【精校】2020年吉林省长春市中考一模试卷数学 (1)
2020年吉林省长春市中考一模试卷数学一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.比-1大2的数是( )A.-3B.-2C.1D.2解析：根据题意可得：比-1大2的数是-1+2=1.答案：C2.每年的6月14日，是世界献血日，据统计，某市义务献血达421000人，421000这个数用科学记数法表示为( )A.4.21×105B.42.1×104C.4.21×10-5D.0.421×106解析：421 000=4.21×105.答案：A3.不等式组2131xx+≥-⎩-⎧⎨，＜中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )A. B. C. D.解析：2131xx+≥-⎧⎨-⎩，＜，①②由①得，x≥-1，由②得，x＜2，故不等式组的解集为：-1≤x＜2.在数轴上表示为：D.答案：D4.一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根解析：△=22-4×2=-4＜0，所以方程没有实数解.答案：C5. 由6个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则在以下视图中，与其它三个形状都不同的是( )A.主视图B.俯视图C.左视图D.右视图解析：主视图、左视图、右视图都为：俯视图为：.答案：B6.如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO的延长线交⊙O于点C，∠OAC=35°，则∠B的度数是( )A.15°B.20°C.25°D.35°解析：∵AB为⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠BAO=90°，∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=35°，∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-35°-35°-90°=20°.答案：B7.如图，点P在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于( )A.-4B.-2C.2D.4解析：∵点P在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，∴S△APB=12|k|=2，∴k=±4.又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k=-4.答案：A8.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于( )A.3 2B.8 3C.5D.6解析：∵AB∥EF∥DC，∴DE CF DA CB=，∵DE=3，DA=5，CF=4，∴345CB=，∴CB=203，∴FB=CB-CF=208433-=.答案：B二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.= .==10.计算：(-2xy2)3= .解析：(-2xy2)3=(-2)3x3(y2)3=-8x3y6.答案：-8x3y611.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为 cm2. 解析：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=12AC=5，OB=12BD，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AB=13cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：=，∴BD=2OB=24cm，∴菱形ABCD的面积=12×10×24=120cm2.答案：12012.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，点E在AB的延长线上，BF是∠CBE的平分线，∠ADC=110°，则∠FBE= .解析：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=110°，∴∠CBE=∠ADC=110°，∵BF是∠CBE的平分线，∴∠FBE=12∠CBE=55°，答案：55°13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以A为圆心，以AC为半径画弧，交AB 于D，则扇形CAD的周长是 (结果保留π)解析：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，∴∠A=60°，∴»CD的长为6011803ππ⨯=，∴扇形CAD 的周长是3π+2， 答案：3π+214.如图，二次函数y=a(x-2)2+k 的图象与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为-1，则点B 的横坐标为 .解析：由题意可知：二次函数的对称轴为x=2，∴点A 与B 关于x=2对称， 设B 的横坐标为x ，∴122x -=，∴B 的横坐标坐标为5. 答案：5三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简，再求值：224224x x x x --÷++，其中解析：先根据分式的除法法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可.答案：原式=()()22224422x x x x x x -++⋅=++-，当=3+4=7.16.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字-2，1，3，每个小球除数字外其它都相同，小明先从袋中随机取出1个小球，记下数字；小强再从口袋剩余的两个小球中随机取出1个小球记下数字，用画树状图(或列表)的方法，求小明，小强两人所记的数字之和为奇数的概率.解析：列表得出所有等可能的情况数，找出这两个球上的两个数字之和为奇数的情况数，即可求出所求的概率. 答案：列表得：所有等可能的情况有6种，其中两个数字之和为奇数的情况有4种， 所以小明，小强两人所记的数字之和为奇数的概率=4263=.17.一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h ，卡车的行驶速度是60km/h ，客车比卡车早1h 经过B 地，A 、B 两地间的路程是多少？解析：设A 、B 两地间的路程为xkm ，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x 的值. 答案：设A 、B 两地间的路程为xkm ， 根据题意得6070x x-=1，解得x=420. 答：A 、B 两地间的路程为420km.18.每年的3月22日为“世界水日”，为宣传节约用水，小强随机调查了某小区部分家庭3月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图.(1)小强共调查了 户家庭.(2)所调查家庭3月份用水量的众数为 吨；平均数为 吨； (3)若该小区有500户居民，请你估计这个小区3月份的用水量. 解析：(1)根据条形统计图求出调查的家庭总户数即可；(2)根据条形统计图求出6月份用水量的平均数，找出众数即可； (3)根据统计图求出平均每户的用水量，乘以500即可得到结果. 答案：(1)根据题意得：1+1+3+6+4+2+2+1=20(户)，则小强一共调查了20户家庭.(2)根据统计图得：3月份用水量的众数为4吨；平均数为123346542627820++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=4.5.(吨)，则所调查家庭3月份用水量的众数为4吨、平均数为4.5吨；(3)根据题意得：500×4.2=2100(吨)，则这个小区3月份的用水量为2100吨.19.如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H 四点不共线.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形.(2)当AC=BD时，求证：四边形EFGH为菱形.解析：(1)根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG=EH，根据平行四边形的判定定理证明；(2)根据菱形是判定定理证明.答案：(1)∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG=12BD，FG∥BD，∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH=12BD，EH∥BD，∴FG∥EH，FG=EH，∴四边形EFGH为平行四边形.(2)由(1)得，FG=12BD，GH=12BC，∵AC=BD，∴GF=GH，∴平行四边形EFGH为菱形.20.如图，某山坡坡长AB为110米，坡角(∠A)为34°，求坡高BC及坡宽AC.(结果精确到0.1米)【参考数据：sin34°=0.559，cos34°=0.829，tan34°=0.675】解析：根据正弦、余弦的定义列出算式，计算即可.答案：在Rt△ABC中，sinA=BCAB，cosA=ACAB，则BC=AB·sinA=110×0.559≈61.5(米)，AC=AB·cosA=110×0.829≈91.2(米)，答：坡高BC约为61.5米，坡宽AC约为91.2米.21.如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点(不与A，B重合)，作射线DE并绕点D 逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF.探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF.应用：(1)当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是 .(2)当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是 .解析：探究：作辅助线，构建全等三角形，证明△DAG≌△DCF(SAS)，得∠1=∠3，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE(SAS)，根据EG的长可得结论；应用：(1)利用探究的结论计算三角形周长为4；(2)分两种情况：①点E在BA的延长线上时，如图2，EF=CF-AE，②当点E在AB的延长线上时，如图3，EF=AE-CF，两种情况都是作辅助线，构建全等三角形，证明两三角形全等得线段相等，根据线段的和与差得出结论.答案：探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，∴△DAG≌△DCF(SAS)，∴∠1=∠3，DG=DF，∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，∵DE=DE，∴△GDE≌△FDE(SAS)，∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；应用：(1)△BEF的周长=BE+BF+EF，由探究得：EF=AE+CF，∴△BEF的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，(2)当点E不在边AB上时，分两种情况：①点E在BA的延长线上时，如图2，EF=CF-AE ，理由是：在CB 上取CG=AE ，连接DG ， ∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC ，∴△DAE ≌△DCG(SAS)∴DE=DG ，∠EDA=∠GDC ，∵∠ADC=90°，∴∠EDG=90°，∴∠EDF+∠FDG=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDG=90°-45°=45°，∴∠EDF=∠FDG=45°， 在△EDF 和△GDF 中，∵DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△EDF ≌△GDF(SAS)，∴EF=FG ，∴EF=CF-CG=CF-AE ； ②当点E 在AB 的延长线上时，如图3，EF=AE-CF ，理由是：把△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCG ，可使AD 与DC 重合，连接DG ， 由旋转得：DE=DG ，∠EDG=90°，AE=CG ， ∵∠EDF=45°，∴∠GDF=90°-45°=45°， ∴∠EDF=∠GDF ， ∵DF=DF ，∴△EDF ≌△GDF ， ∴EF=GF ，∴EF=CG-CF=AE-CF ；综上所述，当点E 不在边AB 上时，EF ，AE ，CF 三者的数量关系是：EF=CF-AE 或EF=AE-CF ；22.甲、乙两辆汽车沿同一路线从A 地前往B 地，甲以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，设甲、乙两车与A 地的路程为s(千米)，甲车离开A 地的时间为t(时)，s 与t 之间的函数图象如图所示.(1)求a 和b 的值.(2)求两车在途中相遇时t 的值.(3)当两车相距60千米时，t= 时.解析：(1)根据速度=路程÷时间即可求出a 值，再根据时间=路程÷速度算出b 到5.5之间的时间段，由此即可求出b 值；(2)观察图形找出两点的坐标，利用待定系数法即可求出s 乙关于t 的函数关系式，令s 乙=150即可求出两车相遇的时间； (3)分0≤t ≤3、3≤t ≤4和4≤t ≤5.5三段求出s 甲关于t 的函数关系式，二者做差令其绝对值等于60即可得出关于t 的函数绝对值符号的一元一次方程，解之即可求出t 值，再求出0≤t ≤2时，s 甲=50t=60中t 的值.综上即可得出结论. 答案：(1)a=1503=50，b=5.5-300150250-⨯=4.(2)设乙车与A 地的路程s 与甲车离开A 地的时间t 之间的函数关系式为s 乙=kt+m ，将(2，0)、(5，300)代入s=kt+m ，023005k m k m =+⎧⎨=+⎩，，解得：100200k m =⎧⎨=-⎩，，∴s 乙=100t-200(2≤t ≤5). 当s 乙=100t-200=150时，t=3.5. 答：两车在途中相遇时t 的值为3.5. (3)当0≤t ≤3时，s 甲=50t ； 当3≤t ≤4时，s 甲=150；当4≤t ≤5.5时，s 甲=150+2×50(t-4)=100t-250.∴s甲=500315034100250()()(4)5.5t ttt t≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≤≤⎩，，．令|s甲-s乙|=60，即|50t-100t+200|=60，|150-100t+200|=60或|100t-250-100t+200|=60，解得：t1=145，t2=265(舍去)，t3=2910(舍去)，t4=4110(舍去)；当0≤t≤2时，令s甲=50t=60，解得：t=65.综上所述：当两车相距60千米时，t=65或145.23.如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为(-1，2)，将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B，E两点.(1)求此抛物线的函数关系式.(2)将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离.(3)将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是 .解析：(1)待定系数法即可解决问题.(2)矩形ABCO的中心坐标为(-12，1)，可得1=-x2+21133x+，解得x=-43或2，所以平移距离d=-12-(-43)=56.(3)求出顶点坐标，点E坐标，即可解决问题. 答案：(1)由题意，点E的坐标为(2，1)，则()2212221c cb c⎧---+=⎪⎨-++=⎪⎩，，解得23113bc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴此抛物线的解析式为y=-x2+21133x+.(2)∵矩形ABCO的中心坐标为(-12，1)，∴1=-x2+21133x+，解得x=-43或2，∴平移距离d=-12-(-43)=56.(3)∵y=-x2+21133x+=-(x-13)2+349，∴抛物线的顶点坐标为(13，349)，∵E(2，1)，∴平移距离d=349或3425199-=.故答案为259或349.24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=6cm，BC=9cm，点P从点A 出发，以2cm/s的速度沿A→D→C方向向点C运动；同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B方向向点B运动，设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为Scm2.(1)DC= cm，sin∠BCD= .(2)当四边形PDCQ为平行四边形时，求t的值.(3)求S与t的函数关系式.(4)若S与t的函数图象与直线S=k(k为常数)有三个不同的交点，则k的取值范围是 .解析：(1)如图1，作高线DE，证明四边形ABED是矩形，再利用勾股定理求DC的长，在Rt△DEC中，求出sin∠BCD=45 DEDC=；(2)当四边形PDCQ为平行四边形时，点P在AD上，如图2，根据PD=CQ列方程得：6-2t=t，解出即可；(3)分三种情况：①当0＜t≤3时，点P在边AD上，如图3，直接利用面积公式求S即可；②当3＜t≤112时，点P在边CD上，如图4，利用梯形面积减去三个三角形面积的差求S；③当112＜t≤9时，点P与C重合，Q在BC上，如图5，直接利用面积公式求S即可；(4)画出图象，根据图象得出结论.答案：(1)过D作DE⊥BC于E，则∠BED=90°，∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠B=90°，∴∠B=∠BAD=90°，∴四边形ABED是矩形，∴AD=BE=6，DE=AB=4，∴EC=BC-BE=9-6=3，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=5，sin∠BCD=45 DEDC=，(2)由题意得：AP=2t，CQ=t，则PD=6-2t，当四边形PDCQ 为平行四边形时，如图2，则PD=CQ ，∴6-2t=t ，∴t=2. (3)分三种情况：①当0＜t ≤3时，点P 在边AD 上，如图3，S=12AP ·AB=12×4×2t=4t ； ②当3＜t ≤112时，点P 在边CD 上，如图4，过P 作MN ⊥BC ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ， 由题意得：CQ=t ，BQ=9-t ，PA=2t ，PD=2t-6， ∴PC=5-PD=5-(2t-6)=11-2t ， 由图1得：sin ∠C=45PNPC=， 45112PNt=-， PN=()41125t -， ∴PM=4-PN=4-()()411242655t t --=， S=S 梯形ABCD -S △PQC -S △ABQ -S △APD ， =()()()()26946426111436132411259422522555t t t t t t +⨯⨯--⨯-⨯⨯--⨯-⨯=-+； ③当112＜t ≤9时，点P 与C 重合，Q 在BC 上，如图5，S=12×t ×4=2t ； 综上所述，S 与t 的函数关系式为：S=240343613211355521()(1292)()t t t t t t t ⎧⎪≤⎪⎪-+≤⎨⎪⎪≤⎪⎩＜，＜，＜．(4)如图6，S=2436132555t t -+；S 的最小值为：241323644515554545⨯⨯⨯⎛⎫ ⨯⎪⎭=⎝--，当t=3时，S=4×3=12，∴则k的取值范围是：515＜k＜12.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷 解析版
2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在﹣2，0，﹣1，2这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．22．（3分）2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国．将2200万用科学记数法表示为（）A．22×106B．2.2×106C．2.2×107D．0.22×1073．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为（）A．5B．13C．D．5．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BED 的大小为（）A．80°B．100°C．110°D．105°7．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO 的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．3sinα米C．米D．3cosα米8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）分解因式：2a﹣2ab＝．11．（3分）不等式7﹣5x≤2的解集是．12．（3分）如图，OA∥CB，OC∥AB．若∠1＝50°，则∠2的大小为度．13．（3分）如图，AB＝4．分别以点A、B为圆心，AB长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以AB长为半径画圆弧交AC的延长线于点D，连结BD、BC，则△ABD的面积是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．16．（6分）小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同．小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．17．（6分）为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩．已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．18．（7分）如图，在⊙O中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在⊙O上，点D在AP 上，且AC＝CD，延长DC交AB于点E．（1）求证：CA＝CE．（2）若⊙O的半径为5，∠AEC＝50°，求的长．（结果保留π）19．（7分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如表统计表．使用次数（次）012345人数（人）11152328203（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是（次）．（2）求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画△ABC的面积为．（2）在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．（3）在图③中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，其面积为．21．（8分）一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线AB﹣BC表示两车之间的路程y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的路程是km，轿车的速度是km/h．（2）求直线BC所对应的函数表达式（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）之间的函数图象．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为．（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线CA﹣AB以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）求点A与BC之间的距离．（2）当BP＝2AQ时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）当线段PQ与△ABC的某条边垂直时，直接写出t的值．24．（12分）已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣1时，①求此函数图象与y轴交点坐标．②当函数y的值随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为．（2）若已知函数经过点（1，5），求k的值，并直接写出当﹣2≤x≤0时函数y的取值范围．（3）要使已知函数y的取值范围内同时含有±2和±4这四个值，直接写出k的取值范围．