数学建模与数学实验习题

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数学建模实验题目解答

数学建模实验题目解答题目一:慢跑者与狗一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的常速v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w 跑向慢跑者.狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹,并分析狗是攻击到慢跑者. 一,建立模型.设时刻t 慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)), 又X=10+20cost, Y=20+15sint. 由于狗的运动方向始终指向慢跑者,故此时狗与人的坐标连线就是此时狗的轨迹曲线弧处的切线，即dy/dx=(Y-y)/(X-x), y ’=(dy/dt)/(dx/dt) 又运动时间相同:,解得可得参数方程为:二,求解模型w=20时,建立m-文件xy1.m 如下: function dy=xy1 (t,y) dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = - + - + + - + =- + - + + - + = 0) 0 ( ,0 ) 0 ( )sin 15 20 ( )sin 15 20 ( ) cos 20 10 ( )cos 20 10 ( )sin 15 20 ( ) cos 20 10 ( 22 2 2 y x y t y t x t wdtdy x t y t x t wdtdxdy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); 取t0=0，tf=6.0，建立主程序fangcheng1.m如下:t0=0;tf=6.0;[t,y]=ode45('eq3',[t0 tf],[0 0]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')hold onplot(y(:,1),y(:,2),'*')轨迹线如下图:发现狗没有攻击到慢跑者,于是,从4.0开始,不断的更改tf的值,发现当tf=3.15时, 刚好追上慢跑者.其轨迹线如下图所示:W=5时, 建立m-文件xy2.m如下:function dy=xy2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)- y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=30立主程序fangcheng2.m如下:t0=0;tf=30[t,y]=ode45('eq4',[t0 tf],[0 0]); T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')hold onplot(y(:,1),y(:,2),'*')轨迹线如下图:发现狗没有攻击到慢跑者,当tf=50,轨迹线如下图:在fangcheng2.m不断修改tf的值,分别取tf=60.70…1000…. 可以看出,狗永远追不上慢跑者.。

数学实验与数学建模实验二

数学实验与数学建模实验二2.圆钢原材料每根长5.5米，现需要A,B,C三种圆钢材料，长度分别为3.1m,2.1m,1.2m,数量分别为100根，200根，400根，试安排下料方式，使所需圆钢原材料的总数最少。

约束条件为:目标函数：则列lingo程序如下：min=x1+x2+x3+x4+x5;x1+x2>=100;x1+x3+2*x4>=200;2*x2+2*x3+x4+4*x5>=400;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);End运行结果如下：结合lingo数据得出结论：方案一和三没有采用，方案二和四用去100跟原材料，方案五用去25跟原材料，一共用去225根原材料，即为最优。

3．住宅小区服务中心选址：某地新建一个生活住宅区，共有20栋住宅楼，小区内所有道路都是东西或南北走向，开发商拟在小区内修建一个服务中心，地址选在离所有楼房的总路程最小的地方。

为保证建筑物之间有足够的空间，服务中心的位置与其他楼房位置之间的距离不能少于30米（已经考虑了所有建筑的占地面积），请你确定服务中心的位置。

设初始点X0=[20,20],设（ai,bi）(i=1,......,20)为第i栋住宅楼的坐标：a=[29.74 4.9 69.32 65.0 98.3 55.27 40.0 19.8 62.5 73.3 37.58 0.98 41.98 75.37 79.38 92.0 84.47 36.77 62.08 73.13],b=[19.39 90.48 56,92 63.18 23.44 54.88 93.16 33.5 65.5 39.19 62.73 69.9 39.72 41.37 65.52 43.5 34.6 75.2 12.32 86.7]。

约束条件：目标函数：解：列出lingo式子如下：model:sets:zl/1..20/:x,y,e;endsetsdata:x=29.74,4.9,69.32,65.0,98.3,55.27,40.0,19.8,62.5,73.3,37.58,0.98,41.98,75.37,79.38,92.0,84.47,36.77,62.08,7 3.13;y=19.39,90.48,56.92,63.18,23.44,54.88,93.16,33.5,65.5,39.19,62.73,69.9,39.72,41.37,65.52,43.5,34.6,75.2,12.32,86.7;e=20,20;enddatamin=@sum(zl(i):(((x(i)-px)^2)^(1/2)+((y(i)-py)^2)^(1/2)));@for(zl(i):(x(i)-px)^2+(y(i)-py)^2>=900);end运行结果如下：得出结论为：当服务中心的坐标为[1.281228,9.897984]时，离所有的楼房的总路程最小。

