三角恒等变换高考试题汇编
三角恒等变换高考题汇编1、（07山东理）函数y=sin （2x+6π）+cos （2x+3π）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，22、（07海南）)4sin(2cos παα-=-22，则cos α+sin α的值为（ ） A -27 B -21 C 21 D 273、（07福建文）sin150cos750+cos150sin1050=（ ）A 0 B 21 C 23D 1 4、（07浙江理）已知sin θ+cos θ=51且2π≤θ≤43π，则cos2θ的值是（ ） 5、（07浙江文）已知sin θ+cos θ=51则sin2θ的值是（ ）6、（07全国Ⅰ理）函数f （x ）=cos 2x-2cos 22x 的一个单调增区间是（ ）A （ 3π，32π ）B （6π，2π）C （0，3π）D （-6π，6π）7、（07广东理）已知函数f （x ）=sin 2x -21（x ∈R ），则f （x ）是（ ）A 最小正周期为2π的奇函数 B 最小正周期为π的奇函数 C 最小正周期为2π的偶函数 D 最小正周期为π的偶函数8、（07北京文）函数f （x ）=sin2x-cos2x 的最小正周期是（ ） A2πB πC 2πD 4π 9、（06全国）函数f （x ）=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A2πB πC 2πD 4π 10、（06全国）若f （sinx ）=3-cos2x ，则f （cosx ）=（ ） A 3-cos2x B 3-sin2x C 3+cos2x D 3+sin2x 11、（06重庆文）已知,αβ∈（0，2π），cos （α-2β）=23，sin （2α-β）=-21，则cos （α+β）的值等于（ ）A -23B -21C 21D 2312、（06重庆理）已知,αβ∈（43π，π），sin （α+β）=-53，sin （β-4π）=1312， 则cos （α+4π）=（ ） 13、（06浙江理）函数y=21sin2x+sin 2x ，x ∈R 的值域是（ ）A [-21，23] B [-23，21] C [-22+21，22+21] D [-22-21，22-21]14、（06浙江文）函数y=2sinxcosx-1，x ∈R 的值域是（ ）15、（08四川）若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭16、（06湖北）若∆ABC 的内角A 满足sin2A=32，则sinA+cosA=（ ） A315 B -315C 35D -3517、（06湖南）若f （x ）= asin （x+4π）+bsin （x-4π）（ab ≠0）是偶函数，则有序实数对（a ，b ）可以是（ ）（注：只要满足a+b=0的一组数即可）18、（05全国）当0<x<2π时，函数f （x ）xxx 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A 2B 23C 4D 43 19、（05全国）设x 是第四象限角，若x x sin 3sin =513则tan2x=（ ） 20、（05北京）已知tan2α=2，则tan α=（ ），tan （α+4π）=（ ） 21、（07全国Ⅰ文）函数y= 2cos 2x 的一个单调增区间是（ ）A （-4π， 4π ）B （0，2π）C （4π，43π）D （2π，π）22、（07上海理）函数y=sin （x+3π）sin （x+2π）的最小正周期T 是（ ）23、（07江苏）函数f （x ）= sinx- 3cosx ， x ∈[-π，0] 的单调增区间是（ ） A [-π，-65π] B [-65π，-6π] C [-3π，0] D[-6π，0]24、（10浙江理数）（11）函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ .25、(07江西理）若tan （4π-α）=3则ααsin cos 等于（ ）A -2B - 21C 21D 226、（07江西文）若tan α=3，tan β=34，则tan （α-β）等于（ ）A -3B -31C 3D 3128、（07江苏）若cos （α+β）=51，cos （α-β）=53，则tan αtan β=（ ）29、（08山东卷5）已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 5430、（08湖南）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1B.12+ C.3231、（08浙江）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-32、（08海南）0203sin 702cos 10--=（ ） A. 12 B. 2C. 2D.233、（08上海）函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是34、（08广东）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．π35、（08山东卷15）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝36、（07重庆文）下列各式中，值为23的是（ ） A 2sin150cos150B cos 2150-sin 2150C 2sin 2150-1 D sin 2150+cos 215037、（2010陕西文数）3.函数f (x )=2sin x cos x 是 [C](A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 （D ）最小正周期为π的偶函数38、（10全国2文）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= （A）B ）19-（C ）19（D39、（10福建文数）计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12BCD40、（10福建理数）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12BCD41、（10全国2理数）（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． 42、（10浙江文数）（12）函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是 。
43、（10全国1文）(已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= . 44、（2010福建文数）16.观察下列等式： ① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cos a - 82cos a + 1;③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182cos a - 1;④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1． 可以推测，m – n + p = ．45、（11浙江理6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ）A． B． C． D．46、（11全国新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45-（B ）35-（C ） 35 （D ）4547、（11湖北理）函数()cos ,f x x xx R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈48、（11辽宁理）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （A ）79-（B ）19-（C ）19 （D ）7949、（11福建理3）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．650、（11全国新课标理11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 51、（11上海理8）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 _________________-。
62、（11重庆理14）已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________63、（11全国大纲理14）已知a ∈（2π，π），sinα=，则tan2α=64.（11江苏7）已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________65、（06上海）设x 是第一象限角且cosx=135，求)42cos()4sin(ππ++x x 的值。
