一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。
一、概念
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。
二、性质
1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。
2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。
3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
三、解法
1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。代数法是通
过移项、化简等代数运算来求解。
2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。
四、应用
1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。
2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。
3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数 【基础知识精讲】 1.一元一次不等式与一次函数的关系。 两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。 2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。 一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。 【考点聚焦】 本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。 【典例精析】 例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题： （1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。 思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。 解：由图象可知： （1）当x＞3时，y＞0； （2）当x＜3时，y＜0； （3）当x＞6时，y＞3。 评注：（1）两点确定一条直线。（2）大于往右看，小于往左看。 【试解相关题】 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？
一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组知识总结
知识点一 一次函数与一元一次方程的关系 一般地，一元一次方程0=+b kx 的解就是一次函数b kx y +=的图像与x 轴的交点的横坐标。 提示：直线与坐标轴的交点坐标的求法，令00==y x 或，解一次方程得出另一个，与x 轴的交点?? ? ??-0,k b ，与y 轴的交点()b ,0。 知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一个一元一次不等式都可化简为()0,00≠<+>+k b k b kx b kx 为常数，或的形式，而()0,≠+=k b k b kx y 为常数，可以看做自变量为x 的一次函数，于是有以下结论： ⑴一般地，一元一次不等式()00<+>+b kx b kx 或的解集，就是使一次函数b kx y +=的函数值大于0 （或小于0）时自变量x 的取值范围。 ⑵ 从图像上看，0>+b kx 的解集是直线b kx y +=位于x 轴上方的部分对应的自变量x 的取值范围； 0<+b kx 的解集是直线b kx y +=位于x 轴下方的部分对应的自变量x 的取值范围。 知识点三 二元一次方程组与一次函数的关系 任何一个一次函数()0y ≠+=k b kx 都可以化成以自变量x 和函数y 为未知数的二元一次方程b y kx -=-形式，于是有下面结论： ⑴一次函数b kx y +=图像上任意一点的坐标都是二元一次方程b y kx -=-的一组解。 ⑵以二元一次方程b y kx -=-的解为坐标的点都在一次函数b kx y +=的图像上。 ⑶对已同一个数学模型()0y ≠+=k b kx ，若将若将其中的x,y 看做变量，则它表示一个一次函数， 若将其中的x,y 看做未知数，则它就是一个二元一次方程，二则本质相同。 知识点四 二元一次方程组与一次函数的关系 两条直线()0:1111≠+=k b x k y l ，()0:2222≠+=k b x k y l 的交点坐标就是关于x,y 的 方程组? ??+=+=2211b x k y b x k y 的解。 提示：通常我们可以用解方程组的方法求两直线的交点坐标，也可以通过话图像，利用两直线的交点坐标得出方程组的解。 知识点五 用图像法解方程组和不等式 画出方程组中两个一次函数的图像，找出它们的交点，即可得到相应二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做二元一次方程组的图像解法，同时，利用图像还可以得出相关不等式的解集。
一次函数与不等式
