借助几何直观培养学生数感

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抽象、具象的联结、跨越———几何直观运用策略例谈

J iaoxuece 教学策略几何直观既有形象思维的特性，又有理性思维的特征。

在小学数学教学中，要使抽象的数学知识更容易理解，增强课堂教学实效，使学生充分理解数学本质，就要善用、巧用几何直观，把一个比较复杂、比较抽象的对象，用直观的办法、用图形的办法，刻画出来。

一、借助几何直观，为形成概念提供生动表征概念具有较强的抽象性，你估计是多大？谁来比划一下？（学生比划）师：0.1到底有多大呢？这样吧，请你在纸上分一分、涂一涂。

（学生活动）（展示交流）（出示第一幅作品）师：0.1表示的是这么大小的一块吗？生：表示得不对，画成14份。

师：只能用正方形纸分吗？生：还可以把一张长方形纸平均分成10份，涂其中份。

生：还可以把一样东西平均分成10份，取其中1份。

生：把1平均分成10份，取其中1份。

有没有其他更好）观察图形，，你有没有什么启发？生：这个算式的结果就是涂色部分的面积。

生：涂色部分的面积可以减去空白部分的面积。

生：12+14+181516。

直观能力的培养是一个过程，需要教师在教学中长期关注，1214181165。

借助几何画板促进学生数学核心素养的发展

借助几何画板促进学生数学核心素养的发展作者：***来源：《天津教育·上》2020年第09期2014年教育部發布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》要求，把核心素养落实到学科教学中去，促进学生全面而有个性的发展。

《数学课程标准》中明确提出，信息技术的发展对中学数学教育的价值、目标、内容以及教学方式等多方面都具有很大的作用。

数学课程的设计与实施，应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效性。

在课堂教学中怎样运用信息技术，以数学核心素养为主线，将课程内容有效地落地，并从数学基础知识落实中揭示知识背后的数学思想方法，再进一步提升学生的数学核心素养，这是我们一线教师不断研究的问题。

本文主要浅谈一下几何画板在学生数学思维形成中的作用。

一、纵向拉伸学生的思维，提升学生的数学抽象能力根据《数学课程标准》要求在课堂教学中促进学生数学核心素养的形成和发展。

这就要求教师要结合具体的教学内容，寻找具体有效的教学方法和策略，使学生达到相应水平的要求。

数学内容中的数学概念部分的教学，要讲清楚其内涵和外延，而有些内容对于内涵的诠释用语言描述清楚比较费时费力，有些学生很难想象出来，可这些内容又是有助于学生纵向思维拉伸的关键点，这就需要借助于信息技术的介人，帮助学生提升思维的空间，起到事半功倍的作用。

例如：在反比例函数的图象和性质这一节课中，对于图象的画法以及图象形成的过程，由于学生前面已经学过一次函数和二次函数，学生对函数的作图步骤已经很清楚，但是由于前面两种函数的自变量取值范围是全体实数，决定了丽数图象的连续性，或一条直线或一条曲线。

但反比例函数y=k/x（k#0）的自变量取值范围为x#0，这样就决定了函数图象是间断的、不连续的，与x轴和y轴的关系是怎样的呢？这就需要学生的想象力来支撑。

但对于初中学生来说，由于前面知识的负迁移，很容易产生思维障碍，出现各种问题：画成折线、画成连续的、画成与x轴、与y轴相交的……而利用几何画板的点追踪和图象的无限性，将无数点的发展趋势很直观地展现出来，将图象的无限趋近于x轴或y轴，但不与之相交，让学生很清晰地有了认识。