2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在﹣2，0，﹣1，2这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．2【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜2，故选：A．2．（3分）2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国．将2200万用科学记数法表示为（）A．22×106B．2.2×106C．2.2×107D．0.22×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2200万＝22000000＝2.2×107．故选：C．3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看，所得到的图形即可．【解答】解：该几何体的左视图为故选：D．4．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为（）A．5B．13C．D．【分析】直接利用b2﹣4ac的值即可．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝32﹣4×1×（﹣1）＝13．故选：B．5．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的等量关系是：木长+4.5＝绳长；×绳长+1＝木长，据此可列方程组即可．【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意可得，，故选：A．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BED 的大小为（）A．80°B．100°C．110°D．105°【分析】由圆周角定理推知∠A＝∠D＝50°，再根据三角形内角和定理求得即可．【解答】解：如图，∵∠A＝50°，∴∠D＝∠A＝50°．又∵∠B＝30°，∴∠BED＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，故选：B．7．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO 的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．3sinα米C．米D．3cosα米【分析】根据直角三角形的解法解答即可．【解答】解：栏杆A端升高的高度＝AO•sin∠AOA′＝3sinα（米），故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标（t+2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，列出t的方程，即可求出k．【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t+2，2），∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6t＝2（t+2），解得t＝1，k＝6．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：＝．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：＝3﹣＝2．故答案为：2．10．（3分）分解因式：2a﹣2ab＝2a（1﹣b）．【分析】直接提公因式2a即可．【解答】解：原式＝2a•1﹣2a•b＝2a（1﹣b），故答案为：2a（1﹣b）．11．（3分）不等式7﹣5x≤2的解集是x≥1．【分析】移项，合并同类项即可求解．【解答】解：7﹣5x≤2，移项得：﹣5x≤2﹣7，则﹣5x≤﹣5．所以x≥1，故答案是：x≥1．12．（3分）如图，OA∥CB，OC∥AB．若∠1＝50°，则∠2的大小为130度．【分析】根据平行线的性质先求出∠O的大小，再根据平行线的性质先求出∠2的大小．【解答】解：∵OC∥AB，∠1＝50°，∴∠O＝50°，∵OA∥CB，∴∠2＝130°．故答案为：130．13．（3分）如图，AB＝4．分别以点A、B为圆心，AB长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以AB长为半径画圆弧交AC的延长线于点D，连结BD、BC，则△ABD的面积是8．【分析】根据作图过程可得AB＝AC＝BC＝CD＝4，所以三角形ABC是等边三角形，△ABD是直角三角形，进而可求BD的长，最后求出三角形ABD的面积．【解答】解：根据作图过程可知：AB＝AC＝BC＝4，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BC＝CD∴∠D＝∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，∴BD＝4，∴S△ABD＝AB•BD＝4×4＝8．故答案为：8．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为．【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，令y＝0得关于x的方程，解得x的值，则可知点A、点B的坐标及OA、OB的长，再证明△ACO≌△DAE（AAS），从而可用含a的式子表示出DE和BE的长，然后在Rt△BDE中，由勾股定理得出关于a的不等式，则可得a的最小值．【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，令y＝0得：ax2﹣4ax+3a＝0，解得：x1＝1，x2＝3．∴OA＝1，OB＝3，令x＝0，得：C（0，3a）．∵旋转，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAE＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠DAE＝∠ACO，在△ACO和△DAE中，∴△ACO≌△DAE（AAS）．∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a，∴BE＝AE﹣AB＝3a﹣2，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝BE2+DE2＝（3a﹣2）2+1≥1．当3a﹣2＝0，即a＝时，BD取得最小值．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：（3x﹣1）2﹣x（9x+2）＝9x2﹣6x+1﹣9x2﹣2x＝﹣8x+1，当x＝时，原式＝﹣8×+1＝﹣3+1＝﹣2．16．（6分）小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同．小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．【分析】用列表法列举出所有等可能出现的结果，从中找出颜色相同的结果数，进而求出概率．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：由表可知，共有9种等可能出现的结果，其中颜色相同的有5种，∴两人挑战成功的概率为．17．（6分）为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩．已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．【分析】设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两车间各自生产600万只防护型口罩时乙车间比甲车间少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，依题意，得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意．答：甲车间每天生产这种防护型口罩50万只．18．（7分）如图，在⊙O中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在⊙O上，点D在AP 上，且AC＝CD，延长DC交AB于点E．（1）求证：CA＝CE．（2）若⊙O的半径为5，∠AEC＝50°，求的长．（结果保留π）【分析】（1）由切线的性质可得∠BAD＝90°，根据等角的余角相等可证得∠CAE＝∠AEC，从而根据等角对等边可得结论；（2）连接OC，先求得∠AOC＝80°．再利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AP是过点A的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠AED+∠EDA＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠CAE＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）连接OC，∵∠AEC＝50°，∠CAE＝∠AEC，∴∠EAC＝50°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAC＝50°，∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠EAC＝80°．∴的长为：＝．19．（7分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如表统计表．使用次数（次）012345人数（人）11152328203（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是3（次）．（2）求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？【分析】（1）根据众数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的公式列式计算即可；（3）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生所占比例即可得．【解答】解：（1）∵使用次数为3次的有28人，次数最多，∴众数为3次，故答案为：3；（2）总人数为11+15+23+28+20+3＝100，（0×11+1×15+2×23+3×28+4×20+5×3）÷100＝2.4（次），答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车2.4次；（3）1500×＝765（人），答：估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有765人．20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画△ABC的面积为．（2）在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．（3）在图③中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，其面积为．【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形即可；（2）根据等腰三角形的性质和进行的性质画出图形即可；（3）根据等腰直角三角形的性质和平行线等分线段定理画出图形即可．【解答】解：（1）如图①所示，△ABC即为所求，△ABC的面积为＝，故答案为：；（2）如图②所示，△ABD即为所求；（3）如图③所示，△ABE即为所求．21．（8分）一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线AB﹣BC表示两车之间的路程y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的路程是150km，轿车的速度是75km/h．（2）求直线BC所对应的函数表达式（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）之间的函数图象．【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所表示的函数表达式；（3）根据题意和函数图象可以中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）由题意可得，甲乙两地之间的距离是150km，轿车的速度是；（150﹣50×1.8）÷0.8＝75（km/h），故答案为：150，75；（2）点B的纵坐标是：150﹣50×1＝100，∴点B的坐标为（1，100），设线段BC所表示的函数表达式是y＝kx+b，，解得，∴线段BC所表示的函数表达式是y＝﹣125x+225；（3）货车到达乙地用的时间为：150÷50＝3（小时），轿车到达甲地用的时间为：150÷75＝2（小时），因为货车提前1小时出发，所以它们同时到达目的地，货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象如右图所示．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为EF∥AC，EF＝AC．（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为﹣≤BH≤+．【分析】定理证明：如图①中，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，利用全等三角形的性质证明四边形BDFC是平行四边形即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．直接应用三角形的中位线定理解决问题即可．（2）如图③中，延长CB到T，连接AT，TE′．由三角形的中位线定理可知BH＝TE′，求出TE′的取值范围即可解决问题．【解答】解：定理证明：如图①中，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC．定理应用：（1）如图②中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝AC，EF∥MN，EF＝MN，∴EF∥AC，EF＝AC．故答案为：EF∥AC，EF＝AC．（2）如图③中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝＝2，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴2﹣3≤TE′≤2+3，∴﹣≤BH≤+．故答案为：﹣≤BH≤+．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线CA﹣AB以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）求点A与BC之间的距离．（2）当BP＝2AQ时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）当线段PQ与△ABC的某条边垂直时，直接写出t的值．【分析】（1）如图1中，作AD⊥BC于D．利用等腰三角形的三线合一以及勾股定理求解即可．（2）如图2，3中，分点Q在线段AC或线段AB上两种情形分别构建方程求解即可．（3）如图2，3中分点Q在线段AC或线段AB上两种情形分别求解即可．（4）分两种情形：①点Q在线段AC上，考虑PQ⊥AC或PQ⊥求解，②点Q在线段AB上，考虑PQ⊥AB求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作AD⊥BC于D．∴AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，答：点A与BC之间的距离为4．（2）如图2中，当点Q在线段AC上时，∵BP＝2AQ，∴2t＝2（5﹣5t），∴t＝．如图3中，当点Q在线段AB上时，∵BP＝2AQ，∴2t＝2×[5（t﹣1）﹣5]，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．（3）①如图2中，当0＜t≤1时，作QH⊥BC于H，则QH＝CQ•sin C＝4t，S＝•BP•QH＝×2t×4t＝4t2．②当1＜t≤2时，S＝•BP•AD＝×2t×4＝4t．③如图3中，当2＜t＜3时，作QH⊥BC于H，则QH＝BQ•sin B＝[10﹣5（t﹣1）]＝12﹣4t，∴S＝•BP•QH＝×2t×（12﹣4t）＝﹣4t2+12t．综上所述，S＝．（4）①点Q在AC上，当PQ⊥AC时，由cos C＝＝，可得＝，解得t＝，当Q⊥BC时，由cos C＝＝，可得＝，解得t＝＞1不符合题意舍弃．当t＝1.5时，点Q与A重合，点P与D重合，此时PQ⊥BC．②点Q在AB上，当PQ⊥AB时，由cos B＝，可得＝，∴＝，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或1.5或．24．（12分）已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣1时，①求此函数图象与y轴交点坐标．②当函数y的值随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为x≤﹣1或x≥1．（2）若已知函数经过点（1，5），求k的值，并直接写出当﹣2≤x≤0时函数y的取值范围．（3）要使已知函数y的取值范围内同时含有±2和±4这四个值，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①把k＝﹣1代入函数关系式，令x＝0求出y的值即可得到结论；②把①中的函数关系式配方成顶点式即可求出结论；（2）根据题意分k＜1和k≥1两种情况求出k的值，再根据当﹣2≤x≤0时求出函数y的取值范围；（3）画出函数图象，运用数形结合法求解即可．【解答】解：（1）当k＝﹣1时，，①当x＝0时，y＝3，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）；②，x≤﹣1时，y随x的增大而增大；x＞﹣1时，当x≥1时，y随x的增大而增大；综上所述，当x≤﹣1或x≥1时，y随x的增大而增大；故答案为：x≤﹣1或x≥1．（2）当k＜1时，1+2k+k2﹣2k＝5，∴k2＝4，∴k＝﹣2．∴，当x＝﹣2时，y＝﹣4；当﹣2≤x≤0时，y＝（x﹣2）2+4，∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，∴当﹣2＜x≤0时，8≤y＜20；②当k≥1时，k2﹣4k+6＝0无实数解；综上：当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是y＝﹣4或8≤y＜20；（3）由题意得，，当k≤0时，则y＝﹣（x﹣k）2+2k（x≤2k），最大值2k≥﹣2，即k≥﹣1，∴﹣1≤k≤0；当0＜k＜2时，即2k＜4，则当x＞k时，y＝（x+k）2﹣2k（x＞k），最小值＜4即可；将x＝k，y＝4代入得4k2﹣2k＝4，解得，，（舍去），∴；当k≥2时，y＝﹣（x﹣k）2+2k（x≤k）最大值2k≥2，如图，此时，图象左右两边最大值不小于4，∴k≥2，综上，或k≥2．。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×1033．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．10．因式分解：m2﹣4m+4＝．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为米/分，无人机在40米的高度上飞行了分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．2．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×103【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．10的指数n＝原来的整数位数﹣1．解：42000＝4.2×104，故选：B．3．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．解：各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，1，故选：D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．解：移项，得2x≤2，系数化为1，得x≤1，不等式的解集在数轴上表示如下：．故选：D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，故选：C．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），sin∠BAC＝，∴BC＝sin∠BAC•AB＝800•sin32°．故选：A．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），进而可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），∴AO：BO＝1：，∵OB：OA＝2，∴a＝﹣4，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．解：原式＝2﹣＝．故答案为：．10．因式分解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．解：原式＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为﹣．【分析】根据关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根可得△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，∴9+8k＝0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝30°．【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．解：作出辅助线如图：则∠2＝42°，∠1＝∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠3＝30°，∴∠1＝∠3＝30°．故答案为：30°．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为（16+3）cm．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出FA″＝3，得出答案即可．解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD＝10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A″O＝6，则钟面显示3点55分时，∠A″OA′＝45°，∴FA″＝3，∴A点距桌面的高度为：16+3（cm）．故答案为：（）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为6．【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝a2﹣2a+1﹣2a2+2a+4a2﹣1＝3a2，当a＝时，原式＝3×5＝15．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：根据题意，列表如下：1271238234978914所以P（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）＝．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．【分析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为1.4x 元/个，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进了10000个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为 1.4x 元/个，依题意，得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．【分析】（1）连接OD，如图，由切线的性质得到OD⊥BC，则OD∥AC，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ODA，由∠ODA＝∠OAD，所以∠CAD＝∠DAE；（2）由（1）知，∠FAE＝50°，由弧长公式可得答案．解：（1）如图，连结OD，∵⊙O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB＝90°，∴OD∥AC．∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）如图，连结OF，∵AD平分∠BAC，且∠CAD＝25°，∴12﹣3＝9，∴∠EOF＝100°，∴的长为．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×＝100（名），答：该部门生产能手有100名工人．