2019年上海市行知中学高一(上)10月月考数学试卷(详细解析)
2019-2020年高一上学期10月月考数学试卷含解析 (III)
2019-2020年高一上学期10月月考数学试卷含解析(III)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题卡相应横线上）1．已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B=__________．2．U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，则p+q=__________．3．若集合P={x|2x﹣a＜0}，Q={x|3x﹣b＞0}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，则满足条件的整数对（a，b）的个数为__________．4．设函数f（n）=k（n∈N*），k是π的小数点后的第n位数字，π=3.1415926535…，则f（f （f[f（10）））=？=__________．5．函数的定义域为__________．6．若函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为__________．7．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f （x）＜0的解集是__________．8．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2﹣a），则实数a的取值范围是__________．9．定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x﹣2）sgnx的解集是__________．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+3x﹣1，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=__________．11．若函数f（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，则k的取值范围是__________．12．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣2.1]=﹣3，[﹣2]=﹣2，[2.2]=2，如果x∈[﹣2，0]，那么y=f（x）的值域为__________．13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是__________．14．已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分，应写出必要的文字说明和解题步骤）15．（14分）（1）已知P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|ax﹣2=0}，Q⊆P，求a的值．（2）已知A={x|2≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+5}，B⊆A，求m的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=2，f（2）=．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当0＜x＜1时，用函数单调性的定义研究函数f（x）的单调性．17．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（4﹣2a）x+a2+1．（1）若f（x+2）是偶函数，求a的值；（2）设P=[f（x1）+f（x2）]，Q=f（），且x1≠x2，试比较P与Q的大小；（3）是否存在实数a∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R．（1）当a=2时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；（2）试讨论f（x）的奇偶性；（3）当x∈R时．求f（x）的最小值．2014-2015学年江苏省苏州五中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题卡相应横线上）1．已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B=（﹣2，2）．【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），根据并集的定义进行求解．【解答】解：∵集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），A∪B=（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．【点评】本题主要考查并集及其运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题目．2．U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，则p+q=0．【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】根据全集U及A的补集，确定出A，求出p与q的值，即可求出p+q的值．【解答】解：∵U={1，2}，A={x|x2+px+q=0}，∁U A={1}，∴A={2}，即方程x2+px+q=0有两个相等根2，∴﹣p=2+2，q=2×2，即p=﹣4，q=4，则p+q=0．故答案为：0【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的运算是解本题的关键．3．若集合P={x|2x﹣a＜0}，Q={x|3x﹣b＞0}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，则满足条件的整数对（a，b）的个数为6．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由集合P={x|x＜}，Q={x|x＞}，得P∩Q={x|＞x＞}，由P∩Q∩N={1}，a，b∈N，可得1＜≤2，1＞≥0，故a=3或4，b=0，1，2．【解答】解：∵集合P={x|2x﹣a＜0}={x|x＜}，Q={x|3x﹣b＞0 }={x|x＞}，a，b∈N，且P∩Q∩N={1}，∴P∩Q={x|＞x＞}，∴1＜≤2，1＞≥0，∴2＜a≤4，0≤b＜3，∴a=3或4，b=0，1，2，故满足条件的整数对（a，b）的个数为6，故答案为6．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，解不等式，求得a=3或4，b=0，1，2，是解题的关键．4．设函数f（n）=k（n∈N*），k是π的小数点后的第n位数字，π=3.1415926535…，则f（f （f[f（10）））=？=1．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先由题设条件推导出f（f（f[f（10）））=1，由此可以推导出的值．【解答】解：∵f（f（f（f（10））））=f（f（f（5）））=f（f（9））=f（3）=1．∴=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要结合题设条件，注意公式的合理选用．5．函数的定义域为（﹣2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据影响函数定义域的因素为分母不为零和偶次被开方式非负，即可得到不等式﹣x2+x+6＞0，借此不等式即可求得结果．【解答】解：要是函数有意义，须﹣x2+x+6＞0，解得﹣2＜x＜3，∴函数的定义域为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）【点评】本题考查已知函数的解析式求函数的定义域问题，判断影响函数定义域的因素列出不等式（组）是解题的关键，属基础题．6．若函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为[﹣1，0]．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】当m=0时，满足条件；当m＞0时，y=mx2+（m﹣1）x+3开口向上，在[﹣1，+∞）上不为减函数，不成立；当m＜0时，求出y=mx2+（m﹣1）x+3的对称轴x=，结合抛物线的开口方向和单调性可知，由此能够求出实数m的取值范围．【解答】解：当m=0时，y=﹣x+3在R上是减函数，满足条件．当m＞0时，抛物线y=mx2+（m﹣1）x+3开口向上，在[﹣1，+∞）上不为减函数，∴m＞0不成立．当m＜0时，抛物线y=mx2+（m﹣1）x+3开口向下，对称轴为x=，由函数y=mx2+（m﹣1）x+3在[﹣1，+∞）上为减函数，可知，解得﹣1≤m＜0．综上所述，m∈[﹣1，0]．故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查函数的单调性及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f （x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）．【考点】函数的图象．【专题】图表型；数形结合；数形结合法．【分析】本题是一个研究奇函数对称性及函数图象的位置与函数值符号对应关系的题，可先补全函数在定义域上的图象，再由图象观察出不等式的解集，给出正确答案【解答】解：由于奇函数关于原点对称，故函数（x）在定义域为[﹣5，5]的图象如右图由图象知不等式f（x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）故答案为：[﹣5，﹣2）∪（0，2）【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是理解函数图象的数字特征，本题的重点是利用函数的图象解不等式，难点是根据函数的奇函数的性质作出对称区间上的函数的图象来，对函数图象的考查是新教材实验区高考考试的热点，近几年明显加强了对图形的考查，学习时要注意归纳此类题的解题规律8．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2﹣a），则实数a的取值范围是a≥1．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先根据偶函数在其对称的区间上单调性相反求出函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，然后根据f（x）=f（﹣x）=f（|x|）将f（a）≤f（2﹣a）转化成f（|a|）≤f（|2﹣a|），根据单调性建立关系式，解之即可求出a的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）=f（﹣x）=f（|x|）∵f（a）≤f（2﹣a），∴f（|a|）≤f（|2﹣a|），根据函数y=f（x）在（0，+∞）上是减函数，则|a|≥|2﹣a|，解得a≥1故答案为a≥1【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，解题的关键将f（a）≤f（2﹣a）转化成f（|a|）≤f（|2﹣a|）进行求解，属中档题．9．定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x﹣2）sgnx的解集是（﹣，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；新定义；分类讨论．【分析】根据题中已知的符号函数的定义可分x大于0，等于0，小于0三种情况考虑sgnx 的值，分别代入到不等式，分别求出解集，然后求出各解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x＞0时，f（x）=sgnx=1，不等式x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞x﹣2，解得x为全体实数，则不等式的解集为：x＞0；当x=0时，f（x）=sgnx=0，不等式x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞1，解得x＞﹣1，所以不等式的解集为：x=0；当x＜0时，f（x）=sgnx=﹣1，x+2＞（x﹣2）sgnx变为x+2＞（x﹣2）﹣1，即（x+2）（x﹣2）＜1，化简得x2＜5，解得﹣＜x＜．