第十九章 一次函数 知识要点回顾： 1、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 2、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 3、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=b c x b a +- 的图象相同. （2）二元一次方程组?? ?=+=+2 22111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点. 考点1 ：一次函数与不等式 例题1、画出函数y=2x-1的图象，利用图象：①求方程2x-1=0的解；②求不等式2x-1＞0的解；③若-1≤y ≤3，求x 的取值范围． 例题2、已知一次函数y=kx+b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．-2＜y ＜0 D ．y ＜-2 （第2题 ） （第4题） 例题3、把直线y=﹣x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是 （ ） A ． 1＜m ＜7 B ． 3＜m ＜4 C ． m ＞1 D ． m ＜4 例题4、如图，函数y1=﹣2x 与y2=ax+3的图象相交于点A （m ，2），则关于x 的不等式﹣2x ＞ax+3的解集是（ ） A 、x ＞2 B 、x ＜2 C 、x ＞﹣1 D 、x ＜﹣1 变式练习： 1、直线y=3x+9与x 轴的交点是（ ） A.（0,-3） B.（-3,0） C.（0,3） D.（0,-3） 2、已知一元一次方程ax-b=0（a ，b 为常数，a ）的解为x=2，则一次函数y=ax-b 的函数值为0时,自变量x 的值是（ ） A 3 B -3 C 2 D -2 3、已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2，0），则关于x 的不等式2x+k<0的解集是（ ） A ．x>-2 B ．x≥-2 C ．x<-2 D ．x≤-2 4、直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 2：y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k 2x>k 1x+b 的不等式的解集为( ) ＞-1 ＜-1 ＜-2 D.无法确定 5、函数y=-2x+6的图象如图所示，P （2，2）是图象上的一点，观察图象回答问题． （1）当x 为何值时，y ＜0 （2）当x 为何值时，y=0 （3）求当0≤x ≤2时，y 的取值范围． 考点2:一次函数与二元一次方程组
一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式与一次函数整理 一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。 一、概念 一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。 二、性质 1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。 2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。 3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。 三、解法 1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。代数法是通
过移项、化简等代数运算来求解。 2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。 四、应用 1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。 2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。 3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。 一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。
一元一次不等式与一次函数及一元一次不等式(组)
学生姓名年级科目教师授课日期时段与课时 数学 教学课题一元一次不等式和一元一次不等式组 目标及重难点一元一次不等式（组）的解法和应用 教学过程： 一、作业点评，回顾复习 二、考点分析 知识点一：一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义 （2）解一元一次不等式的步骤 （3）一元一次不等式应用到实际问题 解法思路： 审设列解找答 （4）一元一次不等式与一次函数 代数关系：解不等式 几何关系：数形结合 题型一：一元一次不等式与一次函数综合应用 知识点二：一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的定义 2、一元一次不等式组的解法 解法： 口诀：大大取大小小取小小大大小取中间大大小小无解 题型二：不等式组的实际应用 类型一：解一元一次不等式组 类型二、含参数的一元一次不等式组 类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题 三、针对性题型变式训练 四、拓展提高题 五、课堂小结与反思 备注： 作业布置本章单元提高测试卷一份 学习反馈及 调整方案 班主任签字： 学员评价○特别满意○满意○一般○差学员签字： 教师评价上次课作业：○好○较好○一般○差 本次课堂表现：○好○较好○一般○差 教师签字：梁钰 课题一元一次不等式和一元一次不等式组
教学内容 知识点一一元一次不等式 (1)一元一次不等式的定义 (2)解一元一次不等式的步骤 (3)一元一次不等式应用到实际问题 解法思路： 审设列解找答 (4)一元一次不等式与一次函数 代数关系：解不等式 几何关系：数形结合 题型一：一元一次不等式与一次函数综合应用 例1．已知y1=-x+2，y2=3x+4． （1）当x分别取何值时，y1=y2，y1
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数是数学中非常重要的一个概念，而它与一元一次不等式之间 也存在着密切的关系。下面就让我们来了解一下。 一、一次函数的定义与性质 一次函数指的是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k 和b为常数。它的图像是一条直线，具有以下性质： 1. 斜率k表示线性关系的比例系数，k越大，直线越陡峭；k为正数时，直线右上方倾斜；k为负数时，直线左下方倾斜。 2. 截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，y=b。当k=0时，直线平 行于x轴，即为一条水平直线。 3. 一次函数图像在直线上每个点的斜率都相等，斜率就是函数的导数。 二、一元一次不等式的定义与性质 一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中x为变量，