1、（10湖南文）已知函数2()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
2、（08北京）已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．3、（08天津）已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 4.（08安徽）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域5、（08山东）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 本小题满分12分）为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f （8π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.6、（08陕西）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 7、（08广东）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值． 8、（10山东文） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π，（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到 函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.9、（11北京理）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-。
2025届高考数学复习：历年高考真题专项(三角恒等变换)阶梯练习(附答案)
2025届高考数学复习：历年高考真题专项（三角恒等变换）阶梯练习[基础强化]一、选择题1．若sin α2 ＝3，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C ．13 D ．232．若α为第四象限角，则( ) A ．cos2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<03．函数f (x )＝sin 2x ＋3 sin x ꞏcos x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2 上的最小值为( ) A ．1 B ．1＋32C ．1＋3D ．324．[2024ꞏ九省联考]已知θ∈(3π4 ，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋π4 )，则1＋sin 2θ2cos 2θ＋sin2θ ＝( ) A ．14 B ．34 C ．1 D ．32 5．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α ＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．796．[2024ꞏ新课标Ⅰ卷]已知cos(α＋β)＝m ，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( ) A ．－3m B ．－m3 C ．m3 D ．3m7．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cos α＝1＋54 ，则sin α2 ＝( )A ．3－58B ．－1＋58C ．3－54 D ．－1＋548．已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin 2θ＋cos 2θ的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12 D ．39．(多选)下列各式中值为12 的是( ) A ．1－2cos 275°B ．sin135°cos 15°－cos 45° cos 75°C ．tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°D ．cos 35°1－sin 20°2 cos 20°二、填空题10．已知sin α＋3 cos α＝2，则tan α＝________．11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3，则cos 4α＝________．12．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．[能力提升]13．已知tan θ＝12 ，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2θ ＝( ) A ．7 B ．－7 C ．17 D ．－1714．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝13 ，cos αsin β＝16 ，则cos (2α＋2β)＝( ) A ．79 B ．19 C ．－19 D ．－7915．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝513 ，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝________. 16．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α .参考答案[基础强化]一、选择题1．若sin α2 ＝3，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C ．13 D ．23 答案：C答案解析：cos α＝1－2sin 2α2 ＝1－2×13 ＝13 . 2．若α为第四象限角，则( ) A ．cos2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0 答案：D答案解析：方法一 ∵α是第四象限角， ∴－π2 ＋2k π<α<2k π，k ∈Z ， ∴－π＋4k π<2α<4k π，k ∈Z ，∴角2α的终边在第三、四象限或y 轴非正半轴上， ∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可零，故选D. 方法二 ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin α cos α<0，故选D.3．函数f (x )＝sin 2x ＋3 sin x ꞏcos x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2 上的最小值为( ) A ．1 B ．1＋32C ．1＋3D ．32 答案：A 答案解析：f (x )＝1－cos 2x 2 ＋32 sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋12 ， ∵π4 ≤x ≤π2 ，∴π3 ≤2x －π6 ≤56 π，∴当2x －π6 ＝56 π即x ＝π2 时f (x )min ＝12 ＋12 ＝1.4．[2024ꞏ九省联考]已知θ∈(3π4 ，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋π4 )，则1＋sin 2θ2cos 2θ＋sin2θ ＝( ) A ．14 B ．34 C ．1 D ．32 答案：A答案解析：由题θ∈(3π4 ，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋π4 )， 得2tan θ1－tan 2θ ＝－4（tan θ＋1）1－tan θ⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ， 则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－12 ， 因为θ∈(3π4 ，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－12 ，1＋sin 2θ2cos 2θ＋sin2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ ＝tan 2θ＋1＋2tan θ2＋2tan θ ＝14＋1－12＋（－1） ＝14 .故选A.5．