综上，不等式的解集为：（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）【点评】本题考查不等式的解法，分类讨论思想及新定义的运用，是基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+3x﹣1，则当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=f（x）=﹣x2+3x+1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求得f（﹣x），由奇函数的性质可得f（x）与f（﹣x）的关系，从而可求出f（x）．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2+3（﹣x）﹣1=x2﹣3x﹣1．又f（x）是R上的奇函数，所以当x＜0时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+3x+1．故答案为：f（x）=﹣x2+3x+1．【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．11．若函数f（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，则k的取值范围是[0，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的单调性的性质进行求解即可．【解答】解：若f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则满足2+k≥1+1，即k≥0，故答案为：[0，+∞）【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣2.1]=﹣3，[﹣2]=﹣2，[2.2]=2，如果x∈[﹣2，0]，那么y=f（x）的值域为{0，1，2，3，4}．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】利用题中条件：“[x]表示不超过x的最大整数”，对区间[﹣2，0]中的x进行分类讨论，从而求出相应的函数值即可．【解答】解析：x=0时，[0]=0，f（x）=0；﹣1＜x＜0时，[x]=﹣1，0＜x[x]＜1，所以f（x）=[x[x]]=0；x=﹣1时，[x]=﹣1，所以f（x）=[x[x]]=1；同理，﹣1.5＜x＜﹣1时，f（x）=2；﹣2＜x≤﹣1.5时，f（x）=3；x=﹣2时，f（x）=4．故答案为：{0，1，2，3，4}．【点评】本小题主要考查整数、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力、创新能力．属于基础题．13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增；然后把a分成a≤2与a＞2两种情况分别进行检验；最后得到只有a≤2时，才满足f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增的结论．【解答】解：由题意知f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．（1）当a≤2时，若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，此时＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；（2）当a＞2时，①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；②若x∈[2，a），则f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[，a）上是递减的，因此f（x）在[2，a）上必有递减区间．综上可知a≤2．故答案为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了函数单调性的定义，同时考查了分类讨论的思想方法．14．已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】压轴题．【分析】本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化．二、解答题（本大题共6小题，共90分，应写出必要的文字说明和解题步骤）15．（14分）（1）已知P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|ax﹣2=0}，Q⊆P，求a的值．（2）已知A={x|2≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+5}，B⊆A，求m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出集合P，讨论a=0与a≠0两种情形，根据集合Q是集合P的子集，建立等式关系，求出a即可；（2）讨论m+1与2m+5的大小关系，然后根据集合B是集合A的子集，建立等式关系，求出满足条件的m即可．【解答】解：（1）由已知得P={1，2}．当a=0时，此时Q=∅，符合要求当a≠0时，由得a=2；..由得a=1，所以a的取值分别为0、1、2..（2）①当m+1＞2m+5时B=∅，符合要求，此时m＜﹣4当B≠∅时，②当m+1=2m+5时，求得m=﹣4，此时B=﹣3，与B⊆A矛盾，舍去；③当m+1＜2m+5由题意得m+1≥2且2m+5≤3解得m为∅，（13分）综上所述，所以m的取值范围是（﹣∞，﹣4）..（14分）【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．16．（14分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（1）=2，f（2）=．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当0＜x＜1时，用函数单调性的定义研究函数f（x）的单调性．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为奇函数，容易得出c=0，而根据便可建立关于a，b的二元一次方程组，从而可以解得a=b=1，从而得出f（x）的表达式；（2）先得到f（x）=x，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，然后作差，是分式的通分，并且提取公因式x1﹣x2，这样便可判断f（x1）与f（x2）的关系，从而得出f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x）是奇函数；∴；∴c=﹣c；∴c=0；∴，；∴；∴a=1，b=1；∴；（2）；设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2则：=；∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，1；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，1）上单调递减．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差比较f（x1），f（x2）的方法，作差后，是分式的要通分，并且一般需提取公因式x1﹣x2．17．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；作差法．【分析】（1）利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；（2）计相关方案．作差法比较年利润y1，y2的大小，设确定【解答】解：（1）y1=10x﹣=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈Ny2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N（2）∵6≤m≤8∴10﹣m＞0∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+4600≤x≤120，x∈N∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）（y1）max﹣（y2）max=1980﹣200m﹣460=1520﹣200m当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．【点评】考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）∴对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x﹣1）2+1又f（0）=3∴a=2∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1∴（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立化简得m＜x2﹣3x+1设g（x）=x2﹣3x+1则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1∴m＜﹣1【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属简单题19．（16分）已知函数f（x）=x2+（4﹣2a）x+a2+1．（1）若f（x+2）是偶函数，求a的值；（2）设P=[f（x1）+f（x2）]，Q=f（），且x1≠x2，试比较P与Q的大小；（3）是否存在实数a∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）先求出f（x+2）的解析式，根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出P﹣Q的表达式，变形整理成完全平方式，从而判断出结论；（3）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而判断出函数的单调性，得到函数的最小值的表达式，解出a的值即可．【解答】解：（1）f（x+2）=（x+2）2+（4﹣2a）（x+2）+a2+1=x2+（8﹣2a）x+a2﹣4a+13，若f（x+2）是偶函数，则8﹣2a=0，解得：a=4；（2）P﹣Q=[f（x1）+f（x2）﹣f （）=[x12+（4﹣2a）x1+a2+1+x22+（4﹣2a）x2+a2+1]﹣[+（4﹣2a）（x1+x2）+a2+1] =＞0，∴P＞Q．（3）设存在这样的a，由于0≤a≤8，∴﹣2≤a﹣2≤6，①若﹣2≤a﹣2＜0，即0≤a＜2，则f（x）在[0，4]上为增函数，∴f（0）=a2+1=7，解得：a=；②若0≤a﹣2≤4，即2≤a≤6，则f（a﹣2）=（a﹣2）2+（4﹣2a）（a﹣2）+a2+1=7，化简得4a﹣11=0，解得a=，综上，存在a=﹣1满足条件，③若4＜a﹣2≤6，即6＜a≤8，则f（x）在[0，4]为减函数，∴f（4）=16+4（4﹣2a）+a2+1=7，无解，综上，存在实数a=或∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的奇偶性、单调性问题，考查分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R．（1）当a=2时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；（2）试讨论f（x）的奇偶性；（3）当x∈R时．求f（x）的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）当a=2时，f（x）=x2+|x﹣2|+1=，从而判断函数的奇偶性及求函数的最小值；（2）可知f（﹣x）=x2+|x+a|+1，从而可知若函数为偶函数，则|x+a|=|x﹣a|，从而解得，不说明a≠0时的情况即可；（3）化简f（x）=；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最小值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2+|x﹣2|+1=，∵f（﹣2）=9，f（2）=5；∴函数f（x）是非奇非偶函数；当x≤2时，x=时有最小值f（）=；当x＞2时，f（x）＞f（2）=5；故函数的最小值为．（2）∵f（x）=x2+|x﹣a|+1，∴f（﹣x）=x2+|x+a|+1，若函数为偶函数，|x+a|=|x﹣a|，解得，a=0；当a≠0时，x2+|x﹣a|+1≠x2+|x+a|+1，故函数为非奇非偶函数；综上所述，当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数；（3）f（x）=；①当a＜时，f（x）在（﹣∞，a）上是减函数，故f（x）＞f（a）=a2+1；在（a，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故f（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（﹣）=﹣a+；②当﹣≤a≤时，f（x）在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（a）=a2+1；③当a＞时，f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在[，+∞）上是增函数；故f（x）有最小值f（）=a+；综上所述，当a＜时，f（x）有最小值f（﹣）=﹣a+；当﹣≤a≤时，f（x）有最小值f（a）=a2+1；当a＞时，f（x）有最小值f（）=a+．【点评】本题考查了绝对值函数与分段函数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简与判断都比较困难，属于难题．。