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画图即可；（2）根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可；（3）由相似三角形的性质，构造相似三角形即可．解：（1）如图①所示，点C即为所求；（2）如图②所示，点M即为所求；（3）如图③所示，点P即为所求．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为20米/分，无人机在40米的高度上飞行了3分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．【分析】（1）利用图象信息，根据速度＝计算即可解决问题；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）求出无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），分两种情形构建方程即可解决问题；解：（1）无人机上升的速度为＝20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2＝3分．故答案为20，3；（2）设y＝kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，解得，∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+240．（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），由20x﹣60＝50，解得x＝5.5，由﹣20x+240＝50，解得x＝9.5，综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为6．【分析】教材呈现：如图①中，证明△PAC≌△PBC即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可．【解答】教材呈现：解：如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）证明：如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（2）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝18，∴DE＝AC＝6．故答案为6．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．【分析】（1）分0＜t≤3时，3＜t≤7时，两种情形分别求解即可．（2）分两种情形①如图2中，当点N在AC上时，②如图3中，当点N在BC上时，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）分三种情形：①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，②如图5或6中．当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN．③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，分别求解即可．（4）分三种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．解：（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．∵∠B＝45°，BC＝4，∴CD′＝BD′＝4，∴AD′＝＝＝3，∵AD＝3，∴AD＝AD′，∴D′与D重合，当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；（2）①如图2中，当点N在AC上时，∵MN∥AD，∴，∴，解得t＝；②如图3中，当点N在BC上时，∵MN∥BD，∴，∴，解得t＝5；综上所述，满足条件的t的值为s或5s．（3）①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣•（3﹣t﹣t）2＝﹣t+；②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，S＝t2﹣6t+9③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t ﹣3）2﹣•[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．综上所述，S＝．（4）如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵JN′∥EK，∴，则，解得t＝1；如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵N′J∥GK，∴，∴，解得t＝；如图10中，当点N′落在中线CF上时，∵MN′∥DF，∴，∴＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为1s或s或s．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．【分析】（1）由题意即可求解；（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，CD＝DD′，即可求解；（4）通先分段表示出y'，进而确定出最大值，最后用m的范围建立不等式组，即可得出结论．解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）（2）①当m≥0时，m+1＝2，m＝1∴B（1，2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴k+3＝2，解得：k＝﹣1∴一次函数解析式为y＝﹣x+3②m＜0时，m+1＝﹣2，m＝﹣3∴B（﹣3，﹣2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴﹣3k+3＝﹣2解得：k＝一次函数解析式为y＝x+3．（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，﹣n2+4），∴点D的坐标为（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）∵CD＝DD′，∴2n＝2（﹣n2+4），解得：n＝；∵点C在第一象限，∴D′的横坐标为；（4）当﹣1≤x≤0时，y'＝x2﹣n，此时，﹣n≤y'≤1﹣n，当0≤x≤2时，y'＝﹣x2+n，此时，n﹣4≤y'≤n，当n≥1﹣n时，即：n≥，y'的最大值是n，①∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤n≤3，当n＜时，y'最大值为1﹣n，②∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤1﹣n≤3，∴﹣2≤n≤0，∴n的取值范围应为1≤n≤3或﹣2≤n≤0．。
2020年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.互为相反数的两个数的和为（）A. 0B. -1C. 1D. 22.国产电影《流浪地球》深受观众喜爱，截止到2019年4月15日，该电影票房已达到46.86亿元，46.86亿用科学记数法表示为（）A. 0.4686×1010B. 46.86×108C. 4.686×108D. 4.686×1093.某物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（）A. 正方体B. 长方体C. 圆柱体D. 球体4.点P（-3，m+1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.5.若k＞4，则关于x的一元二次方程x2+4x+k=0的根的情况是（）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=，则点D到地面的距离CD是（）A. 2.7米B. 3.0米C. 3.2米D. 3.4米7.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．乙：1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．对于两人的作业，下列说法正确的是（）A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对8.数学课上，老师提出一个问题：如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图②所示．题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A. 边AB的长B. △ABC的周长C. 点C的横坐标D. 点C的纵坐标二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.×=______．10.分解因式：x3-9x=______．11.直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置．若∠1=75°，则∠2=______度．12.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若AC=3DF，则OE：EB=______．13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C．若点B为AC的中点，则k的值为______．14.对于二次函数y=x2-4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：，其中x的值从-1，2，3中选择一个适当的数．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率．17.图①、图②均是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中各画一个△APC，使点P在线段AB上，点C为格点，且∠APC的正切值为2．要求：（1）图①中的△APC为直角三角形，图②中的△APC为锐角三角形．（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹18.每年的4月23日，是“世界读书日”．据统计，“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅读纸质图书460本，2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本，1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同．求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？19.如图，△ABC的边BC为⊙O的直径，边AC和⊙O交点D，且∠ABD=∠ACB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD=4，AB=5，则BC的长为______．20.垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对本校甲、乙两班各60名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整【收集数据】甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据在表中，，．【分析数据】（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：在表中：，．（2）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类相关知识合格的学生有______人（3）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明理由．21.某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y（立方米）与x（时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．22.【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=6，E是边AB 上一点，当∠DCE=45°，BE=2时，则DE的长为______．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．（1）设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h；（2）当点E落在AC边上时，求t的值；（3）当点Q在边AB上时，设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连接CD，直接写出CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值．24.我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．（1）判断抛物线y=x2与y=-x2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线y=x2-2x与y=x2-2mx-3是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线y=x2-2mx-3的函数关系式；（3）抛物线L1：y=-x2+2x+1的图象如图所示，L1与L2：y=-2x2+mx是“共点抛物线”；①求m的值；②点P是x轴负半轴上一点，设抛物线L1、L2的“共点”为Q，作点P关于点Q的对称点P′，以PP′为对角线作正方形PMP′N，当点M或点N落在抛物线L1上时，直接写出点P的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：互为相反数的两个数的和为：0．故选：A．直接利用相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：46.86亿=46.86×108=4.686×109，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点确定n=9．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3.【答案】B【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是正方形可判断出这个几何体应该是长方体．故选：B．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力．4.【答案】C【解析】解：由题意知m+1＞0，解得m＞-1，故选：C．由第二象限纵坐标大于零得出关于m的不等式，解之可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．【解答】解：∵x2+4x+k=0，∴△=42-4k=4（4-k），∵k＞4，∴4-k＜0，∴△＜0，∴该方程没有实数根，故选：A．6.【答案】C【解析】解：在直角△ADE中，∠DAE=α，AE=5米，tan，∴tanα===，∴DE=1.5米．又CE=AB=1.7米，∴CD=CE+DE=3.2米．故选：C．通过解直角△ADE得到DE的长度，然后由矩形ABCE的性质求得CE的长度，易得CD=CE+DE．考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．7.【答案】A【解析】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选：A．先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．本题考查了作图-复杂作图的应用及矩形的判定，从两位同学的作图语句中获取正确信息及熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如右图所示，由已知可得，OB=x，OA=2，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离2，∴y=x+2（x＞0）．故选：D．根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．9.【答案】2【解析】解：×===．根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简．主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则=（a≥0，b≥0）．10.【答案】x（x+3）（x-3）【解析】解：原式=x（x2-9）=x（x+3）（x-3），故答案为：x（x+3）（x-3）．根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．11.【答案】30【解析】解：给图中各角标上序号，如图所示．∵直线l1∥l2，∴∠4=∠1=75°．∵∠4=∠3+45°，∴∠3=∠4-45°=30°，∴∠2=∠3=30°．故答案为：30．给图中各角标上序号，由直线l1∥l2可得出∠4=∠1=75°，由三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质可求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可求出∠2的度数．本题考查了等腰直角三角形、平行线的性质以及三角形外角的性质，利用三角形外角的性质，求出∠3的度数是解题的关键．12.【答案】1：2【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，∴DF∥AC，EF∥BC∴△OAC∽△ODF，△EOF∽△BOC，∴OF：OC=DF：AC，OE：OB=OF：OC，∴DF：AC=OE：OB，∵AC=3DF，∴OE：OB=DF：AC=1：3，则OE：EB=1：2．故答案为：1：2．△ABC与△DEF是位似三角形，则DF∥AC，EF∥BC，先证明△OAC∽△ODF，OE：OB，利用相似比求得AC=3DF，所以可求OE：OB=DF：AC=1：3，据此可得答案．本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．13.【答案】2【解析】解：y=x-1与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B（1，0），C（0，-1），设A（m，n），∵点B为AC的中点，∴m=2，n=1，∴k=2，故答案为2；求出B，C的坐标，根据点B为AC的中点，求出A点的坐标，进而求k；本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质；能够利用中点的特点，找到点之间的等量关系是解题的关键．14.【答案】1≤a≤2【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=x2-4x+4=（x-2）2，∴该函数的顶点坐标为（2，0），对称轴为：x，把y=0代入解析式可得：x=2，把y=1代入解析式可得：x1=3，x2=1，所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，故可得：1≤a≤2，故答案为：1≤a≤2．15.【答案】解：原式=•=，当x=3时，原式=3．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．16.【答案】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4，所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率=．【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．17.【答案】解：如图所示，图①中的△APC为直角三角形，图②中的△APC为锐角三角形．【解析】根据正切函数的定义，结合网格特点作图即可．本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握正切函数的定义．18.【答案】解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x本．由题意，得．解得x=4.6．经检验，x=4.6是原方程的解，且符合题意．答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本．【解析】设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x本．根据等量关系“1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人”列出方程并解答．本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．19.【答案】解：（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠C+∠DBC=90°，∵∠ABD=∠C，∴∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ABC=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）.【解析】（1）见答案；（2）解：∵∠ADB=90°，BD=4，AB=5，∴AD=3，∵∠ADB=∠BDC=90°，∠C=∠ABD，∴△ABD∽△BCD，∴，∴=，∴BC=．故答案为：．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BDC=90°，求得∠C+∠DBC=90°，等量代换得到∠ABD+∠DBC=90°，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到AD=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．20.【答案】7 4（1）85 80（2）40（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，∵甲班的方差＞乙班的方差，∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．由收集的数据即可得；【解析】解：乙班75.5～80.5分数段的学生数为7，80.5～85.5分数段的学生数为4，故a=7，b=4，故答案为：7，4；（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是x=85，67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，中位数是y=80，故答案为：85，80；（2）60×=40（人），即合格的学生有40人，故答案为：40；（3）见答案【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可．本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．21.【答案】解：（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米∴（25-5）÷（8-4）=5（立方米/时）∴每小时的进水量为5立方米．（2）设函数y=kx+b经过点（8，25），（12，37）解得：∴当8≤x≤12时，y=3x+1（3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升3立方米∴每小时出水量为：5-3=2（立方米）当8≤x≤12时，3x+1≥28，解得：x≥9当x＞14时，37-2（x-14）≥28，解得：x≤∴当水塔中的贮水量不小于28立方米时，x的取值范围是9≤x≤【解析】（1）由4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米即能求每小时进水量；（2）由图象可得，8≤x≤12时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；（3）由（2）的函数关系式即能求在8到12点时，哪个时间开始贮水量不小于28立方米，且能求出每小时的出水量；14点后贮水量为37立方米开始每小时减2立方米，即能求等于28立方米的时刻．本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数．22.【答案】EF=BE+FD 5【解析】【问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+FD，∴EF=BE+FD；故答案为：EF=BE+FD．【探索延伸】解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+FD，∴EF=BE+FD；【学以致用】如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE=DG+BE，设DG=x，则AD=6-x，DE=x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，∴（6-x）2+32=（x+3）2，解得x=2．