小学数学教学中如何培养学生几何直观能力

小学数学教学中如何培养学生的几何直观能力【摘要】数学课程标准指出：空间观念主要表现在能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化，学生在数学学习过程中应该能够利用直观来进行数学思考.【关键词】几何直观；表征概念；直观推理一、化抽象为直观，发展表征概念的能力在小学数学中，有相当一部分数学知识都是伴随着几何意义而存在的. 在数学课堂教学中加强数学概念几何意义的阐释，有利于学生形成概念表象，促进对数学知识的理解和记忆，积累表象建构的经验，同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能. 例如，有老师在执教“乘法的初步认识”时，对于算式3 × 4，首先引导学生用不同的式子表示，像4 + 4 + 4，3 + 3 + 3 + 3，4 ×4 - 4，3 × 5 - 3，3 × 3 + 3等，除此之外还引导学生用几何图形来表示算式3 × 4的意义，像长方形方格图、长方体立体图、线段图等，为学生主动建构乘法意义的表象提供了丰富的素材，加深了学生对乘法意义的理解，数与形实现了完美的统一. 这样的数学教学，学生不但从不同的角度深刻体会了乘法的意义，而且初步获得了利用图形直观描述数学知识的经验.二、将数译成形，发展描述问题的能力按照双重编码理论，造成数学知识学习和记忆困难的主要原因在于数学学习材料（数学语言和符号）具有高度的抽象性，它不容易唤起视觉映像. 因此，在数学教学中，应该重视对学生进行心理映像方面的训练. 即在知识的形成阶段，充分利用数学学习材料数与形统一的特点，引导学生将数学知识的言语表征转化为表象表征，将数译成形，形成科学、合理的概念系统.浙江省嘉兴市实验教育集团的钟麒生老师在执教“认识一位小数”时就特别强调将数的意义通过直观的形式表现出来. 在学生初步认识一位小数的基础上，教师组织了三个层次的活动，引导学生将数译成形，既培养了学生借助图形描述数学概念的能力，又增强了学生的数感. 第一个层次，让学生用语言描述0.1的含义，既提取了学生对0.1的已有认识，又为下面画图表示0.1做了必要的准备；第二个层次，让学生在表示整数“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，再用语言描述所画图的含义；第三个层次，引导学生借助一个被平均分成10份的正方形，涂色表示出其他的“零点几”，并由此归纳一位小数的含义，这样既帮助学生进一步理解了一位小数的意义，又有利于学生积累更丰富的用图形表征数学概念的经验，发展几何直观能力.三、加强直观推理，发展分析问题的能力直观推理作为一种渗透力极强的思维形式，可以说是数学直观的精髓. 加强几何直观教学并不是只要求学生会构造示意图或线段图，能给出数学知识的直观表征就可以了——因为构图有时只需要关注一些数学对象的局部元素，缺乏对结构的整体把握——还要充分发挥直观推理在发现问题、分析问题过程中的作用，注意为学生创造主动思考的机会，鼓励学生借助几何直观进行比较、分析和想象，展开丰富多彩的直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，获得数学结论.例如，我校一位老师在教学“用画图的策略解决实际问题”时，先出示例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8米. 在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米. 原来花圃的面积是多少平方米？然后教师并没有直接指导学生画图，而是通过富有启发性的问题使学生体会到“光看文字，一下子想不出办法”，进而诱发画图的需要，引起学生学习和探索画图策略的兴趣. 对于画图方法的指导，教师采用“尝试——讲评——完善”的教学策略，先放手让学生尝试画图，再结合讲评对关键步骤进行适当的指导，帮助学生学会在示意图上表示“增加3米”以及标注相关信息的方法，以完善自己所画的示意图. 完成画图后，教师引导学生通过比较和交流，感受到“看图形思考比较方便”，进而启发学生看图进行分析和比较，将题目中的相关数量与直观图形的意义对应起来，找到正确的解题思路，初步体会示意图对解决问题的作用.四、利用直观探究，发展解决问题的能力直观探究在解决问题的过程中起着提示解题思路、预测结果的作用，是探索数学规律、解决数学问题的有力帮手. 学生在开始接触数学问题时，往往会习惯性地对问题作出一种直观判断，这种直观的判断起初只是一种直觉、猜想或猜测，也正是这种直觉或猜想以及追求真理的愿望，引领学生展开进一步的探究，并最终解决问题.例如，有位老师在引导学生“怎样把一个正六边形分割成6个大小相等、形状相同的图形”时，孩子们就借助直观图形产生了以下的分法和想法：方法一：把正六边形平均分成6个完全一样的等边三角形.方法二：先画出正六边形的6条对称轴，然后去掉经过对边中点的对称轴，得到第一种分法；或去掉经过顶点的对称轴，得到第二种分法.方法三：先把正六边形分成3个完全相同的平行四边形，再把每个平行四边形分成两个完全相同的部分，这样可以得到3种分法.方法四：只要先找到正六边形的3条对称轴，再把3条对称轴绕中心点旋转一个角度，就可以得到一种分法，这样就有无数种分法.方法五：先把正六边形分成3个完全一样的平行四边形，再画出它们的一条对角线，这是一种分法，然后把对角线绕它的中点任意旋转一个角度，只要每次旋转的方向和度数相同，也一样得到无数种分法.案例中，从把正六边形平均分成6份到发现图形旋转的规律，几何直观作为有效的表达工具始终伴随着学生的解题活动，并启迪着学生的空间思维，使学生的思维更加完善.【参考文献】[1]教育部.全日制义务教育全日制数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001.[2]课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准.教学大纲汇编：数学卷.北京：人民教育出版社，2001.。

