阿基米德螺旋线与对数螺旋线1212
阿基米德螺线曲率半径
阿基米德螺线曲率半径
摘要：
1.引言
2.阿基米德螺线的定义与性质
3.阿基米德螺线的曲率半径
4.阿基米德螺线在实际应用中的意义
5.结论
正文：
阿基米德螺线是一种数学曲线，以其发现者古希腊数学家阿基米德的名字命名。
它具有许多独特的性质，并在各种领域中具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将详细讨论阿基米德螺线的曲率半径，并了解它在实际应用中的意义。
阿基米德螺线，又称为阿基米德螺旋线，是一种以螺旋形式排列的曲线。
它可以用以下方程表示：r = a + bθ，其中r是曲线上的点到原点的距离，θ是极角，a和b是常数。
阿基米德螺线的特点是，当极角θ增加时，曲线上的点在不断地绕着原点旋转，同时保持与原点的距离不变。
阿基米德螺线的曲率半径是一个重要的几何参数，用于描述曲线在某一点处的弯曲程度。
对于阿基米德螺线，曲率半径可以通过求解其微分方程来计算。
具体来说，曲率半径r_c的计算公式为：r_c = a / (2 * π * √(1 + (b / a)^2))。
阿基米德螺线在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学中，阿基米
德螺线可以用来描述螺线管内部的磁场分布；在工程学中，阿基米德螺线被用于设计螺纹，以实现紧密的连接；在生物学中，阿基米德螺线可以用来描述生物体内的螺旋结构，如DNA的双螺旋结构。
总之，阿基米德螺线是一种具有独特性质的数学曲线，其曲率半径是描述其弯曲程度的重要参数。
阿基米德螺旋线 计算公式
阿基米德螺旋线计算公式阿基米德螺旋线计算公式。
阿基米德螺旋线是一种数学曲线，它以古希腊数学家阿基米德的名字命名。
这条曲线的特点是它的半径和角度成正比，形成了一种螺旋状的形态。
阿基米德螺旋线的计算公式可以用来描述这种曲线的形状和特征。
阿基米德螺旋线的计算公式可以表示为：r = a + bθ。
在这个公式中，r表示螺旋线上某一点到螺旋线中心的距离，θ表示该点对应的角度，a和b是常数。
根据这个公式，我们可以画出一条阿基米德螺旋线。
当θ从0到2π变化时，r的值也会随之变化，从而形成了一条螺旋线。
而常数a和b的取值会影响螺旋线的形状和大小。
阿基米德螺旋线是一种非常特殊的曲线，它具有许多有趣的性质和应用。
首先，它是一种等角螺线，也就是说，螺旋线上任意一点处的切线和该点到螺旋线中心的连线之间的夹角始终保持不变。
这个性质使得阿基米德螺旋线在工程、设计和自然界中都有广泛的应用。
在工程领域，阿基米德螺旋线常常用来描述螺旋形的结构，比如螺旋桨、螺旋管和螺旋弹簧等。
通过计算公式，工程师可以精确地确定这些结构的形状和尺寸，从而确保其正常工作。
在设计领域，阿基米德螺旋线也常常被用来设计一些特殊形状的产品，比如螺旋形的装饰品、螺旋形的建筑结构等。
设计师可以通过调整计算公式中的常数a和b的取值来获得不同形状和大小的螺旋线，从而实现各种各样的设计效果。
在自然界中，阿基米德螺旋线也随处可见。
比如，许多植物的叶片和花瓣的排列方式都符合阿基米德螺旋线的规律。
这种排列方式可以使得植物的叶片和花瓣能够更好地接收阳光和营养，从而有利于它们的生长和繁殖。
除此之外，阿基米德螺旋线还在数学研究和科学研究中有着重要的应用。
通过对阿基米德螺旋线的研究，数学家和科学家们可以深入理解螺旋形的规律和特性，从而推动了许多领域的发展。
总之，阿基米德螺旋线的计算公式是描述这种特殊曲线的重要工具，它不仅在数学研究中有着重要的应用，还在工程、设计和自然界中发挥着重要的作用。
离心风机蜗壳降噪技术探究
离心风机蜗壳降噪技术探究摘要：随着生活水平的提高以及小户型居室的普及，用户对吸油烟机的振动和噪声水平有了更苛刻的要求。
本文对吸油烟机蜗壳设计不合理产生出风不均的噪声，进行了优化设计研究。
关键词：离心风机；蜗壳；降噪前言随着经济的发展和人民生活水平的提高，吸油烟机已成为厨房必备的家用电器。
近年来，为增强吸油烟机的工作性能，各厂家纷纷推出大风量吸油烟机。
但是同时也使得吸油烟机的噪声过大，严重影响了居民的生活质量和身心健康。
因此，对离心风机展开降噪技术探究，对于控制噪声排放具有现实意义。
1.离心蜗壳设计本文在标准离心风轮上对蜗壳进行参数设计，风轮参数：半径R=125mm，叶片数Z=60，宽度h=125mm，叶片进口安装角β1=41°，叶片出口安装角β2=139°。
理想状态下，离心风轮外圆周流体质点的运动轨迹，即为蜗壳的型线。
一般蜗壳型线有2种设计方法：对数螺旋线法和阿基米德螺旋线法。
对数螺旋线法流体质点运动轨迹方程为：式中Rφ——蜗壳内壁半径，mmR——风轮半径，mmQ——空气额定流量，m3/hB——蜗壳厚度，mmc2μ——气流离开叶轮后的周向速度，m/sφ——蜗壳任一截面与蜗壳起始面的夹角，°阿基米德螺旋线法流体质点运动轨迹方程为：在工程中常采用基元圆弧蜗壳型线法近似替换阿基米德蜗壳型线方法来绘制蜗壳。