∴DE=2+3=5．故答案是：5．【问题背景】延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；【探索延伸】延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；【学以致用】过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．23.【答案】解：（1）当0＜t≤时，h=2t．当＜t≤4时，h=3-（2t-3）=-t+．（2）当点E落在AC边上时，DQ∥AC，∵AD=DB，∴CQ=QB，∴2t=，∴t=．（3）①如图1中，当≤t＜时，作PH⊥AB于H，则PH=PA•sin A=t，DQ=-2t，∴S=t•（-2t）=-t2+t．②如图2中，当＜t≤4时，同法可得S=t•（2t-）=t2-t．（4）当点E落在直线CD上时，CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等．有两种情形：①当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图3所示），过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，易证Rt△PGE≌Rt△DHQ，∴PG=DH=2，∴CG=2-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-，∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC∴在Rt△CEG中，tan∠ECG===，∴t=．②当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），过点E作EF⊥CA于点F，∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，∴PF=PC=，PE=DQ=-2t，∴在Rt△PEF中，cos∠EPF===，∴t=综上所述，满足要求的t的值为或．【解析】（1）分点Q在线段BC，线段AB上两种情形分别求解即可．（2）利用平行线等分线段定理解决问题即可．（3）分点Q在线段BD，在线段AD上两种情形分别求解即可．（4）当点E落在直线CD上时，CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等．有两种情形：①当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图3所示），②当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），分别求解即可解决问题．本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：（1）是，（0，0）x2=-x2∴x=0（2）令y=x2-2x=0解得x1=0，x2=2当x=0时，-3≠0∴（0，0）不是共点当x=2时，4-4m-3=0解得m=∴y=x（3）①若两个抛物线是“共点抛物线”则方程-x2+2x+1=-2x2+mx有两个相等的实数根即x2+（2-m）x+1=0有两个相等的实数根∴△=（2-m）2-4=0解得m=0或m=4∴m的值为0或4．②P（-3，0）或P（-5，0）或P（-13，0）设点P（a，0）当m=0时，Q（-1，-2）∴P'（-2-a，-4）∵PM=MP'，∠A=∠B，∠AMP=∠BP'M∴△APM≌△BMP'（AAS）设M（x，y），N（a，b）解得解得∴可得M（1，-3-a），N（-3，a-1）分别代入L1解析式可得a1=-5，a2=-13当m=4时，Q（1，2）∴P'（2-a，4）∵PM=MP'，∠A=∠B，∠AMP=∠BP'M∴△APM≌△BMP'（AAS）设M（m，n）N（x，y）解得解得∴可得M（-2，4-a），N（3，1+a）分别代入L1解析式可得a1=-3，a2=11（舍）∴P（-3，0）或P（-5，0）或P（-13，0）【解析】（1）解方程x2=-x2得出x=0（2）因为两个抛物线的共点在x轴上，y=0代入L1中求得交点坐标，分别代入L2中，求得m的值，获得抛物线的解析式．（3）①两抛物线为共点抛物线时，只有一个交点，运用判别式为零，求出m的值②设点P坐标（a，0），通过Q点坐标，获得P'点坐标，因为PP'为正方形，利用K型全等模型建立全等关系，从而求出点M和N的坐标，将M、N分别代入解析式，获得a的值，从而求出点P的坐标．本题考查了全等模型和抛物线的交点问题，难度适中，难点在于（3）②，需要根据正方形建立K型全等，从而获得参数a的值，是一道很好的压轴问题．。
2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷（含答案解析）
2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷（含答案解析）2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，共12.0分）1.下列计算错误的是()A. (?1)2018=1B. ?3?2=?1C. (?1)×3=?3D. 0×2017×(?2018)=02.下图是⼀个由4个相同的正⽅体组成的⽴体图形，它的左视图是()A. B. C. D.3.计算(x2)2的结果是()A. x2B. x4C. x6D. x84.如图，直线AB//CD，如果∠1=70°，那么∠BOF的度数是()A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°5.如图，△ABC是⊙O的内接三⾓形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°6.如图，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线交于点F，若∠BCF=90°，则∠D的度数为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，共24.0分）7.近年来，党和国家⾼度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有65000000⼈脱贫，65000000⽤科学记数法表⽰为_______．8.因式分解：2a3?32a=______．=______．9.计算：2√48÷√6?2√2?110.不等式组{x?2≤1x+3>2的解集为______．11.在墙壁上固定⼀根横放的⽊条，则⾄少需要2枚钉⼦，正确解释这⼀现象的数学知识是______．12.如图∠AOB=30°，点C在OB上，OC=8，以点C为圆⼼、R为半径的圆与OA相切，则R=______．13.已知点A(4,x)，B(y,?3)，若AB//x轴，且线段AB的长为5，则xy=______．14.如图，矩形纸⽚ABCD中，AB=6，BC=9，将矩形纸⽚ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为________．三、解答题（本⼤题共12⼩题，共84.0分）15.先化简，再求值：(1a+2?1)÷a2?1a+2，其中a=√3+116.《孙⼦算经》是中国传统数学中最重要的著作，其中记载了这样⼀个问题：“今有⽊，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不⾜⼀尺．问⽊长⼏何？”译⽂：“⽤⼀根绳⼦去量⼀根长⽊，绳⼦还剩余4.5尺，将绳⼦对折再量长⽊，长⽊还剩余1尺，问长⽊长多少尺？”17.⼀个不透明的⼝袋中有三个⼩球，上⾯分别标有数字1，2，3，每个⼩球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个⼩球，记下数字后放回；⼄再从袋中随机取出1个⼩球记下数字．(1)⽤画树形图或列表的⽅法，求取出的两个⼩球上的数字之和为3的概率；(2)求取出的两个⼩球的数字之和⼤于4的概率．18.已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE⊥CA，且AE=BC，点D在AC上，且AD=AB，求证：DE//AB．19.如图所⽰，在边长为1个单位的正⽅形⽹格中建⽴平⾯直⾓坐标系，△ABC的顶点均在格点上．(1)△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出△A1B1C1(2)将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；并直接写出点A2、B2的坐标．20.每年11⽉9⽇为消防宣传⽇，今年“119”消防宣传⽉活动的主题是“全民参与，防治⽕灾”.为响应该主题，吴兴区消防⼤队到某中学进⾏消防演习．图1是⼀辆登⾼云梯消防车的实物图，图2是其⼯作⽰意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地⾯BD的⾼度AH为5.2m.当起重臂AC长度为16m，张⾓∠HAC为130°时，求操作平台C离地⾯的⾼度(结果精确到0.1m)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)21.某校组织九年级的三个班级进⾏趣味数学竞赛活动，各班根据初赛成绩分别选拔了10名同学参加决赛，决赛成绩(满分：10分)如下表所⽰：班级决赛成绩(单位：分)⼀班55677888910⼆班46777999 10 10三班567789991010(1)把下表补充完整(单位：分)，其中a=______，b=______，c=______；班级平均分中位数众数⼀班7.3a8⼆班7.88b三班c8.59(2)8统计量进⾏说明；(3)为了在全市竞赛中取得好成绩，你认为应选派哪个班级代表学校去参加全市的竞赛？为什么？22.如图1，直线y=kx?2k(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB=2√5．(1)求A、B两点的坐标．(2)如图2，以AB为边，在第⼀象限内画出正⽅形ABCD，并求直线CD的解析式．23.甲、⼄两组同时加⼯某种零件，⼄组⼯作中有⼀次停产更换设备，更换设备后，⼄组的⼯作效率是原来的2倍．两组各⾃加⼯零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所⽰．(1)直接写出甲组加⼯零件的数量y与时间x之间的函数关系式______；(2)求⼄组加⼯零件总量a的值；(3)甲、⼄两组加⼯出的零件合在⼀起装箱，每满300件装⼀箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？24.如图1，直⾓三⾓形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．25. 如图(1)，AB =4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC =BD =3cm.点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t(s)．(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；(2)如图(2)，将图(1)中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB =∠DBA =60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．26. 23.已知⼆次函数y =x 2+bx ?34的图像经过点(2,54).(1)求这个⼆次函数的函数解析式；(2)若抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，顶点为D ，求以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形⾯积．。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.-3的绝对值是（）A. -3B. 3C.D.2.据统计，2019年春运全国铁路累计发送旅客约410 000 000次．410 000 000个数用科记数法表示为（）A. 041×109B. 4.1×109C. 4.1×108．D. 41×1073.不等式4-2x≤0的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.4.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A.B.C.D.5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝55°，则∠ADC的大小为（）A. 80°B. 85°C. 95°D. 100°6.如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A. 9sin31°米B. 9cos31°米C. 9tan31°米D. 9米7.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C在函数y=（x＞0）的图象上，BC∥x轴，若AB=AC，点A、C的横坐标分别为2、6，△ABC的面积为12，则k的值为（）A. 4B. 8C. 9D. 12二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.比较大小：______2（填“＞”或“＜”或“=”）10.计算：a3•a4= ______ ．11.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．12.利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为____米．13.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1．若AC=6，BC=8，则DB1的长为______．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）2+k（a，k为常数且a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴与抛物线交于点D．若点A的坐标为（-4，0），则的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）15.某地区由于龙卷风出现毁坏性灾害，一自愿者协会紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种教灾物品送往该地区已知甲种物品每件的价格比乙种物品每件的价格高10元，用700元购买甲种物品的件数与用600元购买乙种物品的件数相同．（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格．（2）经调查，该地区所需乙种物品的件数是甲种物品件数的2倍，自愿者协会按此比例购买1500件物品，需筹集资金多少元？四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）16.先化简，再求值：（x-1）2+2x-3，其中x=．17.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，除所标数字不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标数字之和大于4的概率；18.图①、图②均是边长为1的小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，按下列要求画出顶点均在格点上的四边形．（1）在图①中确定顶点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图②中确定顶点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（图①、图②中各画出一个符合条件的四边形即可）．19.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC交⊙O于点D，连结AD．已知⊙O的半径为3，∠C=20°（1）求∠A的度数；（2）求的长．（结果保留π）．20.某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：七年级88 94 90 94 84 94 99 94 99 100八年级84 93 88 94 93 98 93 98 97 99（1）整理数据按如下分段整理样本数据并补全表格：分析数据补全下列表格中的统计量：（2）估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于90分的人数．（3）你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？并说明理由．（写一条即可）21.甲、乙两车间同时开始加工一批零件，加工一段时间后，甲车间的设备出现故障停产维修设备，乙车间继续加工，甲车间维修好设备后提高了工作效率，每小时比出现故障前多加工10个零件，从开始加工到加工完这批零件乙车间的工作效率不变且工作10小时．甲、乙两车间加工这批零件的总数量y（件）与加工时间x（时）之间的函数图象如图所示：（1）甲车间每小时加工零件______个．（2）求甲车间维修完设备后，y与x之间的函数关系式．（3）求加工完这批零件总数量的时所用的时间．22.在△ABC中，CA=CB，0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM=AN，连结BN并延长交AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C=45°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN=∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．【探究】如图②，若∠C=α．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为______度（用含a的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C=90°时，连结BE．若BC=3，∠BAM=15°，则△BDE的面积为______．23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC-CB于点D，以PD 为边在PD右侧做正方形PDEF，在点P出发的同时，点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿边CA向点A运动，过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG 为边在QG的下方做正方形QGMN．设正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P的运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）正方形QGMN的边长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点E与点N重合时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）作直线EM，当直线EM与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．24.定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），把形如y=的函数称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的衍生函数．（1）已知二次函数y=x2-2x-2．①写出这个二次函数的衍生函数的表达式．②若点P（m，-）在这个二次函数的衍生函数的图象上，求m的值．③当-2≤x≤3时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值．（2）当二次函数y=x2+2x-2（a＜0）的衍生函数的图象与以A（-3，2）、B（5，2）、C（5，-4）、D（-3，-4）为顶点的矩形ABCD的边只有两个公共点时，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：|-3|=3．故-3的绝对值是3．故选：B．根据绝对值的定义，-3的绝对值是指在数轴上表示-3的点到原点的距离，即可得到正确答案．本题考查的是绝对值的定义，抓住定义及相关知识点即可解决问题．2.【答案】C【解析】解：410 000000=4.1×108．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：移项得，-2x≤-4，系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：故选：D．先根据不等式的基本性质求出其解集，并在数轴上表示出来即可．本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4.【答案】D【解析】解：这个立体图形的俯视图是：故选：D．根据组合体的形状即可求出答案．本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．解题的关键是根据组合体的形状进行判断．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据∠ADC=∠B+∠BAD，只要求出∠B，∠BAD即可解决问题.【解答】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-55°=80°，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=40°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+40°=85°，故选：B．6.【答案】A【解析】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，sin31°==，AC=AB•sin31°=9sin31°米，即扶梯高AC的长为9sin31°米，故选：A．在Rt△ABC中，根据三角函数关系，AC=AB•sin∠ABC．代入数据即可得出AC的长度．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：D．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P 在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．8.【答案】C【解析】解：过A点作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，∵点A、C的横坐标分别为2、6，∴点D的横坐标分别为2，∴CD=6-2=4，∴BC=8，∵S△ABC=BC•AD=×8•AD=12，∴AD=3，∵设点C（6，m），则点A（2，m+3），∵△ABC的顶点A、C在函数y=（x＞0）的图象上，则k=6m=2（m+3），解得：k=9，故选：C．过A点作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质，求得BC=8，由S△ABC=BC•AD=12，求得AD=3，设点C（6，m），则点A（2，m+3），则根据反比例函数系数k的几何意义得出k=6m=2（m+3），即可求解．本题考查的是反比例函数k的意义，此类题目主要通过面积确定某个点的一个坐标，找出对应点坐标关系，通过k的意义求解．9.【答案】＞【解析】解：∵2=＜，∴＞2，故答案为：＞．根据2=＜即可得出答案．本题考查了实数的大小比较，关键是得出2=＜，题目比较基础，难度适中．10.【答案】a7【解析】解：a3•a4=a3+4=a7，故答案为：a7．根据同底数幂的乘法：底数不变指数相加，可得答案．本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．11.【答案】-1【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=0，即：22-4（-m）=0，解得：m=-1，故选答案为-1．由于关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．12.【答案】15【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴=，即=，∴AB=15（米）．故答案为：15．13.【答案】3【解析】解：∵在△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，∵点D为AB的中点，∴CD=AB=5，∵将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1．∴CB1=BC=8，∴DB1=8-5=3，故答案为：3．根据勾股定理得到AB===10，由直角三角形的性质的CD=AB=5，由旋转的性质得到CB1=BC=8，于是得到结论．此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．14.【答案】2【解析】解：∵抛物线y=a（x-2）2+k的对称轴为直线x=2，而CD∥x轴，∴CD=4，∵A点坐标为（-4，0），∴B点坐标为（8，0），∴OB=8，∴==2．