定解条件和定解问题
什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）是数学领域中的重要研究对象，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
在求解偏微分方程时，我们需要考虑定解条件，以确保解的存在和唯一性。
本文将探讨偏微分方程的定解条件，并讨论解的存在唯一性。
一、偏微分方程的定解条件在求解偏微分方程之前，我们需要明确的是问题的定解条件。
定解条件是指在区域Ω上关于未知函数u及其偏导数的附加条件。
常见的定解条件包括初始条件和边界条件。
1. 初始条件（Initial Condition）初始条件是在区域Ω的某个子集Ω₀上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t₀) = g(x, t₀)，其中g(x, t₀)为已知函数，t₀为给定的初始时间。
2. 边界条件（Boundary Condition）边界条件是在区域Ω的边界上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t) = f(x, t)，其中f(x, t)为已知函数。
在一些情况下，还需要考虑特殊的边界条件，如周期性边界（Periodic Boundary Conditions）和运动边界（Moving Boundary Conditions）等。
二、解的存在唯一性偏微分方程的解的存在唯一性是指在给定的定解条件下，方程是否有解以及解是否唯一。
1. 解的存在性对于某些偏微分方程，我们可以通过适当的数学工具（如变分法、分离变量法、线性化等）证明其存在解。
然而，并非所有的偏微分方程都具备解的存在性，存在着某些无解的情况。
因此，对于求解偏微分方程问题，我们需要首先考虑其解的存在性。
2. 解的唯一性在一些情况下，即使偏微分方程存在解，其解也不一定是唯一的。
对于线性偏微分方程，我们可以通过使用变分法或利用极大模原理来证明解的唯一性。
而非线性偏微分方程的唯一性则比较复杂，通常需要借助于更加深入的分析和数学工具。
数学物理方程_定解问题
根据边界条件确定任意函数 f：
令 故
规定，当
时
4、定解问题是一个整体
达朗贝尔公式的求解过程，与大家熟知的常 微分方程的求结果成完全类似。
但遗憾的是，绝大多数偏微分方程很难求出 通解；即是求出通解，用定解条件确定其中待 定函数往往更为困难。这说明，达朗贝尔公式 不适用于普遍的数学物理定解问题的求解？
（7.1.8）
称式（7.1.8）为弦的自由振动方程。
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 作用，则式(7.1.8)应该改写为
(7.1.9)
式中
称为力密度，为 时刻作用于
处单位质量上的横向外力
式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程.
2、 均匀杆的纵振动
一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使 它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使 它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵 振动必然传播到整个杆,这种振动的传播是纵波.
泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件, 而只有边界条件. 边界条件分为三类:
1、在边界上直接给定未知函数 , 即为第一类边界条件．
2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数 的数值
u n
x0 , y0 ,z0
f (x0, y0, z0,t)
（7.2.3）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在 边界上的数值
（7.2.4）
其中 是时间 的已知函数， 为常系数．
7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件
第三章___调和方程
问题的解：
u( x , t ) Ak (e
k 1
ka y
e
k a
y
k )sin x, a
其中 Ak
2 a(e
ka y
e
k a
y
)
a
0
k f ( x )sin x dx . a
第二节
格林公式及其应用
一、格林（Green）公式
P Q R d x y z [ P cos( n, x ) Q cos( n, y ) R cos( n, z )]dS . (2.1)
的解如果存在，则它必是唯一的，且连续依赖于所给 的边界条件 f 定理2.4 调和方程的 狄立克雷外问题
u 0, ( x, y, z ) , ( x, y, z ) u f ( x , y , z ), 2 2 2 limu( x , y , z ) 0, r x y z . r
性质 2、 G( M , M0 )
0.
1 性质 3、 0 G( M , M 0 ) . 4 rM0 M
性质 4、 G( M1 , M2 ) G( M2 , M1 ).
G( M 0 , M ) dS M 1. 性质 5、 n
2 1 J (u) ux uy 2 2 z
0}.
2
u
fu dxdydz .
