L.04 命题逻辑的推理结构
逻辑命题知识点总结
逻辑命题知识点总结逻辑命题是逻辑学的一个基本概念，它指的是一个可以陈述为真或者假的陈述句。
逻辑命题的研究是逻辑学中的一个重要部分，它涉及到命题的真假判断、推理规则和命题之间的关系等内容。
在这篇文章中，我们将对逻辑命题的基本概念、分类、性质以及一些常见的推理规则进行总结和分析。
一、逻辑命题的基本概念1. 命题的定义：逻辑命题是一个可以陈述为真或者假的陈述句。
通常用大写字母P、Q、R 等表示命题。
2. 命题的种类：根据命题的结构和性质，可以将命题分为简单命题和复合命题。
简单命题是不能再分解为更简单命题的命题，而复合命题则由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
3. 命题的关系：在逻辑学中，命题之间存在多种关系，例如与或非关系。
与关系表示两个命题都为真时整个复合命题才为真，或关系表示两个命题中至少有一个为真时整个复合命题为真，非关系表示对一个命题的否定。
二、逻辑命题的性质1. 真值：真值指的是命题的真假状态，在逻辑学中通常用T表示真，用F表示假。
2. 逻辑运算符：逻辑运算符是用来连接命题的符号，包括合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、等价（↔）和否定（¬）等。
3. 等价关系：命题P和命题Q是等价的，当且仅当它们的真值表相同，即P↔Q。
等价关系是逻辑学中一个重要的概念，它可以用来简化逻辑推理和证明。
4. 矛盾和对偶：矛盾是指两个永远不可能同时为真的命题，例如P与¬P；对偶是指两个命题在真值表中互相对应的关系，当一个命题为真时，对应的命题为假，反之亦然。
5. 充分条件和必要条件：如果P→Q，那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
这是逻辑学中常用的推理规则，也是数学中常用的方法。
三、逻辑命题的推理规则1. 永真命题和矛盾命题：永真命题是指在任何情况下都为真的命题，例如P∨¬P；矛盾命题是指在任何情况下都为假的命题，例如P∧¬P。
2. 排中律和否定律：排中律指的是任何命题要么为真，要么为假；否定律指的是任何命题的否定都是假。
逻辑学基础知识点导图总结
逻辑学基础知识点导图总结导图一：逻辑学基础知识概述- 逻辑学定义与范畴- 逻辑学的研究对象与目的- 逻辑学的历史渊源- 逻辑学的发展现状与前景导图二：命题逻辑- 命题及其分类- 命题的逻辑联结词- 命题联结词的真值表- 命题联结词的逻辑等值演算- 命题的逻辑等值式- 命题逻辑的推理规则导图三：谓词逻辑- 谓词及其分类- 谓词逻辑的语言- 谓词逻辑中的量词- 谓词逻辑的真值表- 谓词逻辑的语法结构- 谓词逻辑的推理规则导图四：命题与谓词逻辑的关系- 命题逻辑与谓词逻辑的对比- 命题逻辑与谓词逻辑的转换- 命题逻辑与谓词逻辑的应用导图五：逻辑演绎- 演绎推理的基本结构- 演绎推理的形式与内容- 演绎推理的规则与方法- 演绎推理的应用领域导图六：逻辑归纳- 归纳推理的基本结构- 归纳推理的形式与内容- 归纳推理的规则与方法- 归纳推理的应用领域导图七：逻辑谬误- 逻辑谬误的概念与分类- 逻辑谬误的原因与问题- 逻辑谬误的检测与排除- 逻辑谬误的修正与改进导图八：逻辑推理与实践- 逻辑推理的实践意义- 逻辑推理的应用范畴- 逻辑推理的现实影响- 逻辑推理的未来发展逻辑学基础知识点总结逻辑学是研究思维、推理和认识规律的学科，它通过对思维规律的研究，帮助人们提高思维能力、推理能力和判断能力。
逻辑学的发展经历了命题逻辑和谓词逻辑两个阶段，它们分别研究命题之间的关系和谓词之间的关系，并在实际应用中发挥重要作用。
在命题逻辑中，命题是对事物或观点的表述，通过不同的逻辑联结词组合成复合命题，根据不同的真值表来确定其真假，通过逻辑等值式和推理规则进行推理。
谓词逻辑是对个体和属性的描述，引入量词和谓词来描述性质和关系，通过真值表和推理规则来进行推理。
命题逻辑和谓词逻辑之间有密切的联系，它们在应用中常常相互转化，丰富了逻辑学的研究内容。
逻辑分类是逻辑学中一个重要的研究领域，通过对演绎推理和归纳推理的研究，帮助人们更好地理解事物，提高认识水平。
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的⽅法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在⾃然推理系统P中构造证明4. ①⾃然推理系统P的定义②⾃然推理系统P的推理规则：前提引⼊规则、结论引⼊规则、置换规则、假⾔推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假⾔三段式规则、构造性⼆难规则、合取引⼊规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，⽤②；在P系统中构造证明时⽤③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种⽅法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会⽤附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意⼀组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