数学建模与数学实验习题答案

数学建模与数学实验习题答案数学建模与数学实验习题答案数学建模和数学实验习题是数学学习中的重要组成部分，通过这些习题，我们可以更好地理解和应用数学知识。

本文将介绍数学建模和数学实验习题的一些答案和解题方法，帮助读者更好地掌握数学学习。

一、数学建模数学建模是将数学方法和技巧应用于实际问题的过程。

在数学建模中，我们需要将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析。

下面是一个简单的数学建模问题和其解题过程。

问题：某工厂生产产品A和产品B，每天的产量分别为x和y。

产品A的生产成本为10x+20y，产品B的生产成本为15x+10y。

如果工厂每天的总成本不超过5000元，且产品A的产量必须大于产品B的产量，求工厂一天最多能生产多少个产品。

解题过程：首先，我们需要建立数学模型来描述这个问题。

设产品A的产量为x，产品B的产量为y，则问题可以抽象为以下数学模型：10x+20y ≤ 5000x > y接下来，我们需要解决这个数学模型。

首先，我们可以通过图像法来解决这个问题。

将不等式10x+20y ≤ 5000和x > y转化为直线的形式，我们可以得到以下图像：（图像略）从图像中可以看出，不等式10x+20y ≤ 5000和x > y的解集为图像的交集部分。

通过观察图像，我们可以发现交集部分的最大值为x=250，y=125。

因此，工厂一天最多能生产250个产品A和125个产品B。

除了图像法，我们还可以通过代数法来解决这个问题。

将不等式10x+20y ≤ 5000和x > y转化为等式的形式，我们可以得到以下方程组：10x+20y = 5000x = y通过求解这个方程组，我们可以得到x=250，y=125。

因此，工厂一天最多能生产250个产品A和125个产品B。

二、数学实验习题数学实验习题是通过实际操作和实验来学习数学知识和技巧的一种方式。

下面是一个关于概率的数学实验习题和其答案。

习题：一枚硬币抛掷10次，求出现正面的次数为偶数的概率。

《数学建模与数学实验》(第三版)6.5习题作业2

1.根据物理定律K K K R I V =,R I P 2=,建立如下模型：（1）：目标函数为：∑==412k k k R IP 约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=≤≤8,6,41023213214I I I I I I I I R I k k k 1)直接计算求解183214=++=I I I I()K K k K K K K R I I R I P ∑∑====41412min min=K k K V I∑=41min现在K V 一定，要想求P 的最小值，只需K I 最小即可。

又因为K I 已知，代入数据即可求解。

即218282624min 44332211⨯+⨯+⨯+⨯=+++=V I V I V I V I P2）有K I 已知及K V 的取值范围，可得K R 的取值范围。

min =I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3+I4^2*R4;I1=4;I2=6;I3=8;I4=18;R1>=1/2;R2>=1/3;R3>=1/4;R4>=1/9;R1<=5/2;R2<=5/3;R3<=5/4;R4<=5/9;EndGlobal optimal solution found.Objective value: 72.00000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost I1 4.000000 0.000000 R1 0.5000000 0.000000 I2 6.000000 0.000000 R2 0.3333333 0.000000 I3 8.000000 0.000000 R3 0.2500000 0.000000 I4 18.00000 0.000000 R4 0.1111111 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 72.00000 -1.000000 2 0.000000 -4.000122 3 0.000000 -4.000081 4 0.000000 -4.000061 5 0.000000 -4.000027 6 0.000000 -16.00000 7 0.000000 -36.00000 8 0.000000 -64.00000 9 0.000000 -324.0000 10 2.000000 0.000000 11 1.333333 0.000000 12 1.000000 0.000000 13 0.4444444 0.000000（2）：目标函数：∑==412k k k R I P 约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤===≤≤++=628,6,4263213214k kk kI V V V V R V I I II1)183214=++=I I I I()K K k K KK K R I I R I P ∑∑====41412min min=K k K V I ∑=41min)min(44332211V I V I V I V I P +++=要使P 最小，取4V =0，则)min(332211V I V I V I P ++=现在K V 一定，要想求P 的最小值，只需K I 最小即可。

数学建模与数学实验课后习题答案

P594•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。

学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。

解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。

i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。

首先，我们先按比例分配委员席位。

23710 A 宿舍为:n A ==2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =4.3111002现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。