a和b为常数。它的解集是一个区间。不等式的基本性质如下： 1. 如果不等式两边同时加上一个正数，则不等式不变。 2. 如果不等式两边同时乘上一个正数，则不等式不变。 3. 如果不等式两边同时乘上一个负数，则不等式的不等号方向改变。 三、一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，具体表现在以下几个方面： 1. 根据一次函数的性质，我们可以根据一次不等式求解其解集合并确定一次函数的定义域和值域。 2. 根据一元一次不等式的基本性质，我们可以对一次函数的图像进行平移、伸缩和翻折等操作，从而得到不同的函数图像。 3. 一元一次不等式的解与一次函数的斜率有关，当一次不等式为 ax+b>0时，解集表示函数图像位于y轴上方的区间，此时函数的斜率为正数a；当一次不等式为ax+b<0时，解集表示函数图像位于y轴下方的区间，此时函数的斜率为负数a。 综上所述，一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，掌握
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解 1.什么是一次函数 一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的 函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。一次函数的 图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。 一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图 像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。 2.一元一次方程的求解 等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。解一元一次 方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。 求解一元一次方程的一般步骤如下： 1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式； 2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到 $a x=-b$； 3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得 到$x=\f ra c{-b}{a}$； 4.化简得到最终解，即$x$的值。 通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。 3.一元一次不等式的求解 等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。求解一 元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等 式统一变形原则**。 求解一元一次不等式的一般步骤如下：
1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧 一、引言 在数学学习过程中，一元一次不等式与一次函数题型是我们经常会遇 到的内容。它们不仅在中学阶段占据着重要的位置，而且在后续学习 中也有着深远的影响。本文将以一元一次不等式与一次函数为主题， 探讨其相关的题型及做题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一部分 内容。 二、一元一次不等式的基础概念 在开始探讨一元一次不等式的题型及做题技巧之前，我们首先需要了 解一元一次不等式的基础概念。一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b 1. 绝对值不等式 绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的形式通常为|ax+b|>c或|ax+b| 一元一次不等式与一次函数讲解一元一次不等式与一次函数是数学中非常重要的概念，它们在我 们的生活中都有广泛的应用。本文将从定义、性质、解法等多个方面 介绍一元一次不等式与一次函数，帮助读者更加深入地理解这两个概念。 一、一元一次不等式 一元一次不等式，简单来说，就是只有一个未知量的一次不等式。比如：ax + b > c，其中a、b、c是已知实数，x是未知实数。一元一次不等式常常用于解决一些实际问题，比如数量关系、利润计算等。 一、一元一次不等式的性质 1. 对于一元一次不等式ax + b > c，如果a > 0，则当x > (c- b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x < (c-b)/a时，不等式成立。 2. 对于一元一次不等式ax + b < c，如果a > 0，则当x < (c- b)/a时，不等式成立；如果a < 0，则当x > (c-b)/a时，不等式成立。 上述性质可以帮助我们更好地解决一元一次不等式的问题。 二、一次函数 一次函数，是指一个函数的自变量只有一个，且函数的表达式是一个一次多项式。一次函数通常表示成f(x) = kx + b的形式，其中k 和b为常数。 一次函数在实际问题中经常被用到，比如直线运动、物品价格变化等，因为它的表达式简单，易于计算，而且有明确的几何意义。 二、一次函数的性质 1. 一次函数的图像是一条直线。 2. 当k > 0时，函数图像单调递增；当k < 0时，函数图像单调递减。 3. 