⼆、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重⾔式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重⾔式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从⽽推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同⼀样是⼀种元语⾔符号，⽤来表⽰蕴涵式为重⾔式。
推理必背知识点总结
推理必背知识点总结一、命题推理1. 命题和命题演算命题是陈述语言的有真假性的陈述。
命题演算是对命题进行逻辑演算的方法。
常见的命题演算方法有合取、析取、条件命题和双条件命题。
2. 命题的连接词命题的连接词是逻辑运算符号，包括合取命题的∧、析取命题的∨、条件命题的→和双条件命题的↔。
3. 命题的混合连接当多个命题混合连接在一起时，需要注意连接词的优先级和括号的使用。
例如：(p∧q)∨r，先计算括号内的命题，再计算整个命题的值。
4. 命题的真值表真值表是对于给定的若干命题，列出所有可能情况下的真值的表格。
通过真值表可以判断复合命题在各种情况下的真假性。
5. 命题的推理基于命题演算的推理方法包括：简单推理、析取范式、合取范式、命题条件和德摩根定律等。
通过这些方法，可以得出结论，解决问题。
二、谬误推理1. 谬误的概念谬误是指在推理过程中出现的错误。
谬误分为形式谬误和实质谬误。
2. 形式谬误形式谬误是推理的结构不当或不完整，从而导致结论无法成立的错误。
如：偷换概念、假设不当、悖论等。
3. 实质谬误实质谬误是推断的前提不实或逻辑错误，导致结论不成立的错误。
如：抽象谬误、依据谬误、偷换概念等。
4. 谬误的检验和纠正检验谬误要对推理过程进行批判性思考，检查前提是否成立，结论是否合理。
纠正谬误需要重新分析问题，发现并修正推理过程中的逻辑错误。
三、数理逻辑1. 命题逻辑和谓词逻辑命题逻辑是处理命题间关系的逻辑。
谓词逻辑是对命题中的元素进行描述和关系的逻辑。
2. 命题逻辑的基本命题形式基本命题形式包括命题的合取、析取、条件命题和双条件命题。
3. 范式和析取范式范式是用合取命题和析取命题来表示一个复合的命题。
析取范式是用析取式来表示一个命题。
4. 命题逻辑的推理通过范式和析取范式，可以进行复杂命题的推理和逻辑演算。
5. 谓词逻辑的概念谓词逻辑是一种用来描述元素和关系的逻辑，主要包括：函项、量词、命题变元、量化和谓词符号等。
命题逻辑的推理理论,证明方法演示课件
(2) P 1 (P2 P 1) (3) (P 1 P2) (P 1 P 1)
L1 MP规L2则
L1 (1)、(2)，MP L1 (3)、(4)，MP
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例10 证明 ├L AA
[证] (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA))
(2) A((AA)A) (3) (A(AA))(AA) (4) A(AA) (5) AA
• 课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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应用实例2 将下列条件作为前提，验证所得结论是 否有效：
(a) 明天或是天晴，或是下雨； (b) 如果是天晴，我去公园； (c) 如果我去公园，我就不看书。 结论：如果我在看书，则天下雨。
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3、演绎定理
例11 证明 A ,B (A C )├L (BC)
[证] (1) B (A C)
假设
(2) (B (A C)) ((B A) (B C)) L2
(3) (B A) (B C)
(1)、(2)，MP
(4) A (B A) (5) A (6) (B A) (7) (B C)
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例8 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p ；结论: q
证明：用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
命题逻辑的推理规则和证明方法
命题逻辑的推理规则和证明方法命题逻辑是一种对简单命题和命题之间关系的形式化推理系统，广泛应用于数学、计算机科学和哲学等领域。
在命题逻辑中，推理规则和证明方法被用来推导出真实或假设的命题之间的关系。
本文将介绍命题逻辑的一些常见推理规则和证明方法。