怎样在几何教学中培养学生的空间观念几何直观与推理能力

怎样在几何教学中培养学生的空间观念、几何直观与推理能力?学习数学是要学会去思考数学问题，而数学思想的核心就是抽象，通过几何抽象形成数感，运用几何符号来表示数量关系和变化规律，几何图形与几何符号是数学表达和数学思考的重要形式。

学生的空间观念与几何直观会影响学生的推理能力的发展。

空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。

想象是空间观念的核心。

学生能否准确理解几何概念，正确进行推理，很大程度在于能否利用空间想象力正确分析和使用图形。

培养分析、使用几何图形的能力，将是学习几何与图形，形成良好的逻辑思维能力、空间想象能力的重要手段。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观的理解数学，用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理，就是几何直观。

引用希尔伯特写的一本书《直观几何》中谈到的几个基本观点：（1）图形可以帮助刻画和描述问题，一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单；（2）图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路。

（3）图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。

根据自己多年的教学实践，下面谈谈自己在教学活动中如何培养学生的空间观念与几何直观：一、学生空间想象力的培养1、联系现实生活，加强形象直观几何图形来源于现实生活，教学过程中利用学生身边的、熟悉的生活素材，抽象出几何的基本图形，帮助学生理解数学、应用数学。

例如:在学习数轴时，第一步，让两个学生背靠背站着，然后向相反方向走；第二歩，让学生观察手中的温度计；从这些素材中引导学生抽象出数轴的概念；又如：在学习梯子的倾斜程度时，让学生到课室外，动手摆放梯子（分组进行），分工合作，进行测量、画图、猜测、计算，归纳总结，抽象出直角三角形来研究梯子的倾斜程度；又如：在测高课题的学习中，让学生测量旗杆的高度，一开始，学生觉得不可思议，这是不可能做到的事情，但学生来到旗杆下，进行观察后，提出不同的方案，最后敲定利用投影，抽象出两个相似的三角形来解决问题；又如：在学习直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系时，让学生动手画圆，剪下来，比较观察，再通过多媒体演示，强化直观，从图形位置关系抽象出它们之间的数量关系。

对几何直观这个概念的理解

对几何直观这个概念的理解
《标准》中的10个核心概念有：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识和创新意识。

下面谈一谈对几何直观这个概念的理解。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

几何直观可以看成‘数形结合’的手段与方法。

‘数形结合’是一种数学思想方法，指利用代数里的模型来抽象地表示几何图形的本质内容，利用几何图形来形象直观地表示代数里的关系。

数学是抽象的，儿童喜欢具体形象的思维，几何直观经常能够解决抽象与形象之间的矛盾。

数学教学往往会利用简单的图形来表示比较抽象的数学问题或数量关系，如用线段图表示相差关系和倍数关系，用线段图表示相遇问题的已知、未知和数量关系，用简单图形表示田地面积的变化等，这些都十分有助于学生理解题意、找到问题的解法。