【上海市重点中学】2019-2020年行知中学高一上10月月考数学试卷含答案
1行知中学高一上10月月考一. 填空题1. 已知集合2{9,,1}A x x =-+，集合2{1,2}B x =，若{2}A B =I ，则x 的值为2. 已知,x y ∈R ，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是 命题（填“真”或“假”）3. 设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若A B B =I ，则实数a 组成的集合是4. 已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是5. 若{|}A x x a =<，{23}B x =-<<，则A B =R R U ð，则实数a 的范围是6. 已知集合2{|1,}M y y x x ==-∈R ，2{|3}N x y x ==-，则M N =I7. “112x <”是“2x >”的 条件 8. 设集合{(,)|1}U x y y x ==+，3{(,)|1}2y A x y x -==-，U A =ð 9. 已知关于x 的不等式22+0ax x c +>的解集为11()32-，，其中,a x ∈R ，则关于x 的不等式220cx x a -+->的解集是10. 若关于x 的不等式221)2(1)30a x a x ---+>（对一切实数x 都成立，则实数a 的取2值范围是11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧*=⎨->⎩，若{1,2}A =，22{|()(2)0}B x x ax x ax =+++= ，1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =12. 已知有限集123{,,,,}n A a a a a =⋅⋅⋅(2)n ≥，如果A 中元素i a (1,2,3,,)i n =⋅⋅⋅满足12123n n a a a a a a a ⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+，就称A 为“复活集”，给出下结论：① 集合1515{}-+--是“复活集”； ② 若12,a a ∈R ，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >；③ 若12,a a ∈*N ，且12{,}a a 不可能是“复活集”；④ 若1a ∈*N ，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =；其中正确的结论是 （填上你认为所有正确的结论序号）二. 选择题13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论正确的是（ ）A. Q P ⊆B. P Q =∅IC. P Q ≠∅ID. P Q P ≠I314. 集合P 具有性质“若x P ∈，则1P x∈”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合 11{1,0,,,1,2,3,4}32A =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A. 3B. 7C. 15D. 3115. 已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（ ）① 若22ac bc >，则a b >；② 若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-；③ 若0a b c >>>，则a a cb b c+>+；④ 若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >.A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b ϕ22a b a b =+-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的 （ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要三. 解答题17. 设集合2{|320}A x x x =++=，2{|(1)0}B x x m x m =+++=；（1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值.418. 已知：{|17}A x x =≤≤，2{|12200}B x x x =-+<，{|121}C x m x m =+<<-，全集U =R ；（1）求A B U ，()U A B I ð；（2）若A C A =U ，求m 的取值范围.19. 某种商品每件成本80元，当每件售价100元，每天可以出售100件，若售价降低10x %，售出的商品数量就增加16x %；（1）试建立该商品一天的营业额y （元）关于x 的函数关系式；（2）如果要求该商品一天的营业额至少是10260元，且不能亏本，求x 的取值范围.20. 已知集合22{|,,}A x x m n m n ==-∈Z ；（1）判断8，9，10是否属于A ，并证明；（2）已知集合{|2+1,}B x x k k ==∈Z ，证明x A ∈的充分必要条件是x B ∈；（3）写出所有满足集合A 的偶数.521. 已知关于的不等式22(23)(1)10()k k x k x k --+++>∈R 的解集为M ；（1）若M =R ，求k 的取值范围；（2）若存在两个不相等负实数a 、b ，使得(,),)M a b =-∞+∞U （，求实数k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意n ∈*N ，都有n M ∈，对于任意的m -∈Z ，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 12. 真3. 11{0,,}354. 若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥5. 3a ≥6. [3]-7. 必要不充分8. {(2,3)}9. (2,3)- 10. (,2][1,)-∞-+∞U 11. 3 12. ①③④二. 选择题13. D 14. C 15. C 16. C三. 解答题617.（1）{1,2}A =--；（2）1m =或2m =.18.（1）[1,10)，(7,10)；（2）4m ≤.19.（1）100(10.1)100(10.16)y x x =-⋅+，定义域为[0,2]；（2）1[,2]2.20.（1）8A ∈，9A ∈，10A ∉；（2）证明略；（3）所有满足集合A 的偶数为4k ，k ∈Z .21.（1）13(,1](,)3-∞-+∞U ；（2）13(3,)3；（3）3k =.。
上海市高一上学期10月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。
2022-2023学年上海市行知中学高一上学期10月质量检测数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市行知中学高一上学期10月质量检测数学试题一、单选题1．已知a ，b 都是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由a b >推不出22a b >，如1a =，1b =-，满足a b >，但是22a b =，故充分性不成立，由22a b >推不出a b >，如1a =-，0b =，满足22a b >，但是a b <，故必要性不成立； 故“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件； 故选：D2．设0a b >>，则下列不等式中成立的是（ ）A．22ab a ba b +>>+B．22a b aba b +>>+ C．22a b aba b+>>+D．22ab a ba b +>>+ 【答案】B【解析】利用基本不等式比较大小即可. 【详解】0a b >>，2a b+∴>2ab a b <=+22a b aba b+∴>+. 故选：B .【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，注意（1）各项必须为正数；（2）各项相等时才有等号.（3）0,0a b >>时，2112a b a b+≥≥+，即两个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，大于等于它们的调和平均数.3．在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．44a -≤≤ B ．97a a ≥≤-或 C ．24a a ≤-≥或D ．24a -<<【答案】C【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．【详解】若方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=都没有实数根.则()()2122221601640443100a a a a ⎧=-<⎪⎪=--<⎨⎪=-+<⎪⎩ ，解得：24a -<<. 则方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根. 所以2a ≤-或4a ≥ 故选：C【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 4．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则在下列集合：①Z,0+1n n n n ∈≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，②{}R,0x x x ∈≠，③1Z,0n n n ∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭，④整数集Z .其中，以0为聚点的集合有（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③D ．①②④【答案】A【分析】先理解0x 为集合X 的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意0a >，都存在x X ∈，使得0x a <<，对四个集合逐一分析， 对① ,当12a <时，不存在满足0x a <<的x ，不是以0为聚点的集合； 对②，都存在2a x =，使得02ax a <=<，是以0为聚点的集合； 对③，都存在1n a>，使10x a n <=<，是以0为聚点的集合；对④，当01a <<时，对任意的x ∈Z ，都有0x =或者1x ≥， 不存在满足0x a <<的x ，不是以0为聚点的集合；【详解】①集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外， 其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足0x a <<的x ，∴ 0不是集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭的聚点； ②集合{}|0x x ≠，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小的数都可以），使得02ax a <=<，∴ 0是集合{}|0x x ≠的聚点； ③集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n <=<，∴ 0是集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭的聚点；④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点． 综上可知②③正确. 故选A二、填空题5．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}4,5B =，则A B =___________. 【答案】{}2【分析】根据补集及交集的定义运算即得.【详解】∵全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}4,5B =， ∴{}1,2,3B =，A B ={}2. 