故答案为2．利用二次函数的性质得到抛物线y=a（x-2）2+k的对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性得到CD=4，B点坐标为（8，0），则OB=8，从而得到的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15.【答案】解：（1）设乙种物品每件的价格为x元，则甲种物品每件的价格为（x+10）元，根据题意，得=-10，解得：x=60，经检验x=60是原方程的解，且符合题意，所以x+10=60+10=70，答：甲种物品每件的价格为70元，乙种物品每件的价格为60元；（2）设购买甲种物品m件，则购买乙种物品2m件，根据题意，得m+2m=1500，解得：m=500，可得70×500+60×2×500=95000，答：自愿者协会按此比例购买1500件物品，需筹集资金95000元．【解析】（1）设乙种物品每件的价格为x元，则甲种物品每件的价格为（x+10）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设购买甲种物品m件，则购买乙种物品2m件，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．此题考查了分式方程的应用，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．16.【答案】解：原式=x2-2x+1+2x-3=x2-2，当x=时，原式=（）2-2=6-2=4【解析】先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．本题考查了整式的混合运算，正确去括号是解题的关键．17.【答案】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球所标数字之和大于4的有3种结果，所以两次摸出的小球所标数字之和大于4的概率为=．【解析】利用树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球所标数字之和大于4的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．18.【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：答案不唯一，以上答案供参考．【解析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）根据中心对称的性质画出图形即可．此题主要考查了利用轴对称设计图案，考查中心对称、轴对称的概念与画图的综合能力．19.【答案】解：（1）∵BC是⊙O的切线，∴∠B=90°，∴∠BOC=90°-∠C=90°-20°=70°，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠A=∠BOC=×70°=35°；（2）∵∠AOC=180°-∠BOC，∴∠AOC=180°-70°=110°，∴弧AD的长为：=．【解析】（1）由切线的性质得出∠B=90°，则∠BOC=90°-∠C=70°，由OA=OD，得出∠A=∠ODA，由外角的性质即可得出结果；（2）由平角定义得出∠AOC=180°-∠BOC，即∠AOC=180°-70°=110°，由弧长公式即可得出结果．本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质，熟记弧长公式是解题的关键．20.【答案】解：（1）整理数据：由题意，可得a=1，b=4；分析数据：由题意，可知94分出现次数最多是4次，所以众数c=94，将八年级10名学生的成绩从小到大排列为：84，88，93，93，93，94，97，98，98，99，中间两个数分别是93，94，（93+94）÷2=93.5，所以中位数d=93.5；得出结论：（2）150×=30（人）．答：估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于90分的约有30人；（3）从平均数来看，八年级比七年级高，说明八年级比七年级的成绩好；从方差上看，八年级的比七年级的小，说明八年级的成绩比较稳定．因此，成绩较好的是：八年级．【解析】（1）整理数据：根据八年级抽取10名学生的成绩，可得a、b的值；分析数据：根据题目给出的数据，利用众数的定义求出c，利用中位数的定义求出d即可；（2）用150乘以样本中成绩低于90分的人数所占的百分比即可；（3）根据给出的平均数和方差分别进行分析，即可得出答案（答案不唯一）．本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．21.【答案】60【解析】解：（1）由题意得：前3小时没有故障，设甲每小时生产x个，甲出故障后已一个小时生产90个，即已的效率为90，前3小时：则3x+3×90=450，解得：x=60，故答案为60；（2）设函数表达式为：y=kx+b，把（4，540），（10，1500）代入得：，解得：，∴y=160x-100（4＜x≤10）；（3）求加工完这批零件总数量的时所用的时间为x，160x-100=1500×，解得：x=．（1）出故障后已一个小时生产90个，即已的效率为90，设故障前甲的效率为x，则前3小时：则3x+3×90=450，即可求解；（2）设函数表达式为：y=kx+b，把（4，540），（10，1500）代入一次函数即可求解；（3）求加工完这批零件总数量的时所用的时间为x，则160x-100=1500×，即可求解．本题考查的是一次函数综合运用，此类题目，关键要弄清楚图象每个点，尤其是拐点代表的意义，进而求出甲乙的效率，即可求解．22.【答案】135 α或（180-α）9-9【解析】【猜想】证明：如图1中，延长ED交BC于点F，交AC于点O，∵CB=CA，∴∠ABM=∠BAN，∵CA=CB，BM=AN，∴CM=CN，∵∠C=∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，∵E是AD的垂直平分线上的点，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠EMF，∠EDA=∠EFM，∴∠BNC=∠BFE，∴∠NOD+∠BDF=∠C+∠FOC，∵∠C=45°，∠FOC=∠NOD，∴∠NDO=45°，∴∠BDE=135°，故答案为：135°；【探究】（1）证明：∵CA=CB，BM=AN，∴CA-AN=CB-BM，∴MC=NC，又∵∠C=∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS）；（2）分两种情况：①如图2中，当点E在AM的延长线上时，易证：∠CBN=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAM+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠CAD=∠ACB=α．如图4中，当点E在MA的延长线上时，延长ED交BC的延长线于点F，同理得△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，同理得：∠BNC=∠AMC=∠BFE，∴∠BNC+∠NBC=∠NBC+∠BFE，∴∠ACB=∠BDF=α，∴∠BDE=180°-α．故答案为：α或（180-α）；【应用】如图3，同（2）得：∠BDE=180°-∠ACB=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠BAM=15°，∴∠CAM=∠CBN=30°，Rt△BNC中，CN==，BN=2，∴AN=AC-CN=3-，∵AD∥BC，∴∠DAN=∠ACB=90°，∠ADN=∠NBC=30°，∴DN=2AN=6-2，AD=AN=3-3，∴BD=BN+DN=2+6-2=6，∵EA=ED，∠EAD=60°，∴△EAD是等边三角形，∴ED=AD=3-3，∴S△BDE===9-9．故答案为：9-9．【猜想】如图（1）中，延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BNC=∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；【探究】（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AM的延长线上时，②如图4中，当点E在MA的延长线上时，分别计算即可；【应用】如图3，分别计算BD和DE的长，证明△EAD是等边三角形，根据三角形的面积公式可得结论．本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】2t【解析】解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿边CA向点A运动，过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG为边在QG的下方作正方形QGMN，∴△CQG是等腰直角三角形，CQ=t，则QG=CQ=×t=2t，即正方形QGMN的边长为：2t，故答案为：2t；（2）∵以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF，∴△APD是等腰直角三角形，AP=PD，过点C作CK⊥AB于K，交QG于点H，如图1所示：则CH⊥QG，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CK=AB=×10=5，当点E与点N重合时，CH+QN+EF=CK=5，∵△CQG是等腰直角三角形，∴△CHQ是等腰直角三角形，∴CQ=CH，此时，CQ=t，AP=DP=EF=2t，∴CH===t，QG=QN=CQ=×t=2t，∴t+2t+2t=5，解得：t=1；（3）由题意得：正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形是正方形，当正方形PDEF与正方形QGMN完全重合时，3t=5，t=；分两种情况：①当1＜t≤时，如图2所示：由（1）得：QG=GM=2t，△CQG是等腰直角三角形，由（2）得：EF=2t，CH=t，CK=5，∴S=[2t-（5-3t）]2=（5t-5）2=25t2-50t+25，即S与t之间的函数关系式为S=25t2-50t+25；②当＜t＜5时，如图3所示：S=（5-t）2=t2-10t+25，即S=t2-10t+25；（4）分三种情况：①当EM⊥BC时，如图4所示：由题意得：（5-2t）=10-2t，解得：t=0，不合题意舍去；②当EM⊥AC时，如图5所示：由题意得：×3t=10-2t，解得：t=；③当EM⊥AB时，正方形PDEF与正方形QGMN重合，此时t=；综上所述，当直线EM与△ABC的边垂直时，t的值为或．（1）易证△ABC是等腰直角三角形，△CQG是等腰直角三角形，CQ=t，则QG=CQ=2t，即可得出结果；（2）易证△APD是等腰直角三角形，AP=PD，过点C作CK⊥AB于K，交QG于点H，则CH⊥QG，由等腰直角三角形性质得出CK=AB=5，当点E与点N重合时，CH+QN+EF=CK=5，易证△CHQ是等腰直角三角形，则CQ=CH，此时，CQ=t，AP=DP=EF=2t，∴CH==t，QG=QN=CQ=2t，即可得出结果；（3）正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形是正方形，当正方形PDEF与正方形QGMN完全重合时，t=；分两种情况：①当1＜t≤时，QG=GM=2t，△CQG是等腰直角三角形，EF=2t，CH=t，CK=5，则S=[2t-（5-3t）]2=25t2-50t+25；②当＜t＜5时，S=（5-t）2=t2-10t+25；（4）分三种情况：①当EM⊥BC时，（5-2t）=10-2t，解得t=0，不合题意舍去；②当EM⊥AC时，×3t=10-2t，解得t=；③当EM⊥AB时，正方形PDEF与正方形QGMN重合，此时t=．本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质性质、等腰直角三角形的判定与性质、分类讨论等知识，正确理解题意，画出图形是解题的关键．24.【答案】解：（1）①y=②当m≥0时，m2-2m-2=-解得：m1=1+，m2=1-（舍去）当m＜0时，-m2-2m-2=-解得：m1=-1+，m2=-1-综上所述，m的值为1+或-1+或-1-．③当-2≤x＜0时，y=-x2-2x-2=-（x+1）2-1∴x=-1时，y的最大值为-1；x=-2时，y的最小值为y=-1-1=-2当0≤x≤3时，y=x2-2x-2=（x-1）2-3∴x=1时，y的最小值为-3；x=3时，y的最大值为4-3=1综上所述，当-2≤x≤3时，这个二次函数的最大值为1，最小值为-3．（2）如图，二次函数y=x2+2x-2（a＜0）的衍生函数为y=∵a＜0，即＜0，＞0，∴当x≥0时，即y轴右侧，图象开口向下，有最高点M′（-a，-a-2）当x＜0时，即y轴左侧，图象开口向上，有最低点M″（a，a-2）由题意，得①当M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的内部时，则：，解得：-2＜a＜0；②当M′（-a，-a-2）在矩形ABCD的内部，M″（a，a-2）在矩形ABCD的外部，且左侧交点在CD边上时，则：，解得：-4＜a＜；③当M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的外部时，则：，解得：a＜；综上所述，a的取值范围为：-2＜a＜0，-4＜a＜，a＜．【解析】（1）①按照衍生函数定义，x≥0时解析式即为原解析式，x＜0时解析式的二次项系数变为原系数的相反数．②当m≥0时，把y=-代入解析式y=x2-2x-2，解方程并讨论解为非负数的值即为m的值；当m＜0时，把y=-代入解析式y=-x2-2x-2，解方程并讨论解为负数的值即为m的值；③当-2≤x＜0时，解析式配方得y=-（x+1）2-1，抛物线开口向下，故在x=-1时有最大值y=-1；由于x=-2与x=0与对称轴：直线x=-1距离相等，故x=-2时有最小值y=-2．当0≤x≤3时，解析式配方得y=（x-1）2-3，抛物线开口向上，故在x=1时有最小值y=-3；由于x=3比x=0离对称轴：直线x=1的距离远，故x=3时有最大值y=1．比较两种情况的最大值和最小值，得到-2≤x≤3时最大值为y=1，最小值为y=-3．（2）先把函数解析式化为顶点式，得到y轴两侧图象的顶点坐标，再分三种情况进行讨论：①M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的内部，②M′（-a，-a-2）在矩形ABCD的内部，M″（a，a-2）在矩形ABCD的外部，M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的外部．本题考查了二次函数图象和性质，二次函数最大（小）值应用，新定义，图象与矩形交点问题等，解题时要注意运用数形结合的方法和分类讨论的数学思想．。
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．02．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010 3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a25．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1 7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：2（填“＞”、“＜”或“＝”）10．（3分）分解因式：a2﹣9＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（写出一个即可）．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为度．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起*4247*4752*49坐其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为千米/时，乙车的速度为千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为；②用含t的代数式表示线段PQ的长为．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．0【分析】被遮挡的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，再求相反数即可．解：被遮住的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，﹣1的相反数是1，故选：A．2．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：7 810 000 000＝7.81×109．故选：B．3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：这个立体图形的俯视图有两层，上层三个正方形，下层一个正方形，右齐．故选：D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a2【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．解：A、6a表示6×a，此选项不符合题意；B、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；C、（a3）2＝a6，此选项符合题意；D、a12÷a2＝a10，此选项不符合题意；故选：C．5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据怪兽和怪鸟的头数及脚数，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．解：依题意，得：．故选：C．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1【分析】根据题意可得，四边形ABDC是矩形，根据锐角三角函数即可表示旗杆PA的高度．解：根据题意可知：四边形ABDC是矩形，∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，在Rt△PCD中，PC＝CD tanα＝5tanα，∴PA＝PC+AC＝5tanα+1．答：旗杆PA的高度表示为5tanα+1．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠ABN的度数，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．解：∵AB＝BN，∠A＝74°，∴∠ANB＝74°，∠ABN＝180°﹣2×74°＝32°，由作图痕迹可得，BN平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABN＝64°，∴△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣74°﹣64°＝42°，故选：B．8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5【分析】直接根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，由D点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可得出△OBC的面积，由S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC即可得出结论．解：∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，3），∴D（2，），把D（2，）代入反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×＝3，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBC＝×3＝，∴S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC＝×4×3﹣＝．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：＜2（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．解：∵2＝，∴＜2，故答案为：＜．10．（3分）分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是0（写出一个即可）．【分析】先利用判别式的意义得到22﹣4k＞0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．解：根据题意得△＝22﹣4k＞0，解得k＜1．所以k可以取0．故答案为0．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为107度．【分析】根据平行线的性质得到∠BAP＝137°，由角的和差关系得到∠PAC的大小即可．解：∵PQ∥MN，∴∠BAP＝180°﹣∠CBA＝137°，∴∠PAC＝137°﹣30°＝107°．故答案为：107．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，根据折叠的性质得到CF＝CB＝5，EF＝BE，根据勾股定理得到DF＝＝4，AE ＝，于是得到结论．解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，∴CF＝CB＝5，EF＝BE，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，∵EF2＝AE2+AF2，∴（3﹣AE）2＝AE2+12，解得：AE＝，∴△AEF的面积＝AE•AF＝×1＝故答案为：．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加（2﹣4）米．【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为（0，2），设抛物线解析式y＝ax2+2，将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，解得：a＝﹣，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，将y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度为2米，故水面宽度增加了（2﹣4）米，故答案为：（2﹣4）．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．解：a（a﹣2b）+（a+b）2＝a2﹣2ab+a2+b2+2ab＝2a2+b2，当a＝﹣3，b＝时，原式＝2a2+b2＝2×（﹣3）2+（）2＝23．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是负数的概率．解：列表得：﹣201和﹣2﹣4﹣2﹣10﹣2011﹣112共有9种等情况数，其中小致两次摸出的小球的数字之和是负数的有5种，则小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率是．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．【分析】设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x套，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x 套，依题意，得：﹣＝30，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋10套．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴＝，即＝，解得：BP＝，故答案为：．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．【分析】（1）根据网格即可在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）根据网格和勾股定理即可在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）根据网格和梯形面积公式即可在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．解：（1）图①中直角△ABM即为所求；（2）图②中△CDN即为所求；（3）图③中四边形EFGH即为所求．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为9；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起坐*4247*4752*49其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；（2）①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②根据题意和表格中的数据可以解答本题．