经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。

所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

QA23722 3= 9361.5 Q B33323 4 = 9240.7 Q C4322 4 5=9331.2商人们怎样安全过河傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌鯉械即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘HX …佛讪卜过樹蘇卜允棘髒合岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口於广歎煙船上觸人敦% V O J U;xMmm朗“…他1曲策D 咿川| thPl,2卜允隸策集合刼為和啊母紳轉多步贱就匚叫=1入“山使曲并按腿翻律由汩3』和騒側），模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;X =3? J =0,1,2,3； X =»*=1,2}J规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点允许状态〜U ）个。

点 , 允许决策〜移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案评注和思考［廿rfn片,rfl12 3xmm賤縣臓由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。

数学实验与数学建模作业(1)

三、模型假设
3.1.假设船的模型为一个标准的矩形，即船头与船尾宽度一致，以便于分析问题。
3.2.假设船的最大长度为船外侧与河道的边沿刚好接触时的情况，方便求解。
四、符号பைடு நூலகம்明
L：船的长度。
X：船外侧与横轴的夹角为x。
五、模型的建立与求解
5.1.建立船长度L与x的关系：
L=10/Sinx+12/Cosx-5*Tanx-5/Tanx
Mathematica建立船渡直角弯模型
一、问题重述
有一艘宽度为5m的船，欲驶过某河道的直角湾，河道的宽度如下图所示，试问：要驶过直角湾,船的长度不能超过多少米?(精确到0.01m)
图一
二、问题分析
如图所示，由于船需要拐过的弯为一个直角，所以船的最大长度有一限制，即当船头船尾所成直线恰好与直角的内角相切时，设驳船长度为L，要使驳船能驶过直角湾，假定驳船外侧与河道的边沿刚好接触，则河道内侧的角点到驳船内侧的距离不能大于5m，否则无法通过.因而问题归结为求L的最大值。所以只需要建立船长L与船外侧与横轴的夹角x的关系，并利用mathematica求出L的最大值即可。
所以船欲驶过该直角湾，船的最大长度为21.04m。
5.2.画出函数的图形：
源代码：
f[x_]:=10/Sin[x]+12/Cos[x]-5*Tan[x]-5/Tan[x]
Plot[f[x],{x,0,Pi/2},PlotRange{-10,100}]
结果：
结果分析：由图可知，函数有唯一的极值点，大约在0.75附近。
5.3.画出直观的图像：
源代码：
Plot[ ,{x,0,Pi/2},PlotRange->{-60,60}]
结果：

数学建模与实验习题库a

1《数学建模与实验》习题库a 感谢信息与计算科学02级的五位同学作为毕业设计英文翻译任务完成了此习题库的构建工作他她们的工作分别为: 刘静: 第1 4章朱佳琦: 第2 3 6章李新颖: 第5 7章朱晓强: 第8 9 10章甘永生: 第11 12章. 参考文献数学建模英文版机械工业出版社北京2003. 5. 经典原版书库原书名: A First Course in Mathematical Modeling Third Edition by Frank R. Giordano Maurice D. Weir William P. Fox. 第1章1.1习题1.写出下列序列的前五项40aa?? a 1na30a0a1 b 1na20a6 0a0 c 1na 2nana3 0a4 d 1na2na0a1 2.求序列第n项的公式a 33333…b141664256… c214181161321… d1371531… 差分方程3.考察下列序列写出差分方程以表示作为序列中前一项的函数的第n个区间上的变化. 4.写出满足下列差分方程的序列前五项动力系统5.代入n0123写出下列动力系统表示的前四个代数方程. 6.写出你认为可以用动力系统来建模的若干行为的名称. 确切地对变化建摸对问题7-10写出能对所述情景的变化建模的动力系统的公式7.目前你在储蓄帐户上有月息为0.5的5000存款你每个月再存入200. 8.你的信用卡上有月息1.5的欠款500美元你每月偿还50并且没有新的欠款. 9.你的父母在考虑一项贷款期限30年每月要支付0.5利息的100000美元抵押贷款.试建立一个每月还款p且能够在360次负费后还清抵押贷款借款的模型.提示:如果na表示n个月后的欠款那么0a和360a表示什么呢10.你的祖父母有一份年金.每月把上一个月结余的1作为利息自动存入年金.你的祖父母每月初要取出1000美元作为生活费。

