' = s * y4. 镜像镜像是指将一个点或图形关于某个轴或面对称翻转。
坐标系之间的换算
• §1 三维坐标系间的变换 • §2 二维坐标系间的变换 • §3 一维坐标系间的变换
§1 三维坐标系间的变换
地球坐标系统 表示方式
笛卡儿坐标
曲线坐标
平面直角坐标
坐标系 中心
地心
参心
站心
参 考 面
总地球椭球 参考椭球
地心大地 坐标系 参心大地 坐标系
大地体
天文 坐标系
投影平面
T
B B1 B2 Bn
X 0 Y0 Z 0 Y dK X Y Z
则误差方程 法方程
ˆL VX BY X ˆ BT PL 0 BT PBY X
Z
0 X
Y X i 0 X Yi Z i 0 Z i Yi
有
dB dX 1 1 da d L A d Y A C d dH dZ X X da A1 Y A1 Y A1C d Z Z T X 0 0 X A1 Y0 A1 Y dK A1 Z i Z Y Z 0 i Zi 0 Xi Yi X X X da X i Y A 1 Y A 1 Y A 1C d 0 Z Z Z
顾及
0 QX i Z X Yi Z i 0 Z i Yi
Zi 0 Xi
Yi X X i Y 0 Z
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(2-23)
(2-20)式两端矩阵非对角线上对称元素相等，得
oz
ay
2
x
s
in
a x n z 2 y sin
ny
ox
2 z
s
in
(2-24)
由此解出等效旋转角 的正弦为
si n 1 2( o z a y ) 2 ( a x n z ) 2 ( n y o x ) 2 (2-25)
n
y
oy
ay
p
y
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
nx ny nz p • n
则T的逆阵为 T 1 ox oy oz p •o (2-14)
a0x
ay 0
az 0
p•a
1
式中 p、n、o、a表示T的各列矢量；” ”•表示二矢量的数量积。
5.一般旋转变换
所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴 线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上
o y cos
1 cos
(2-28)
z sgn( n y o x )
ax
cos
1 cos
式中 sgn—符号函数，当括弧内差值为正时取正号，
否则取负号。
3.相对变换
• 如上所述，一个齐次坐标可分解为平移及旋转 变换，根据这些平移和旋转是相对什么坐标系 去实现的，就导出了不同相对变换的概念，前 面只提及相对于参考系的变换，实际上还可相 对于变换过程中当前坐标系来实现变换。
(1)坐标系的相对变换
1) 相对于参考系的相对变换——始终相对于一 2) 个相同的参考系的变换
R( o ,)tYCR (z,)o Xt (2-18)
式中的 CR(oz,t)X表示将 Ro(zt,)X变换到与左端 Ro(t ,)相Y同的参考系中去，否则(2-18)的等式不成立。
将(2-17)式代入(2-18)式，得
R( o,)tYCR (z,o )C 1 tY
因此 R(o ,t)CR (z,o )C t1
规定在 0180中选取，故上式取正值，因而等效
旋转角 唯一地按下式确定：
tg (ozay)2(axnz)2(nyox)2
nxoyaz1
(2-26)
等效旋转轴矢量 的分量可用(2-24)式确定：
x
oz 2 sin
ay
y
ax 2 sin
nz
z
ny 2 sin
ox
(2-27)
利用(2-27)式解矢量，当 很小可能导致单位矢量
的单位矢量。x i y i zk表示。
为了导出一般旋转变 Ro(t ,) 的计算公式，设
是一个坐标系C中轴 z的单位矢量，一般坐标系为
C=
nx ox ax 0
n
y
oy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ay
0
nz 0
oz 0
az 0
0
1
(2-15)
z 其中轴 的单位矢量为 axiayjazk 这样，绕矢量 旋转就等于绕坐标系C的c z轴旋转，即
C S 0 0
Rot(z,) S C 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1
它与(2-13)式完全一致。