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α ＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79 答案：A答案解析：∵π6 －α＋⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝π2 ，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α ＝13 ，∴cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α －1＝2×19 －1＝－79 . 6．[2024ꞏ新课标Ⅰ卷]已知cos(α＋β)＝m ，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( ) A ．－3m B ．－m3 C ．m3 D ．3m 答案：A答案解析：由tan αtan β＝2，可得sin αsin βcos αcos β ＝2，即sin αsin β＝2cos αcos β.由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝m ，可得cos αcos β＝－m ，sin αsin β＝－2m ，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m ，故选A.7．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cos α＝1＋54 ，则sin α2 ＝( ) A ．3－58 B ．－1＋58C ．3－54 D ．－1＋54答案：D答案解析：方法一 由题意，cos α＝1＋54 ＝1－2sin 2α2 ，得sin 2α2 ＝3－58 ＝6－2516＝(5－14 )2，又α为锐角，所以sin α2 >0，所以sin α2 ＝－1＋54 ，故选D. 方法二 由题意，cos α＝1＋54 ＝1－2sin 2α2 ，得sin 2α2 ＝3－58 ，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.8．已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin 2θ＋cos 2θ的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12 D ．3 答案：A答案解析：∵a ⊥b ，∴sin θ－2cos θ＝0，∴tan θ＝2， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝2sin θcos θ＋cos 2θ＝2tan θ＋11＋tan 2θ＝1.9．(多选)下列各式中值为12 的是( ) A ．1－2cos 275°B ．sin135°cos 15°－cos 45° cos 75°C ．tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°D ．cos 35°1－sin 20°2 cos 20°答案：BD答案解析：对于A ，1－2cos 275°＝－cos150°＝cos 30°＝32 ，A 错误；对于B ，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos 120°＝12 ，B 正确；对于C ，∵tan 45°＝1＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°，∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C 错误； 对于D ，cos 35°1－sin 20°2cos 20°＝cos 35°（cos 10°－sin 10°）22（cos 10°＋sin 10°）（cos 10°－sin 10°）＝cos 35°2（cos 10°＋sin 10°）＝cos 45°cos 10°＋sin 45°sin 10°2（cos 10°＋sin 10°）＝22（cos 10°＋sin 10°）2（cos 10°＋sin 10°） ＝12 ，D 正确．故选BD.二、填空题10．已知sin α＋3 cos α＝2，则tan α＝________． 答案：33答案解析：由sin α＝2－ 3 cos αsin2α＋cos2α＝1，解得4cos 2α－43 cos α＋3＝(2cos α－3 )2＝0，得cos α＝32 ，则sin α＝12 ，所以tan α＝sin αcos α ＝33 .11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3，则cos 4α＝________． 答案：19答案解析：由sin α＋cos α＝3，得1＋sin 2α＝13 ， ∴sin 2α＝－23 ，∴cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×49 ＝19 .12．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________． 答案：2 1答案解析：∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＋1，又2cos 2x ＋sin2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b .∴A ＝2 ，b ＝1.[能力提升]13．已知tan θ＝12 ，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2θ ＝( )A ．7B ．－7C ．17D ．－17 答案：D答案解析：tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×121－14＝43 ，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4－2θ ＝tan π4－tan 2θ1＋tan π4tan 2θ ＝1－431＋43＝－17 .14．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝13 ，cos αsin β＝16 ，则cos (2α＋2β)＝( ) A ．79 B ．19 C ．－19 D ．－79 答案：B答案解析：依题意，得⎩⎨⎧sin αcos β－cos αsin β＝13cos αsin β＝16，所以sin αcos β＝12 ，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12 ＋16 ＝23 ，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin 2(α＋β)＝1－2×⎝⎛⎭⎫23 2＝19 ，故选B. 15．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝513 ，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝________. 答案：2413答案解析：因为⎝⎛⎭⎫π4－α ＋⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝π2 ， 所以π4 ＋α＝π2 －⎝⎛⎭⎫π4－α .又2⎝⎛⎭⎫π4－α ＋2α＝π2 ，得2α＝π2 －2⎝⎛⎭⎫π4－α . 故cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－2⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α . 由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，π4 －α∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4 ，所以cos (π4 －α)>0， 故cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝1213 ，cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2×1213 ＝2413 . 16．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α . 答案解析：方法一 原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2 ＝（cos 2α－sin 2α）（1＋tan α）（1－tan α）（cos α＋sin α）2＝（cos 2α－sin 2α）⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭⎫1－sin αcos α（cos α＋sin α）2＝1.方法二 原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α ＝1.。
三角函数恒等变换含答案及高考题.