1. 推理规则命题逻辑的推理规则是用来推导命题之间关系的规则。
以下是一些常见的推理规则：（1）析取引入规则（Disjunction Introduction Rule）：如果命题P 成立，则P或Q成立。
表示为P -> (P ∨ Q)。
（2）析取消去规则（Disjunction Elimination Rule）：如果P或Q 成立，且根据P和Q均能推导出命题R，则R成立。
表示为((P ∨ Q), (P -> R), (Q -> R)) -> R。
（3）合取引入规则（Conjunction Introduction Rule）：如果P和Q 成立，则P且Q成立。
表示为(P, Q) -> (P ∧ Q)。
（4）合取消去规则（Conjunction Elimination Rule）：如果P且Q 成立，则P和Q均成立。
表示为(P ∧ Q) -> (P, Q)。
（5）蕴含引入规则（Implication Introduction Rule）：如果根据P 能推导出Q，则P蕴含Q成立。
表示为((P -> Q) -> Q) -> (P -> Q)。
（6）蕴含消去规则（Implication Elimination Rule）：如果P和P蕴含Q成立，则Q成立。
表示为((P, (P -> Q)) -> Q)。
2. 证明方法证明是在命题逻辑中用于证明命题之间关系的方法。
以下是一些常见的证明方法：（1）直接证明法：假设前提命题成立，通过适当的推理规则证明出结论命题成立。
这种方法常用于证明蕴含关系。
（2）间接证明法（反证法）：假设结论命题不成立，通过适当的推理规则推导出与已知事实相矛盾的命题，从而得出结论命题成立的结论。
命题之间的逻辑关系
命题之间的逻辑关系是指不同命题之间的相互关系，包括推理关系、对比关系、并列关系等。
这些关系是构成逻辑推理的基本要素，能够帮助我们更加准确地理解语言表达和进行合理的推理。
一、推理关系推理关系是指从一个或多个前提出发，根据某种逻辑规则得出结论的关系。
具体包括三种类型：假言推理、演绎推理和归纳推理。
1. 假言推理假言推理又称条件推理，是从条件命题中推出结论的推理方式。
其中条件命题由两个部分组成：前件和后件。
例如：“如果今天下雨，那么路上会很滑。
”在这个命题中，“今天下雨”就是前件，“路上会很滑”就是后件。
假言推理的形式如下：如果 A，则 BA因此，B例如：如果今天下雨，那么路上会很滑。
今天下雨。
因此，路上很滑。
2. 演绎推理演绎推理又称直接推理，是从普遍命题和特殊命题中推出结论的推理方式。
这种推理方式常被用于证明定理等数学科学领域。
演绎推理的形式如下：所有 A 都是 BC 是 A因此，C 是 B例如：所有狗都会叫。
小华的宠物狗也会叫。
因此，小华的宠物狗是狗。
3. 归纳推理归纳推理是从个别命题中推出普遍命题的推理方式。
这种推理方式常被用于实证科学领域。
归纳推理的形式如下：B 出现在 A 的许多实例中。
因此，B 是 A 的属性。
例如：我见过的所有猫都会爬树。
因此，猫是会爬树的动物。
二、对比关系对比关系是指不同命题之间相互对比、相互区别的关系。
具体包括两种类型：反义对比和比较对比。
1. 反义对比反义对比是通过命题之间的矛盾来表达相互对比的关系。
例如：“他是一个好人，而他是一个坏人。
”这个命题中，“好人”与“坏人”就是反义对比的两个概念。
2. 比较对比比较对比是通过对两个或多个命题进行比较来表达相互对比的关系。
例如：“这家餐馆的菜比那家餐馆的菜好吃。
”在这个命题中，“这家餐馆的菜”和“那家餐馆的菜”就是比较对比的两个概念。
三、并列关系并列关系是指具有同等重要性的命题之间的关系。
具体包括两种类型：交叉并列和并列递进。
推理的形式结构
2024/3/18
2
说明：
1)前提A1, A2, … , Ak无次序，
2）推理的形式结构: A1A2…AkB
或
前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
3）若推理正确，则记作：A1A2…AkB
2024/3/18
3
4) (1) A1A2…Ak为0,B为0;
(2)结论引入规则（Ｔ规则）: 在推导过程中, 前面已推导出的有效结论（“中间
结果”）都可作为后续推导的前提引入。
(3)置换规则（等值式）:在证明的任何步骤,命题公式中的子公式都可以用等值的
公式置换。得到公式序列中的又一个公式。(P21-P22)
(4)假言推理规则(或分离规则):若证明的公式序列中已出现过A→B和A,则由假言
构造性二难推理
9. (A → B) ∧ (C → D) ∧ ( B ∨ D) (A ∨ C)
破坏性二难推理
2024/3/18
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说明 ：
1)把具体的命题公式代入某条推理定律后就得到这条推理定律的一个代入
实例。且都是重言式。例如 ppq（代入1附加律AA B）,
pq (pq) r （代入1）,p p
用构造证明时, 采用——前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B.
