最新江苏全等三角形的专题训练【解析版】

全等三?角形的专题训练【解析版】

Ver：1.0a 小春

?一、与 2 倍、?二分之?一倍线段有关

1、【2016 重庆】在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 30°，点 D 是 BC 上?一点，连接 AD，过点 A 作 AG ⊥ AD，在 AG 上取点 F，连接 DF，延?长 DA ?至 E，使 AE = AF，连接 EG、DG，且GE = DF，证明： CG = 2BD。

证明：作 GH ⊥ BC 于 H，连接 AH

因为 AE = AF，GE = DF，∠EAG = ∠FAD = 90°

所以△EAG ≌△FAD（HL）

所以 AD = AG，所以△DAG 是等腰直?角三?角形

因为∠BAD = 15°，所以∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60°，所以∠GDH = 60° - 45° = 15°

易易证 A、G、H、D 四点共圆，所以∠GAH = ∠GDH = 15° = ∠BAD

?又因为∠ADB = ∠AGH = 120°，AD = AG

所以△BAD ≌△HAG（ASA）

所以 BD = GH

在 Rt△CHG 中：∠C = 30°，所以 CG = 2GH

所以 CG = 2BD，得证。

2、【2017 重庆】在△ABC 中，∠ABM = 45°，AM ⊥ BM，垂?足为 M，点 C 是BM 延?长线上?一点，连接 AC．

（1）如图 1，若 AB = 3√2，BC = 5，求 AC 的?长；

（2）如图 2，点 D 是线段 AM 上?一点，MD = MC，点 E 是△ABC 外?一点，EC = AC，连接 ED 并延?长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：∠BDF = ∠CEF。

证明：（1）?口算：AB = 3√2，AM = BM = 3，CM = 5 - 3 = 2，AC = √13；（2）延?长 DF 到 G，使 FG = FD，连接 CG

因为 MD = MC，∠AMC = ∠BMD = 90°，BM = AM

所以△AMC ≌△BMD（SAS）

所以 AC = BD

易易证△BFD ≌△CFG（SAS）

所以 BD = CG，∠BDF = ∠G

因为 BD = CG，BD = AC，AC = CE

所以 CG = CE，所以∠G = ∠CEF

因为∠BDF = ∠G

所以∠BDF = ∠CEF，得证。

3、【2017 ?一中?二模】Rt△ABC中，∠BAC = 90°，以 AC 为边向外作△ACD，F 为 BC 上?一点，连结 AF。如图 2，若 AB = AC，延?长 DC 交 AF 延?长线于 H 点，且∠AHD = 90°，∠BCH = ∠CAD，连结 BD 交 AH 于 M 点。求证：CD =

2HM。

证明：延?长 DH 到 G，使 HG = HD，连接 GA、GB

因为∠HCA = ∠CDA + ∠CAD，∠HCA = ∠BCH + ∠ACB，∠BCH = ∠CAD

所以∠CDA = ∠ACB = 45°

所以△AHD 是等腰直?角三?角形

易易证△AHG ≌△AHD（SAS），所以 AG = AD

所以△AHG、△GAD 也是等腰直?角三?角形

倒?角知∠BAG = ∠CAD

?又因为 BA = AC，AG = AD

所以△BAG ≌△CAD（SAS），所以 BG = CD，∠BGA = ∠CDA = 45°

所以∠BGD = 45° + 45° = 90°，GB ∥ AH

H 是 DG 中点，所以 GB = 2HM

所以 CD = 2HM，得证。

4、【2017 育才三模】已知，等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△CDE，∠ACB = ∠DCE = 90°，把 Rt△ABC 绕点 C 旋转，当 Rt△ABC 旋转到如图 2 所示的位置时，过点C 作 BD 的垂线交 BD 于点 F，交 AE 于点 G，求证：BD = 2CG。