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=οοοοοο3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=xy 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
三角恒等变换 高考数学真题分类大全 专题07解析
专题7三角恒等变换第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B【解析】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以10042''1)273A B ⨯⨯==≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．3．（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．2【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：3sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.5.已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B C ．33D ．255【答案】B【解析】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．6.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=（）A ．15B ．5C ．5D ．1【答案】B【解析】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即55a =，所以25a b a a -=-=，故选B.二、填空题8．（2020·全国高考真题（文））若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12(1399x x =-=-⨯-=-=.故答案为：19.9．（2020·江苏高考真题）已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】22221sin ())(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1310．（2020·北京高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.11.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10.【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ +⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时，上式=2211212233=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上，sin 2.410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12.函数3π()sin(23cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【答案】4-.【解析】23()sin(23cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤ ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．三、解答题13．（2020·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.14.设常数R a ∈，函数()2sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解．【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+，∴2sin20a x =，∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin 2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，，∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，，∵[]ππx ∈-，，∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-15.已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725-；（2）211-【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()5cos 5αβ+=-，所以()25sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．16.已知函数()2sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π3.【解析】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π=；（Ⅱ）213sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由22,5,13a b c ===2222cos 222225a b c C ab +-===⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以4C π=；（Ⅱ）在ABC 中，由4C π=，2,13a c ==222sin 2sin 13a CA c===21313；（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由13sin 13A =，可得2cos 1sin A A =-=31313，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以12252sin(2)sin 2cos cos2sin 444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=17226.第二部分模拟训练1．已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3sin sin 5B αα+=+，则()sin 300α+︒=（）A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由()3sin 60sin 5αα︒+=+得，313cos sin 225αα-=，∴()3cos 305α︒+=，则()()()3sin 300sin 27030cos 305ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，故选：D ．2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（）A ．1316,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】()2sin(),0cos 62f x x x x x ππωωω=-≤≤-=，6626x ππωππω∴-≤-≤-，1322635162623ωπππωωπππω⎧⎧-≥≥⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎩⎩，则ω的取值范围是1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.3．将函数()sin 22f x x x =+的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()g x ，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π【答案】A【解析】函数sin 222sin(2)3y x x x π==+，将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3y x πϕ=++，因为函数是偶函数，∴2()()32212k k k Z k Z ππππϕπϕ+=+∈∴=+∈．