基元圆弧蜗壳型线法包含等边基元法和不等边基元法。
在低比转速下2种方法气流轨迹相近，本文采用等边基元法绘制蜗壳型线。
在额定流量下，蜗壳的出口截面张开度A的计算式为：A=Q/（Bc2μ）（3）一般蜗壳厚度B=162.5mm，取蜗壳厚度B=160mm。
综合设计参数取蜗壳截面张开度A=80mm。
以风轮为中心做边长a=A/4正方形基元，以正方形4个定点为圆心R1，R2，R3，R4为半径做圆，4段圆弧平滑连接成的螺旋线即蜗壳型线。
其中R1=190mm，R2=170mm，R3=150mm，R4=130mm。
阿基米德螺线
阿基米德螺线阿基米德螺线ρ=aθ 极坐标图形的绘制数学原本不是枯燥的学科，只有真正喜欢数学，才会体会数学中的美，可是在功利化教育体制下，在应试教育的大棒下，数学的美已经被叠套拷贝类型题的海洋淹没，在公式和数字的背后留下的只是枯燥、乏味、深奥和不可琢磨。
很多学生畏惧数学，应该说不全是学生本身的问题。
高层次的涉及体制的问题，我们高不可攀，学子们对数学的遗憾、怨叹乃至于憎恨，目前还是应该由教师的教学的手段和方法去化解。
数学中的有些内容，理论性较强，初学者较难很快接受，其中极坐标就是一例。
其实极坐标及其涉及的螺线，不仅不枯燥不乏味，而且对其的探索，能很有力地展现数学的美。
极坐标的概念出现在高中数学中，但鉴于该内容在高考所占比例较少，限于许多学校数学教学手段、方法比较传统，极坐标的教学内容比较简单，涉及螺线部分，更是单薄。
现在可以使用Excel图表工具，轻松地将各种螺线画出，数形结合，研究其性质。
螺线种类很多，最具有代表性的就是阿基米德螺线。
关于阿基米德螺线的运用可见【注】。
古希腊数学家阿基米德(前287,前212)不只对物理做出了贡献，他的几何学研究也称得上是希腊数学的巅峰。
他不光研究圆、椭圆、抛物线、旋转抛物体，还提出了一种特殊的螺旋线，这种螺旋线由两种运动形成:设想一个虫子站在匀速旋转的圆盘之上，从圆心沿某个半径向外爬行，它的影子会在天花板上绘出一条螺线。
这螺线就是阿基米德螺线。
阿基米德螺线又称“等速螺线”。
当一点P沿动射线OP用速度v做等速率直线运动的同时，这条射线又以等角速度ω绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”，其极坐标表示式是:ρ,aθ这里a为实数，ρ是点P到极点的距离，θ是用弧度表示的射线与极轴的夹角。
尤其注意的是:角θ是以弧度表示的角。
弧度这一概念在高一数学中介绍过。
初接触弧度制时，不少学生是在朦朦胧胧中接受的，知其然不知其所以然:角度蛮好的嘛，为什么要用弧度,弧度、弧度搞得人糊里糊涂。
120种ug表达式曲线画法(阿基米德螺旋线数学方程式)
120种UG表达式曲线画法（阿基米德螺旋线、数学方程式）在UG中利用【规律曲线】|【根据方程】绘制各种方程曲线：1、极坐标（或柱坐标r,θ,z）与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=r*cos(θ)；y=r*sin(θ)；z=z2、球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=rsinθcosφ；y=rsin θsinφ；z=rcosθ在UG表达式中输入的theta=θ；phi=φ；r=rho【注：所有UG表达式中，必须先在名称栏输入t，公式栏输入0，类型为恒定的，即无单位。
t是UG自带的系统变量，其取值为0~1之间的连续数】1.直线直线的数学方程为y-y0=tan(θ)*(x-x0)，若直线经过点（10,20），倾角θ为30°，长度L为40，即UG表达式为：theta=30L=40xt=10+L*cos(theta)*tyt=20+L*sin(theta)*tzt=0效果如图1 2.圆和圆弧圆的数学方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2，若圆心坐标为（50,40），半径r为30，即UG表达式为：r=30theta=t*360xt=50+r*cos(theta)yt=40+r*sin(theta)zt=0效果如图23.椭圆和椭圆弧椭圆的数学方程为(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1，若椭圆中心坐标为（50,40），长半轴a为30（在X轴上），短半轴b为20，即UG表达式为：a=30b=20theta=t*360xt=50+a*cos(theta)yt=40+b*sin(theta)zt=0效果如图34.双曲线双曲线的数学方程为x2/a2-y2/b2=1，若中心坐标为（0,0），实长半轴a为4（在x轴上），虚半轴b为3，y的取值范围为-5~+5内的一段，即UG表达式为：a=4b=3yt=10*t-5xt=a/b*sqrt(b^2+yt^2)或xt=-a/b*sqrt(b^2+yt^2)zt=0做出一半后进行镜像复制，效果如图45.抛物线抛物线I的数学方程为y2=2px，若抛物线的顶点为（30,20）焦点到准线的距离p=8，y的取值范围为-25~+25，即UG表达式为：p=8yt=50*t-25+20xt=(yt-20)^2/(2*p)+30zt=0效果如图5-1抛物线II数学参数方程：x=2pt2，y=2pt（其中t为参数）。