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例1 判断下面推理是否正确
(1) 若今天是1号，则明天是5号。今天是1号，所以明天是5号。
设 p：今天是1号，q：明天是5号。推理的形式结构为: (pq)pq
证明：（用等值演算法）
(pq)pq
• 解:
① ∨
②→
P
T,①置换(蕴含等价式)
③ ∨
命题逻辑的推理理论
精品课件
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
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说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
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离散数学基础2017-11-17•推理的形式结构−例：»前提1: 如果今天是周五，那么我们有数理逻辑课。
»前提2: 今天是周五。
»结论: 今天我们有数理逻辑课。
»形式化：P：今天是周五。
Q：今天我们有数理逻辑课。
»前提1：P→Q»前提2：P»结论：Q•定义：条件式推理结构−将例子中的两个前提记为 (P→Q)∧P，结论记为 Q，上述推理过程可表述为：(P→Q)∧P|→ Q 或 (P→Q)∧P├ Q称为条件式推理结构。
−记号 ”├” 读成 ”推出”−(P→Q)∧P├ Q 经常写成 (P→Q), P├ Q•定义：推理结构的有效性−设命题公式 H、C，若当 H 为真时，C 必为真，则称推理结构 H├ C 是有效的（或是正确的） 推理形式。
否则，称推理结构 H├ C 不是有效的（或是无效的）推理形式。
»H├ C 有效，即在 H 上的任何令 H 的真值为 T 的解释下，C 的真值均为 T。
»H├ C 无效，即至少存在一个令 H 的真值为 T 而 C的真值为 F 的解释。
»推广到有 n 个前提 H1, H2, …, H n 的情形，可令H= H1∧H2∧ …∧H n将推理的形式结构写成 H├ C；如果定义 Γ = {H1, H2, …, H n}，可写成 Γ├ C。
−例： P, (P→Q)├ Q 是有效的推理结构。
»由下面的真值表可见，穷尽所有的解释，只有第4行令 P∧(P→Q)=T。
而对应此解释，Q=T。
P Q P→Q P∧(P→Q)F F T FF T T FT F F FT T T T−例： ¬Q, (P→Q)├ ¬P 是有效的推理结构。
»由真值表可见，只有第1行解释令 ¬Q∧(P→Q)=T。
而对应此解释， ¬P =T 。
P Q¬Q P→Q¬Q ∧(P→Q)¬PF F T T T TF T F T F TT F T F F FT T F T F F−例： ¬P, (P→Q)├¬Q 不是有效的推理结构。
»由其真值表可见，存在第2行解释令 ¬P∧(P→Q)=T。
而对应此解释，¬Q =F 。
P Q¬Q P→Q¬PF F T T TF T F T TT F T F FT T F T F•定义：逻辑推出/重言蕴涵−当 H├ C 有效时，可写成 H ⇒C，称 H 逻辑推出 C，或说 C 是 H 的逻辑推论（有效结论），或 H 重言蕴涵 C。
−注意到 H ⇒C 描述了公式 H 和 C 之间的一种真值联系，但 ”⇒” 不是连接词，”H ⇒C” 也不是合式公式。
•重言蕴涵的若干性质：−若 A ⇒B，且 A 为重言式，则 B 也为重言式。
−若 A ⇒B，且 B ⇒A，则 A⇔B。
−若 A ⇒B，且 B ⇒C，则 A ⇒C。
−若 A ⇒B，且 A ⇒C，则 A ⇒B∧C。
−若 A ⇒C，且 B ⇒C，则 A∨B ⇒C。
−性质的证明：从重言蕴涵的定义可以直接对上述性质进行验证。
•定理：演绎定理−设有命题公式 H1, H2, …,H n, C，则推理形式 H1, H2, …, H n├ C 是有效的当且仅当命题形式 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式。