几何直观是人们理解复杂的数学问题，探索其解法的手段，是人们解决问题时经常采用的策略。

课程标准提出几何直观，不仅教师要充分利用这个手段教学数学知识，还应该培养学生自己运用几何直观的习惯和能力。

要联系实例让学生体会什么是几何直观，感受几何直观对解决问题的积极作用；要指导学生画图，初步学会几何直观；要鼓励学生经常运用几何直观，逐步成为个体的解决问题策略之一。

“几何直观”素养在教材中的体现与思考———以人教版七年级为例

㊀㊀㊀㊀㊀１３４数学学习与研究㊀２０２１２８几何直观素养在教材中的体现与思考几何直观素养在教材中的体现与思考㊀㊀㊀以人教版七年级为例Һ张㊀迪㊀罗㊀佳㊀（佛山科学技术学院数学与大数据学院，广东㊀佛山㊀５２８０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 几何直观对于学生理解数学公式和定理㊁解释基本事实及证明等方面都起到了辅助的作用．因此，本文按照课标中数与代数图形与几何统计与概率和综合与实践四个部分的划分，分别对几何直观在人教版七年级数学课本中的体现，如何体现几何直观，教师通过什么方式进行教学等，根据分析得出关于几何直观教学的几点思考和启示．ʌ关键词ɔ几何直观；人教版数学；教材分析一㊁几何直观素养的意义依据皮亚杰认知发展理论来分析，七年级学生刚从具体运算阶段过渡到形式运算阶段，还不能熟练地通过逻辑推理或者演绎推理的方式归纳解决问题．在实际教学中，教师往往注重知识点的传授，忽视解题方法和解题思路的渗透．而几何直观的体现能够很好地帮助学生以更加直观㊁形象的方式捕捉到题目中蕴含的关键信息，进而理解题目要求．此外，学生还能够通过几何直观的方式将所要解决的问题进行转化，便于形成清晰的解题思路，顺利作答题目．因此，在教学中，教师要重点培养学生的几何直观素养，帮助学生形成用数形结合的方式去解决问题，在问题解决的过程中让学生充分运用其空间想象能力去分析和推理问题，将解题思路系统化，以此来增强学生解决同类几何问题的能力．二㊁教材中的体现我们将根据人教版七年级教材中几何直观的表现情况，列举出书上的典型示例，进行整理分析，深入探讨教科书中对几何直观的体现和教学意义与价值，从而找到教材中的分布情况和编写的逻辑起点，为之后更好地进行教学提供帮助．（一）数与代数教材呈现：人教版七年级上册第７页问题：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东３ｍ和７．５ｍ处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西３ｍ和４．８ｍ处分别有一棵槐树和一根电线杆．试画图表示这一情境．图１分析㊀在学生学习完正负数以及有理数的概念之后，将引入数轴的概念㊁画法的学习，主要是用数轴表示数．教材根据一个生活实例利用图像直观形象的特点进行引入：规定了原点㊁方向和单位长度．之后通过思考的环节，让学生用数简明地表示这些物体之间的位置关系，并标注了注意方向和距离的表示．图２之后，给出温度计的表示方式，让学生对比归纳出温度计和本题表示正负数的方式有什么相同点和不同点，通过类比得出数轴的概念和三要素．同时告诉学生：任何有理数都可以在数轴上表示．例１㊀画出数轴并表示下列有理数．１．５，－２．２，９２，－３４，０．分析㊀图３（二）图形与几何教材呈现：人教版七年级上册第１２０页几何图形是由点㊁线㊁面构成的，其中线与线相交的地方是点；面与面相交成线；包围着体的是面；面运动成体．例２㊀如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．图４分析㊀例１是人教版七年级上册几何图形初步中第二小节，新课标对该部分的要求是希望学生能够通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体㊁平面㊁直线和点．本题对平面图形的旋转，猜想平面图形旋转一周后得到的立体图形，并与之对应，能够使学生认识到点线面的静态关系和动态关系，对点线面之间关系的学习，也为后面圆锥的母线㊁圆的周长等部分的学习奠定了基础，便于之后学习的知识提取．（三）统计与概率例３㊀教材呈现：人教版七年级下册１５８－１５９页图５. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１３５㊀数学学习与研究㊀２０２１２８图６分析㊀七年级中有关几何直观培养的内容主要集中在七年级下册的最后一个章节数据的收集㊁整理与描述中．学生要理解统计图表各自的特点，能合理利用统计图表直观的展示数据，获得有用的信息，并用自己的语言表达想法和结论．