螺线角度的计算
螺线角度的计算阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(2009-08-2523:45:56)标签:阿基米德螺旋线渐开线论螺线凸轮齿轮卡盘杂谈阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(关键词:旋进线，旋进比，同步，等距螺线，通用极坐标方程式)阿基米德(Archimedes，约公元前287~前212)，古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。
《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。
《论螺线》中，明确了以其名字命名的"阿基米德螺线"的定义:"当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为"阿基米德螺线"。
它的极坐标方程式为:r=a*θ，螺线的每条臂间的距离永远相等于2π*a。
请注意定义中至为关键的一句"动射线OP"!也就是说阿基米德螺线仅限于沿动射线OP(过回转中心的直线)上点的轨迹。
只有在这条射线上螺线的每条臂间的距离永远相等于2πa。
我们将思维开放一些，跳出动射线OP这个限定条件，将动射线OP变换为任意直线，定义就变成"动点P沿任意直线以等速率运动的同时，这直线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为…螺线"?有人将阿基米德螺线形象地描述为:蚂蚁在均匀回转的唱片上等速的向中心爬去时的轨迹，就是阿基米德螺旋线。
那么蚂蚁不向中心爬，而是沿着任意方向的一条直线爬去，其轨迹会是什么螺线呢?出于论述需要，我把绕中心旋转并供动点沿其自身同步、定旋比运动的任意直线称为旋进线;把动点旋转运动与直线运动之间的比例关系称为旋进比(简称旋比)-即:动点旋转一周时相应在旋进线上移动的距离(螺距S)。
旋比ix=S/360(角度制-单位mm/度)，或ix=S/2π。
把动点旋转运动与直线运动之间的运动关系限定为同步，即两者的关系是随动关系，即你动我动、你快我快、你慢我慢、你停我停。
浅谈对数螺旋线
浅谈对数螺旋线（logarithmic spiral）摘要：我们常常可以在自然界中发现螺旋扩大的图形，比如：蜘蛛织的网、向日葵的花盘、鹦鹉螺外部切面等等。
这种图形叫做对数螺旋线。
本文，将从数学的视角，探讨对数螺旋线的来源、历史上数学家们对它的研究、如何建立模型、这种模型的性质和它在工业、农业、建筑业等方面的应用。
We often can find expanding spiral graphics in nature,such as:spider weaving a network, sunflower chrysanthemum,Nautilus external aspect and so on.This graph is called the logarithmic spiral.This article,from the perspective of mathematics to explore the source of logarithmic spiral,mathematicians in the history who studied it,how to build models,the nature of the models and the application it is in industry,agriculture,construction,etc.作者：陈红（200911233021）陈虹邑（200911233012）殷怡（200911233008）关键词：对数螺旋线、应用、蜗牛壳、对数螺旋线叶片二、螺旋线的来源1、在自然界中的踪影在自然界中对数螺旋线非常普遍，向日葵花盘上瘦果的对数螺旋线的弧形排列，这样就可以使果实排得最紧、数量最多、产生后代的效率也最高。
当我们观察着园蛛，我们会发现它的网并不是杂乱无章的，那些辐排得很均匀，每对相邻的辐所交成的角都是相等的；蜘蛛在织网时，首先要在两地之间架“天索”，把丝固定在一定的地方，并在固定的丝上来回走几趟，使丝加粗。
阿基米德螺线讲解
浅谈阿基米德螺线摘要：本文从生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用，浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点，并以蚊香为例，建模，证明了阿基米德螺线应用的广泛性。