证明：作∠CAH = ∠BCD，AH 交 CG 延?长线于 H

CF ⊥ BD，所以∠CBD + ∠FCB = 90°

?又∠ACH + ∠FCB = 90°，所以∠CBD = ∠ACH

?又因为 AC = BC

所以△CBD ≌△ACH（AAS）

所以 AH = CD，∠1 = ∠2，BD = CH

因为∠1 + ∠4 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°

所以∠1 = ∠3

所以∠2 = ∠3

?又因为 AH = CD = EC，∠5 = ∠6

所以△EGC ≌△AGH（AAS）

所以 GH = GC，CH = 2CG

因为 BD = CH

所以 BD = 2CG，得证。

5、【2017 巴蜀?一模】如图，在等腰 Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，点 D 为 AC 上?一点，连接 BD，过 C 点作 BD 的垂线交 BD 的延?长线于点 E，连接AE，过点 A 作 AF ⊥ AE 交 BD 于点 F，连接 CF。若点 D 为 AC 的中点，求证：CF = 2CD。

证明：作 AG ⊥ BE 于 G，连接 CG

因为∠1 = ∠2，AB = AC，∠3 = ∠4（8 字）

所以△AEC ≌△AFB（ASA）

所以 AE = AF，所以△EAF 是等腰直?角三?角形，∠5 = 45°

所以 G 是 EF 中点（三点合?一），GF = GE

因为 AG ∥ CE，所以∠3 = ∠6

?又因为 AD = CD，∠ADG = ∠CDE

所以△ADG ≌△CDE（ASA）

所以 AG = CE，四边形 AECG 是平?行行四边形，所以 AE = CG

因为 FG = GE = AG = CE，∠AEC = ∠CGF = 135°，AE = CG

所以△AEC ≌△CGF（SAS）

所以 CF = AC

所以 CF = 2CD，得证。

6、【2017 ?一中模拟】在△ABC 中，AB = AC，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，在 AB 的延?长线上截取 BE 使 BE = CD，连接 DE 交 BC 于点 F。求证：BE =

2BF。

证明：过 D 作 DG ∥ BC 交 AB 于 G

因为 AB = AC，DG ∥ BC

所以 CD = GB

?又因为 BE = CD，所以 GB = BE，B 是 GE 中点

所以 DG = 2BF

因为 DG ∥ BC，所以∠1 = ∠3

?又因为∠1 = ∠2，所以∠2 = ∠3，所以 DG = GB

因为 GB = BE

所以 BE = 2BF，得证。

7、如图，在 Rt△BCE 中，以 BC 为斜边作等腰 Rt△ABC，D 为 BE 中点，过 E 作 EF ⊥ CA，证明：BF = 2AD。

证明：延?长 AD 交 BC 于 G，延?长 BA 交 CE 延?长线于 K

因为∠ABC = 45°，∠BCK = 90°，所以∠K = 45°，即△BCK 是等腰直?角三?角形，CK = CB

易易证△CAB ≌△CAK（SAS），所以 BK ⊥ CA

因为 EF ⊥ CA，所以 EF ∥ BK，四边形 BFEK 等腰梯形，BF = EK

因为 A 是 BK 中点，D 是 BE 中点

所以 ED ∥ AD，且 EK = 2AD

所以 BF = 2AD，得证。

8、如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 的中线，且∠AED = ∠BEC。求证：F 是 CD 中点。