−演绎定理的证明：⇒ 对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，由于 H1, H2, …, H n├ C 是有效的，必须 C=1，此时 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C = 1；对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=0 的解释， H1∧H2 ∧ …∧H n→ C=1。
故 H1∧H2∧ …∧H n→ C 是重言式。
⇐ 对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，由于 H1∧H2∧ …∧H n→ C 是重言式，必须 C=1，所以 H1, H2, …, H n├ C 是有效的。
•定理：演绎定理−推论：上述 H1, H2, …, H n├ C 有效当且仅当 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式。
−推论的证明：只需证明命题形式 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式当且仅当 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式。
⇒ 若 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式：对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，C=1，即 ¬C=0，此时 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C=0；对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=0 的解释，H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C=0。
故 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式。
⇐ 若 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式：对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=1 的解释，必须 ¬C=0，即 C=1，此时 H1∧H2 ∧ …∧H n→ C=1；对于那些令 H1∧H2 ∧ …∧H n=0的解释， H1∧H2 ∧ …∧H n→ C=1。
故H1∧H2 ∧ …∧H n→ C 是重言式。
•常用的推理公式/推理定律−下面是常用的14条有效的推理结构，也称推理定律或推理公式。
其正确性可以利用真值表加以验证。
(1) P∧Q ⇒ P 化简(2) ¬(P→Q) ⇒ P(3) ¬(P→Q) ⇒ ¬Q(4) P ⇒ P∨Q 附加(5) ¬P ⇒ P→Q(6) Q ⇒ P→Q(7) ¬P∧(P∨Q) ⇒ Q 析取三段论(8) P∧(P→Q) ⇒ Q 假言推理/分离规则(9) ¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P 拒取式(10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒ (P→R) 假言三段论(11) (P↔Q)∧(Q↔R) ⇒ (P↔R) 等价三段论(12) (P→R)∧(Q→R) ⇒ ((P∨Q)→R) 二难推论(13) (P→Q)∧(R→S)∧(P∨R) ⇒ (Q∨S) 构造性二难推论(14) (P→Q)∧(R→S)∧(¬Q∨¬S) ⇒ ¬P∨¬R 破坏性二难推论•证明 A ⇒B 的方法−真值表法：列出真值表，证明 A→B 是重言式，再利用演绎定理得证 ；−解释法：设 A=1，对使得 A=1 的所有解释，论证 B 在这些解释下只能取真值1；−反证法1：设 B=0，论证 A=0；−反证法2：论证 A∧¬B 是矛盾式；−公式演算法：利用命题定律和推理公式进行演算，得到结果。
•定义：相容公式−设公式 H1, H2, …, H n，若至少存在一个解释，使得 H1∧H2∧…∧H n=1，则称 H1, H2, …, H n 是相容的或一致的，否则称之为不相容的。
−H1, H2, …, H n 相容即 H1∧H2 ∧ … ∧ H n 是可满足的；−H1, H2, …, H n不相容意味着 H1 ∧ H2 ∧ … ∧H n 是矛盾的。