目前他们的年金为50000美元.试用动力系统对年金建模年金会用光吗什么时候用光提示:当年金用光时na的值为多少1.1研究课题1 你希望买一辆新车而且选择范围仅限于SaturnCavalier和Hyundai.每家公司都向你提供2最优惠的交易条件: Saturn 车价13990 预付1000 月利率3.5直到60个月Cavalier 车价13550 预付1500 月利率4.5直到60个月Hyundai 车价12400 预付500 月利率6.5直到48个月你每个月为买车最多能付475美元。

08数学建模与数学实验十一讲习题

08数学建模与数学实验⼗⼀讲习题1、考察温度x 对产量y 的影响，测得下列10组数据：x= 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 y= 13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3求y 关于x 的线性回归⽅程，检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估值及预测区间（置信度95%）. 解答：法①：回归：x=20:5:65;X=[ones(10,1) x'];Y=[13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats 结果： b = 9.1212 0.2230 bint =8.0211 10.2214 0.1985 0.2476 stats =0.9821 439.8311 0.0000 0.2333即0?β= 9.1212，1?β= 0.2230；0?β的置信区间为[8.0211 10.2214], 1β的置信区间为0.1985 0.2476; r 2=0.9281, F=439.8311, p=0.0000 p<0.05, 可知回归模型 y=9.1212+ 0.2230x 成⽴.法②：拟合：x=20:5:65;y=[13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]; [A,B]=polyfit(x,y,1) Y=polyval(A,42)[Y,DELTA]=polyconf(A,42,B,0.05)结果：A =0.2230 9.1212 B =R: [2x2 double] df: 8 normr: 1.3660 Y = 18.4885 Y = 18.4885 DELTA =1. 1681在42度时的预估计值为Y=18.4885，Y的显著性为1-0.05，其置信区间为18.4885+1.1681,18.4885-1.1681.2、某零件上有⼀段曲线，为了在程序控制机床上加⼯这⼀零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标x i处测得纵坐标y i共11对数据如下：x= 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20y=0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7求这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的⼆次多项式回归⽅程法①：拟合：x=0:2:20;y=[0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7];a=polyfit(x,y,2)结果：a =0.1403 0.1971 1.0105既有⽅程:y=0.1403*x^2+0.1971*x+1.0105法②：回归：x=0:2:20;X=[ones(11,1) x' (x.^2)'];Y=[0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b既有⽅程:y=0.1403*x^2+0.1971*x+1.0105法③：⾮线性：function f=tier03(beta,x)f=beta(1)*x.^2+beta(2)*x+beta(3);后x=0:2:20;y=[0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7];beta0=[1 2 3]';[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','tier03',beta0);beta结果：beta =0.14030.19711.0105既有⽅程:y=0.1403*x^2+0.1971*x+1.01053、在研究化学动⼒学反应过程中，建⽴了⼀个反应速度和反应物含量的数学模型，形式为 34231253211x x x x x y βββββ+++-=其中51,,ββ是未知参数，321,,x x x 是三种反应物（氢，n 戊烷，异构戊烷）的含量，y 是反应速度.今测得⼀组数据如表4，试由此确定参数51,,ββ，并给出置信区间.51,,ββ的参考值为 (1,0.05, 0.02, 0.1, 2）.序号反应速度y 氢x 1 n 戊烷x 2异构戊烷x 31 8.55 470 300 102 3.79 285 80 103 4.82 470 300 1204 0.02 470 80 1205 2.75 470 80 106 14.39 100 190 107 2.54 100 80 658 4.35 470 190 659 13.00 100 300 54 10 8.50 100 300 120 11 0.05 100 80 120 12 11.32 285 300 10 13 3.13 285 190 120 1．建⽴M ⽂件：function f=tisan(beta,x) x1=x(:,1); x2=x(:,2); x3=x(:,3);f=(beta(1)*x2-x3/beta(5))./(1+beta(2)*x1+beta(3)*x2+beta(4)*x3); 2．输⼊数据：x=[470 300 10 285 80 10 470 300 120 470 80 120 470 80 10 100 190 10 100 80 65 470 190 65 100 300 54 100 300 120 100 80 120 285 300 10 285 190 120];y=[8.55 3.79 4.82 0.02 2.75 14.39 2.54 4.35 13.00 8.50 0.05 11.32 3.13]'; beta0=[1,0.05,0.02,0.1,2]; [beta,r ,J]=nlinfit(x,y,'tisan',beta0); beta结果：beta =1.2526 0.0628 0.0400 0.1124 1.1914则所求得⽅程为：321231.2526 1.191410.06280.04000.1124x x y x x x -=+++4、混凝⼟的抗压强度随养护时间的延长⽽增加，现将⼀批混凝⼟作成12个试块，记录了养护⽇期x （⽇）及抗压强度y （kg/cm 2）的数据：试求x b a yln ?+=型回归⽅程. 法①：回归：x=[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56];y=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99]'; X=log(x);x1=[ones(12,1) X'][b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x1); b结果： b =21.0058 19.5285⽅程：y=21.0058+19.5285lnx法②：⾮线性：function f=tisi02(beta,x)f=beta(1)+beta(2)*log(x);输⼊数据： x=[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56];y=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99]; beta0=[1 1]';[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','tisi02',beta0);beta结果：b =21.005819.5285⽅程：y=21.0058+19.5285lnx法③:拟合:x=[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56];y=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99]; X=log(x); a=polyfit(X,y,1)结果:a =19.5285 21.0058⽅程：y=21.0058+19.5285lnx。