证明：过 D 作 DG ∥ AC 交 BE 于 G

因为∠1 = ∠2，所以∠AEB = ∠CED

?又因为∠5 = ∠A，所以∠3 = ∠4

因为 DG ∥ AC，所以∠A = ∠6，所以∠5 = ∠6

?又因为 CD = DB

所以△DEC ≌△BGD（ASA）

所以 DG = EC

易易证△EFC ≌△GFD（AAS）

所以 CF = FD

即 F 是 CD 中点，得证。

9、如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 延?长线上?一点且 DB = DA，BE ⊥

AD，F 为 BE 中点。若∠BAC = ∠DAF，求证：2AF = AD。

证明：过 C 作 CG ⊥ BD 交 AD 于 G

因为∠BAC = ∠DAF，所以∠1 = ∠2

因为 DB = DA，AB = AC

所以∠ACB = ∠BAD

因为∠ACB = ∠D + 1，∠BAD = ∠EAF + ∠2，∠1 = ∠2

所以∠EAF = ∠D

?又因为∠AEF = ∠DCG = 90°

所以∠3 = ∠4

所以∠AFB = ∠AGC

?又因为 AB = AC

所以△AFB ≌△AGC（AAS），所以 AF = AG，BF = GC

因为 F 是 BE 中点，所以 BF = FE

所以 FE = GC

所以△AEF ≌△DCG（AAS），所以 AF = DG

所以 2AF = AD，得证。

10、如图，两个等腰直?角三?角形 ABC 和 CDE，F 为 AD 中点，若∠DBE = 45°，求证：2EF = ED。

证明：延?长 EF 到 G，使 FG = FE，连接 BG、DG，连接 AG 并延?长交 EC 于 H

易易证△AFG ≌△DFE（SAS），所以 AG = DE，AG ∥ ED

因为 AG ∥ ED，所以∠3 = ∠CED = 45°

因为∠1 + ∠ECB = ∠2 + ∠ECB = 45°，所以∠1 = ∠2

因为∠3 = ∠2 + ∠CAH，所以∠CAH = ∠ECB

所以∠GAB = ∠2 = ∠1

?又因为 AB = BC，AG = DE= CD

所以△ABG ≌△CBD（SAS），所以 BG = BD，∠ABG = ∠CBD

因为∠ABD + ∠GBC = 90°，所以∠CBD + ∠GBC = 90°

所以△GBD 是等腰直?角三?角形

?又因为∠DBE = 45°，所以 BE 是?角平分线，所以 EG = ED

因为 EG = 2EF

所以 2EF = ED，得证。

?二、证明两条的线段的和等于第三条线段

1、【2017 ?八中?一模】如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD = 60° ，M 为对?角线 BD

延?长线上?一点，连接 AM 和 CM，E 为 CM 上?一点，且满?足 CB = CE，连接 BE，交 CD 于点 F。证明：AM = CF + DM。

证法?一：【全等】在 BD 上截取 BG = DF，连接 CG

易易证△BDF ≌△CGB（SAS），所以∠1 = ∠2

因为 BC = CE，所以∠3 = ∠4

因为∠3 = 60° - ∠1，所以∠BCE = 180° - 2(60° - ∠1) = 60° + 2∠1 = 60° +

2∠2

所以∠GCM = 60° + 2∠2 - ∠2 = 60° + ∠2

?又因为∠CGM = ∠GBC + ∠2 = 60° + ∠2

所以 GM = CM

因为 GM = GD + DM = CF + DM，GM = CM = AM

所以 AM = CF + DM，得证。

证法?二：【圆】连接 DE，过 C 作 CG ⊥ DE 于 G，CG 交 BE 于 N，连接 DN 并延?长交 CM 于 H

因为 CE = CB = CD，所以∠1 = ∠2

易易证点 C 是△BDE 的外?心

所以∠3 = ∠1 = ∠2，∠4 = ∠8 = 30°，（圆周?角等于圆?心?角的?一半）

∠5 = ∠4 + ∠8 = 60°，所以 B、D、N、C 四点共圆

所以∠6 = 60°，∠7 = 60°

因为∠DHM = ∠2 + ∠7 = ∠2 + 60°，∠HDM = ∠3 + ∠5 = ∠2 + 60°

?又因为∠2 = ∠3

所以∠DHM = ∠HDM，所以 DM = HM

根据对称知 FD = HE，所以 DM = FD + EM

因为 CM = CE + EM = CD + EM = CF + FD + EM = CF + DM

所以 AM = CF + DM，得证。

2、【2017 南开?一模】等腰 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = BC，F 为 AB 上?一点，连接 CF，过点 B 作 BH ⊥ CF 交 CF 于 G ，交 AC 于 H。如图（2），若 F 为AB 中点，连接 FH，求证：CF = BH + FH。