故答案为：{}2.6．用描述法表示被5除余3的整数的集合为___________. 【答案】{}|53,x x k k Z =+∈【分析】根据条件写出所求数的表达式即可. 【详解】设所求数为x ，则53,x k k Z =+∈ ， 则被5除余3的整数的集合为{}|53,x x k k Z =+∈ ； 故答案为：{}|53,x x k k Z =+∈.7．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是______________________ . 【答案】1a ≤【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.【详解】在数轴上表示出集合A 和集合B ,要使A B R =，只有1a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题. 8．下列语句 ①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数其中是命题的语句的序号有___________. 【答案】③④【分析】根据命题的概念即得.【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题；所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④.9．若正数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值是______________. 【答案】258【分析】可利用基本不等式求ab 的最大值.【详解】因为,a b 都是正数，由基本不等式有222a b ab +≥522ab ≥，所以258ab ≤，当且仅当55,24a b ==时等号成立，故ab 的最大值为258.故答案为：258【点睛】易错点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.10．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则不等式[]124x <≤的解集为___________. 【答案】[)1,3【分析】由[]124x <≤可得[]122x <≤，然后可得答案.【详解】由[]124x <≤可得[]122x <≤，因为[]x 表示不超过实数x 的最大整数， 所以13x ≤<，即解集为[)1,3. 故答案为：[)1,311．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为____. 【答案】41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可得b a ，然后将二次不等式化简变形，把ba代入，最后根据一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】由已知ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的解法，本题关键在于找到b a ＝15，考查分析能力以及计算能力，属基础题.12．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----≥无解，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】22a -<≤【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、∆进行求解处理.【详解】当20a -=时，即2a =，则40->，无解，所以2a =；当20a -≠时，即2a ≠，要使不等式()()222240a x a x ----≥无解，则220[2(2)]4(2)(4)0a a a -<⎧⎨∆=-----<⎩，解得22a -<<； 综上，22a -<≤. 故答案为：22a -<≤.13．若108a b -<<<，则a b +的取值范围是___________. 【答案】()10,16-【分析】分0b ≥，0b <讨论，分别利用不等式的性质求出a b +取值范围，进而即得. 【详解】当0b ≥时，有108a -<<，08b ≤<， 故1016a b -<+<，即1016a b -<+<； 当0b <时，100a -<<，100a b -<<<， 故010b b <=-<， 所以100a b a b -<+=-<； 综上，1016a b -<+<. 故答案为：()10,16-.14．关于不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】12k <≤.【分析】通过解一元二次不等式以及利用集合的交集运算进行求解.【详解】由()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩有：()()()()210250x x x x k -+≥++≤⎧⎪⎨⎪⎩，由()()210x x -+≥有：1x ≤-或2x ≥， 当52k -=-，即52k =，由()()250x x k ++≤有：52x =，不满足； 当52k ->-，即52k <，由()()250x x k ++≤有：52x k -≤≤-，所以要使不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的整数解的集合为{}2-，则21k -≤-<-，即12k <≤； 当52k -<-，即52k >，由()()250x x k ++≤有：52k x -≤≤-，所以不等式()22--2022550x x x k x k ≥⎧+++≤⎪⎨⎪⎩的解为52k x -≤≤-，显然不满足；综上，12k <≤. 故答案为：12k <≤. 15．若关于x 的不等式0k x bx a x c++<++的解集为()()2,12,3--，关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为________． 【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】依题意用1x-替换x ，可得1011kx bx ax cx -+<--，即121x -<-<-或123x <-<，即可解得；【详解】解：关于x 的不等式0k x bx a x c++<++的解集为()()2,12,3--，用1x-替换x 不等式可以化为：1101111b k kx bx x ax cx a c x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+=+<--⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()12,12,3x-∈--即121x -<-<-或123x<-< 可得112x <<或1123x -<<- 故答案为：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查不等式的解法，考查转化思想，属于基础题.16．已知存在a ，使得0x x a b -+<对任意的[]1,2x ∈恒成立，则b 的取值范围___________. 【答案】23b <-【分析】依题意可得0b <，则问题转化为存在a 使得b bx a x x x-<<+在[]1,2x ∈恒成立，然后求出()bg x x x =+的最小值和()b h x x x=-的最大值，即可得到不等式，求出参数b 的取值范围．【详解】解：问题等价于：当[]1,2x ∈时，||0x x a b -+<恒成立，显然0b <， 当12x ≤≤，也即b bx a x x x+<<-恒成立， 令()b g x x x=+在[]1,2x ∈上单调递增，()max ()222ba g x g ∴>==+，令()bh x x x=-，则()h x在(上单调递减，)+∞上单调递增，①当4b ≤-时()bh x x x=-在[]1,2上单调递减，()min ()222ba h x h ∴<==-．2222b b a ∴+<<-，即2222b b +<-，解得0b <，所以4b ≤-． ②当41b -<<-时，()bh x x x=-≥min ()a h x ∴<=22ba ∴+<<即22b +<1212b --<-+41b -<<-．③当10b -≤<时()bh x x x=-在[]1,2上单调递增，()min ()11a h x h b ∴<==-．212ba b ∴+<<-， 即212b b +<-，解得23b <-，所以213b -≤<-．综上可得当23b <-时，存在实数a ，使得不等式||0x x a b -+<对于任意的[]1,2x ∈都成立 故答案为：23b <-．三、解答题17．解不等式组：3>1+321x x x ⎧-⎪⎨≥⎪-⎩.【答案】{|12x x <<或45}x <≤【分析】分别解出绝对值不等式与分式不等式，再取两不等式的解集的交集. 【详解】解：因为3>1+321x x x ⎧-⎪⎨≥⎪-⎩，对于3>1x -，即31x ->或31x -<-，解得4x >或2x <，对于+321x x -≥，即+3201x x --≥，即501x x -≤-，等价于()()51010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得15x <≤， 所以不等式组的解集为{|12x x <<或45}x <≤.18．已知集合{}34A x x =-<≤，集合{}121B x k x k =+≤≤-，且A B A ⋃=，试求k 的取值范围．【答案】52k k ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．【分析】由题意得，B A ⊆，结合数轴，分B =∅和B ≠∅两类进行讨论即可求出答案． 【详解】解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆， ①当B =∅时，121k k +>-，∴2k <； ②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得12131214k k k k +≤-⎧⎪-<+⎨⎪-≤⎩，解得522k ≤≤，综合①②可得k 的取值范围为52k k ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查集合间的基本运算，属于基础题．19．上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围； (2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】（1）[3,10]；（2）以每小时6千克的速度能获得最大利润，最大利润为457500元.【详解】(1)根据题意，3200(51)3000x x +-≥35140x x ⇒--≥又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ 因此，所求x 的取值范围是[3,10] (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，元．因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元. 【解析】（1）列解不等式；（2）函数的最值．20．（1）求证：已知a ，b ，x ，()0,y ∈+∞，()222a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件；（2）求证：对任意的R x ∈，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=至少有一个方程有实数根（反证法证明）；（3）求证：使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥对一切实数x ，y ，z 都成立的充要条件是A ，B ，0C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++.【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）证明见详解.【分析】利用作差法、一元二次不等式的解法、反证法、分类讨论法、不等式的性质进行证明.【详解】（1）证明：(),0,x y ∈+∞，0,0xy x y ∴>+>，要证()222a b a b x y x y++≥+，只需证()222()()a y b x x y xy a b ++≥+，()22222222222()()()(2)a y b x x y xy a b a yx a y b x b xy xya xyb abxy ++-+=+++-++ 222222()0a y b x abxy ay bx =+-=-≥，当且仅当ay bx =时取等号.