6二阶电路的零输入响应
二阶电路经典篇
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
二阶rlc电路的零输入响应
二阶rlc电路的零输入响应二阶RLC电路是一种常见的电路，它由一个电感、一个电容和一个电阻组成。
在电路中加入外部刺激信号之前，电路中存在着初始状态，即电路内部的电流和电压，这些电流和电压对于外部信号的作用有着重要的影响。
当不加外部刺激信号时，电路内部的电流和电压变化受到电路本身的约束，这种变化被称为零输入响应。
二阶RLC电路的零输入响应可以通过求解二阶微分方程得到。
电路中的电感、电容和电阻分别表示为L、C和R，则电路的方程可以表示为：L(di/dt) + Ri + (1/C)q = 0其中，i是电路中的电流，q是电路中的电荷，t是时间。
将电荷表示为电容与电压的乘积，即q = CV，将电流表示为电压与电阻的乘积，即i = V/R，化简上述方程得到：这是一个二阶微分方程，其中二阶导数d2V/dt2表示电压的变化率，一阶导数dV/dt 表示电压的斜率，即电压的变化速率，常数1/CV表示电路的本征频率。
解决这个微分方程需要使用初值条件，即在t=0时的电压和电流。
解决二阶微分方程可以使用多种技术，其中一种常见的技术是使用欧拉公式。
欧拉公式表示为：e^(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt)其中，j表示虚数单位，ω表示频率。
使用欧拉公式将二阶微分方程化简得到：(d2/dt2)(Ve^(jωt)) + 2ζω(d/dt)(Ve^(jωt)) + ω^2Ve^(jωt) = 0其中，V表示电压，ζ表示阻尼系数，记为R/2*(√(L/C))，ω是角频率，记为1/(√(LC))。
这个微分方程的解可以表示为：其中，A和B是积分常数，也叫初始条件，代表在t=0时的电压和电流。
电压响应可以分为三类：欠阻尼响应、临界阻尼响应和过阻尼响应。
如果阻尼系数小于临界值(R/2*(√(L/C)))，响应是欠阻尼的，并具有振荡特性。
如果阻尼系数等于临界值，响应定态快速达到，并达到稳态。
如果阻尼系数大于临界值，响应为过阻尼的，并缓慢达到稳态。
电路理论第11章二阶电路
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
二阶电路
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令 duL 0 dt
求出极小值出现的时刻
t
2
ln( p2 p1
/ p1 ) p2
2t m
在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 t tm 时电感吸收能量，建立磁场；t tm 时电感释放能量，磁 场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变 成热能。
L
di dt
U 0et
(1 t)
在整个过渡过程中，uc ,i,uL是单调衰减的函数，电路的放
电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之
间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过
阻尼情况相似。
动画演示：三种阻尼情况
华中科技大学出版社
11
湖北工业大学
例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。 求t≥0换路后电容的电压uc和i。已知：
dt
华中科技大学出版社
14
9.2 零状态响应
湖北工业大学
在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感
的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t≥0时的 uc ,i,uL 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶 电路的零状态响应。
回路的KVL方程为 uc uL uR uS
iL (0 ) C
0
A1
p2
p2 p1
,
A2
p1 p1 p2
二阶电路的零状态响应
二阶电路的零状态响应
电路的响应指的是电路在不同输入下的输出情况，分为零状态响
应和零输入响应。
所谓零状态响应，指的是电路从某一时刻开始，经过一段时间后
的输出情况，而这段时间内电路的电容和电感等元件是没有存储能量的。
这种响应与电路的初始状态有关，在输入信号改变前电路中的电
势和电流已经存在了一些初值，这些初值会对电路的响应产生影响。
对于二阶电路而言，其响应可以用二阶微分方程来表示。
二阶微
分方程的通解形式为：
y(t) = C1 e^(αt) + C2 e^(βt)
其中，C1和C2为待定常数，α和β分别为根号下b^2-4ac得到
的两个实数或者共轭复数。
根据初值条件和输入信号，可以解得C1和
C2的值，然后带入通解中即可得到响应的具体表达式。
二阶电路的响应除了受到初值的影响外，还受到电路的频率特性
的影响。
根据电路的传输函数，可以得到电路的幅频特性和相频特性。
在实际应用中，需要调节电路的参数以满足特定的频率响应要求。
总之，二阶电路的零状态响应是电路在一定的初值状态下对输入
信号的响应，需要通过求解微分方程和考虑频率特性，来得到电路的
具体响应情况。
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应引言在电路中，当我们施加输入信号后，电路会做出相应的响应。
这种响应可以分为零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
本文将讨论二阶电路的零输入响应，并对其进行详细探究。
二阶电路简介二阶电路是指由两个存储元件（电感或电容）和两个能量转换元件（电压源或电流源）组成的电路。
它具有两个自由电荷或自由电压变量。
二阶电路常用于滤波器、振荡器等各种实际电路中。
二阶电路可以分为两种类型：二阶低通电路和二阶高通电路。
二阶低通电路是指具有低通特性的二阶滤波电路，可以通过滤除高频信号来实现信号的平滑传输。
而二阶高通电路则是指具有高通特性的二阶滤波电路，可以滤除低频信号，只传递高频信号。
零输入响应的定义零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
在二阶电路中，输入信号可以分为零输入和零状态两部分。
零输入指输入信号为零时的响应，而零状态指将输入信号移除后电路中的存储能量仍然存在时的响应。
零输入响应的计算方法二阶电路的零输入响应可以通过以下步骤计算得到：1.确定电路的初始条件：初始条件是指在没有外部输入信号时，电路中存储能量的初始值，包括电感中的电流和电容中的电压。
2.将输入信号设为零：将所有输入信号设为零，包括电压源和电流源的归零。
3.解析电路方程：使用电路分析方法，如基尔霍夫定律或节点法，得到电路的微分方程。
4.解微分方程：使用适当的方法，如常系数线性非齐次微分方程的解法，求解出电路的响应函数。
5.利用初始条件求解常数：将初始条件代入响应函数，得到电路的特定解。