证明：过 A 作 AB 的垂线交 BH 延?长线于 D

因为 BH ⊥ CF，所以∠1 = ∠2

所以△BAD ≌△CBF（ASA），所以 CF = BD，AD = BF

因为 AD = BF = AF，∠3 = ∠4 = 45°，AC = AC

所以△ACD ≌△ACF（SAS），所以 CD = CF，∠5 = ∠6

所以△CHD ≌△CHF（ASA），所以 DH = FH

?又因为 BD = BH + DH，所以 BD = BH + FH

所以 CF = BH + FH，得证。

3、【?一中 17 初三半期】如图，Rt△ABC 中，DG ⊥ AB ，G 为中点，Rt△AEF 等腰，DE ⊥ BD ，求证：BC = DE + DF。

证明：过 A 作 DE 的垂线，垂?足为 H

因为∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，所以∠2 = ∠3

?又 EF = EA，所以 Rt△EDF ≌ Rt△AHE（ASA），所以 EH = DF

所以 DH = DE + EH = DE + DF

因为∠4 + ∠6 = 90°，∠5 + ∠1 = 90°，∠4 = ∠5

所以∠1 = ∠6

因为 DG ⊥ AB ，G 为中点，所以 BD = DA

所以△BCD ≌△DHA（ASA），所以 BC = DH

所以 BC = DE + DF，得证。

4、在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90° ，点 D 为 AB 的中点，点 E 为 AC 下?方?一点，AE ∥ BC 且 CE ⊥ CD 于 C。过点 D 作 FD ∥ EC，交 EA 延?长线于点 F，连接CF。求证：BC = EF + AF。

证法?一：【全等+平四】延?长 FD 交 BC 于 G

易易证△BDG ≌△ADF（AAS），所以 BG = AF

易易证四边形 GCEF 是平?行行四边形，所以 GC = EF

所以 BC = BG + GC = AF + EF，得证。

证法?二：【中位线+平四】延?长 AF 到 G，使 FG = FA，连接 BG

因为 D 为 AB 中点，F 为 AG 中点，所以 DF ∥ BG

因为 DF ∥ BG，DF ∥ CE，所以 CE ∥ BG

?又因为 GE ∥ BC，所以四边形 BCEG 是平?行行四边形，所以 BC = GE 因为 GE = EF + GF = EF + AF

所以 BC = EF + AF，得证。

三、与根号 2 有关的

1、【南开 17 年年初三上半期】在等腰 Rt△ABC 中，如图 AF ⊥ EC，∠FAC =

∠BAE，求证：GE + DE = √2CE。

证明：过 C 作 CH ⊥ EF 交 AE 于 H

因为∠FAC = ∠BAE，所以∠FAE = ∠BAC = 45°，所以△AFE 是等腰直?角三?角形所以△ECH 也是等腰直?角三?角形，所以 CH = CE，HE = √2CE

因为∠1 + 2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，所以∠1 = ∠3

因为∠3 + ∠4 = 90°，∠1 + ∠2 = 90°，∠1 = ∠3

所以∠2 = ∠4

因为∠DEB = ∠GCB = 90°，所以∠6 = ∠G

因为∠6 = ∠G，∠5 = ∠6

所以∠5 = ∠G

所以△CDH ≌△CGE（AAS），所以 DH = GE

因为 HE = DH + DE = GE + DE

所以 GE + DE = √2CE，得证。

2、如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = BC，点 D 是线段 AC 上?一点，连接 BD，过点 C 作 CE ⊥ BD 于点 E，点 F 是 AB 垂直平分线上?一点，连接