当0k =时，12πϕ=．故选：A 4．设ABC 的内角A ，B ，C 满足2A C B +=，则函数()2sin()cos sin2f x x B x x =+-图象的对称轴方程是（）A ．ππ,32k x k =+∈Z B ．ππ,122k x k =+∈Z C ．5ππ,122k x k =+∈Z D ．ππ,62k x k =+∈Z 【答案】C 【解析】因为()A C B π-+=，2A+C =B ，所以3B π=，()2sin cos sin 23f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(sin )cos sin 2x x x x=+-1sin 2cos 2222x x =-++sin 232x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.由232x kx ππ-=+，k ∈Z ，得5122k x ππ=+，k ∈Z .故选：C.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】（1）A 3π=；（2）【解析】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C -= ，由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=，三角形中sin 0B ≠，解得cos A 12=，()0,A π∈，∴A 3π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，a =5b c +=，()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯432⨯=6．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且直线x A =为函数()222sin f x x x =+图象的一条对称轴.（1）求A ；（2）若4a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）【解析】（1）()222sin 2cos 212sin 216πx x x x x f x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴直线x A =为函数()f x 图像的一条对称轴，∴262ππA kπ-=+(k ∈Z )，即132πA kπ=+(k ∈Z )，又02A π<<，∴当0k =时，3A π=.（2）∵3A π=，4a =，∴由余弦定理得，2222162cos23πb c bc b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当b=c=4时等号成立∴1113sin sin 1622322ABC πbc A bc S ==≤⨯⨯=△故ABC 面积的最大值为7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠= .（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）25.【解析】在ABC 中，因为b =，c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得25222a a =+-⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C=，得sin 45sin C= .所以sin 5C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，所以C ∠为锐角故25cos 5C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以35sin ADC ∠===，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠3254525555525=⨯-⨯=8．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥.【解析】解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++3cos213133sin 212sin 22222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴()f x 的为最小正周期22T ππ==，值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立，∵0t >∴222t t t k t-=-≥.∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增max 55417()22510g t g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭∴k 的取值范围是1710k ≥9．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】（Ⅰ）9-；（Ⅱ）[]1,2-.【解析】解：（Ⅰ）2()2cos 12x f x x =-+cos 2sin6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 6παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即31sin cos 22ααα-=，所以cos αα-=，所以3tan 9α=-；（Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象，所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1()2g x -≤≤故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.10．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间.【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2π；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左移动6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z .函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
高考数学专题复习四-4.2三角恒等变换-高考真题练习(附答案)
4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
2025版新高考版高考总复习数学三角恒等变换
2025版新高考版高考总复习数学5.2 三角恒等变换五年高考考点 三角恒等变换1.(2021全国乙文,6,5分,中)cos 2π12−cos25π12= ( )A.12B.√33C.√22D.√32答案 D2.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cos α=1+√54,则sin α2=( )A.3−√58B.−1+√58C.3−√54D.−1+√54答案 D3.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin (α-β)=13,cos αsin β=16,则cos (2α+2β)= ( )A.79 B.19 C.-19D.−79答案 B4.(2020课标Ⅲ文,5,5分,中)已知sin θ+sin (θ+π3)=1,则sin (θ+π6)= ( )A.12B.√33C.23D.√22答案 B5.(2020课标Ⅰ理,9,5分,中)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )A.√53 B.23C.13D.√59答案 A6.(2019课标Ⅱ,11,5分,中)已知α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.15 B.