J ( u) min J (v ),
vV0
(1.9)
定理 1.1：如果满足(1.9)的函数 u V0存在，则它 满足定解问题 (1.7)；反之，若 u 是(1.7)的属于V0 的
1.2定解条件
不适定问题举例
•一般来说，方程的阶数对应于定解 一般来说， 一般来说 条件的个数； 条件的个数； •条件多了，将会破坏解的存在性； 条件多了， 条件多了 将会破坏解的存在性； •条件少了，将会破坏解的唯一性。 条件少了， 条件少了 将会破坏解的唯一性。
二阶线性偏微分方程的分类
F ( x, y , u x , u y , u xx , u yy ) = 0
•第一类边界条件：给出未知函数u 在边界上的值 第一类边界条件：给出未知函数 第一类边界条件 •第二类边界条件：给定未知函数u 在边界上的 第二类边界条件：给定未知函数 第二类边界条件 法向导数值
•第三类边界条件：给出边界上未知数u 及其法向 第三类边界条件：给出边界上未知数 第三类边界条件 导数之间的线性关系
•波动方程：含有对时间的二阶偏导数 ，两个初始条件 波动方程： 波动方程 •传输方程：含有对时间的一阶偏导数 ，一个初始条件 传输方程： 传输方程 •稳定场方程：不随时间变化，没有初始条件 稳定场方程：不随时间变化， 稳定场方程
•边界条件 边界条件——描述系统在边界上的状况 边界条件 描述系统在边界上的状况
•衔接条件 衔接条件
在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在研究具有不同介质（或跃点处）的问题中， 在不同介质（或跃点处） 在不同介质（或跃点处）的界面处有衔接条件
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
x
T (ux |xdx ux |x ) (dx)utt 因 dx很小
T
ux
xdx ux dx
x
utt
utt Tu xx (7.1.5)
5
utt Tu xx (7.1.5)
因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处， 是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
记
T a2
(a 0)
响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化
整理数学物理方程
2
（一）均匀弦的微小横振动
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某 种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的 横振动方程。
假定：
➢弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线
➢弦的质量线密度为；
➢静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); ➢弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； ➢张力 T>>重力 mg。
x x+dx x A u Bu+du C
t 时刻杆伸长 u(x dx,t) u(x,t)
相对伸长量 u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 随x而异
dx
x
由胡克（Hooke）定律 P(x,t) E u(x,t) x
由牛顿运动定律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
第七章 数学物理定解问题(5)
1.数学物理方程（又称为泛定方程）
物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏 微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题 的共性。
2.定解条件（包括初始条件与边界条件）
对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和 初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物 理问题的个性。
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
2015/10/13
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
1方程的导出、定解条件
二、定解条件
1.初始条件： （） 1 .已知初始条件： u t =0 = ϕ ( x ),0 ≤ x ≤ l , (2).已知初始速度： ut
2 .边界条件： 已知边界位移 （1） .第一类边界条件： ( u
x =0
t =0
= ψ (x ),0 ≤ x ≤ l ,
)
)
= g1 (t ), t ≥ 0, u
= g 2 (t ).
x=l
4、Cauchy问题（或初值问题） Cauchy问题（或初值问题） 问题 对于弦中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响可忽略不计 时，可以认为弦长为无穷，此时问题化为
2 ∂ 2u 2 ∂ u = f ( x , t ), − ∞ < x < ∞ , t > 0, 2 −a ∂t ∂x 2 ∂u t = 0 : u = ϕ ( x ), = ψ ( x ), − ∞ < x < ∞ . ∂t
x + ∆x
ρ
∂u ( x, t ) dx. ∂t ∂ u (x , t + ∆ t ) dx . ∂t
∫
Байду номын сангаасx + ∆x
x
ρ
所以从时刻 t 到时刻 t + ∆ t ， 弦段 ( x , x + ∆ x )的动量增加量为
∫
∫
t + ∆t
x + ∆x
x
ρ
∂ u (x , t + ∆ t ) ∂ u (x , t ) − dx . ∂t ∂t
这一段的惯性离心力F=mω^2R 为
ρ dx ω 2 u ( x。t ) ,
ρ (l − x − dx) gux
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定解条件和定解问题
含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。
方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。
方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。
如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。
非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。
一、定解条件
给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。
通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。
特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。
对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。
描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
定解条件：初始条件和边界条件的统称。
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 ( 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。
若以()x ϕ， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：
边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。
（1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为：
(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =
当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。
（2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为：
0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =
当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。
（3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：
000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>
或
(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>，
(,0)(),0(,0)(),
t u x x x l u x x ϕψ=⎧<<⎨=⎩
其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数，当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。
2、热传导方程（2(x,t),x ,)n t u a u f t o -=∈Ω⊂>V R
初始条件是指初始时刻物体内的温度分布情况。
式中φ( x , y , z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种。
（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知
式中，p 为边界面上的点。
（2）第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知。
（3）第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量。
(,,,0)(,,)
T x y z x y z ϕ=0(,)S T
p t ϕ==, (,)n S
T T q K const f p t n n ∂∂=-==∂∂0() ()
n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)S
T T K T T hT f p t n n α∂∂⎛⎫-=-+= ⎪∂∂⎝⎭
3、位势方程（泊松方程或拉普拉斯方程）
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。
定解条件不含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
第二边值问题，牛曼问题
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
二、 定解问题
()
S f p ϕ=()
S f p n ϕ
∂=∂()S
h f p n ϕϕ∂+=∂
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。
对于定解问题，通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：
①偏微分方程（泛定方程）+初始条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；
②偏微分方程（泛定方程）+初始条件，称为初值问题或柯西问题；
③偏微分方程（泛定方程）边界条件，称为边值问题。
在一个偏微分方程的定解问题中，把不含未知函数及其偏导数的项，称为自由项。
如果方程中的自由项为零，则称方程为齐次方程，否则就称为非齐次方程。
如果边界条件中的自由项为零，则称边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。
例如，对于弦振动方程，当外力等于零时，方程就变为齐次方程，此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时，边界条件就是齐次边界条件。
三、 例题
1、长为l 的弦，两端固定于0和l 。
在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
l
x
l/
解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
初始位移
2、长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由 。
电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。
试写出杆振动的定解问题。
四、 总结
00==(,)
t t u x t 02 0222=⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩[,](,)()[,]t h l x x l u x t h l l x x l l 222220,(0,),0(,0)0,(,0),(0,)(0,)(,)0,
0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎨==∈⎪⎪==≥
⎩。