6.计算零输入响应：将特定解与自由解相加，得到电路的零输入响应。
零输入响应的性质二阶电路的零输入响应具有以下几个重要的性质：1.具有指数衰减特性：二阶电路的零输入响应通常呈现出指数衰减的特性，即在初始时刻响应较大，随着时间的推移逐渐趋于零。
2.零输入响应是自由响应的一部分：零输入响应是在没有外部输入信号的情况下，电路中存储能量释放的结果，因此它是自由响应的一部分。
二阶电路的零输入响应
2
二阶电路的零输入响应
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
•提出问题
列微分方程
令
def def
•解决问题
•结果分析 解微分方程
R α 2L
ω0
1 LC
结果
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
d 0 cos
0 sin
L ), C
d arccos 0
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
I0 u( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 s1 A1 s2 A2 C A1 A2 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
联立求解得
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
S1
(t<0)
(original state)
二阶电路的零输入响应
Us +
－
i(t) S1
(t>0)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
开关在t=0时换路， S1断开、S2 闭合。t>0, RLC串联形成一个 回路，电压u、电流i即为零输 入响应(zero-input response)。
R
L C
S2 + u(t)
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
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6二阶电路的零输入响应5.6.1二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压C u 的极性和流过电感电流L i 的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即)0()0(-+=C C u u （5-31）流过电感的电流也总是连续的，即)0()0(-+=L L i u （5-32）确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5.6.2R L C 串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC 串联电路。
开关S 闭合前，电容已经充电，且电容的电压0U u C =，电感中储存有电场能，且初始电流为0I 当0=t 时，开关S 闭合，电容将通过L R 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
+-L u C图5-37 RLC 串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据KVL 可得0=++-L R C u u u且有dt du C i C C -=，dt du RC Ri u CR ==，dtu d LC dt di L u C L 2-==。
将其代入上式得022=++C C C u dtduRC dt u d LC式（5-33）是RLC 串联电路放电过程以C u 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流i 作为变量，则RLC 串联电路的微分方程为022=++i dtdi RC dt i LC d （5-34）在此，仅以C u 为变量进行分析，令Aeu ptC =，并代入（5-33），得到其对应的特征方程012=++RCp LCp求解上式，得到特征根为LC L R L R P LC L R L R P 1221222221-⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎭⎫⎝⎛+-= （5-35）因此，电容电压C u 用两特征根表示如下：t p t p C e A e A u 2121+= （5-36）从式（5-35）可以看出，特征根1p 、2p 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。
1p 、2p 又称为固有频率，单位为奈培①每秒）（s N P /，它与电路的自然响应函数有关。
根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为000U u u C C ==-+）（）（，0)0()0(I i i ==-+，又因为dt du Ci CC -=，所以有CI dt du CC 0-=。
将初始条件和式（5-36）联立可得⎪⎭⎪⎬⎫-=+=+C I p A p A U A A 02211021（5-37） 首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即00≠U 且00=I 。
有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=1201212021p p U p A p p U p A （5-38） 将1A 、2A 的表达式代入（5-36）式即可得到RLC 串联电路的零输入响应，但特征根1p 、①奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。
2p 与电路的参数R 、L 、C 有关，根据二次方程根的判别式可知1p 、2p 只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论1.CLR 2>，过阻尼情况 在此情况下，1p 、2p 为两个不相等的实数，电容电压可表示为()t p t p C e p e p p p U u 2112120--=（5-39）根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为()t p tp C e e p p p p CU dt du Ci 2112210---=-= )()(21120t p t p e e p p L U ---= （5-40）()t p t p L e p e p p p U dt di Lu 2121120---== （5-41） 其中利用了LCp p 121=的关系。
由于21p p >，因此0>t 时，e e tp t p 21>-，且0121122>->-p p p p p p 。
所以0>t 时Cu 一直为正。