6. 等效旋转轴及等效旋转角
对于一个任意给定的旋转变换，可以利用(2-19)式求
出绕等效旋转轴 、等效旋转角为 的等效变换。
设给定的旋转变换R为
nx ox ax 0
R=
n
y
oy
ay
0
2)相对于当前系的相对变换——每个平移、旋转 变换始终相对于当前坐标系（每个当前坐标系 均不同）。
(2)坐标系前乘变换或后乘变换的相对变换
设C是以齐次坐标矩阵表示的坐标系，T是由若干平移、旋转 变换因子按一定顺序组成的变换。显然TC及CT将得到完全不同的 变换结果，原因是坐标系C所作的相对变换不同。 1) 坐标系C前乘（左乘）变换时，得到的TC是C始终相对于同一 参考系的变换，变换的动作顺序由T的最后（最右）因子开始， 以最前（最左）的因子结束其变换。 2) 坐标系C后乘（右乘）变换时，得到的CT是C相对于不同当前 坐标系的变换，变换的动作顺序由T的最前（最左）因子开始， 以最后（最右）的因子结束其变换。
(2-20)式两端矩阵的对角线元素分别相加，仍然相等，
故有 n x o y a z 1 x V C 2 y V C 2 z V C 1 (2-21)
利用 2x2y2z 1及 V1co，s得
nxoyaz12cos (2-22)
由此解出等效旋转角 的余弦为
cos1 2nxoxax1
V— ver1 sco 的s缩写，通常为正矢；
S— sin 的简写；
C— cos 的简写；
由(2-19)式可见，一般旋转变换在 角不变时， 它仅仅是矢量 xiyjzk的函数，绕坐标轴的
旋转变换仅是一般旋转变换的特例。例如绕坐标轴的
旋转变换 Ro(tz,) ，其xy0,z 1,，将这些值
代入(2-19)式，得
现将此式展开，并利用C矩阵的正交性对展开式 进行整理，得到一般旋转变换的计算公式为
xxVC yxVzS zxVyS 0
Ro (,t)xxzyV V0 yzS S
yyVC yzVxS
0
zyVxS zzVC
0
0 0(2-19) 1
式中 x,y,z — 一般轴的单位矢量的3个方向的分量，
即(2-15)式中的 ax,ay,az；
的模大于1，这时需要对 进行标准化：
x
x
y
y
z
z
当 接近于180时，(2-27)式的计算精度变得越来 越差。实践表明，当 150~18时0需另求计算公式：
仍然利用(2-20)式，可得
x sgn( o z a y )
n x cos 1 cos
y sgn( a x n x )
0 1 0 101 0 0 20 0 0 1 0 X1 0 0 00 0 1 101 0 0 20
0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1
其变换的动作顺序为先旋转后平移。相对于当前系的相对变换为： Y=CT
1 0 0 200 1 0 10 0 1 0 30 Y0 0 1 101 0 0 00 0 1 10
TC与CT导致不同变换的结果与矩阵乘法不服从交换律的性质 是一致的。
1 0 0 20
【例2.4】给定一坐标系 C 0
0
1
10
及一变换
0 1 0 0
0 0 0
1
T= Tr(a 1,n 0,0s )R(o z,9t0 0 )试确定C相对于参考系的变换
X=TC及C相对于当前系的变换Y=CT。
解：相对于参考系的相对变换为：X=TC
R(o ,t)R(ocz,t) (2-16)
如图2-12所示，被旋转的坐标系为
o' x' y' z',该系以坐标系 oxyz
为参考系记为Y, 以坐标系C为参考 系时记为X(注意：X、Y均为
坐标系 o'x' y'z' )。Y与X的关系为 YCX或 XC1Y (2-17)
图2-12 一般旋转变换
绕 旋转Y等效于绕坐标系的C的 c z轴旋转X，即
nz 0
oz 0
az 0
0
1
使R式与(2-19)式相等，得
nx ox ax 0 xxVC yxVzS zxVyS 0
ny n 0 z
oy oz 0
ay az 0
1 0 0 x x z yV V 0 y zS S
yyVC yzVxS
0
zyVxS zzVC
0
0 0 1
(2-20)
0 1 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1
其变换的动作顺序为先平移后旋转。
4. 逆变换
将被变换坐标系变回到原来的坐标系时，可以用变换T的逆
T来1实现。
例如X=TC使C变换为X，若用X求C则为 T1XT1TC IC
nx ox ax px
给定变换T为
T