D12_1_2正项级数及审敛法

2)
∞
n→ ∞
lim un = 0,
( )n−1 则级数 ∑ −1 un收敛 , 且其和 S ≤u , 其余项满足 1
n= 1
rn ≤un+1 .
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证: QS2n = (u −u2) +(u3 −u4) +L (u2n−1 −u2n) + 1
S2n =u −(u2 −u3) −(u4 −u5) −L (u2n−2 −u2n−1) − 1
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1 1 1 (常数 p > 0) + 例1. 讨论 p 级数 1+ p + p +L p +L 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ≤1, 因为对一切
1 而调和级数 ∑ 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n= n 1
发散 .
∞
1 ≥ n
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2) 若 p >1,因为当 n 1 1 = dx p ∫n− p 1n n n 1 1 1 1 − p− ≤∫ dx = 1 n− xp p −1 (n−1 p− n 1 ) 1
例13. 设 . （A） （B） （C） （D）
则级数（ ）。
C
提示： 提示： 据莱布尼茨判别法， 原级数收敛；
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结束例14. 证明级数 Nhomakorabea是条件收敛的。
(−)n 1 ~ 解: ① Q 显然非绝对收敛 . n n−(−1 ) n
(−)n ②由 效 于 非 调 减 所 L iz 失 ； 单 递 ， 以 eibn n n−(−1 (− ) n n n (−1 ) (−1 (n+(−1 ) ) ) 1 n n 而 = = (−1 2 + 2 ) n 2 n−(−1 ) n −1 n −1 n −1 1 n n 对 敛 件 敛 ∑ ∑(−1) n2 −1条 收 ， n2 −1绝 收 ，
因此 limun ≥uN ≠ 0, 所以级数发散.
n→ ∞
un+1 说明: 说明 当 lim =1时,级数可能收敛也可能发散. n→ un ∞
例如, 例如, p – 级数 但
1 un+1 (n+ ) p 1 lim = lim 1 n→ un ∞ n→ ∞ np
=1
p >1, 级数收敛 ; p ≤1, 级数发散 .
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例7. 判定级数 .
的敛散性 .
证:
原级数与 p —级数有相同的敛散性。
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例8. 判定级数 . 证:
的敛散性 . 应用泰勒中值定理
1 1 1 →+ 1 + +o( ) 2 2 n ( n) ( n)
通 项
1 1 1 1 1 1 1 [1+ + +o( )] = + + 3 +o( 3 ) 2 n n ( n) n n n2 n2 1 1 1 1 = + + 3 +o( 3 ) n n n2 n2
n→ ∞
存 N∈Z , 在
+
ρ −ε < n un < ρ+ε
即
(ρ −ε )n <un < (ρ+ε )n
ρ <1 ρ >1
ρ +ε <1 ρ −ε >1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
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例9. 讨论级数 解: 利用达兰贝尔比值判别法
的敛散性 .
级数收敛 ;
级数发散 ;
通项不趋于零，级数发散。
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例10. 判定 . 解一: 解一
的敛散性 .
级数收敛 ; 级数收敛 ; 级数收敛 ;
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例10. 判定 . 解二: 解二
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收敛
定理3. 定理 (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足lim =l, 则有 n→ v ∞ n
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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(l −ε )vn ≤un ≤ (l +ε )vn
1 1 时, p ≤ p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数+ − 1− p− ∑ p− − p−1 +L 的部分和 + 1 (n−1 p− np−1 p− − 1 p− 1 3 1 ) 2 2 n (n+1 1 ) n=2
的敛散性 .
所以级数收敛 ;
级数收敛 ; 即公比小于1的等比级数， 所以级数收敛 ;
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定理5. 定理 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 数, 且 limn un = ρ, 则
n→ ∞
为正项级
证明提示: ∴ 证明提示: Qlimn un = ρ, ∴对任意给定的正数 ε
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
∞
(n> N)
由定理 2 可知
n= 1
∑vn
∞
由定理2 知
v 若 ∑ n 收敛 ,
n= 1
(3) 当l = ∞时,
即
∞
v un >vn, 由定理2可知, 若 ∑ n 发散 ,
n= 1
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是两个正项级数 正项级数, 正项级数 (1) 当 0 <l < ∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
nu n
1 → (n →∞ 1 ) = n n
p
但
p >1, 级数收敛 ;
p ≤1, 级数发散 .
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练习 审敛： ① 解: ① Q n un = n
1 nn
②
③
ln2 n n
由定理5可知该级数收敛 .
n
Qlim e
n→ ∞
lnn n
ln2 n n
=1
n e = lim =0 ② Q lim un = lim n→ ∞ n→ ln n ∞ n→ ln n ∞
∞
n− 1
n 均为绝对收敛. n 10
即结论成立 .
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义 对任意项级数 数 绝对收敛 ； 若 收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
∞ n− 1 1
本身收敛乎？
为条件收敛 ;
( ) 例如 ：∑ −1
n= 1
n
n= 1
∑(−1)
∞
1 1 n →∞ =1− 1 − σn= ∑ p−1 1 p− 1 p− 1 (k +1 ) (n+1 ) k= k 1
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N∈Z+, 对一切 n≥ N,
v (2) 当 l =0 且 ∑ n收敛时,
(3) 当 l = ∞ ∑ n 发散时, 且 v
也收敛 ; 也发散 .
1 u 特别取 vn = p , 对正项级数 ∑ n, 可得如下结论 : n 散 0 <l ≤ ∞ ∑un 发 lim npun = l n→ ∞ p >1, 0 ≤l < ∞ 敛 ∑un 收
ρ , 证: (1) 当 <1时
un+1 知 在N∈Z , 当 N时 存 < ρ +ε <1 n> , un
+
收敛 , 由比较审敛法可知
敛 ∑un收 .
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n≥ 时 存 (2) 当 ρ>1或ρ = ∞ ,必 在N∈Z+ , uN ≠ 0,当 N
时 从而
un+1 >un >un−1 >L>uN
例2. 证明级数 . 1 1 ≥ 证: n(n+1 ) (n+1 2 ) 所以原级数发散。
发散 . 而 发散
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例3. 判定级数 . 证:
的敛散性 .
是收敛的等比级数,
根据级数收敛的必要条件知
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例4. 判定级数 . 证:
的敛散性 .
又因为 即 根据比较判别法知
第一节
第十二章
正项和变号级数
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
u 若 un ≥ 0, 则称 ∑ n 为正项级数 .
n= 1 ∞
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