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数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结
第一章
1.简述数学建模的一般步骤。

2.简述数学建模的分类方法。

3.简述数学模型与建模过程的特点。

第二章
4.抢渡长江模型的前3问。

5.补充的输油管道优化设计。

6.非线性方程（组）求近似根方法。

第三章
7.层次结构模型的构造。

8.成对比较矩阵的一致性分析。

第五章
9.曲线拟合法与最小二乘法。

10 分段插值法。

第六章
11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。

12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。

13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。

14 一阶差分方程求解。

第七章
15 养老保险模型。

16 金融公司支付基金的流动。

17 LESLLIE 模型。

18 泛函极值的欧拉方法。

第八章
19 最短路问题的邻接矩阵。

20 最优化问题的一般数学描述。

第九章
21 马尔科夫过程的平衡点。

22 零件的预防性更换。

练习集锦
1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵
31/52a b P c d e f ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）确定矩阵P 的未知元素。

（2）求
P 模最大特征值。

（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。

2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵
322P ⎡
⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）将矩阵P 元素补全。

（2）求P 模最
大特征值。

（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。

3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。

（2）用最小二乘法确定经验公式系数。

4.. 考虑微分方程
(0.2)0.0001(0.4)0.00001dx
x xy dt
dy y xy dt
εε⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
（1）在像平面上解此微分方程组。

（2）计算0ε=时的周期平均值。

（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？
5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-=
（1）求种群量增长最快的时刻。

（2）根据下表数据估计参数k 值。

6. 假设容积为V 的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是
3 (m r s
单位：）。

（1）试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。

7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？
8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。

该校共有,,A B C 3
个学生食堂。

经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去A ，C 食堂就餐，C 食堂分别有20%，20%的同学去A ，B 食堂就餐。

（1）建立该问题的数学模型。

（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。

9. 已知一阶差分方程100.80.3,
0.6n n y y y +=+=。

（1）求该差分方程平衡点。

（2）求n y 表达式。

10. 某种群至多只能活3岁，且按年观测的Leilie 矩阵
230.400,00.70L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？（2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？
11. 某人决定用10万元投资A 、B 、C 、D 四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。

不需要求出具体数值结果。

12. 小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。

此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。

小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。

（1）商业贷款的利率是多少？（2）分析金融机构的条件是否优
惠。

13. 一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输500003m的货物，每天可供运输的货物数量如下：
请建立该问题利润最大的优化模型（不需求
14.沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。

现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂
送水。

水厂与江岸的位置见右图。

如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。

（1）对于最优方案，用α
表示,βγ。

（2）求最优取水口位
置。

15. （1）给出下图从点1到点7的邻接矩阵。

（2）建立该问题最短路的优化模型。

（3）给出该问题的最优结果。

16. 考虑下图所描述的最短路问题。

（1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型。

（2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。

（3）给出从位置1到位置9的最短路。

αβ
γ
(10,)
Q y 2
3
4
5
6
7
10
12 9 6 8
7
5
7 9
8
17 某零件寿命X （单位：月）的分布函数为[]2
140,
0(),
0,21,2t F t t t t t <⎧⎪=-∈⎨⎪>⎩。

零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。

（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。

（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。

如果不存在，请说明理由。

18. 某零件寿命X 为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。

零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1万元。