关键词：阿基米德螺线、极坐标、自然界实例，生活中应用引言很多人都知道飞蛾扑火这个故事。
但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。
飞蛾的历史远比人类悠久。
在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。
由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。
当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。
可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。
这在数学上称为阿基米德螺线。
通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。
举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。
1.阿基米德螺线简介1.1阿基米德简介及螺线的发现阿基米德 Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。
他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。
据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的．柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了．1.2阿基米德螺线的定义及方程1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
母线在绕轴线做匀速圆周运动的同时，做匀速或变速轴向运动，母线的运动轨迹形成等螺距或变螺距螺旋面。
螺旋面与同轴的圆柱面或同轴圆锥面的交线，称为圆柱螺线或圆锥螺线。
[4] 混凝土搅拌车中常用的螺旋线是直纹正螺旋面和直纹斜螺旋面。
直纹：母线为直线。
正螺旋和斜螺旋：母线与轴线垂直或斜交。
螺旋角
螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与圆柱面或圆锥面的母线之间的夹角称为螺旋角，一般用β表示[6]
升角
螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与通过该点的圆柱截面在该点的切线之间的夹角，称为螺旋升角，简称升角，常用δ表示[6]
︒=+90βδ
相当于在圆柱面上有一张白纸，并转动，铅笔紧靠白纸，并作轴向运动，形成的轨迹，称为螺旋线。
把白纸展开，即可得螺旋升角。
图片来自文献[15]
阿基米德螺旋线：螺距相等的螺旋线。
既做匀速转动又做等速直线运动（两速度要同步），而形成的轨迹，称为“阿基米德螺旋”，又称等螺距螺线。
[8]圆锥的阿基米德螺线的螺旋角是变化的。
[6]
如果选用阿基米德螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺旋角是从圆锥小端至圆锥大端递增的
对数螺旋线：
对数螺旋线又称等角螺旋线或等升角螺旋线或等螺旋角螺旋线，其螺距是变化的。
[6]
如果选择对数螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺距是随各截面处直径的变化而成正比变化的，这时的螺旋角可以设计为不变。
阿基米德螺旋叶片螺距相等，但是螺旋角不等；
对数螺旋叶片的螺距不相等，但是螺旋角相等。
螺旋角越大，升角就越小，搅拌性能就越差，出料性能越好；
螺旋角越小，升角就越大，搅拌性能就越好，出料性能越差。
搅拌性性能差，容易离析
所以罐车的两头的螺旋角大，中间的螺旋角小。
面积元对地的最大倾斜线用S 表示；对地倾斜角α
螺旋线的切线用τ表示；对地倾斜角τα；螺旋面的母线用n 表示；对地倾斜角n α
图片来自文献4，注意出料方向
位置
倾斜线对地倾角α
下滑角ψ 说明
备注
1点位置（最低点） 90° 假定70°
物料积累在筒臂最底部
1.叶片上的物料
要么滑向筒臂，要么滑向另一侧 2.使用三维模型分析，较为清晰明
了
3.物料不是一点半点而是占据了几何容量60%左右，很可能漫过了3点的位置，即3点位置本来就有
物料 2点位置（1和3点
之间）
对地倾角变小 从90°递减至螺旋角
β
假定70° 在倾斜角变小至70°之前，物料不会上升，只会被叶片推出 3点位置（中央）
此时S 与τ重合，对地倾角等于螺旋角β
假定70°
若对地倾角大于下滑角,物料会沿
螺旋切线方向下滑出料；若对地倾角小于下滑角,此时面积元附近的
物料会被叶片带动上升
4点位置（3和5点
之间）
对地倾角变大 从β递增至螺旋角
90° 假定70°
对地倾角变大，当大于70°时，物料下落，指向筒臂根部的反方向，物料落到前一个螺距中去，达
不到出料目的 5点位置（最上端）
90° 假定70°
物料不可能存在。