（2）证明：假设对任意的R x ∈，关于x 的两个方程250x x m -+=与2260x x m ++-=都无实数根，对于方程250x x m -+=有：12540m ∆=-<，解得254m >， 对于方程2260x x m ++-=有：2186-0m ∆=-<（），解得478m <， 由254478m m ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得，m 无解，故假设不成立. （3）证明：先证必要性，不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥可改写为关于x y -的二次式：()()()()()220A x y B A C y z x y C y z ------+-≥，①若0A =，则①式对一切实数x ，y ，z 成立，则只有0B C =≥， 若0A ≠，则因为①式恒成立，所以0A >，()()()22240B A C y z AC y z ∆=-----≤恒成立，所以()240B A C AC ---≤，即()2222A B C AB BC CA ++≤++，所以必要性成立.再证充分性，若,,0A B C ≥且()2222A B C AB BC CA ++≤++，若0A =，则由222B C BC +≤得()20B C -≤，所以B C =， 所以0∆=，所以①式成立，题设成立. 若0A >，则0∆≤，所以①式成立，题设成立. 综上，充要性得证.21．定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中d c >.(1)若关于x 的不等式221230ax x -->a 的值； (2)已知实数a ，b （a b >），求111x a x b+≥--解集构成的各区间长度和； (3)已知关于x的不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)2a = (2)2 (3)2027t <≤【分析】（1）根据韦达定理，结合条件可得()2212121264x x x x x x =-=+-，从而求得a 的值.（2）将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和.（3）先解出不等式33x -<的解集为A ，12>的解集为B ，根据A B的长度为6，列不等式组，求出t 的取值范围. 【详解】(1)当0a =时，不符合题意.当0a ≠时，设方程221230ax x --=的两根为12,x x ，则121263,2x x x x a a+=⋅=- 由题意可知()22121212236664x x x x x x a a=-=+-=+ 解得2a =-或3a =因为当3a =时，不等式的解集为两根两边范围，故舍 所以2a =(2)原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<.故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.(3)因为3306x x -<⇒<<，记()0,6A =，213402tx t >⇒+-<的解集为B ，不等式组3312x ⎧-<⎪>的解集为A B12>等价于()2030340x t x t tx >⎧⎪+>⎨⎪+-<⎩， 所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⋂=， 由于不等式组的解集的个区间长度和为6，所以不等式组()230340t x t tx ⎧+>⎨+-<⎩，当()0,6x ∈是恒成立.当()0,6x ∈时，不等式()30t x +>恒成立，得0t > 当()0,6x ∈时，不等式2340t tx +-<恒成立，分离常数得243t x x<+恒成立.当()0,6x ∈时，23y x x =+为单调递增函数，所以()230,54y x x =+∈，所以244327x x >+，所以实数2027t <≤.。
上海市2019-2020年行知中学高三数学 上学期10月月考
2019-2020年行知中学高三上10月月考一. 填空题1. 若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =2. 命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是 命题（填真或假）3. 不等式2log 2x ≤的解集为4. 已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的 取值范围是5. 关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为6. 已知幂函数()n f x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----， 则n 可能的值为7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)f 的值为8. 函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则右图中阴影部分表示的集合为9. 若关于x 的不等式|2|1x a x -+>在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为10. 如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴， 顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x = 和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为11. 设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B ∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=12. 已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则a 的取值范围二. 选择题13. 下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=； （2）{0}∅⊆； （3）{0}∅∈； （4）0{0}=； （5）0{0}∈； （6）{1}{1,2,3}∈； （7）{1,2}{1,2,3}⊆； （8）{,}{,}a b b a ⊆； A. 1 B. 2 C. 3 D. 414. 设110b a<<，则下列不等式恒成立的是（ ） A. a b > B. aa b b<- C. 33332b a a b +> D. 11||||b a < 15. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是 “()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个函数()f x 满足：① {()|}T f x x S =∈；② 对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合为“S 到T 的保序同构”，以下集合对不是“A 到B 的保序同构”的是（ ）A. ,A B *==ΝNB. {}|13A x x =-≤≤，{}|8010B x x x ==-≤≤或C. {}|01A x x =<<，B =RD. A =Z ，B =Q三. 解答题17. 已知()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）求1()f x -；（2）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围；18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，4AP BC ==，30ABC ∠=，D ，E 分别是BC ，AP 的中点.（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成的角为θ，求tan θ的值.19. 已知A ，B 的两地距离是100km ，按交通法规定，A ，B 两地之间的公路车速x 应限制在60120/km h - (含端点)，假设汽油的价格是7元/升，汽车的耗油率为2(6)400x +升/时，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑 其他费用，这次行车的总费用是多少？20. 设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈(10)x x ≠≠且，则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素； （2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由； （3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .21. 已知4()log (41)x f x kx =++是偶函数，()2x x ϕ=. （1）求k 的值，并判断函数1()()2h x f x x =-在R 上的单调性，说明理由； （2）设44()log (2)3x g x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图像有且仅有一个交点， 求实数a 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的一个函数()m x ，如果存在一个常数0M >，使得式子11|()()|ni i i m x m x M -=-≤∑对一切大于1的自然数n 都成立，则称函数()m x 为“[,]p q 上的H 函数”（其中，011i n p x x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=）. 试判断函数()x ϕ是否为“[1,3]-上的H 函数”，若是，则求出M 的最小值； 若不是，则说明理由.（注：121()()()()n i n i k x k x k x k x ==++⋅⋅⋅+∑）.参考答案一. 填空题1. {5,2,1}2. 假3. (0,4]4. (0,2)5. 1-6. 2-7. 13- 8. (,1](0,1)-∞-U9. 2a > 10. 11. 0 12. (,1)-∞二. 选择题13. D 14. C 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12()log (1)f x x -=+（1x >-）；（2）[0,1].18.（1；（2）tan θ. 19. 最经济的车速是80/km h ，总费用是280元. 20.（1）A 中另外两个元素是1-、12；（2）不是；（3）112{1,,2,,3,}223A =--. 21.（1）12k =-，递减；（2）(1,){3}+∞-；（3）是，152.。
上海市高一上学期数学10月月考试卷
上海市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）给出如下四个命题：①若“”为假命题，则p,q均为假命题；②命题“若a>b,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A . {x|2＜x＜3}B . {x|x＜1}C . {x|x＞3}D . {x|1＜x＜2}3. （2分） (2018高二下·永春期末) 若命题：，则为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·集宁期中) 下列各组集合中，表示同一集合的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）已知集合，则集合M与P的关系是（）A .B .C .D .6. （2分）若，则下列说法正确的是（）A . 若a>b,则a-c>b-cB . 若a>b，则C . 若ac<bc，则a<bD . 若a>b，则7. （2分）已知a，b∈R，且a2＞b2（）A . 若b＜0，则a＞bB . 若b＞0，则a＜bC . 若a＞b，则a＞0D . 若b＞a，则b＞08. （2分）设集合，则（）A .B .C .D .9. （2分）下列有关命题的说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B . “m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题10. （2分） (2019高一上·台州月考) 二次函数在上的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·北京月考) 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接 .作交于 .则下列不等式可以表示的是（）A .B .C .D .12. （2分）已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（）A . A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）已知集合U={1,2,3}，A={1,3},B={1,3,4},则=________ .14. （1分） (2020高二上·无锡期末) 不等式的解集是________．15. （1分）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2 ， a+b，0}，则a2017+b2016=________．16. （1分）已知集合A={2，3}，B={2，2a﹣1}，若A=B，则a=________17. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为________．18. （1分） (2019高二上·四川期中) 在下列四个命题中，正确的命题的有________.①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10;②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则；③若实数满足的取值范围为；④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7.三、解答题 (共4题；共30分)19. （10分） (2019高一上·四川期中) 已知全集为，集合， .（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.20. （5分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．21. （5分） (2017高三上·唐山期末) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，解不等式；（2）若，求的取值范围．22. （10分） (2019高一上·新丰期中) 已知函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