解：（1）①m＝30﹣2﹣10﹣6﹣2﹣1＝9，故答案为：9；②由条形统计图可得，一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，故答案为：45；（2）①∵实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，∴实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组优秀的有4人，∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×＝65，答：全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；②同意，理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．【分析】（1）根据甲在途中休息了3小时，结合函数图象可求出b的值，进而由路程÷时间＝速度，便可求得结果；（2）用待定系数法进行解答便可；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，分两种情况：在甲中途休息前相遇，甲中途休息时相遇．分别列出一元一次方程解答．解：（1）由题意知，b＝9﹣3＝6，∴甲车休息前的行驶速度为：600÷（b﹣1）＝600÷（6﹣1）＝120（千米/时），乙车的速度为：1200÷15＝80（千米/时），故答案为：120；80；（2）设当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（9，600），（12，1200）代入得，，解得，，∴当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为：y＝100x﹣300；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，根据题意得，①在甲途中休息前相遇，有120x﹣80x＝80×1，解得，x＝2；②在甲途中休息时相遇，有80（x+1）＝600，解得，x＝6.5，综上，甲出发2小时或6.5小时与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是8或．【分析】问题呈现：由“SAS”可证△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；结论应用：（1）在AB上截取AE＝AD，连接PE，由“SAS”可证△ADP≌△AEP，△BPC≌△BPC，可得PD＝PE＝PC；（2）延长AP，BC交于点H，由“ASA”可证△ADP≌△HCP，可得CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．解：问题呈现：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OP＝OP，OM＝ON，∴△MOP≌△NOP（SAS），∴PM＝PN；结论应用：（1）如图②，在AB上截取AE＝AD，连接PE，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP，又∵AD＝AE，AP＝AP，∴△ADP≌△AEP（SAS），∴DP＝PE，∠D＝∠AEP，∵AB＝AD+BC，AB＝AE+BE，∴BE＝BC，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，又∵BP＝BP，∴△BPC≌△BPE（SAS），∴CP＝PE，∠PCB＝∠PEB，∴PC＝PD＝PE；（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴∠DAC+∠ABC＝180°，∵∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，∴∠DAC＝2∠PAB，∠ABC＝2∠ABP，∴2∠PAB+2∠ABP＝180°，∴∠PAB+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∵AB＝10，tan∠PAB＝＝，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝2，PA＝4，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝4，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝×BP×PH＝×BP×CN+×PH×CM，∴CM＝CN＝，∴S△PCH＝×4×＝＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠PAB＝∠H，∴tan H＝tan∠PAB＝，∴，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝×4×4＝8，故答案为：8或．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为16；②用含t的代数式表示线段PQ的长为3t．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．【分析】（1）①由勾股定理可求解；②由锐角三角函数可求解；（2）分两种情况讨论，由QM的长度为10，列出方程可求解；（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；（4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，∴BC＝＝＝16，故答案为：16；②∵sin B＝，∴，∴PQ＝3t，故答案为：3t；（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝4t，当点M与点Q相遇，20＝4t+5t，∴t＝，当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，∴20﹣4t﹣5t＝10，∴t＝，当＜t≤时，MQ＝AM+BQ﹣AB，∴4t+5t﹣20＝10，∵＞，∴不合题意舍去，综上所述：当QM的长度为10时，t的值为；（3）当0＜t＜时，S＝3t×（20﹣9t）＝﹣27t2+60t；当＜t≤时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝9t﹣20，PQ＝3t，PN∥AB，∴∠B＝∠NPE，∴tan B＝tan∠NPE，∴，∴NE＝＝﹣15，∴S＝3t×（9t﹣20）﹣×（9t﹣20）×（﹣15）＝﹣；（4）如图，若NQ⊥AC，∴NQ∥BC，∴∠B＝∠MQN，∴tan B＝tan∠MQN，∴＝，∴t＝，如图，若NQ⊥BC，∴NQ∥AC，∴∠A＝∠BQN，∴tan A＝tan∠BQN，∴，∴，∴t＝综上所述：当t＝s或s时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据矩形的性质结合平面直角坐标系先确定点D的坐标，再判断出经过点D的函数，代入点D的坐标求出m的值即可；（2）当﹣2≤x≤2时分﹣2≤x＜和≤x≤2两种情况，结合函数图象进一步确定函数的取值范围；（3）首先确定当x＜m时，y有最小值为﹣（x﹣m）2+3，再根据m的不同取值，结合图象与矩形的边的交点个数确定m的取值范围；（4）根据x的不同取值，分别得到关于m的不等式（组），求解不等式（组）即可．解：（1）由题意得，点D的坐标为（﹣1，1），当x＝﹣1时，y＝，∴函数的图象不经过点D，∴函数y＝x2﹣2mx+2m+2（x＜m）的图象经过点D，∴（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+2m+2＝1，解得，，∴；（2）由（1）可知，当﹣2≤x≤2时，分段讨论：①当﹣2≤x＜时，y＝x2+x+1，该二次函数的对称轴为直线x＝﹣，且开口向上，如图，∴当﹣2≤x＜时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y取最大值，最大值＝4﹣2+1＝3；当x＝﹣时（取不到），y最小值＝；所以，＜y≤3；②当﹣≤x≤2时，，二次函数的对称轴为x＝2，开口向下，如图所示，∴﹣≤x≤2时，y随x的增大而增大，当x＝﹣时，y最小值＝﹣，当x＝2时，y最大值是1，∴．综上，当﹣2≤x＜时，＜y≤3；当﹣≤x≤2时，；∴y的取值范围是：；（3）过点E（0，﹣1），F（2，1），B（4，﹣1）三点，＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）+3恒过（1，3），对称轴为直线x＝m，在x＜m时，y随x的增大而减小，y有最小值，最小值＝m2﹣2m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3．①若m≤0，x≥0时，则y1与矩形的边有3个交点，不符合题意；②若0＜m≤2时，y1与矩形的边有F、B两个交点，即y2与矩形的边无交点，∴y最小值≥1，∴﹣（m﹣1）2+3≥1，解得，，即：0＜m≤2；③若2＜m≤4，x≥m时，y1与矩形的边的交点只有B，∴y2有且只有一个交点，∴﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得，﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得：或，∴，④若m＞4，y1与矩形的边无交点，则y2与矩形的边有两个交点，即：当x＝4时，y2＜1，有两个交点，即16﹣8m+2m+2＜1，∴m＞，∴m＞4，综上，m的取值范围是：0＜m≤2或或m＞4；（4）①当m≤x≤m+1时，，若存在1≤y0≤2，仅有y0＝1，即x＝2时，y1＝1，∴m≤2≤m+1，∴1≤m≤2；②当m﹣1≤x ＜m时，，若存在1≤y 0≤2，则，即满足最小值小于2，最大值大于等于1即可，∴，∴或；综合①、②得：或．。
2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷
2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.计算|−3+2|的结果是()A. −5B. 5C. −1D. 12.如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为()A. B. C.D.3.下列运算中，正确的是()A. x2+2x2=3x4B. x2⋅x3=x6C. (x2)3=x6D. (xy)3=xy34.不等式x+1<−1的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.5.如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为(1,2).固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为()A. (−1,√3)B. (√3,−1)C. (−1,2)D. (2,−1)6.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO=α，则∠P的度数为()A. 2αB. 90°−2αC. 45°−2αD. 45°+2α二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.计算√9−√8=______．8.吉林市北山四季越野滑雪场是亚洲首个具有国际水平，可进行全天候标准化越野滑雪专业训练场地，总投资约为990000000元．数字990000000用科学记数法表示为______．9.某网店去年的营业额是a万元，今年比去年增加10%，今年的营业额是______万元．10.方程2x =1x−3的解为______．11.关于x的一元二次方程x2+x−k4=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为______(写出一个即可)．12.如图，在▱ABCD中，AD=3，AB=5.AD⊥AC.若AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，点F，则FC+FB=______．13.如图，在Rt△ABC，∠B=90°，∠ACB=50°.将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′.若AB//CC′，则旋转角的度数为______°.14.图①中特种自行车的轮子形状为“勒洛三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒洛三角形”是分别以等边三角形ABC三个顶点A，B，C为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形．若这个等边三角形ABC的边长为30cm，则这种自行车一个轮子的周长为______cm．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.先化简．再求值：(a+3)(a−3)+2(a2+4).其中a=√3．16.一个不透明的口袋中有三个小球，颜色分别为红、黄、蓝．除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下颜色．用画树状图(或列表)的方法，求两次摸出的小球颜色相同的概率．17.李老师为学校购买口罩，第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．18.如图，四边形ABCD是正方形，分别以B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，BE，CE，DE．求证：△ABE≌△DCE．19.李老师为了准备网课直播，购买了一个三脚架，如图①所示，图②为其截面示意图．测得OC=OD=60cm，AO=100cm，∠COB=∠DOB=32°.求点A到地面CD的高度(结果精确到1cm)．(参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62.)(x>0)的图象上，20.如图，点A(1,6)和点B在反比例函数y=kxAD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，BE⊥y轴于点E，交AD于点F．(1)求反比例函数的解析式；(2)若DC=5，求四边形DFBC的面积．21.图①，图②，图③都是由12个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为1，每个小矩形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上．(1)在图①中画∠ABC=45°.使点C在格点上；(2)在图②中以AB为边画一个面积为5的平行四边形，且另外两个顶点在格点上；(3)在图③中以AB为边画一个面积最大的平行四边形，且另外两个顶点在格点上．22.为了调查八年级学生网课期间体育锻炼的时间情况，某校在八年级350名学生中随机抽取了男生，女生各18名，收集得到了以下数据：(单位：分钟)女生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105．男生：37，48，78，99，56，62，35，109，29，87，88，69，73，55，90，98，69，72．整理数据：制作了如下统计表．时间x0≤x≤3030<x≤6060<x≤90x>90女生2m74男生15n3分析数据：两组数据的平均数，中位数、众数如表所示．平均数中位数众数女生66.7a70男生69.770.5b(1)请将上面的表格补充完整：m=______，n=______，a=______，b=______；(2)若该校学生60%为男生，根据调查的数据，估计八年级居家体育锻炼的时间在90分钟以上(不包含90分钟)的男生约有多少名？(3)体育老师分析表格数据后，认为八年级的男生居家体育锻炼做得比女生好，请你结合统计数据，写出一条同意体育老师观点的理由．23.在抗击“新冠肺炎”疫情期间，需要印刷一批宣传单．某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，推除故障后继续以原来的速度印刷．两台机器还需印刷总量y(份)与印刷时间x(分钟)的函数关系如图所示．(1)甲机器维修的时间是______分钟，甲乙两台机器一分钟共印宣传单______份；(2)求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)若甲机器没有发生故障，可提前多少分钟印刷完这批宣传单．24.在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB=10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B′．(1)如图①，连接CD，则CD的长为______；(2)如图②，B′E与AC交于点F，DB′//BC．①求证：四边形BDB′E为菱形；②连接B′C，则△B′FC的形状为______；(3)如图③，则△CEF的周长为______．25.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，AD=4cm，过点D作DE//AC，交AB于点E，DF//AB，交AC于点F.动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN//BC，交AB于点M，交AC于点N.设点P运动时间为x(s)，△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y(cm2).(1)AE=______cm，AF=______cm；(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1；连接AC，BC，S△ABC=15．2(1)求抛物线的解析式；(2)①点M是x轴上方抛物线上一点，且横坐标为m，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N.线段MN有一点H(点H与点M，N不重合)，且∠HBA+∠MAB=90°，求HN的长；②在①的条件下，若MH=2NH，直接写出m的值；(3)在(2)的条件下，设d=S△MAN，直搂写出d关于m的函数解析式，并写出m的S△NBH取值范围．2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷答案和解析【答案】1. D2. D3. C4. A5. A6. B7. 3−2√2 8. 9.9×108 9. 1.1a 10. x =6 11. 3(答案不唯一) 12. 4 13. 100 14. 30π15. 解：原式=a 2−9+2a 2+8=3a 2−1， 当a =√3时， 原式=9−1=8．16. 解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次摸出的小球颜色相同的有3种， 则两次摸出的小球颜色相同的概率是39=13．17. 解：设医用外科口罩的单价为x 元/个，KN 95型口罩的单价为y 元/个，依题意，得：{1000x +50y =33501500x +100y =5200，解得：{x =3y =7．答：医用外科口罩的单价为3元/个，KN 95型口罩的单价为7元/个．18. 证明：由题意可得，BE =BC =CE ， 则△BCE 是等边三角形， 故∠EBC =∠ECB =60°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠DCB =90°，AB =DC ， ∴∠ABE =∠DCE =30°，在△ABE和△DCE中，{AB=DC∠ABE=∠DCE BE=CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．19. 解：如图所示：延长OB交DC与点E，∵OC=OD=60cm，∠COB=∠DOB=32°，∴AO⊥CD，∴cos32°=OECO =OE60，解得：OE=60×0.85=51(cm)，则AO+EO=100+51=151(cm)．答：点A到地面CD的高度约为151cm．20. 解：(1)∵点A(1,6)和点B在反比例函数图象上，∴k=1×6=6，∴反比例函数的表达式为：y=6x；(2)∵AD⊥x轴于点D，∴D(1,0)，∵BC⊥x轴于点C，DC=5．∴B的横坐标为6，将x=6代入y=6x解得，y=1，即BC=1，∵BC⊥x轴，AD⊥y轴，∴四边形DFBC是矩形，∴四边形DFBC的面积=DC⋅BC=5×1=5．21. 解：(1)如图①，点C即为所求；(2)如图②，平行四边形ABCD即为所求；(3)如图③，平行四边形ABEF即为所求．22. 5 9 68.56923. 10 40024. 5 等腰三角形5√225. 2 2√326. 解：(1)∵点A(−2,0)，对称轴为直线x=12，则点B(3,0)，则AB=5，∵S△ABC=15=12×AB⋅OC=12×5×OC，解得OC=6，故点C(0,6)，则设抛物线的表达式为y=a(x−x1)(x−x2)=a(x+2)(x−3)，将点C的坐标代入上式得：6=a(0+2)(0−3)，解得a=−1，故抛物线的表达式为y=−x2+x+6；(2)如图，∵A(−2,0)，B(3,0)，设M(m,−m2+m+6)，则N(m,0)，①∵MN⊥x轴，∴∠HNB=∠ANM=90°，∴∠BHN+∠HBN=90°，又∵∠HBA+∠MAB=90°，∴∠BHN=∠MAB，∴△BNH∽△MNA，∴HNAN =BNMN，∴HMm+2=3−m−m2+m+6，整理得：HN=1；②∵MH=MN−HN=MN−2=2HN=2，即MN=3，则−m2+m+6=3，解得m=1±√132；(3)∵S△MAN=12×MN⋅AN=12×(−m2+m+6)(m+2)=−12(m+2)2(m−3)，而S△NBH=12×BN⋅HN=12×(3−m)×1=−12(m−3)，则d=S△MANS△NBH=(m+2)2(m≠3)．【解析】1. 解：|−3+2|=|−1|=1，故选：D．先利用有理数加法法则计算，再根据绝对值的性质可求解．本题主要考查有理数的加法及绝对值，属于基础题．2. 解：从上面看：共分3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形．故选：D．找到从上面看所得到的图形即可．考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3. 解：A.结果是3x2，故本选项不符合题意；B.结果是x5，故本选项不符合题意；C.结果是x6，故本选项符合题意；D.结果是x3y3，故本选项不符合题意；故选：C．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．4. 解：∵x+1<−1，∴x<−2，故选：A．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5. 解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(1,2)，∴OA=1，AB=2，由题意得：AB′=AB=2，四边形OAB′C′是平行四边形，∴OB′=√AB′2−OA2=√22−12=√3，B′C′=OA=1，∴点C的对应点C′的坐标为(−1,√3)；故选：A．由矩形的性质得OA=1，AB=2，由题意得AB′=AB=2，四边形OAB′C′是平行四边形，得B′C′=OA=1，由勾股定理求出OB′，即可得出答案．本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．6. 解：∵OC=OB，∴∠BCO=∠ABC=α，∴∠AOP=2∠ABC=2α，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥AB，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°−∠AOP=90°−2α，故选：B．由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO=90°，则可中求得∠P．本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理可切线的性质分别求得∠AOP 和∠PAO的度数是解题的关键．7. 解：原式=3−2√2．故答案为：3−2√2．直接化简二次根式进而得出答案．此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．8. 解：将990000000用科学记数法表示为：9.9×108．故答案为：9.9×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9. 解：由题意可得，今年的营业额是a(1+10%)=1.1a(万元)，故答案为：1.1a．根据题意，可以用含a的代数式表示出今年的营业额．本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．10. 解：去分母得：2x−6=x，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解，故答案为：x=6分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．=0有两个不相等的实数根，11. 解：∵关于x的一元二次方程x2+x−k4)=1+k>0，∴△=12−4×1×(−k4解得k>−1，取k=3，故答案为：3(答案不唯一)．先根据根的判别式求出k的范围，再在范围内取一个符合的数即可．本题考查了根的判别式，能根据根的判别式的内容得出关于k的不等式是解此题的关键．