第十三章拉普拉斯变换
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《电路》第十三章 拉普拉斯变换
S
12
3.积分性质
设： [ f (t)] = F (s)
则：
∫t
[ 0−
f
(t)dt] =
1 F(s) s
证：令
∫t
[ 0−
f (t)dt] =
φ( s )
[ f (t)] =
⎡ ⎢⎣
d dt
∫t 0−
f
(t
)dt
⎤ ⎥⎦
F(s) =
sφ(s) −
∫t 0−
f (t)dt
t =0−
应用微分性质
∴ φ(s) = F (s) s
注 f (t − t0) = 0 当 t < t0
[ ] ∫ 证：
f(t - t0 )
=
∞ 0−
f (t − t0 )e−stdt
∫=
f (t − t )e e dt ∞
f (t) = δ (t)
∫ F (s) =
[δ (t)] =
∞ 0−
δ
(
t
)e
−
st
dt
∫=
δ0+
0−
(
t
)e − st dt
= e−s0 = 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) = eat
[ ] ∫ F( s ) =
e at
=
e e dt ∞ at −st
0−
= − 1 e−(s−a)t s−a
1
− jω
−
S
1⎤
+ jω ⎥⎦
=
ω S2 +ω2
9
2. 微分性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若： [ f ( t ) ] = F ( S )
13.1 拉普拉斯变换的定义
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作 表示对方括号里的复变函数作 拉氏反变换 反变换。 拉氏反变换。
−st
L [F(s)] =
−1
∫ 2π j
1
c+ j∞
c− j∞
F(s)e ds
st
三、运算法
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−Байду номын сангаас
∞
−st
函数， 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s 的函数。 的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变 所以拉氏变换是把一个时间域的函数 变 域内的复变函数F(s)。 换到 s 域内的复变函数 。 称为复频率。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一 种复频域分析方法，又称为运算法 运算法。 种复频域分析方法，又称为运算法。 定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计 开始， 定义中拉氏变换的积分从 开始 包含的冲激， 及t=0时f(t)包含的冲激，从而给计算存在冲激函数 时 包含的冲激 从而给计算存在冲激函数 电压和电流的电路带来方便。 电压和电流的电路带来方便。
∞
1 L[e ] = s −a
at
F(s) = L[ f (t)] = ∫ eate−stdt
0−
1 −(s−a)t =− e s −a 0−
∞
1 = s −a
二、拉普拉斯变换的定义
1、拉普拉斯变换（拉氏变换） 、拉普拉斯变换（拉氏变换） 一个定义在[0， 区间的函数 区间的函数f(t)， 一个定义在 ，∞)区间的函数 ，它的拉普 拉斯变换式F(s)定义为 拉斯变换式 定义为
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−
∞
−st
−st
L [F(s)] =
−1
∫ 2π j
1
c+ j∞
c− j∞
F(s)e ds
st
三、运算法
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−Байду номын сангаас
∞
−st
函数， 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s 的函数。 的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变 所以拉氏变换是把一个时间域的函数 变 域内的复变函数F(s)。 换到 s 域内的复变函数 。 称为复频率。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一 种复频域分析方法，又称为运算法 运算法。 种复频域分析方法，又称为运算法。 定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计 开始， 定义中拉氏变换的积分从 开始 包含的冲激， 及t=0时f(t)包含的冲激，从而给计算存在冲激函数 时 包含的冲激 从而给计算存在冲激函数 电压和电流的电路带来方便。 电压和电流的电路带来方便。
∞
1 L[e ] = s −a
at
F(s) = L[ f (t)] = ∫ eate−stdt
0−
1 −(s−a)t =− e s −a 0−
∞
1 = s −a
二、拉普拉斯变换的定义
1、拉普拉斯变换（拉氏变换） 、拉普拉斯变换（拉氏变换） 一个定义在[0， 区间的函数 区间的函数f(t)， 一个定义在 ，∞)区间的函数 ，它的拉普 拉斯变换式F(s)定义为 拉斯变换式 定义为
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−
∞
−st
第十三章 拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的 方法间接求得。 设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数，且 n ≥m 。
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + L + am F ( s) = = D( s ) b0 s n + b1s n −1 + L + bn
∞
−
F (s) f (ξ )dξ ] = s
e-stdt，
利用∫ udv = uv − ∫ vdu
则： 0 [(
1 − st ∴ du = f (t )dv，v = − e s
− st ∞
∫ ∫
= (∫
t
t
0−
f (ξ )dξ )e − st dt ] = ( ∫
t
0−
0−
e f (ξ )dξ ) −s
16
例：13-7
s+3 求：F(s) = 2 的原函数f (t ) s + 2s + 5
17
3、D(s)=0 具有q阶重根p1 ， 其余为单根p2、 p3、
K11 K2 则：F ( s ) = + +L+ +( + L) 2 q s − p1 ( s − p1 ) ( s − p1 ) s − p2
则 f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。 本书涉及的f(t)均满足上述条件