上海市行知中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020年行知中学高三上10月月考一:填空题。
1.若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________【答案】{5,2,1} 【解析】 【分析】根据题意，分析集合A 可得A 中的元素，将其元素代入y ＝x 2+1中，计算可得y 的值，即可得B 的元素，用列举法表示即可得答案．【详解】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }，当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2， 当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1}【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示． 2.命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是________命题（填真或假） 【答案】假 【解析】 【分析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可．【详解】“如果x ＞2且y ＞2，那么x +y ＞4”的逆命题是：“如果4x y +>那么2x >且2y >”是假命题，例如4,1x y ==，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题 故答案为：假【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题． 3.不等式2log 2x ≤的解集为________ 【答案】(0,4] 【解析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题22log log 404x x ≤∴<≤ 故答案为：(0,4]【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目．4.已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的取值范围是________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a，解不等式可求a 的范围 【详解】由f （x ）在区间[,1]2aa +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a ，解不等式可得a取值范围是(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题 5.关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为________ 【答案】1- 【解析】 【分析】利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可 详解】由题知m <0,且1x m>，故1m m =，解得m=1-故答案为：1-【点睛】本题考查一次不等式解集，是基础题，注意m符号判断6.已知幂函数()nf x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----，则n 可能的值为________ 【答案】2-的【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．【详解】111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----幂函数y ＝x n为偶函数，所{2,2}n ∈-，即y ＝x ﹣2，y ＝x 2， 在（0，+∞）上递减，有y ＝x ﹣2， 所以n 的可能值为：﹣2，． 故答案为：﹣2，．【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝______.【答案】-13【解析】f x （） 是定义在R 上的奇函数，则有f x f x -=-（）（），则()()4293,f log f log = 当0x ＜ 时，2x f x =（）， 则当当0x > 时，0,x -＜22xxf x f x ---=∴=-（），（），故()()221334219322.3log log f log f log -==-=-=-故答案为：13． 8.函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________【答案】(,1](0,1)-∞-U 【解析】 【分析】首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A ，B ；由图知阴影部分表示的集合为将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果【详解】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}，∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1}B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0} ∴A ∪B ＝{x |x ＜1} A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：（﹣∞，﹣1]∪（0，1）故答案为：(,1](0,1)-∞-U【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定． 9.若关于x 的不等式|2|1x a x -+>在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 【答案】2a > 【解析】 【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解. 【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式|21x a x -+恒成立. 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a ＞-x+1或2x-a ＜x-1， 所以a ＜3x-1或a ＞x+1在[0,1]上恒成立， 所以a<-1或a>2,因为a>0, 综合得a>2. 故答案为：a>2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 10.如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为________【解析】 【分析】设B （x ，2log a x ），利用BC 平行于x 轴得出C （x 2，2log a x ），利用AB 垂直于x 轴 得出 A （x ，3log a x ），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为log a x ＝x 2﹣x ＝2，求出x ，再求a 即可．【详解】设B （x ，2log a x ），∵BC 平行于x 轴，∴C （x ′，2log a x ）即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2，∴正方形ABCD 边长＝|BC |＝x 2﹣x ＝2，解得x ＝2．由已知，AB 垂直于x 轴，∴A （x ，3log a x ），正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x ﹣2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a =【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．11.设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=________ 【答案】0 【解析】 【分析】由A ⊆B ．由x ∉A 时，m ＝0，可得m （1﹣n ）．x ∈A 时，必有x ∈B ，可得m ＝n ＝1． 【详解】∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m ＝0，m （1﹣n ）＝0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m （1﹣n ）＝0． 综上可得：m （1﹣n ）＝0． 故答案为：0【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【答案】(,1)-∞ 【解析】【详解】分别作(),y f x y x a ==+图象，由图象可得实数a 的取值范围是(,1)-∞二.选择题13.下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）0{0}=；（5）0{0}∈； （6）{1}{1,2,3}∈；（7）{1,2}{1,2,3}⊆；（8）{,}{,}a b b a ⊆. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的相关定义逐个判断。
上海行知实验中学2019年高一数学文月考试卷含解析