12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=5，∵∠DAC=90°，AD=3，∴AC=√CD2−AD2=√52−32=4，∵AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，点F，∴AF=BF，∴FC+BF=AF+FC=4，故答案为：4．根据平行四边形的性质得出DC=AB=5，利用勾股定理得出AC的长，进而利用线段垂直平分线的性质解答即可．本题考查了平行四边形性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质的应用，关键是求出AC．13. 解：∵AB//CC′，∴∠ABC+∠C′CB=180°，而∠B=90°，∴∠C′CB=90°，∴∠ACC′=90°−∠ACB=90°−50°=40°，∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠C′AC等于旋转角，∴∠AC′C=∠ACC′=40°，∴∠C′AC=180°−40°−40°=100°，即旋转角为100°．故答案为100．先利用平行线的性质得到∠C′CB=90°，则可计算出∠ACC′=40°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠C′AC等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C′AC 即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．=30π(cm)．14. 解：自行车一个轮子的周长=3×60π⋅30180故答案为30π．直接利用弧长公式计算即可．(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R).也考查了等本题考查了弧长公式：l=n⋅π⋅R180边三角形的性质．15. 根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．16. 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17. 设医用外科口罩的单价为x元/个，KN95型口罩的单价为y元/个，根据“第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18. 根据题意，可以得到△BEC时等边三角形，再根据正方形的性质，即可得到△ABE≌△DCE的条件，从而可以证明结论成立．本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19. 直接根据题意得出O到地面的距离进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出O到地面的距离是解题关键．20. (1)根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式组，进而确定出B横坐标坐标，横坐标代入即可确定出纵坐标；(2)求出D点的坐标，由反比例函数解析式求出BC，根据矩形面积公式可求得结论．此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以矩形的面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21. (1)根据网格线画出AB的垂线AC，进而可得∠ABC=45°；(2)根据网格可得符号条件的平行四边形；(3)根据网格可得符合条件的平行四边形．本题考查了作图−应用与设计作图、全等图形，解决本题的关键是利用网格准确画图．22. 解：(1)由统计女生数据，可得在30<x≤60组的频数m=5，由统计男生数据，可得在60<x≤90组的频数n=9；=68.5，因此将女生数据从小到大排列后，处在第9、10位的两个数的平均数为68+692中位数a=68.5，男生数据出现次数最多的是69，因此众数是69，即b=69；故答案为：5，9，68.5，69；(2)由题意得：八年级350名学生中男生人数为350×60%=210(人)，=35(人)；由数据可得锻炼时间在90分钟以上的男生有3人，210×318即估计八年级居家体育锻炼的时间在90分钟以上(不包含90分钟)的男生约有35名；(3)理由一：因为69.7>66.7，所以男生锻炼时间的平均时间更长，因此男生周末做得更好．理由二：因为70.5>68.5，所以从中位数看男生比女生成绩更好，因此男生周末做得更好．(1)根据频数统计方法，可得出各个分组的频数，进而确定m 、n 的值，通过对男生、女生数据的整理，求出中位数、众数即可；(2)求出该校八年级男生人数，再求出男生锻炼时间超过90分钟的人数所占的百分比，用210去乘这个百分比即可；(3)通过比较男女生的中位数、平均数得出理由．本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义，是正确计算的前提，样本估计总体是统计常用的方法．23. 解：(1)由图象可知，甲机器维修的时间是：40−30=10(分钟)，甲乙两台机器一分钟共印宣传单：20000−800030=400(份)，故答案为：10；400；(2)设甲机器每分钟印宣传单x 张，则乙机器每分钟印宣传单(400−x)张，根据题意得： 8000−(55−30)×(400−x)=(55−40)x ，解得x =200，所以甲机器每分钟印宣传单200张，乙机器每分钟印宣传单：400−200=200(张)， ∴m =8000−200×10=6000，设线段AB 的函数解析式为y =kx +b ，根据题意得：{30k +b =800040k +b =6000， 解得{k =−200b =14000， ∴线段AB 的函数解析式为：y =−200x +14000(30≤x ≤40)；(3)若甲机器没有发生故障，所需时间为：20000÷400=50(分)，55−50=5(分)，答：若甲机器没有发生故障，可提前5分钟印刷完这批宣传单．(1)根据图象的特殊点的坐标求解即可；(2)先求出m 的值，利用待定系数法求解即可；(3)根据甲、乙两台机器的工作效率和解答即可．本题考查了一次函数的应用：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据一次函数性质解决实际问题．注意自变量的取值范围．24. (1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB=10，AB=5，∴CD=12故答案为：5；(2)①证明：由折叠的性质得：B′D=BD，B′E=BE，∠B′DE=∠BDE，∵DB′//BC，∴∠B′DE=∠BED，∴∠BDE=∠BED，∴BD=BE，∴B′D=BE，∴四边形BDB′E是平行四边形，又∵B′D=BD，∴四边形BDB′E为菱形；②解：∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB=BD，∴CD=12由折叠的性质得：B′D=BD，∴CD=B′D，∴∠DCB′=∠DB′C，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DB′//BC，∴DB′⊥AC，∴∠ACB′=90°−∠DB′C，由①得：四边形BDB′E为菱形，∴AB//B′E，∵CD⊥AB，∴CD⊥B′E，∴∠EB′C=90°−∠DCB′，∴∠ACB′=∠EB′C，∴FB′=FC，即△B′FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；(3)解：连接B′C，如图③所示：∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB=10，∴BC=√22AB=5√2，∠B=45°，CD=12AB=BD，∠ACD=12∠ACB=45°，由折叠的性质得：B′D=BD，∠B′=∠B=45°，∴CD=B′D，∴∠DCB′=∠DB′C，∴∠FCB′=∠FB′C，∴CF=B′F，∴△CEF的周长=EF+CF+CE=EF+B′F+CE=B′E+CE=BE+CE=BC=5√2；故答案为：5√2．(1)由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；(2)①由折叠的性质得B′D=BD，B′E=BE，∠B′DE=∠BDE，证出B′D=BE，得四边形BDB′E是平行四边形，进而得出结论；②证出CD=B′D，得∠DCB′=∠DB′C，证出DB′⊥AC，则∠ACB′=90°−∠DB′C，证出CD⊥B′E，则∠EB′C=90°−∠DCB′，得∠ACB′=∠EB′C，即可得出结论；(3)连接B′C，由等腰直角三角形的性质得BC=√22AB=5√2，∠B=45°，CD=12AB=BD，∠ACD=12∠ACB=45°，证出CF=B′F，进而得出答案．本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．25. 解：(1)∵∠B=30°，AD⊥BC于D，∴∠BAD=60°∵∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，∵DE//AC，DF//AB，∴∠AED=∠AFD=90°，∵AD=4cm，∴AE=AD⋅cos60°=2cm，AF=AD⋅cos30°=2√3cm，故答案为：2；2√3；(2)过点E作EG⊥AD于点G，过点F作FH⊥AD于点H，如图1，∴EG=AE⋅cos60°=√3cm，AH=AF⋅cos30°=3cm，当0≤x≤√3时，如图1，则AP=xcm，∵MN//BC，∴∠AMN=∠B=30°，∴AM=2AP=2x，∴AN=AM⋅tan30°=2x⋅√33=2√33x(cm)，∴y=12AM⋅AN=2√33x2，即y=2√33x2(0≤x≤1)；当1<x≤3时，如图2，则ME=AM−AE=2x−2(cm)，∴EH=ME⋅tan∠EMH=√33(2x−2)(cm)，∴S△MEH=12ME⋅EH=4√33(x−1)2，∴y=S△AMN−S△MEH=2√33x2−4√33(x−1)2=−2√33x2+8√33x−4√33，即y==−2√33x2+8√33x−4√33(√3<x≤3)；当3<x≤4时，如图3，∴AN=APcos30∘=x√32=2√33x(cm)，∵MN//BC，∴∠ANG=∠C=60°，∵NF=AN−AF=2√33x−2√3(cm)，∴FG =FN ⋅tan60°=2x −6(cm)，∴S △FGN =12FG ⋅FN =2√33(x −3)2， ∴y =S △AMN −S △EMH −S △FNG =2√33x 2−4√33(x −1)2−2√33(x −3)2， 即y =−4√33x 2+2√33x −22√33(3<x ≤4)；综上，y ={ 2√33x 2(≤x ≤1)−2√33x 2+8√33x −4√33(1<x ≤3)−4√33x 2+2√33x −22√33(3<x ≤4)； (3)过点O 作OH ⊥BC 于点H ，OG ⊥AC 于点G ，OK ⊥AB 于点K ，连接OA ，OB ，如图4，∵OC 平分∠ACB ，∴OH =OG ，∵MN//BC ，∴∠AMN =∠ABC =30°，∠ANM =∠ACB =60°，∴OK =OM ⋅sin30°=12OM ， OG =ON ⋅sin60°=√32ON ， ∵OM =ON ，∴OG =√3OK ，∵AC =AB ⋅tan30°=8√33，BC =2AC =16√33， ∵S △ABC =12AB ⋅AC =12AB ⋅OK +12AC ⋅OG +12BC ⋅OH ，∴8×8√33=8OK +8√33×√3OK +16√33×√3OK ， ∴OK =23√3，∴PD =OH =√3OK =2，∴AP =2，∴x=2．(1)利用直角三角形的性质求出∠BAD和∠CAD的度数，再解直角三角形求得AE和AF；(2)过点E作EG⊥AD于点G，过点F作FH⊥AD于点H，解直角三角形得AP=√3，AH= 3，则分三种情况：0≤x≤√3；√3<x≤3；3<x≤4.分别画出图形，结合图形列出函数解析式；(3)过点O作OH⊥BC于点H，OG⊥AC于点G，OK⊥AB于点K，连接OA，OB，如图4，证明OH=OG=√3OK，由三角形的面积公式列出OK的方程，求得OK，进而求得AP便可．本题主要考查了直角三角形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，求函数的解析式，第(2)题关键是分情况进行讨论．26. (1)由S△ABC=15=12×AB⋅OC=12×5×OC，解得OC=6，故点C(0,6)，再用待定系数法即可求解；(2)①证明△BNH∽△MNA，则HNAN =BNMN，即HMm+2=3−m−m2+m+6，即可求解；②∵MH=MN−HN=MN−2=2HN=2，即MN=3，进而求解；(3)∵S△MAN=12×MN⋅AN=12×(−m2+m+6)(m+2)=−12(m+2)2(m−3)，而S△NBH=12×BN⋅HN=12×(3−m)×1=−12(m−3)，即可求解．本题是二次函数的综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，考查了相似三角形的性质与判定，考查了利用数形结合的思想解决数学问题．。
2020年吉林省中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年吉林省中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.3的相反数是()A. 13B. −13C. −3D. −12.李克强总理在2019年的政府工作报告中指出：三大攻坚战开局良好．其中精准脱贫有力推进，农村贫困人口减少1386万，易地扶贫搬迁280万人，数据1386万用科学记数法可表示为()A. 1386×104B. 1.386×106C. 1.386×107D. 0.1386×1083.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为()A.B.C.D.4.下列运算正确的是()A. (a3)2=a5B. a4⋅a2=a8C. a9÷a3=a3D. (−ab)2=a2b25.把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C=90°，∠F=90°，∠D=30°，∠A=45°，则∠1+∠2等于()A. 270°B. 210°C. 180°D. 150°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C=5：7，则∠C=()A. 210°B. 150°C. 105°D. 75°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.分解因式：ab−a2=______．8.不等式2+3≥x+1，的解集是______9.一元二次方程x2−3x+1=0的根的判别式的值是______．10.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．11.如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理是___________________________．12.如图，AB//CD//EF，AD=4cm，BC=DF=3cm，则CE的长______ ．13.如图，△ABC中，点M、N分别是AB、AC中点，点D、E在BC边上(点D、E都不与点B、CBC，则重合)，且点D在点E的左边，DN、EM相交于点O.若△ABC的面积为42cm2，DE=12阴影四边形BDOM、阴影四边形CEON的面积和为______cm2．14.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45∘，则BD的长为______ ．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.先化简，再求值：(2x+1)(2x−1)−5x(x−1)+(x−1)2，其中x=−1．316.现有三张不透明的卡片A、B、C，其中卡片的正面图案分别是剪刀、石头、布，卡片除下面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽到的图案相同的概率．17.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？18.如图，点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，AE//BF，求证：△AED≌△BFC．19.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)20.千年古塔大旺山白塔是眉山市省级重点文物，为了测量大旺山白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进24米，又测得白塔的顶端A的仰角为60°，求白塔的高度AB.(参考数据：√3≈1.73，结果保留整数．)(x>0)的图象上，其中k>0，21.如图，A、B两点在反比例函数y=kxAC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1(1)若k=2，则AO的长为______ ，△BOD的面积为______ ；(2)若点B的横坐标为k，且k>1，当AO=AB时，求k的值．22.判断下面的抽样调查选取样本的方法是否合适，说明理由．(1)在五一假期期间，调查某商场的日营业额，以估计该商场全年营业额；(2)某晚报社为了了解学生“追星”的情况，来到一家业余艺术学校调查了100名学生；(3)为调查全校男生的身高情况，用简单随机抽样的方法在全校五十个班级中抽取六个班级，调查这六个班男生的身高情况，以估计全校男生身高情况；(4)为了检测一种新型计算机的性能指标，从中抽取2台进行测试．23.如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/ℎ，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(ℎ)之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)汽车行驶______ h后加油，中途加油______ L；(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；(3)若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？24.数学实验课上，王老师让大家用矩形纸片折出菱形．小华同学的操作步骤是：(1)如图①，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠；(2)如图②，将图①中的△A’BF沿BF折叠得到△A″BF；(3)如图③，将图②中的△CDF沿DF折叠得到△C′DF；(4)将图③展开得到图④，其中BD、BE、DF为折叠过程中产生的折痕．试解答下列问题：(1)证明图④中的四边形BEDF为菱形；(2)在图④中，若BC=8，CD=4，求菱形BEDF的边长．25.如图，△ABC是等边三角形，BC=2cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度运动，过点P作PE//BC交射线AC于点E，同时点Q从点C出发沿BC的延长线以1cm/s的速度运动，连结BE、EQ.设点P的运动时间为t(s)．(1)求证：△APE是等边三角形；(2)直接写出CE的长(用含t的代数式表示)；(3)当点P在边AB上，且不与点A、B重合，①求证：△BPE≌△ECQ．②当t为何值时，△BPE≌△QCE？26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于O、B两点，点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,2).点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y 轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，MN与点B始终在PQ同侧，且PN=1.设点P的横坐标为m(m>0)，矩形PQMN的周长为l．(1)用含m的代数式表示点P的坐标．(2)求l与m之间的函数关系式．(3)当矩形PQMN是正方形时，求m的值．(4)直接写出矩形PQMN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：[分析]根据相反数的定义解答即可．[详解]3的相反数是−3，故选C．[点睛]本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．2.答案：C解析：解：1386万=1.386×107．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．3.答案：C解析：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图.根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层右边一个小正方形．故选C．4.答案：D解析：解：A、(a3)2=a6，故此选项错误；B、a4⋅a2=a6，故此选项错误；C、a9÷a3=a6，故此选项错误；D、(−ab)2=a2b2，故此选项正确．故选：D．直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.答案：B解析：此题考查三角形内角和定理和三角形的外角性质，关键是根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质解答．根据三角形外角性质可得∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠F+∠FPB，再结合三角形内角和定理求出∠1+∠2即可．解：如图AC和DF交于点O，BC和DF交于点P，∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠F+∠FPB，∠DOA=∠COP，∠FPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠F+∠COP+∠CPO=∠D+∠F+180°−∠C=30°+90°+180°−90°=210°，故选：B．6.答案：C解析：此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补.根据圆内接四边形对角互补可得∠C=180°×7=105°。
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷 (含解析)
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.利用数轴，比较1，√2，−1.5，−√5，|−π|，√2−1的大小正确的是()2A. −√5<−1.5<√2−1<1<√2<|−π|2B. −1.5<−√5<1<√2−1<√2<|−π|2C. −√5<−1.5<√2−1<√2<1<|−π|2D. −√5<−1.5<1<√2−1<|−π|<√222.某水利枢纽工程于2014年9月25日竣工，该工程设计的年发电量为32.25亿度，32.25亿这个数用科学记数法表示为()A. 32.25×108B. 3.225×109C. 322.5×107D. 3225×1063.下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是()A.B.C.D.4.下列计算结果正确的是()A. 3a−(−a)=2aB. a3⋅(−a)2=a5C. a5÷a=aD. (−a2)3=a65.“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几何？”这是我国古代名著九章算术中记载的古典名题，其题意是：有若干人一起买鸡.如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？若设买鸡的人数为x人，则列方程正确的是()A. 9x+11=6x+16B. 9x+11=6x−16C. 9x−11=6x+16D. 9x−11=6x−166.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是()A. 南偏东25°，50√2千米B. 北偏西25°，50√2千米C. 南偏东70°，100千米D. 北偏西20°，100千米7.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C(x>0)的图象上，则△OAB的面积等于()在反比例函数y=2xA. 2B. 3C. 4D. 68.用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.√2+√18=______．10.一件商品的原价为a元，提高50%后标价，再按标价打七折销售，则此时售价为______元．11.如图，直线AB//EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=度．12.点A(−1,y1)，B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1−y2 ___0(填“>”或“<”).13.如图，从边长为(a+2)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a−1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该长方形的周长是___________cm．x2，当水位上涨14.在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y=−13 1m时，水面宽CD为2√6m，则桥下的水面宽AB为______m．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：(2a+1)2−4a(a−1)，其中a=1．816.将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4.从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．(1)用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．(2)摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？17.六⋅一前夕某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍，求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？18.如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连结BC.已知⊙O的半径为2，∠C=35°(1)求∠A的度数．(2)求BC⏜的长．19.某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩(百分制)如下：七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 5999 87 85 89 97 86 89 90 89 77八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 9462 99 94 51 88 97 94 98 85 91分组整理，描述数据(1)按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；分析数据，计算填空(2)两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；年级平均数中位数众数优秀率七年级85.3888920%八年级85.4______ ______ ______ 得出结论，说明理由．(3)估计八年级成绩优秀的学生人数约为______人．(4)整体成绩较好的年级为______，理由为______(至少从两个不同的角度说明合理性)．20.如图，在正方形网格上有一个△ABC，A、B、C均为小正方形的顶点．(1)画△ABC关于直线a的对称图形(不写画法)；(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．21.如图①所示，空圆柱形容器内放着一个实心的“柱锥体”(由一个圆柱和一个同底面的圆锥组成的几何体).现向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．已知整个注水过程中，水面高度ℎ(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请你根据图中信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为______ cm，“柱锥体”中圆锥体的高为______ cm；(2)分别求出圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积．22.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG．(1)求证：四边形EFDG是菱形；AF⋅GF；(2)求证：EG2=12(3)若AG=6，EG=2√5，求BE的长．23.如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC，(1)求证：△AEG是等腰直角三角形；(2)求证：AG+CG=√2DG．24.已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点，且对称轴为直线x=4.设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒√2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S 关于t的函数关系式．【答案与解析】1.答案：A解析：[分析]利用绝对值的性质化简，再在数轴上表示出各数所在的位置，即可得出答案．[详解]解：|−π|=π，如图示，所以．故选A．[点评]此题主要考查了实数与数轴、实数的大小比较以及绝对值的性质，在数轴上正确表示出各数是解题关键．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：将32.25亿这用科学记数法表示为：3.225×109．故选：B．3.答案：B解析：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解析：解：从正面看下层是三个小正方形，上层右边一个小正方形，故选B．4.答案：B解析：本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项．利用同底数幂乘法，除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则计算即可．解：A.3a−(−a)=4a，故A错误；B.a3⋅(−a)2=a5，故B正确；C.a5÷a=a4，故C错误；D.(−a2)3=−a6，故D错误．故选B．5.答案：C解析：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设买鸡的人数为x人，根据鸡的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．解：设买鸡的人数为x人，根据题意得：9x−11=6x+16．故选C．6.答案：B解析：解：∵第一艘快艇沿北偏西70°方向，第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠BOA=90°，∵BO=AO=50km，∴AB=50√2km，∠B=∠OAB=45°，∵第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠1=∠CAO=20°，∴∠2=45°−20°=25°，∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25°，50√2千米．故选：B．根据题意得出AO=BO以及∠BOA=90°，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．7.答案：B解析：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA的长是解题关键．过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，得出∴CEBD =AEAD=ACAB，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=1x，OE=2x，OA=3x，然后根据三角形面积公式求解即可．解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，∴CEBD =AEAD=ACAB，∵OC是△OAB的中线，∴CEBD =AEAD=ACAB=12，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为2x ，B的横坐标为1x，∴OD=1x ，OE=2x，∴DE=OE−OD=1x，∴AE=DE=1x，∴OA=OE+AE=3x，∴S△OAB=12OA⋅BD=12×3x×2x=3．故选：B．8.答案：B解析：本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．根据基本作图对A、B、D进行判断；根据圆周角定理对C进行判断．解：A选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高，D选项通过画图得到菱形，即可得到斜边上的高，B选项无法保证斜边所对的顶点在所画线段的垂直平分线上，故选：B．9.答案：4√2解析：解：原式=√2+3√2=4√2．故答案为：4√2．首先化简二次根式，进而计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．10.答案：1.05a解析：解：由题意得标价为(1+50%)a=1.5a元，则实际售价为1.5a×0.7=1.05a元．故答案为：1.05a．一件商品的原价为a元，提高50%后标价，则标价为(1+50%)a=1.5a元，再用标价×0.7即可求出实际售价．此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．11.答案：120解析：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD=∠DNF=95°，再利用三角形内角和定理及平角的定义得出答案．解：延长FE交DC于点N，∵直线AB//EF，∴∠BCD=∠DNF=95°，∵∠CDE=25°，∴∠DEN=180°−95°−25°=60°，∴∠DEF=180°−60°=120°．故答案为120．12.答案：>解析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了一次函数的增减性．根据k<0可知，一次函数的函数值y随x的增大而减小．解：∵直线y=kx+b的k<0，∴函数值y随x的增大而减小，∵点A(−1,y1)，B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，∵−1<3，∴y1>y2，∴y1−y2>0．故答案为>．13.答案：4a+8解析：此题考查图形的剪拼，整式的运算，正确使用完全平方公式是解决问题的关键．矩形的长就是边长是a+2的正方形与边长是a−1的正方形的边长的和，矩形的宽就是边长是a+2的正方形与边长是a−1的正方形的边长的差，列出代数式进行化简即可．解：由题意得矩形的长为a+2+a−1=(2a+1)cm，矩形的宽为a+2−(a−1)=3cm，所以矩形的周长=2【(2a+1)+3】=(4a+8)cm，故答案为(4a+8)．14.答案：6解析：本题考查点二次函数的实际应用，解题的关键是要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．由x2，可以求二次函数图象的对称性可知D点的横坐标为√6，把x=√6代入二次函数关系式y=−13x2，即可求出B的横坐标，出对应的纵坐标，进而求出点B的纵坐标，再把B的纵坐标代入y=−13即AB长度的一半．解：∵水面宽CD为2√6m，y轴是对称轴，∴D点的横坐标为√6，×(√6)2=−2，∴D的纵坐标为y=−13∵水位上涨1m时，水面宽CD为2√6m，∴B的纵坐标为−2−1=−3，x2得：把x=−3代入解析式y=−13×(−3)2=−3，∴B的横坐标为y=−13∴桥下的水面宽AB为3×2=6米，故答案为6．15.答案：解：原式=4a2+4a+1−4a2+4a=8a+1，当a=18时，原式=8a+1=2．解析：直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16.答案：解：(1)或甲袋和乙袋23424564678摸出的两个球上数字之和为5的概率为16．(2)从表看，摸出的两个球上数字之和为6时概率最大．解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和达到某种效果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.答案：解：设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为(x−25)元，由题意得：2000x =2×750x−25解得：x=100，经检验：x=100是原分式方程的解，x−25=100−25=75，答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；解析：本题考查了分式方程组的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为(x−25)元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可．18.答案：解：(1)由圆周角定理得，∠AOP=2∠C=70°∵PA切⊙O于点P，∴∠APO=90°，∴∠A=20°；(2)∠BOC=180°−∠AOP=110°，∴BC⏜=110π×2180=119π.解析：(1)根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质计算，得到答案；(2)根据弧长公式计算即可．本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19.答案：解：(1)补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图如图所示，(2)91.5，94，55%；(3)220；(4)八年级八年级的中位数和优秀率都高于七年级．解析：解：(1)见答案(2)八年级20名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：51 55 62 71 78 85 86 87 88 91 92 94 94 94 94 94 97 98 98 99∴中位数=91+922=91.5分；∵94分出现的次数最多，故众数为94分；优秀率为：1120×100%=55%，故答案为：91.5，94，55%；(3)400×55%=220(人)，答：八年级成绩优秀的学生人数约为220人；故答案为：220；(4)整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级．故答案为：八年级，八年级的中位数和优秀率都高于七年级．(1)由收集的数据即可得；根据题意补全频数分布直方图即可；(2)根据众数和中位数和优秀率的定义求解可得；(3)根据题意列式计算即可；(4)八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可得结论．本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数的定义，正确的理解题意是解题的关键．20.答案：解：(1)如图所示，△DEF即为所求；(2)由图可得，S=4×2−12×2×1−12×3×1−12×4×1=3.5解析：(1)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线a的对称图形；(2)利用割补法，即可得到所画出的对称图形的面积．此题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及三角形面积求法，利用结合网格解题是关键．21.答案：解：(1)12；3；(2)设圆柱形容器的底面积为S，则S(12−8)=(42−26)×5，解得，S=20，设“柱锥体”的底面积为S柱锥，×5=20×5−15×5，S柱锥解得，S柱锥=5，即圆柱形容器的底面积是20cm2，“柱锥体”的底面积是5cm2．解析：本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．(1)根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；(2)根据题意和函数图象可以求得圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积．解：(1)由题意和函数图象可得，圆柱容器的高为12cm，“柱锥体”中圆锥体的高为：8−5=3cm，故答案为12；3；(2)见答案．22.答案：解：(1)证明：∵GE//DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．(2)证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=12GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴DFAF =FODF，即DF2=FO⋅AF．∵FO=12GF，DF=EG，∴EG2=12GF⋅AF．(3)如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴20=12FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG−40=0．解得：FG=4，FG=−10(舍去)．∵DF=GE=2√5，AF=10，∴AD=√AF2−DF2=4√5．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH//AD．∴△FGH∽△FAD．∴GHAD =FGAF，即4√5=410．∴GH=8√55．∴BE=AD−GH=4√5−8√55=12√55．解析：本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO⋅AF 是解题答问题(2)的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题(3)的关键．(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；(2)连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO⋅AF，于是可得到结果；(3)过点G作GH⊥DC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE= AD−GH求解即可．23.答案：(1)证明：∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG平分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP，∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°，∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE为等腰直角三角形；(2)证明：作CH⊥DP，交DP于H点，∴∠DHC=90°，∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC，∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH，∵在△ADE和△DCH中，{∠AED=∠DHC ∠ADE=∠DCH AD=DC∴△ADE≌△DCH(AAS)，∴CH=DE，DH=AE=EG．∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，∴GH=CH，∴CG=√2GH，∵AG=√2EG，∴AG=√2DH，∴CG+AG=√2GH+√2HD，∴CG+AG=√2(GH+HD)，即CG+AG=√2DG．解析：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；(2)作CH⊥DP，交DP于H点，证明△ADE≌△DCH(AAS)，得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG=√2GH，AG=√2DH，计算即可．24.答案：方法一：解：(1)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c由题意得{−b 2a =4c =124a +2b +c =0，解得{a =1b =−8c =12，∴二次函数的解析式为y =x 2−8x +12，点P 的坐标为(4,−4)；(2)存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形．理由如下：当y =0时，x 2−8x +12=0，∴x 1=2，x 2=6，∴点B 的坐标为(6,0)，设直线BP 的解析式为y =kx +m则{6k +m =04k +m =−4，解得{k =2m =−12∴直线BP 的解析式为y =2x −12∴直线OD//BP ，∵顶点坐标P(4,−4)，∴OP =4√2设D(x,2x)则BD 2=(2x)2+(6−x)2当BD =OP 时，(2x)2+(6−x)2=32，解得：x 1=25，x 2=2，当x 2=2时，OD =BP =2√5，四边形OPBD 为平行四边形，舍去，∴当x =25时四边形OPBD 为等腰梯形，∴当D(25,45)时，四边形OPBD 为等腰梯形；(3)①当0<t ≤2时，∵运动速度为每秒√2个单位长度，运动时间为t 秒，则MP =√2t ，∴PH =t ，MH =t ，HN =12(4−t)，∴MN =MH +HN =2+12t ， ∴S =34t 2； ②当2<t <4时，P 1G =2t −4，P 1H =t ，∵MN//OB∴△P 1EF∽△P 1MN ，∴S △P 1EF S△P 1MN =(P 1G P 1H )2， ∴S △P 1EF34t 2=(2t−4t)2， ∴S △P 1EF =3t 2−12t +12，∴S =34t 2−(3t 2−12t +12)=−94t 2+12t −12， ∴当0<t ≤2时，S =34t 2，当2<t <4时，S =−94t 2+12t −12．方法二：(1)略．(2)设D(t,2t)，O(0,0)，P(4,−4)，B(6,0)，∴K BP =0+46−4=2，K OD =2t−0t−0=2，∴K BP =K OD ，∴BP//OD ，∵四边形OPBD 为等腰梯形，∴DB =OP ，(t −6)2+(2t −0)2=(4−0)2+(−4−0)2，∴t 1=2(舍)，t 2=25，∴D(25,45).(3)O(0,0)，P(4,−4)，∴l OP ：y =−x ，∴M(4−t,t −4)，∵B(6,0)，∴l BP ：y =2x −12，∴N(t+82,t−4)，①当0<t≤2时，S=12MN(N Y−P Y)=12(t+82−4+t)(t−4+4)=34t2，②当2<t<4时，∵△PMN与△P′MN关于MN对称，∴K MP′+K MP=0，K NP′+K NP=0，∴l MP′：y=x+2t−8，l NP′：y=−2x+2t+4，∴D(8−2t,0)，C(t+2,0)，∴S=12(CD+MN)|M Y|=12(t+2−8+2t+t+82−4+t)(4−t)=−94t2+12t−12．解析：(1)利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；(2)存在．由(1)可求直线PB解析式为y=2x−12，可知PB//OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；(3)由P(4,−4)可知直线OP解析式为y=−x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为−2，此时t=2，按照0<t≤2，2<t<4两种情形，分别表示重合部分面积．本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．。
2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷-
【答案】A
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理求出 的长，得到点 的坐标．
【详解】
解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2，
由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，
∴ ， ，
∴点C的对应点 的坐标为 ．
【答案】树状图或列表见解析，
【分析】
列举出所有情况，看两次摸出小球的颜色相同的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解:树状图:
根据题意，可以画出如下树状图:
从树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有 种，其中小球颜色相同的有 种，
列表法:根据题意，列表如下:
从表中可以看出，所有等可能出现的结果共有 种，其中小球颜色相同的有 种，
12．如图，在 中, ．若 的垂直平分线分别交 于点 点 ，则 _________．
【答案】4
【分析】
先根据平行四边形的性质求出CD的长, 再根据勾股定理求AC得长度,根据线段垂直平分线的性质可得 ,进而可得答案．
【详解】
∵在 中, ．
∴ ．
∵ ．
∴在Rt△DAC中, ．
∵ 的垂直平分线分别交 于点 点 ．
【详解】
∵ ，
∴
∵
∴
根据旋转可知
∴
∴
∴旋转角的度数为 ．
故答案为：100．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等相关内容，熟练掌握相关角的计算方法是解决本题的关键．
14．图①中特种自行车的轮子形状为“勒络三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒络三角形”是分别以等边三角形 三个顶点 为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形、若这个等边三角形 的边长为 则这种自行车一个轮子的周长为________ ．