从（5-40）可以看出，当0>t 时，i 也一直为正，但是进一步分析可知，当0=t 时，0)0(=+i ，当∞→t 时，0)(=∞i ，这表明)(t i 将出现极值，可以求一阶导数得到，即02121=-t p t p e p e p故 1212max ln 1p pp p t -=其中max t 为电流达到最大的时刻。
C u 、i 、L u 的波形如图5-38所示。
图5-38 过阻尼放电过程中C u 、i 、L u 的波形从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。
当m t t <时电感吸收能量，建立磁场；m t t >时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。
当m t t =时，电感电压过零点。
2. CLR 2<，欠阻尼情况当CLR 2<时，特征根1p 、2p 是一对共轭复数，即 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=⎪⎭⎫⎝⎛---=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ωαωαj LC R LC j L k p j LC R LC j L k p 22211212 （5-42）其中：LCR=α称之为振荡电路的衰减系数； 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=L R LC ω称之为振荡电路的衰减角频率。
LC10=ω称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。
显然有2220ωαω+=，令⎪⎭⎫⎝⎛=αωθarctan ，则有θωαcos 0=，θωωsin 0=，如图5-39所示。
ωαωθ图5-390ωωθα，，，之间的关系根据欧拉公式⎪⎭⎪⎬⎫-=+=-θθθθθθsin cos sin cos j j e e j j （5-43） 可得ej p θω--=01 ，ej p θω02-=所以有 ()t p t p C e p e p p p U u 2112120--==()()[]t j j t j j e e e e j U ωαθωαθωωω--+-+--0002=()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-200j e e eU t j t j tθωθωαωω =)sin(00θωωωα+-t e U t （5—44） 根据式（5-40），（5-41）可知)sin(0t e LU i tωωα-=（5-45） )sin(00θωωωα--=-t e U u t L （5-46）从上述情况分析可以看出，C u 、i 、L u 的波形呈振荡衰减状态。
在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。
C u 、i 、L u 的波形如图5-40所示。
图5-40 欠阻尼情况下C u 、i 、L u 的波形表5-2从欠阻尼情况下 c u 、i 、L u 的表达式还能得到以下结论：（1） πωk t =，........3,2,1,0=k 为电流i 的过零点，即C u 的极值点。
（2） θπω+=k t ，........3,2,1,0=k 为电感电压L u 的过零点，即电流i 的极值点。
（3） θπω-=k t ，........3,2,1,0=k 为电容电压C u 的过零点。
在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况，0=k ,此时1p 、2p 为一对共轭虚数，01ωj p =02ωj p -=代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得)2sin(00πω+=t U u C （5-47）)sin(00t LCU i ω= （5-48） )2sin(00πω+=t U u L（5-49）由此可见，c u 、i 、L u 各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。
其波形如图5-41所示U图5-41 LC 零输入电路无阻尼时C u 、i 、L u 波形3.CLR 2=，临界阻尼情况 在此条件下，特征方程具有重根，即2221-=-==LRp p 全微分方程（5-33）的通解为t C e t A A u 221)(-+=根据初始条件可得01U A = 022U A =所以，很容易得到t C e t U u αα-+=)1(0（5-50）e tC t L U dt du Ci α-=-=0 （5-51） )1(0t e U dt diL u t L αα-==- （5-52）显然，C u 、i 、L u 不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。
此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将CLR 2=的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。
§5.7二阶电路的零状态响应如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。
5.7.1R L C 串联电路的零状态响应电路如图5-47所示，开关S 闭合前，电容和电感电流均为零。
0=t 时，开关S 闭合。
+-C u图5-47 RLC 串联电路的零状态响应以C u 为电路的变量，根据VCR 和KVL ，有s C C C U u dtduRC dt u d LC =++22 （5-63）方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解S CU u ='，另一部分为对应齐次方程的通解pt C Ae u =''，即C C C u u u ''+'=。
方程（5-63）对应的齐次微分方程022=++C C C u dtduRC dt u d LC （5-64）方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。
将结论分别表示如下1.CLR 2>，非振荡充电过程 电路响应表示为S t p t p SC U e p e p p p U u +--=)(211221)()(2121t p t p Se e p p L U i --=)(212121t p t p SL e p e p p p U u --=其中1p 、2p 为特征根，表达式与（5-35）式相同。
L u 、i 和C u 的波形如图5-48所示，图5-48L u 、i 和C u 的波形图其中 max 1212max ln 1t p p p p t -=，是电感电压过零点，也是电流i 达到最大值的时刻。
2.CLR 2<，振荡充电过程 电路响应表示为S t C C U e t u u ++=-2)21(tS te LU i 2-= )1(t e u u t S L αα-=-其中LR2=α，此情况下的充电过程也为非振荡充电。