上海行知实验中学2019年高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 角的始边在轴正半轴、终边过点，且，则y的值为（）A.3B. 1C. ±3D. ±1参考答案：C略2. 若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）的值是( ) A．﹣4 B．C．D．4参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先根据函数f（x）是R上的奇函数将f（﹣2）转化成求f（2）的值，代入当x＞0时f（x）的解析式中即可求出所求．【解答】解：函数f（x）是R上的奇函数则f（﹣x）=﹣f（x）∴f（﹣2）=﹣f（2）∵当x＞0时，f（x）=2x，∴f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解，属于基础题．3. 函数的单调增区间是（）．A．B．C． D．参考答案：B略4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=与y=x B．y=x0与y=1C．y=2与y=D．y=x与y=（2参考答案：C【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．y==|x|，两个函数的对应法则不一致，不是同一函数．B．y=x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两个函数的定义域不一致，不是同一函数．C．y=2==，y==，两个函数的定义域都为（0，+∞），对应法则相同，是同一函数．D．y=（2=x，定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不一致，不是同一函数．故选：C【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．5. 函数y=的值域是( )A．[0，+∞） B．[0，4] C．（0，4）D．[0，4）参考答案：D【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先易知4x恒大于0，再用观察分析法求值域即可．【解答】解：当x=2时，函数有最小值0，当x趋向于﹣∞时，y趋向于4，函数y=的值域是[0，4）故选：D．【点评】本题考查简单函数的值域问题，属基础题．6. 已知f（x）=，则f（f（x））≤3的解集为（）A．（﹣∞，﹣3] B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，] D．[，+∞）参考答案：C【考点】其他不等式的解法；分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；换元法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件根据分段函数的表达式进行求解即可求出f（f（x））≤3的解集．【解答】解：设t=f（x），则不等式f（f（x））≤3等价为f（t）≤3，作出f（x）=的图象，如右图，由图象知t≥﹣3时，f（t）≤3，即f（x）≥﹣3时，f（f（x））≤3．若x≥0，由f（x）=﹣x2≥﹣3得x2≤3，解得0≤x≤，若x＜0，由f（x）=2x+x2≥﹣3，得x2+2x+3≥0，解得x＜0，综上x≤，即不等式的解集为（﹣∞，]，故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的应用，是中档题，利用换元法是解决本题的关键．7. 过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的性质．【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B8. 过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为（）A．17 B．18 C．19 D．20参考答案：B【考点】J5：点与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的圆心C（1，2），半径r=5，设点A（1，﹣1），|AC|=3＜r，从而点A在圆内，进而最大弦长为2r=10，最小弦长为：2．由此能求出结果．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的圆心C（1，2），半径r==5，设点A（1，﹣1），|AC|==3＜r，∴点A在圆内，∴最大弦长为2r=10，最小弦长为：2=2=8．∴过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为：10+8=18．故选：B．9. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A． B. C. D．参考答案：D10. 方程表示圆的条件是（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值是_________________。
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2019年上海市行知中学高一第一学期月考数学试题2019.10一、单选题1．若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论正确的是（ ） A.Q P ⊆ B.PQ =∅ C.P Q ⋂≠∅ D.P Q P ≠【答案】D【解析】根据互为逆否命题的两个命题等价，得到答案. 【详解】 原命题：“若PQ P =，则集合P 是集合Q 的子集”，真命题；逆否命题：“若集合P 不是集合Q 的子集，则PQ P ≠”，根据互为逆否命题的两个命题等价，原命题真，那么逆否命题也是真命题， 故选：D 【点睛】本题考查根据互为逆否命题的两个命题是等价的，判断命题的真假，意在考查对命题内容的理解，和掌握情况，属于基础题型. 2．集合P 具有性质“若x P ∈，则1P x∈”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合111,0,,,1,2,3,432A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A.3B.7C.15D.31【答案】C【解析】首先分析集合A 中的哪些元素能是伙伴关系的集合里的元素，然后利用集合的子集个数公式求解. 【详解】根据条件可知满足伙伴关系的集合里面有111,1,,3,,232-中的某些元素，13和3，12和2都以整体出现，13和3看成一个元素，12和2也看成一个元素， ∴共有4个元素，集合是非空集合，∴有42115-=个.故选：C 【点睛】本题主要考查集合关系的判断，利用条件确定伙伴关系的元素是解决本题的关键，意在考查分析问题和解决问题的能力.3．已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-； ③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >. A.1 B.2C.3D.4【答案】C【解析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 【详解】①当22ac bc >时，20c >，两边同时除以2c ，得到a b >，正确；②220a b ->-≥，那么2222a b ->-，即()()2222a b ->-，正确； ③()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==++- ，0a b c >>> 0,0a b b c ∴->->a a cb b c+∴>+，正确； ④令110,2a b == 同样能满足4,4a b ab +>> ，2,2a b ∴>>不正确.共有3个正确. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.4．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= . 【详解】 若(),0a b ϕ=，0a b -=a b =+ 两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =当0a =0b b b =-= ，0b ∴≥ ，即a 与b 互补，同理0b =时，a 与b 互补， 反过来，当0ab =时，0a b -= ， 即(),0a b ϕ= ，故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.二、填空题5．已知集合{}29,,1A x x =-+，集合{}21,2B x =，若{}2A B ⋂=，则x 的值为______.【答案】1【解析】首先根据{}2A B ⋂=，求得1x =±，然后再代入两个集合验证. 【详解】{}2A B =，222x = ，解得1x =或1x =-当1x =时，{}9,1,2A =-，{}1,2B =成立；当1x =-时，{}9,1,2A =，{}1,2B =,这与{}2A B ⋂=矛盾. 故答案为：1 【点睛】本题考查根据两个集合的运算结果求集合，属于基础题型.6．已知,x y R ∈，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是______命题（填“真”或“假”）. 【答案】真【解析】互为逆否命题的两个命题等价，当原命题不易判断真假时，可以先判断其逆否命题的真假. 【详解】原命题和逆否命题互为等价命题，命题的逆否命题“若3x <且2y <，则5x y +<”显然是真命题， 所以原命题也是真命题. 故答案为：真 【点睛】本题考查四种命题的关系，以及判断命题的真假，属于基础题型，四种命题中，原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题互为逆否，也是等价命题，所以判断命题真假时，当命题不好判断时，可以转化其逆否命题判断.7．设{}28150A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 组成的集合C =_____．【答案】110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】先求出A 的元素，再由B ⊆A ，分B φ=和B ≠φ求出a 值即可. 【详解】∵A ＝{x |x 2﹣8x +15＝0}， ∴A ＝{3，5}又∵B ＝{x |ax ﹣1＝0}， ∴①B φ=时，a ＝0，显然B ⊆A ②B φ≠时，B ＝{1a}，由于B ⊆A ∴135a=或 ∴1135a =或故答案为：{11035，，} 【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题． 8．已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______. 【答案】若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【解析】根据四种命题的形式，直接写其否命题. 【详解】原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥” 故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ” 那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”. 9．若{}|A x x a =<，{}23B x =-<<，则R A C B R =，则实数a 的范围是______.【答案】3a ≥【解析】首先求R C B ，根据R AC B R =，求a 的取值范围.【详解】{2R C B x x =≤-或3}x ≥R A C B R =，3a ∴≥故答案为：3a ≥ 【点睛】本题考查根据集合的运算结果，求参数的取值范围，当集合是无限集时，可以借助数轴解决问题.10．若集合{}21,M y y x x R ==-∈，{N x y ==，则MN =______.【答案】⎡-⎣【解析】先化简集合M,N,再求M N ⋂得解. 【详解】由题得{}1[M y y N =≥-=，，所以=[1,MN -.故答案为：⎡-⎣【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．“112x <”是“2x >”的______条件. 【答案】必要不充分【解析】首先求不等式的解集，然后判断集合的包含关系，最后判断充分必要条件. 【详解】112022x x x-<⇒>， 即()20x x -> 解得2x >或0x <{}2{2x x x x ≠>⊂>或0}x <，∴ “112x <”是“2x >”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，当命题是以集合形式给出时，:p x A ∈，:q x B ∈，若满足A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件；若A B =，则p 是q 的充要条件；若没有包含关系，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 12．设集合(){},|1U x y y x ==+，()3,|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，UCA =______.【答案】(){}2,3【解析】首先求集合A ，再根据全集求U C A . 【详解】(){},1,2A x y y x x ==+≠，集合A 表示直线1y x =+上除去()2,3的所有点组成的集合，(){}2,3U C A ∴=.故答案为：(){}2,3【点睛】本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型.13．已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-，则不等式220cx x a -+->的解集为__________． 【答案】(2,3)-【解析】分析：不等式220ax x c ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则方程220ax x c ++=的根为11,32-，利用韦达定理求参数c a 、，再解不等式220cx x a -+->即可。
