拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。
留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。
2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s) 存在的条件：。
拉普拉斯变换
L[ f (t)] = F1(s) + e F1(s) + e
= F (s)[e 1
−sT
−sT
−2sT
F1(s) + ⋅ ⋅ ⋅
+e
−2sT
+e
−3sT
1 F (s) + ⋅ ⋅ ⋅] = −sT 1 1− e
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f(t)
1 L[ f (t)] = F (s) −sT 1 1− e
1 d L[cos ωt] = L (sin( ωt) ω dt s 1 ω = = s 2 − 0 2 2 2 ω s +ω s +ω
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(2) f (t) = δ( t)的象函数
解
1 L[ε (t )] = s dε (t) 1 L[δ (t)] = L[ ] = s − 0 =1 dt s
∞
1 1 1 = ⋅ = 2 s s s
2 s3
L[t ε (t)]= L[2∫ tdt] =
2
t 0
返 回
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4.延迟性质 4.延迟性质 若： L[ f (t)] = F(s)
则： L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = e F(s)
−st0
例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t) = ε (t) − ε (t − T )
二. 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 1.线性性质 若 L[ f1(t)] = F (s) , 1
则 L [A f1(t) + A2 f2 (t)] = A L [ f1(t)] + A2L[ f2 (t)] 1 1
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
拉普拉斯变换
1 d 例1：L[cos t ] L[ (sin t )] dt
[s 2 sint 2 s
1
0
s ] 2 s 2
1 d 例2：L[ ( t )] L[ ( t )] S ( t ) 0 1 S dt
三. 时域的积分性质
设：L[ f (t )] F ( s)
st L[ ( t )] 0 ( t ) e dt 0 (t )dt
0
=1
4.
f (t ) t
n
n
L[t ] t ne st dt 0
0
t n st de s
t n st e s
t 0 st lim t e
n
R u+ C -
uC (0 ) 0
1 sRCU ( s ) U ( s ) s 1 U ( s) s(1 sRC )
du RC u ( t ) dt
用初值定理和终值定理验证
1 1 u(0 ) lims lim 0 s s(1 sRC ) s (1 sRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 sRC )
e-t sint
2
s
2
( s )2 2
e-t cost
s ( s )2 2
cos t
s s2 2
§ 3 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数 (1)利用公式 f(t)=L-1[F(s)]
1 j st f (t ) F ( s ) e ds t 0 2j j
t 0 s
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )
拉普拉斯变换
A 1 1 2 j s j s j A 2 S 2
典型函数的拉氏变换
单位脉冲函数
f(t)=δ (t)
f(t)=1(t) f(t)=t f(t)=t2/2
F(s)=1 F(s)=1/s F(s)=1/s2 F(s)=1/s3
单位阶跃函数
单位斜坡函数
s1 0; s2,3 0.5 j0.866
展开式为:
s 1 c1 lim sF ( s) lim s 2 1 s 0 s 0 s( s s 1)
c1 c2 s c3 F ( s) 2 s s s 1
s 1 2 [ 2 ( s s 1)]s 0.5 j 0.866 [c2 s c3 ]s 0.5 j 0.866 s( s s 1)
d 2uo (t ) duo (t ) 例：已知某系统的微分方程 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
输入信号：ui(t)=1(t) 初始条件： uo(0)=0.1
du (t ) dt
t 0
0.1
解：设：Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)] 由拉氏变换的微分定理，得：
5s 3 的原函数 f (t） ( s 1)( s 2)( s 3)
c3 c1 c2 s 1 s 2 s 3
F(s)可展开为: F ( s ) 其中:
5s 3 5 (1) 3 c1 lim ( s 1) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) (1 2)(1 3) s -1 5s 3 5 (2) 3 c2 lim ( s 2) 7 ( s 1)(s 2)(s 3) (2 1)(2 3) s -2
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§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。
注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。
表13-1拉氏变换的若干性质和定理时域延迟为一非负实数频域延迟或存在或所有奇点均在为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
表13-2拉氏变换简表例13-1已知，求函数的像函数。
解：例13-2已知，求f(t)=的象函数。
解：根据积分性质和时域延迟性质例13-3求函数的像函数。
解：例13-4求函数的像函数。
解：根据微分性质，因为，所以例13-5求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：例13-6求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：例13-7求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：§13－3拉普拉斯反变换的部分分式展开1．拉普拉斯反变换法用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。