BF、EF。当点 F 在 AC 边上时，求证：CE - BE = √2EF。

证明：过 F 作 FG ⊥ EF 交 EC 于 G

易易证∠1 = 45°（可以?用四点共圆、也可以?用内?角和关系倒?角）

所以△EFG 是等腰直?角三?角形，所以 EF = FG，EG = √2EF

因为∠2 + ∠3 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，所以∠2 = ∠4

?又∠BEF = CGF = 135°，EF = FG

所以△BEF ≌△CGF（AAS），所以 BE = CG

因为 EG = CE - CG = CE - BE

所以 CE - BE = √2EF，得证。

3、四边形 ABCD 为矩形，连接 AC，AD = 2CD，点 E 在 AD 边上。如图 2，延?长 BA ?至点 F 使得 AF = 2CD，连接 FE 并延?长交 CD 于点 G，过点 D 作 DH ⊥EG 于点 H，连接 AH，求证：FH = √2AH + DH。

证明：过 A 作 AK ⊥ AH 交 FG 于 K

易易证∠1 = ∠2

因为∠3 = ∠4，∠4 = ∠F，所以∠3 = ∠F

?又因为 AF = AD = 2CD

所以△AKF ≌△AHD（ASA），所以 AK = AH、FK = DH

所以△KAH 是等腰直?角三?角形，KH = √2AH

所以 FH = KH + FK = √2AH + DH，得证。

四、与根号 3 有关

1、【2017 南开三模】如图，已知等腰 Rt△ABC，∠ACB = 90°，CA = CB，以BC 为边向外作等边△CBD，连接 AD，过点 C 作∠ACB 的?角平分线与 AD 交于点 E，连接 BE。

（1）若 AE = 2，求 CE 的?长度；

（2）以 AB 为边向下作△AFB，∠AFB = 60°，连接 FE，求证：FA + FB =

√3FE。

解：（1）延?长 CE 交 AB 于点 G

因为∠CBE = ∠CAE = ∠CDE，所以 C、D、B、E 四点共圆

所以∠CED = ∠CBD = 60°

所以∠CAE = 15°，∠EAB = 30°

因为 AE = 2，所以 EG = 1，CG = AG = √3

所以 CE = CG - EG = √3 - 1；

（2）延?长 FB 到 H，使 BH = AF，连接 EH，过 H 作 HK ⊥ FH 交 FE 延?长线于 K 因为∠AFB = 60°，所以∠AFB + AEB = 180°

所以 A、E、B、F 四点共圆

所以∠EBH = ∠EAF

所以∠1 = ∠2，∠4 = ∠3 = 30°，∠5 = 60° - 30° = 30°

因为 AE = BE，∠EBH = ∠EAF，AF = BH

所以△EBH ≌△EAF（SAS）

所以 EH = EF，∠EHB = ∠4 = 30°

所以 E 是 Rt△FHK 斜边中点，HK = EF

因为∠4 = 30°，所以 HK = FK/√3 = (FB + BH)/√3 = (FB + FA)/√3

所以 EF = (FB + FA)/√3

即 FA + FB = √3FE，得证。

2、【?一中 17 初三?月考】在等边△ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，点 F 为 AD 上任意?一点，连接 BF，点 G 为 BF 的中点，点 E 为 AB 上?一点，且 AE = EF，连接EG、GC、CE。

（1）若 AF = 6，AB = 10√3 ，求 FB 的?长；

（2）求证：CG = √3EG。

解：（1）AB = 10√3，BD = 5√3，AD = √3BD = 15，FD = AD - AF = 9，FB = 2√39；

（2）延?长 CG 到 H，使 GH = GC，连接 HE、HF

易易证△HGF ≌△CGB（SAS），所以 HF = CB，HF ∥ CB，∠1 = ∠2

因为 HF ∥ CB，所以∠AFH = ∠ADB = 90°

因为 AE = EF，所以∠EFA = ∠EAF = 30°，所以∠HFE = 60°

因为 HF = CB，∠HFE = ∠CAE = 60°，EF = EA

所以△HFE ≌△CAE（SAS），所以 CE = HE，∠3 = ∠4