如果k = 0，则函数是一个常函数，图像为一条水平直线；如果b = 0，则函数是一个零函数，图像过原点。 4. 一次函数的x轴截距为-b/k，y轴截距为b。 上述性质有助于我们更好地理解一次函数的性质，同时也为我们解决一些实际问题提供了帮助。 三、一元一次不等式的解法 对于一元一次不等式ax + b > c，我们可以通过以下几个步骤来解决： 1. 将不等式移项得到ax > c-b。 2. 根据a的正负性质确定解的方向。如果a > 0，则解为x > (c-b)/a；如果a < 0，则解为x < (c-b)/a。 一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次方程 一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 要点二、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点三、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点四、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次方程 1、若直线y kx b =+与x 轴交于（5，0）点，那么关于x 的方程0kx b +=的解为______. 【答案】5x = 【解析】kx b +＝0的解是直线y kx b =+与x 轴交点横坐标. 【总结升华】当函数0y =时，就得到了一元一次方程kx b +＝0，此时自变量x 的值就是 一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。 一、一次函数的定义 一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。 二、一元一次不等式的定义 一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。 三、一次函数的性质 1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。 2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。 3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。 四、一元一次不等式的性质 1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。 2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。 3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交 换。 五、一次函数和一元一次不等式的关系 1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在 $y>0$ 区域的图像。 2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数 $y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。 3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。例如，已知一次函数 $y=2x-1$ 的斜率为正，截距为负，则对应的一元一次不等式为 $2x-1>0$。 综上所述，一次函数和一元一次不等式之间存在着紧密的联系，可以相互转化和应用。在解决数学问题的过程中，我们可以根据具体情况选择使用一次函数或一元一次不等式，以便更好地理解和解决问题。 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 一、知识点归纳 一次函数相对来说不是很难，但是对于初次接触一次函数题目的同学来说因为是首次用数形结合来解决问题，对坐标轴不是很熟悉，所以一时找不到解题方法。不过不用担心，随着数形结合题目练习量的增加，肯定会掌握这种方法，而且能掌握这种方法，到时就会觉得一次函数还是比较简单的。 另外一个难点是出现了字母常量，即不仅仅局限于数字的运算，要逐渐熟悉字母的运算，这也是应该重点掌握的，中考大题难题都会用到字母运算。在此再简单概括一下。 例1：已知一次函数的表达式为y kx b =+，求该一次函数与x 轴和y 轴的交点坐标。 解：设一次函数与x 轴的交点为（x ，0），根据题意得 0k x b +=， ∴kx b =-，b x k =- ， ∴一次函数与x 轴的交点为（b k - ，0）。 设一次函数与y 轴的交点为（0，y ），根据题意得 0k b y ⨯+= ∴b y =， ∴一次函数与y 轴的交点为（0，b ）。 这个结论一定要记住，推导过程也要熟练掌握。 另外还有数形结合的题目，这里就不举例了，还是看真题吧，真题也有详细的讲解。能把下面的题目和讲解看懂就行了，慢慢就会独立解这类题目了。 二、练习与提高 1. （2015江苏盐城10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数x y 4 3 =与一次函数7+-=x y 的图像交于点A . （1）求点A 的坐标； （2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧）， 分别交34y x =和7+-=x y 的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =5 7 OA ,求△OBC 的面积. 《一次函数与一元一次不等式》知识全解 课标要求 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用一次函数及其图像解决一元一次不等式的问题，会用一元一次不等式解决实际问题。 知识结构 一次函数与一元一次不等式的关系 同一次函数与一元一次方程一样，一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0）与一元一次不等式：ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数）之间也有密切联系。