由象函数求原函数的方法有：1）利用公式2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数3)把F(S)分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则§13－3拉普拉斯反变换的部分分式展开2.部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将展开成部分分式，成为可在拉氏变换表中查到的的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。
设，的阶次不高于的阶次，否则，用除，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。
部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出=0的根。
设象函数的一般形式：即F（s）为真分式。
下面讨论=0的根的情况。
1）若=0有n个不同的单根p1、p2……p n。
利用部分分式可将F(s)分解为：待定常数的确定：方法一：按，i=1,2,3,…,n来确定。
方法二：用求极限方法确定a i的值得原函数的一般形式为：2）若=0有共轭复根和，可将F(s)分解为：则，因为F(s)为实系数多项式之比，故和为共轭复数。
设，3）=0的具有重根时，因含有的因式。
则，；；……；总结上述得由F(s)求f(t)的步骤：1）n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和；2）求真分式分母的根，确定分解单元；3）将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数；4）对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。
例13-8已知求原函数解法一：设其中所以解法二：例13-9已知求原函数。
解：因为的根为：所以例13-10已知，求原函数解：；；；则，例13-11已知，求原函数。
解：原式所以§13－4运算电路应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。
运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。
显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。
1.电路定律的运算形式基尔霍夫定律的时域表示：把时间函数变换为对应的象函数：得基尔霍夫定律的运算形式：2.电路元件的运算形式根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。
1)电阻R的运算形式图13.1（a）图13.1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR的运算形式：或根据上式得电阻R的运算电路如图（b）所示。
图13.1（b）2)电感L的运算形式图13.2(a)所示电感元件的电压电流关系为两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR的运算形式：或根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中图13.2（a）图13.2（b）图13.2（c）表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。
式中分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。
3)电容C的运算形式图13.3(a)所示电容元件的电压电流关系为：两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式：或根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图13.3（a）图13.3（b）图13.3（c）4)耦合电感的运算形式图13.4（a）所示耦合电感的电压电流关系为：两边取拉普拉斯变换，得耦合电感VCR的运算形式：图13.4（a）根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示。
图中和都是附加电压源。
式中分别称为互感运算阻图13.4（b）抗和互感运算导纳。
5)受控源的运算形式图13.5（a）所示VCVS的电压电流关系为：两边取拉普拉斯变换，得运算形式为：根据上式得VCVS的运算电路如图（b）所示。
图13.5（a）图13.5（b）3.运算电路模型图13.6（a）图13.6（b）图13.6为RLC串联电路，设电容电压的初值为，电感电流的初值为，其时域方程为：取拉普拉斯变换，得运算方程或写为即：上式称运算形式的欧姆定律，式中称运算阻抗。
根据上式得图（b）所示的运算电路。
因此，运算电路实际是：（1）电压、电流用象函数形式（2）元件用运算阻抗或运算导纳表示；（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。
例13-12给出图（a）所示电路的运算电路模型。
已知例13-12图（a）解：运算电路如图（b）所示。
例13-12图（b）例13-13给出图（a）所示电路的运算电路模型，已知t=0时打开开关。
例13-13图（a）解：由图（a）可知：uc(0-)=25V，iL(0-)=5A，则运算电路模型如图（b）所示。
例13-13图（b）注意图中的附加电源。
§13－5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤为：1.由换路前的电路计算u c(0-),i L(0-)。
2.画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。
3.应用电路分析方法求象函数。
4.反变换求原函数。
注意：1）运算法直接求得全响应；2）用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中；例13-14电路如图（a）所示，开关S原来闭合，求S在0时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。
其中，R1=2Ω，R2=2Ω，L1=0.3H，L2=0.1H，U s=10V。
例13-14图（a）例13-14图（b）解：图（b）是开关S打开后的运算电路图。
L1中的初始电流为U s/R1=5A。
则故 A所以VV例13-15电路如图(a)所示，t=0时刻开关S闭合，用运算法求S闭合后电路中感元件上的电压及电流。
已知。
例13-15图（a）解：(1)首先计算初值由已知条件和图(a)得：例13-15图（b）(2)画运算电路如图(b)所示。
其中(3)应用回路法，回路电流方向如图示，得回路方程：从中解得：(4)反变换求原函数有三个根：令所以注意：例13-16 电路如图（a）所示，已知，用运算法求电路中电容元件上的电压及电流。
例13-16图（a）例13-16图（b）解：由已知条件知：，运算电路如图（b）所示。
有：所以例13-17 电路如图（a）所示，t=0时打开开关k,求电流i1,i2。
已知：例13-17图（a）例13-17图（b）解：由图（b）所示的运算电路得：所以。