图６中的四种统计图表的表示方法，分别具有各自的优点，共同的特点就是直观清晰展示数据的内容，相比以往通过表格的形式进行计算，统计图表的形式能够使学生更好地理解数据所表达的信息，发展数感能力，培养学生几何直观的素养，让学生体会数据在生活中的作用．（四）综合与实践例４㊀课题学习：设计制作长方体形状的包装纸盒．教材呈现：人教版七年级上册第１４２页图７分析㊀课标要求学生结合实际生活中的问题情景，思考问题解决的方案并加以实施，从中让学生体会数学建模的思想．因此，教材中数学活动的设计按照观察㊁讨论设计㊁制作交流㊁比较评价㊁小结巩固㊁提高的过程展开学习，让学生通过探索，进一步了解直线与直线的几种位置关系．设计这个教学活动能够培养学生观察㊁实验㊁分析㊁归纳概括等能力，向学生渗透空间几何图形和平面几何图形之间的相互联系，对培养学生空间想象力和审美能力都有所帮助，从而体会相互转化的数学思想．三㊁小结几何是研究图形的形状㊁大小和位置关系的学科，几何图形是从各物体中抽象出来的更一般的形．七年级教材主要从生活中的几何图形开始，利用数轴表示数，利用数轴解释绝对值的几何意义，利用几何图形理解有理数的加减㊁整式的加减原理，表示不等式（组）的解集，利用几何图形理解点㊁线㊁面㊁体等的概念，确定直线的基本事实等．比如，直线㊁射线㊁线段和角的表示，线段和角的度量和大小比较，利用统计图表表示数据的特点，等等．而七年级的学生正是从形象思维向抽象思维逐渐转变的关键时期，因此教材中设计了大量的实物直观㊁情境直观等方式，使学生几何直观的形成更加顺畅，不仅向学生渗透几何直观素养，符合数学课程标准的要求，同时向学生渗透了数形结合思想㊁转化思想㊁类比思想等数学思想．四㊁教学建议１．熟悉教材整体脉络，顺应学生发展特点衡量一门课程是否合理的一个重要标准就是学生理解的程度．如果数学是由不喜欢和不理解这门学科的人教的，学生们很可能不会喜欢甚至厌倦，也不会很好地理解它．在教与学的过程中，教师和学生都是不断变化和成长的，这是教学相长的过程．七年级是小学到初中的过渡阶段，是发展学生抽象思维能力和空间想象能力的关键时期，因此教师只要对初中教材中有关几何直观培养的整体脉络以及教材编制的用意了如指掌，才能设计出既符合学生发展又满足教学要求的教学设计．在教学活动的设计上，教师应找出学生的认知起点，分析并思考如何设计教学活动能够将新知识融入现有的知识体系中．在几何教学中，教师可以充分利用初中生动手能力强的这一特点，让学生通过动手操作，抽象出几何图形，之后进行小组交流探讨，进而展开系统教学．当然，学生对几何直观的培养也不是急于求成的事情，所以教师要给予充分的重视．２．紧密联系生活实际，使几何直观生活化数学作为基础学科隐含在生活中的方方面面，为我们的生活提供便利，与实际生活密不可分．在教学中，教师培养学生解决实际问题的能力，一方面能够加强数学与实际生活的联系，另一方面让学生体验数学是描述现实世界的重要手段．实际生活中处处都存在着数学的影子，而数学作为基础学科又服务于各个学科，具有重要的意义．几何直观的培养，需要学生利用大量生活中见到或用到的具体事物，从中抽象出几何模型，获得解题思路，形成解题策略．让学生在实际生活中发展几何直观素养，能够从学生熟悉的生活环境中进行学习，激发学生的学习兴趣，产生熟悉感和亲切感，从而体会数学的实际作用．因此，在抽象㊁具体中培养学生的逻辑思维，是提升学生数学素养的有效途径．３．灵活使用教学设备，发展学生空间观念在教学过程中，教师应根据教学内容的不同而采取不同方式的几何直观，丰富教学活动，让学生在多种直观方式下思考学习．随着科技的不断发展，教学手段也逐渐丰富，除了以往的教师自制教具之外，多媒体的辅助教学也发挥了巨大作用，如几何画板的使用能更加直观㊁生动地将几何的转化呈现给学生，激发学生的学习兴趣，探索其中的奥秘，体会其中的乐趣．４．启发学生的思维，注重学生的自我展示一堂课中，除了教师的教，更重要的是学生的学，教师和学生要形成良性的互动，才能赋予一节课真正的意义．几何直观的培养更注重学生的空间想象力和抽象思维能力的发展．按照新课标的要求，在教学过程中教师要注意学生的主体性，给予学生足够的空间独立思考问题；在问题提出后，重视学生的自我展示，无论回答正确与否，都要鼓励学生积极主动发言，大胆说出自己的想法，这样除了能够锻炼其语言表达能力和总结概括能力外，还能加强学生在课堂上的参与感，做到学有所思，学有所获，发展学生的空间观念．ʌ参考文献ɔ［１］黄玉华．基于初中数学核心素养的教学实践与思考以苏科版七年级下 ɦ１２．２证明（１）为例［Ｊ］．中学数学杂志（初中版），２０１６，０００（００６）：５－８．. All Rights Reserved.。