由于任何一个一元一次不等式都可以化为一般形式ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数），所以解一元一次不等式可以转化为求：当一次函数y=ax+b中，函数值y大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。从图象上看，相当于直线y=ax+b在x轴上方（或下方）时，x的取值范围。 解关于x的不等式kx+b>mx+n有两种转化方式，分别为： （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方． （2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 内容解析 求一次函数y=ax+b中，当自变量在什么范围取值时，函数值y＞0。这个问题即为当x 取何值时ax+b＞0，正好是求一元一次不等式的解集；而从图象上看，因为纵坐标大于0的点都在x轴上面，所以求函数y=ax+b的函数值大于0时，自变量x的范围，就相当于求已知直线y=ax+b在x轴上面的图象所对应的横坐标的范围。 用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要． 重点难点 本节的重点是：用一次函数及其图象来解决一元一次不等式的问题 难点是：正确理解一次函数与一元一次不等式的转化关系，并能用它们解决实际问题。教法引导 通过举例，让学生体会一次函数与一元一次不等式的转化关系。通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决一元一次不等式的方法. 一次函数与一元一次不等式知识讲解 一次函数是指变量的最高次数为1的函数，表达式一般为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。一元一次不等式是指一个未知 数的一次函数与一个不等式关系。一次函数与一元一次不等式是二元关系，它们在数学中具有重要的意义和应用。 一次函数的性质与特点： 1.常数项b表示函数在y轴上的截距，在函数图像上表示函数曲线与 y轴的交点。 2.系数a表示函数的斜率，代表了函数图像的倾斜程度。当a>0时， 函数是增函数；当a<0时，函数是减函数。 3.函数曲线是一条直线，通过两个点即可确定一条直线。因此，一次 函数的图像是一条直线。 一元一次不等式的性质与特点： 1.不等式中的未知数只有一个，并且只有一次。 2.不等式关系可能是大于、小于、大于等于、小于等于等形式，根据 实际问题选择不同的不等号。 3.解不等式的方法与解方程类似，但需要注意不等号的取等情况。 下面通过一个具体的例子来进一步讲解一次函数与一元一次不等式的 应用。 例子： 家庭的月度水费与用水量x的关系可以用一次函数表示，已知该家庭 用水量每增加10立方米，水费增加12元。如果一个月的水费超过100元，那么最少要用多少立方米的水？ 解析： 设该家庭每个月用水量为x立方米，月度水费为f(x)元。根据题意，我们可以列出一次函数的表达式： f(x)=12/10x+b 其中，12/10x表示每增加10立方米，水费增加12元，b表示常数项。 根据题目中提到的条件，水费超过100元，即f(x)>100。将f(x)代 入不等式中，得到不等式： 12/10x+b>100 解不等式的步骤如下： 1.将不等式转化为等式，得到12/10x+b=100。 2.消去分数，得到12x+10b=1000。 3.根据题意，b为常数项，所以可将10b看作常数C，得到 12x+C=1000。 4.求解x，得到x=(1000-C)/12、由于x代表用水量，所以要求最少 用水量，即x的值应该尽量小。 5. 判断不等号的情况，当不等式是大于等于时，取等号情况对应的 用水量即为最小用水量。当不等式是小于等于时，要取最接近但小于等于 的值，即x = ceil((1000 - C) / 12) - 1，其中ceil为向上取整函数。 一次函数与一元一次不等式 知识点1 一次函数与一元一次不等式 任何一元一次不等式都可以化为0＞b ax +或0＜b ax +（a 、b 为常数且a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式，可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围；或者看作：当一次函数图象在x 轴上（下）方时，求自变量的取值范围。 典型例题 例题1：作出函数作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题： （1）x 取哪些值时，2x-5＞0？ （2）x 取哪些值时，2x-5＜0？ （3）x 取哪些值时，2x-5=0？ （4）x 取哪些值时，2x-5＞3？ 总结：当y=0时，正好是图象与 轴的交点 当y ＞0时，图象位于 轴 方 当y ＜0时，图象位于 轴 方 变式训练：已知函数y 1 = 2 x – 4与y 2 = - 2 x + 8的图象，观察图象并回答问题： (1)x 取何值时，2x-4>0? (1)x 取何值时，-2x+8>0? (2)x 取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？ (3)你能求出函数y 1 =2x –4与y 2 = -2x + 8的图象与X 轴所围成的三角形的面积吗？ 例题2：. 变式训练： 1．如图，直线y=kx+b 与x 轴交于点A （-4，0）， 则当y>0时，x 的取值范围是（ • ） A ．x>-4 B ．x>0 C ．x<-4 D ．x<0 2．已知一次函数y=kx+b 的图像，如图所示，当x<0时，y 的取值范围是（ •） A ．y>0 B ．y<0 C ．-2 一、知识点梳理 知识点： 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac一元一次不等式与一次函数讲解
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