1 c + j∞ 拉普拉斯反变换的定义： f (t ) = F ( s )e st ds 2πj ∫c − j∞
式中，M , c为正的有限常数
−1
用 [ ]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换 用 [ ]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换 例如：F(s)= [f(t)]=
13-1拉普拉斯变换
j
F
(S
)e
st
ds
3
定义在 (0, ) 区域内的函数 f (t) ，如果满足下列两个 条件：
（1） t 0 的任一有限区间内， f (t) 分段连续； （2）在 t 充分大时， f (t) 满足不等式
| f (t) | Mect 其中 M、C 为实常数（即 f (t) 为一指数函数），则 f (t) 的拉氏变换 F (s) f (t)est dt ，在复平面上
f (t)est ，再在（0－，∞）内对 t 积分，该积分称为单边
拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。 L[ f (t)] F (s) f (t)estdt
0
式中 s j 为复数（复频率变量） 上式对 t 求定积分后，变成了复变量 s 的函数，所以记作 F(s) 。
∴
|
0
f (t)e st dt |
M e ( c)t dt
0
当 c 0 ，即 c ，即 Re(s) c 时， M e( c)t dt 是
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
电路十拉普拉斯变换
（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值 和电容电压初始值 ；
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
第十三章 拉普拉期变换
∞
0−
∫ f( τ ) e
dτ = e
F (S )
A ·
f(t) t
例 求矩形波的象函数 解 图中矩形脉冲可表示为 1 − st 0 延迟性质 L [ε (t - τ ) ] = e S
τ 1 f(t) = ε (t) - ε (t - τ ) Q L [ε (t) ] = S 1 1 − st 0 1 → L [f(t) ] = − e = (1 − e − s τ ) S S S
例1 求以下函数的象函数
(1)单位阶跃函数 (2)单位冲击函数 (3)指数函数 解(1)Q f(t) = ε(t )
F(S) = L[f(t)] =
∞ − st 0− ∞ 0−
∫
ε(t )e −st dt =
∫e
dt =
1 s
(2 ) Q f ( t ) = δ ( t ) (3)Q f (t ) = e
第十三章
拉普拉斯变换
（） 定义 f（t） 在[0 ∞ )有定义
F(S ) =
∞ 0−
13 − 1拉氏变换定义 则 F(s) = L[f(t)] f(t) = L-1 [f(t)]
∫
f(t)e-st dt
↑ 象函数 ↑ 原函数
1 c + j∞ st 拉氏反变换定义 f(t) = ∫ F(s)e ds 2 πj c − j∞
13 − 4运算电路 时域 S域 基尔霍夫定律 拉氏变换后(对上式 )∑ I (S ) = 0
∑i
=0
∑u
=0
∑U
(S ) = 0
I（S） R （ ）
− −基尔霍夫定律运算形式 U(S) = RI(S) Q u = Ri + U（S） （ ） di(t) u(t) = L 电感元件 取拉氏变换和微分性质 dt 附加电 源，其 di(t) L[ u(t)] = LL = L[SI (S ) − i(0-)] 极性与I 极性与 dt 反向。 反向。 U(S ) = SLI (S ) − Li(0− ) SL - - - -称运算阻抗 电阻元件
第13章 拉普拉斯变换
k2 s2
k3 s5
0 .1 s
0 .5 s2
0 .6 s5
k 1 sF ( s )
s0
1 25
0 .1
k1
2s 1 3s 14s 10
2 s0
1 10
0 .1
k 2 ( s 2 ) F ( s ) s 2
2( 2) 1 2 ( 2 5)
I2(s) + sL2
+ i1
u1 –
u 1 L1
M
L1 L2
i2
+
u2 –
+ –
+ – + –
+
L2i2(0-)
U2(s)
–
Mi1(0-)
+
–
d i1 dt d i2 dt
M
d i2 dt
U 1 ( s ) sL 1 I 1 ( s ) L1 i 1 ( 0 ) sMI 2 ( s ) Mi 2 ( 0 ) U 2 ( s ) sL 2 I 2 ( s ) L 2 i 2 ( 0 ) sMI 1 ( s ) Mi 1 ( 0 )
本章重点：
1. 运算形式的电路定律和元件约束
2. 用运算法分析线性电路
§13－1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
F 双边拉氏变换：( s ) F 单边拉氏变换：( s ) 1 f (t ) 拉氏反变换： 2 j
f (t ) e
0
c j
c j
把傅氏变换的 j s j F f ( t ) e dt 记作 ( s ) L [ f ( t )] 正变换 1 F ( s ) e ds 记作 f ( t ) L [ F ( s )] 反变换
13第十三章拉普拉斯变换
1 ( s 1)
2 t
3
( s 1)
t
2
f (t ) 3e
2 te
0 .5 t e
3t
小结： 1.由F(S)求f(t) 的步骤 1.) n =m 时将F(S)化成真分式
F (S ) C0 P(S ) D(S )
2.)求真分式分母的根，确定分解单元 3.)求各部分分式的系数 4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
2 t
(t ) 7e
(t )
例
求 F (s) s
2s 1
3
7s
2
10 s
的 原 函 数 f ( t )。
解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=－2，s3=－5
D ( s ) 3 s 14 s 10
2
K1
N (s) D ( s )
s s1
3
s p1
则： f (t ) K1e 当为n阶重根：
Kn
K 2te
d
( n 1) ( n 1)
p1t
1 2
K 3t e
n
2
p1t
1
(n 1)! ds
(s p )
1
F ( s)
s p1
例： 2 S ( S 1)
S 4
K1 S
K 21 ( S 1)
L[ (t )]
0
(t )e
St
dt
0 0
(t )e
St
dt
0 0
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f(t)= ℒ -1[F(s)]= 1 2pj
c+j
F(s) est dt
c-j
式中c为正的有限常数。
2019年10月24日星期
6
四
注意
(1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即：
∞
0+
∞