详解：不等式220ax x c ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则方程220ax x c ++=的根为11,32-，由韦达定理可知：2111a 12326a -=-+=⇒=-，111c 2326c a =-⨯=-⇒=，所以不等式220cx x a -+->为222120x x -++>，所以解集为()2,3-点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式 问题的常用方法。
14．若关于x 的不等式()()2212130a x a x ---+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()[),21,-∞-+∞【解析】首先讨论当210a -=时，不等式是否恒成立然后讨论当210a -≠时，若不等式恒成立需满足()()22210411210a a a ⎧->⎪⎨---<⎪⎩，综上求解a 的范围. 【详解】1.当210a -=时，1a =或1a =- 当1a =时，30>恒成立， 当1a =-时，430x +>，34x >-不恒成立， 2.当210a -≠时，()()22210411210a a a ⎧->⎪⎨---<⎪⎩ 1a ⇒>或2a <-. 综上可得：1a ≥或2a <-. 故答案为：()[),21,-∞-+∞【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围的问题，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型. 15．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧*=⎨-<⎩若{}()(){}221,2,20A B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =_______. 【答案】3【解析】由新定义1A B *=得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程2220xax x ax 根的个数，即等价于研究两个方程20x ax 、220x ax ++=根的个数.【详解】2220x ax x ax 等价于20x ax ①或220x ax ++=②.由{}1,2A =，且*1A B =，得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合. 若集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得0a =；若集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即280a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得22a =±. 综上所述，0a =或22a =±，所以3C S .【点睛】本题以A B *这一新定义为背景，考查集合B 中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，对逻辑思维能力要求较高. 16．已知有限集.如果A 中元素满足，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A 有且只有一个，且.其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号） 【答案】①③④【解析】易判断①是正确的； ②不妨设，则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，由，可得，故②错；③不妨设由得，当时，即有于是无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确;当时，故只能求得于是“复活集”A 只有一个，为时，由即有，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是，事实上，，矛盾，∴当时不存在复活集A ，故④正确．答案为①③④【考点】新定义，集合的概念，集合的关系，阶乘.三、解答题17．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}2|10B x x m x m =+++=；（1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值. 【答案】（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m =【解析】（1）解方程求集合A ，（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数. 【详解】（1）()()2320120x x x x ++=⇒++=即1x =-或2x =- ，{}1,2A =--；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件， 则B A ⊆ ，()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=解得1x =- 或x m =-，当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆， 所以1m =或2m =. 【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.18．已知：{}|17A x x =≤≤，{}2|12200B x x x =-+<，{}|121C x m x m =+<<-，全集U =R ；（1）求A B ，()U C A B ⋂；（2）若A C A ⋃=，求m 的取值范围.【答案】（1）[)1,10，()7,10；（2）4m ≤【解析】（1）首先求集合B ，然后求集合的运算；（2）若A C A ⋃=，则C A ⊆，分C φ=或C φ≠两种情况讨论，求m 的范围.【详解】（1）()()2122002100x x x x -+<⇒--< 解得：210x <<{}210B x x ∴=<< ，{}17A x x =≤≤ ，{}110A B x x ∴⋃=≤<，{1U C A x x =<或7}x > ，(){}710U C A B x x ∴⋂=<<.（2）若A C A ⋃=，则C A ⊆，当C φ=时，121m m +≥-2m ∴≤;当C φ≠时，12111217m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤， 综上可知4m ≤.【点睛】本题考查集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，意在考查计算和分类讨论的思想，属于基础题型.19．某种商品每件成本80元，当每件售价100元，每天可以出售100件，若售价降低10%x ，售出的商品数量就增加16%x ；（1）试建立该商品一天的营业额y （元）关于x 的函数关系；（2）如果要求该商品一天的营业额至少是10260元，且不能亏本，求x 的取值范围.【答案】（1）()()10010.110010.16y x x =-⋅+；（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）首先根据题意列函数关系式；（2）根据题意列不等式，()()10010.110010.1610260x x -⋅+≥，要求不能亏本，即售价不能低于成本，即100180010x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，综上可求x 的范围. 【详解】（1）所求函数关系式为()()()10010.110010.160y x x x =-⋅+>（2）依题意建立不等式：()()10010.110010.1610260x x -⋅+≥， 解得：11324x ≤≤， 又售价不能低于成本价，所以100180010x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，解得：02x ≤≤ 综上：122x ≤≤ 【点睛】本题考查函数的应用问题，根据题意抽象出二次函数，和不等式，意在考查转化和应用的能力.20．已知集合{}22|,,A x x m n m n Z ==-∈；（1）判断8，9，10是否属于A ，并证明；（2）已知集合{}|21,B x x k k Z ==+∈，证明x A ∈的充分必要条件是x B ∈； （3）写出所有满足集合A 的偶数.【答案】（1）8A ∈，9A ∈，10A ∉；（2）证明见解析；（3）4k ，k Z ∈【解析】（1）将8和9，10分别代入关系式22x m n =-，看是否满足；（2）()22211k k k +=+- ，k Z ∈，根据这个式子说明是充分条件；（3）根据()()22m n m n m n -=+-，分,m n 同奇同偶或一奇一偶讨论集合A 中的偶数满足的条件.【详解】（1）22831=-，22954=- ，都属于集合A ，假设2210,,m n m n Z =-∈，则()()10m n m n +-=设0,0m n >> 且10101=⨯ ，101m n m n +=⎧∴⎨-=⎩ ，解得119,22m n == ，不是整数， 10∴不是集合A 中的元素；（2）()22211k k k +=+- ，k Z ∈ , 21k A ∴+∈，即一切奇数都属于集合A ，∴x A ∈的充分必要条件是x B ∈；（3）集合{}22,,A x x m n m n Z ==-∈， ()()22m n m n m n -=+-，成立当,m n 同奇或同偶时，m n -，m n +都是偶数，()()m n m n -+是4的倍数，当,m n 一奇一偶时，m n +，m n -均为奇数，()()m n m n ∴-+是奇数，综上可知满足集合A 的偶数为4,k k Z ∈.【点睛】本题考查集合与推理证明的综合问题，属于中档题型，意在考查分析和推理能力，以及分类讨论的能力，本题的第三问的关键是根据22x m n =- 化为()()22x m n m n m n =-=+-，然后再讨论,m n 同奇同偶或一奇一偶讨论集合A 中的偶数满足的条件.21．已知关于的不等式()()()2223110k k x k x k R --+++>∈的解集为M ； （1）若M R =，求k 的取值范围；（2）若存在两个不相等负实数a 、b ，使得()(),,M a b =-∞⋃+∞，求实数k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意*n N ∈，都有n M ∈，对于任意的m Z -∈，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）(]13,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）133,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，3k = 【解析】（1）讨论二次项系数2230k k --=和不等于0两种情况，当不等式的解集为R 时，k 的取值范围；（2）根据不等式的解集形式可知()()221221221423010231023k k k k x x k k x x k k ⎧+--->⎪⎪+⎪+=-<⎨--⎪⎪=>⎪--⎩，求k 的范围；（3）根据题意判断不等式的解集M ，讨论223k k --的情况，根据不等式的解集情况判断是否存在.【详解】（1）当2230k k --=时，1k =-或3k =当1k =-时，10>恒成立，当3k =时，14104x x +>⇒>-不恒成立，舍去， 当2230k k --≠时，()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩ 解得133k > 或1k <-， 综上可知1k ≤-或133k >； （2）根据不等式解集的形式可知22303k k x -->⇒>或1x <-，不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，即()()()2223110k k x k x k R --+++=∈有两个不相等的负根， 即()()221221221423010231023k k k k x x k k x x k k ⎧+--->⎪⎪+⎪+=-<⎨--⎪⎪=>⎪--⎩ ，解得1333k << ， 综上可知：1333k <<； （3）根据题意可知，得出解集(),M t =+∞，[)1,1t ∈-，当2230k k --=时，解得3k =或1k =- ，当1k =-时，10>恒成立，不满足条件，当3k =时，不等式的解集是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，满足条件； 当2230k k -->时，此时一元二次不等式的解集形式不是(),t +∞的形式，不满足条件； 当2230k k --<时，此时一元二次不等式的解集形式不是(),t +∞的形式，不满足条件； 综上，满足条件的k 的值为3.【点睛】本题考查了含有字母的不等式恒成立和解集形式的问题，前两问属于基础问题，意在考查分类讨论和转化，计算能力，第3问属于推理，判断，证明问题，关键是读懂题，根据解集满足的条件确定(),M t =+∞，[)1,1t ∈-.。