基于几何直观的初中数学教学实践研究——以全等三角形和相似三角形为例

教学实践新课程NEW CURRICULUM基于几何直观的初中数学教学实践研究———以全等三角形和相似三角形为例彭慧秀（广州市第一一四中学）新课程改革提出教学新理念，要求初中数学教师教学应以学生认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教教学方式的运用。

因此，在初中数学课程教学中，老师应注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力以及模型思想等诸多能力，以此提升数学教学效率。

一、几何直观的基本含义及利用价值所谓几何直观，指的是人脑对客观事物及其关系的一种直接识别或猜想的能力，其能够明确感受物质存在的位置关系，此时若加以正确描述，定能发现并领悟事物位置关系中的本质。

几何直观与初中数学教学联系紧密，它能够巧妙地将几何数量关系转化为直观的几何基本图形，对于研究数学几何问题大有裨益。

现阶段，不少初中生的学习基础过差，数学学习功底十分薄弱，面对几何数学题更显得束手无策，因此广大初中数学老师务必要提高自身教学水平，着手培养班级学生的几何直观能力，让学生由直观得出几何基本图形，然后研究每个几何的基本图形，再把从基本图形中得出的性质综合起来，从中再找出解决问题的方法。

关于几何直观用于初中生数学教学实践最大的利用价值，就是可以借助图形将抽象的概念、定理具体化、直观化，将未知转化为已知，对于学生学习能力、学习效率的提高有着重要的价值作用。

二、以全等三角形、相似三角形为例的初中数学几何直观教学实践研究本次教学实践以程序教学法为主，旨在通过精心设置知识项目序列和强化程序这一方式，取得可观成绩，具体教学实践内容如下：（一）以全等三角形为例的初中数学几何直观教学实践研究1.教学内容复习全等三角形相关内容，重点讲解全等三角形判定定理的具体应用2.教学目标帮助学生巩固和理解全等三角形的五种判定方法，能够熟练应用每条判断定理3.教学步骤（1）复习导入师：前面我们已经学习了全等三角形的具体判定定理，主要有几种？分别有什么？哪位同学知道。