F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt = f(t)e-stdt + f(t)e-stdt
①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。
②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。
③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤。
④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系；
⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系；
2019年10月24日星期
2
四
重点
①拉普拉斯反变换部分分式展开； ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、
运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系。
第十四章 线性动态电路的复频域分析
主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系。
2019年10月24日星期
1
四
基本要求
一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉斯 变换式 F(s) 定义为：
∞
F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt
0-
式中s=s+jw为复数，被称为复频率；
F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为：
e-at)的定义域为[0，]，求其象解函：数。
ℒ [ f1(t)] = ℒ [sin(wt)] 欧拉公式 ℒ
线性性质
1 2j
ℒ
[ejwt]
-ℒ
[e-jwt
]
1 2j
(ejwt-e-jwt
)
引用
ℒ
[eat ]
=
1 s-a
=
1 2j
1
s-jw
-
1
s+jw
=
w s2+w2
ℒ [sin(wt)] = w s2+w2
ℒ [ f2(t)] = ℒ [K(1-e-at)] 线性性质ℒ [K]-ℒ [Ke-at] 引用阶跃函数和指数函数的结论
=
K s
-
K s+a
=
Ka
s(s+a)
2019年10月24日星期 四
ℒ
[K(1-e-at)]=
Ka
s(s+a)
10
2. 微分性质
若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)-f(0-)
e-
(s-a)t
∞ 0-
ℒ [eat]=1 ຫໍສະໝຸດ -a2019年10月24日星期
8
四
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
设：ℒ [ f1(t)]=F1(s)，ℒ [ f2(t)]=F2(s)
A1、A2 是两个任意实常数。
则：ℒ [A1 f1(t)+A2 f2(t)] = A1F1(s)+A2F2(s)
网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章。
2019年10月24日星期
4
四
§14-1 拉普拉斯变换的定义
1. 引言
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心 是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来， 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。
证：ℒ [ f ' (t)] =
∞df(t) e-st dt =
∞
e-st df(t)
0- dt
∞∞
0- ∞
F(s)
= e-st f(t) - f(t) de-st = -f(0-)+ s f(t) e-st dt
0- 0-
0-
推论：ℒ [ f (n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0-)-sn-2f '(0-)- -f (n-1)(0-) 特别，当 f(0-) = f '(0-) = =f (n-1)(0-)= 0 时 则有 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)，，ℒ [f (n)(t)] = snF(s)
2019年10月24日星期
3
四
难点
①拉普拉斯反变换的部分分式展开法； ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系
与其它章节的联系
拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。
ℒ
[e(t)]=
1 s
(2)单位冲激函数d(t)
∞
0+
F(s) = d(t) e-st dt = d(t) e-st dt = e-s(0)
0-
0-
(3)指数函数 f(t) = eat (a为实数)
ℒ [d(t)]=1
F(s) =
∞
eat e-st dt =
0-
∞
e-(s-a)t dt =
0-
1 -(s-a)
证： 左 = [A1 f1(t) + A2 f2(t)] e-st dt
0-
∞
∞
= A1 f1(t) e-st dt + A2 f2(t) e-st dt = 右
0-
0-
A1F1(s)
A2F2(s)
2019年10月24日星期
9
四
P346 例14-2 若 f1(t)=sin(wt)， f2(t)=K(1-
两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中， 初始条件成为变换的一部分。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。
2019年10月24日星期
5
四
1. 定义
0-
0-
0+
它计及 t=0-至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量
的初始值，从而为电路的计算带来方便。
(2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)。
象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。
在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电
流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。
所以应用时不再计较F(s)的存在条件。
2019年10月24日星期
7
四
2. 典型函数的拉氏变换 P345例
14-1 (1)单位阶跃函数 f(t) = e(t)
F(s) =
∞
e(t) e-st dt =
0-
∞
e-st dt = -
0-
1 s
e-st
∞ 0-