•定义：推理规则−推理规则是从前提导出结论的推导过程中所依据的合理约定。
包括：(1) P 规则（前提引入规则）：前提可视需要引入使用。
(2) T 规则（结论引入规则）：前面已经导出的有效结论都可以作为后续推导的前提引入。
(3) CP 规则（条件证明引入规则）：形如 H├ R→C 的有效性证明等价于形如H∧R├ C 的有效性证明。
(4) 代入规则：对重言式的命题变量可以适当地使用重言代入规则。
(5) 置换规则：对公式的子式可以适当地使用等值置换规则。
(6) 分离规则：即推理定律(8)中的假言推理定律。
•定理：CP 规则：H ⇒R→C 当且仅当 H∧R ⇒C−证明： H→(R→C) ⇔ H→(¬R∨C)⇔ ¬H∨(¬R∨C)⇔ (¬H∨¬R)∨C⇔ ¬(H∧R)∨C⇔ (H∧R)→C−即 H→(R→C) 是重言式当且仅当 (H∧R)→C 是重言式。
−由演绎定理得：H ⇒R→C 当且仅当 H∧R ⇒C•定理：反证法−若 H1, H2, …, H n 相容，则 H1, H2, … , H n, ¬C 不相容当且仅当 H1, H2, …, H n ⇒ C −证明：»演绎定理推论：上述 H1, H2, …, H n├ C 有效当且仅当 H1∧H2 ∧ …∧H n∧¬C 为矛盾式。
»利用演绎定理的推论容易得证。
•推理规则总结：−前提引入（P）−结论引用（T）−条件证明（CP）−重言代入（{A/p}）−等价置换（E）（灵活应用命题定律）−分离规则（I8）−其他推理定律（I k）•定义：演绎证明−从前提 H1, H2, …, H n 推出结论 C 的一个演绎证明是构造命题公式的一个有限序列 A1, A2, …, A m ，其中：(1) A1= H i (1≤ i ≤ n)(2) 对任一 j ≥ 2，A j 的形成为：① 存在 k (1 ≤ k ≤ n) ，使得 A j= H k ；或② 存在 1 ≤ j1< j2<…< j s< j，使得 A j1, A j2, …, A j s ├ A j 有效(3) A m = C−此时称 C 为该演绎的有效结论，或称从 H1, H2, …, H n 演绎出 C。
•例：证明 P→Q, Q→R, P ⇒ R−证：(1)P 前提引入 P(2)P→Q 前提引入 P(3)Q 引用(1)(2)分离 T(1)(2),I(4)Q→R 前提引入 P(5)R 引用(3)(4)分离 T(3)(4),I•例：证明 (P→Q)∧(R→S)∧(P∨R) ⇒ Q∨S−证：(1)P∨R P(2)¬P→R T(1),E(3)R→S P(4)¬P→S T(2)(3),I(5)¬S→P T(4),E(6)P→Q P(7) ¬S→Q T(5)(6),I(8) S∨Q T(7),E(9) Q∨S T(8),E•例：应用反证法，证明 P→Q, ¬(Q∨R) ⇒ ¬P−证：应用反证法，只需证明 P→Q, ¬(Q∨R), P ⇒ 0(1)P P(2)P→Q P(3)Q T(1)(2),I(4)¬(Q∨R) P(5)¬Q∧¬R T(4),E(6)¬Q T(5),I(7)Q∧¬Q T(3)(6),I(8)0 T(7),E•例：应用CP规则，证明 P→(Q→S), ¬R∨P, Q ⇒ R→S −应用CP规则，只需证明 P→(Q→S), ¬R∨P, Q, R ⇒ S(1)¬R∨P P(2)R→P T(1),E(3)R P(4)P T(2)(3),I(5)P→(Q→S) P(6)Q→S T(4)(5),I(7)Q P(8)S T(6)(7),I•例：证明 ¬(P→Q)→¬(R∨S), (Q→P)∨¬R, R ⇒ P↔Q −只需证明 ¬(P→Q)→¬(R∨S), (Q →P)∨¬R, R, ¬(P↔Q)⇒ 0(1)¬(P↔Q) P(2)¬((P→Q)∧(Q→P) T(1),E(3)¬(P→Q)∨¬(Q→P) T(2),E(4)(Q→P)→¬(P→Q) T(3),E(5)¬(P→Q)→¬(R∨S) P(6)(Q→P)→¬(R∨S) T(4)(5),I(7)(Q→P)∨¬R P(8)R→(Q→P) T(7),E(9)R→¬(R∨S) T(7)(8),I(10)R P(11)¬(R∨S) T(9)(10),E(12)¬R∧¬S T(11),E(13)¬R T(12),I(14)¬R∧R T(10)(13),I(15)0 T(14),E 下一单元内容提示−命题逻辑公式的自然演绎系统。