依托数学活动，培养学生数感

教学篇•经验交流依托数学活动，培养学生数感孙建林（江苏省昆山市城北高科园小学，江苏昆山）《义务教育数学课程标准》中指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

数感作为人对数与运算的一种理解，可以帮助人们在各方面运用灵活的方法来做出准确的判断，还可以为复杂问题的解决提出有用的办法。

但由于数感的形成离不开数学活动，所以在课堂教学中，教师需要结合学生和教材的实际情况，开展活动、依托活动，在数学活动中培养学生的数感。

一、依托“数数”活动，初建学生数感数感是不能传授的，它是学生在学习过程中有所体验、有所感受、有所领悟，产生对数学知识的深刻理解，获得数的敏感性，从而建立数感。

尤其是在低年级的数学课堂教学中，教师必须重视依托数数活动，让学生经历多样化的数数活动，在活动中加深学生对于数的概念的理解，在活动中初建数感。

比如，在教学苏教版一年级上册“认识11-20各数”时，让学生数出12根小棒，数的过程就是一个探索的过程，数出12根，由于学生数学能力或思维方式的不同，学生数的方式也可能不同：有的是1根1根地数，直到数出12根；有的是2根2根地数，直到数出12根；有的是5根5根地数，5根、10根，再数2根是12根；有的是10根捆成一捆，再数2根是12根。

然后通过交流，学生直观地感受到“把10根捆成一捆”的优越性，也对“10个一是1个十”有了深刻的理解。

在整个学习过程中，通过一个一个地数、两个两个地数、五个五个地数、十个一捆地数等一系列有趣、有效的数数活动，让学生积极参与其中，在操作中感受到数与数之间的联系，亲历数的形成过程，真正理解了数的意义，即发展了学生的创新思维，又培养了学生的数感。

在整个低年级阶段的认数、数数的学习活动过程中，小学生的数感逐步建立起来。

二、依托“估算”活动，发展学生数感《义务教育数学课程标准》中指出：“估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。

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一、借助直观图形，理解数的意义
理解数的意义是“数感”的主要表现，也是数学教学的重要任务。《义务教育数学课程标准》在不同学段都提出了“理解数的意义”的目标，如第一学段提出：“经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义”；第二学段提出：“理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义”等。数的意义本身是抽象的，学习时需要给学生提供具体的可供感知的素材。但随着数的范围的扩大，数与具体事物的对应会变得困难，影响学生对数的意义理解。
生活中的“数”总是和“量”紧密相连，不同的量会带给学生不同的感受。如“1000”，1000粒大米和1000颗黄豆对学生造成的感觉是不一样的。几何图形，正可以摆脱“量”的羁绊，让学生把注意力更多的集中到“数”的层面。
教学中可以借助立方体来说明“一千”，借助直观图形，让学生理解“千”作为计数单位和“个（一）、十、百”之间的关系，感受计数单位之间“满十进一”的十进制计数法；并通过观察1000与500、200、100之间的联系，最小四位数和最大三位数之间的联系等，帮助学生从多个角度理解“1000"，培养学生的数感。
2.1000去掉1后还有多少？（图2-d）（生：999）沟通“最小四位数和最大三位数”。请学生指出哪里是900，哪里是90，哪里是9。如果把这个“1”放回去，第一排9个加1个就满十；这个十加上90就是100，100加上900就是一助直观图形，对数进行分解与组合，用不同方法思考数、表示数，能加深学生对数的意义的理解。
关键词：小学数学；几何直观；数感；培养
中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1009-010X（2017）25-0027-04
“数感”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十大核心关键词之一，主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。众多学者一致认为“数感”是一种直观的感悟。史宁中教授认为：“数感是对数的感悟，它表现为对量与数的一种直观能力。”詹国良认为：“狭义的数感就是数字感，即人脑对于数字或数字运算定律的直觉；广义的数感就是数学感，即人脑对于数学对象的直觉。”叶蓓蓓认为：“数感是一种关于数字的直觉”。
（一）理解千与“百、十、个（一）”的关系
1.结合图形（图1）数数：一个一个数，10个一是十；十个十个数，10个十是一百；一百一百数，10个一百是一千。
2.师：你有什么发现？
生：都是十个十个的。
生：10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千。
生：都是10倍的。
生：……
（二）多角度理解“1000”
1.从1000里面去掉一层，还剩多少？再去掉100呢？……一直到去掉5个一百，还剩几百？一千里面有几个五百？……1000里面有几个2007有几个1007（图2-a、2-b、2-c）
数是对数量的抽象。数的意义、大小、运算、数量关系等都相对抽象，要培养直观的“数感”，就需要通过直观的手段。史宁中教授指出：“在教学中，要为学生提供丰富的情景，引导学生通过观察，感悟量的多少，促进学生数感的发展。”
“几何直观”和“数感”虽是两个不同领域的内容，但如果能利用图形把抽象的数直观地表示出来，搭建通往“数感”的桥梁，就能化抽象为形象，加深学生对数的理解和感悟。更重要的是，几何图形的直观性能帮助学生在脑中建立起相关的模型，促使学生在以后遇到类似问题时能自觉地利用图形进行思考，达到“学生自觉地感悟（或意识）”。本文将从“理解数的意义”“把握数的大小”“辨析运算定律”“明晰数量关系”等四个方面人手，阐述如何借助几何直观，培养学生数感。
二、结合直观演示，把握数的大小
史宁中教授指出：数的关系的本质是数的大小。在具体的情境中把握数的相对大小关系，不仅是理解数概念的需要，同时也会加深学生对数的实际意义的理解。结合直观演示，动态展示“数”的形成及大小关系，能促进学生把握数的大小。
如“分数”，它既表示部分与整体之间的关系，又表示一个数。在教学“分数的意义”时，可以借助长方形和线段辅助教学，把“数”在“形”的一一对应中找出来，理解数的意义和大小。
（一）把一个长方形平均分成2份，每份就是这个长方形的1/2.
（二）把一个长方形平均分成3份，每份就是这个长方形的1/3.
……
这样不但帮助学生理解了分数的意义，还能让学生直观地感受到分数的大小。接着再深入一步，把分数在数轴上表示出来，形成完整的数的序列。
（三）如下图（图3-a、图3-b、图3-c、图3-d）一个长方形就代表1，2个长方形就代表2，三个长方形就代表3.
如乘法结合律与乘法分配律，可以这样教学：
（一）把4个长25、宽7的长方形排成一排，组成的大长方形的面积是多少？请先画图，再列式说明。（得到两种图形：图4-a和图4-b）
三、依托图形表征，辨析运算定律
运算定律是在抽象的数的基础上对数之间关系的再抽象，运算律的运用是数感形成的标志。灵活分辨和运用运算定律，对学生来说是一件困难的事。究其原因，在于没有一种形象直观的表征方式能让学生体会不同运算定律之间的区别。对运算定律进行图形表征，让学生在应用时能自觉地在脑中产生相对应的图形模型，有助于加强学生对运算定律意义的理解，正确辨析。
借助几何直观培养学生数感
作者：杨熠
来源：《教育实践与研究·小学课程版》2017年第09期
摘要：“几何直观”和“数感”虽是两个不同领域的内容，但“幾何直观”具有直观的形象，可以解决抽象性的“数感”问题。教师可从“理解数的意义、把握数的大小、辨析运算定律、明晰数量关系”等四个方面利用“几何直观”培养学生数感。通过降低学生的思维难度，减少数学的抽象性，给学生提供一条更为明晰的思维路径。
1.
2.加上数字：
3.让学生在图中找到1/2和1/3。
（四）把长方形逐渐压缩，成为一条线，形成数轴，构建数的体系。
（五）让学生找一找1/4在哪里，再思考，1/10可能在哪里？
数字之间的关联与顺序是数感的重要体现。通过“数”与线段上点的对应，结合直观演示，完整的数序列就直观地呈现在学生的面前了，扫清了对数大小理解的障碍，还为后续的学习及大小比较等做了铺垫。