√55C.√33D.2√55答案 B7.(2021全国甲理,9,5分,中)若α∈(0,π2),tan 2α=cosα2−sinα,则tan α= ( )A.√1515B.√55C.√53 D.√153答案 A8.(2021浙江,8,4分,难)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α三个值中,大于12的个数的最大值是 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C9.(2020江苏,8,5分,易)已知sin 2(π4+α)=23,则sin 2α的值是 . 答案 1310.(2018课标Ⅱ理,15,5分,中)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin (α+β)= . 答案 -1211.(2022浙江,13,6分,中)若3sin α-sin β=√10,α+β=π2,则sin α= ,cos 2β= . 答案3√1010;4512.(2019江苏,13,5分,中)已知tanαtan(α+π4)=−23,则sin (2α+π4)的值是 .答案√210三年模拟综合基础练1.(2024届陕西西安阎良关山中学质量检测,9)已知sin 126°=√5+14,则sin 18°= ( )A.3−√54B.3−√58C.√5−18D.√5−14答案 D2.(2023广东佛山一模,3)已知sin α=√55,α为钝角,tan (α-β)=13,则tan β= ( )A.1B.-1C.2D.-2 答案 B3.(2023江西五市九校协作体联考,3)若cos α=-45,α是第三象限的角,则1−tan α21+tanα2= ( )A.2B.12C.−2D.−12答案 C4.(2023湖南长沙适应性测试,6)若1−tan(α−π4)1+tan(α−π4)=12,则cos 2α的值为( )A.-35B.35C.−45D.45答案 A5.(2024届湖南部分学校第三次联考,6)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α+tan β=1cosβ,则( ) A.2α+β=π2 B.2α−β=π2 C.2β-α=π2 D.2β+α=π2 答案 A6.(2024届浙江名校联盟模拟(一),8)已知α∈(0,π),若√3(sin α+sin 2α)+cos α-cos 2α=0,则sin (α−π12)= ( )A.√22 B.√32C.√6+√24D.√6−√24答案 C7.(多选)(2024届浙江名校联盟模拟(一),10)下列化简正确的是 ( )A.sin 275°-cos 275°=-√32B.12cos 50°+√32sin 50°=sin 70° C.sin 18°cos 36°=14 D.tan 75°=2+√3 答案 CD8.(2024届福建师大附中月考,15)写出一个使等式sinαsin(α+π6)+cosαcos(α+π6)=2成立的α的值: .答案 π8答案不唯一,只需满足α=2k+14π−π8(k ∈Z )即可9.(2024届河南TOP 二十名校调研(三),19)已知π4<α<3π4,sin (π4−α)=−12.(1)求cos α的值;(2)若0<β<π4,cos (π4+β)=35,求cos (2α+β)的值.解析 (1)因为π4<α<3π4,所以π4−α∈(−π2,0),又sin (π4−α)=−12,所以cos (π4−α)=√32. 所以cos α=cos [π4−(π4−α)]=cos π4cos (π4−α)+sin π4sin (π4−α)=√6−√24. (2)由(1),得sin α=√1−cos 2α=√1−(√6−√24)2=√6+√24,cos 2α=2cos2α-1=2×(√6−√24)2−1=−√32, 所以sin 2α=2sin αcos α=12, 因为0<β<π4,所以π4+β∈(π4,π2), 又cos (π4+β)=35,所以sin (π4+β)=45,所以cos β=cos [(π4+β)−π4]=cos (π4+β)cos π4+sin (π4+β)·sin π4=7√210,sin β=√1−(7√210)2=√210.所以cos (2α+β)=cos 2αcos β-sin 2αsin β =(−√32)×7√210−12×√210=−7√6+√220.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(三角恒等变换)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（三角恒等变换）练习一、基础小题练透篇1．[2023ꞏ西南名校联考]tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－22．[2023ꞏ黑龙江省齐齐哈尔市期中]已知tan ⎝⎛α－π4 ＝－14 ，则tan 2α＝( ) A ．37 B ．－37 C ．158 D ．－15163．已知cos α＝13 ，cos (α＋β)＝－13 ，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，则cos (α－β)的值等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－13 D ．23274．[2023ꞏ山东省菏泽市高三上学期期中]已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝35 ，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6 ＝( ) A ．2425 B ．－2425 C ．725 D ．－7255．[2023ꞏ湖北省联考]在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的非负半轴，若点P (－1，2)是角α终边上的一点，则tan (π－2α)等于( )A ．－34B ．－43C ．34D ．436．[2023ꞏ陕西省宝鸡市、汉中市部分校联考]已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝13 ，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3 ＝( )A ．79B ．－79C ．429D ．－429二、 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广东省佛山市模拟]sin 40°(tan 10°－3 )＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－12．[2023ꞏ江苏省无锡市高三期中]已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝45 ，17π12 <θ<7π4 ，则1－tan θ2sin 2θ＋sin 2θ的值为( )A ．10021 B ．－10021 C ．7528 D ．－75283．[2023ꞏ福建省测试]已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，且cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝－725 ，则tan 2θ＝( ) A ．724 B ．247 C ．±724 D ．±2474．已知函数f (x )＝23 sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫512π，0 对称 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2 上的值域为[3 ，2]C ．若f (x 1)＝f (x 2)＝2，则x 1－x 2＝2k π，k ∈ZD ．将f (x )的图象向右平移π6 个单位得g (x )＝－2cos2x 的图象5．[2023ꞏ山东省烟台市模拟]已知cos (α－π6 )＝35 ，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝________．6．[2023ꞏ福建省福州第八中学质检]若α是锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－35 ，则sin α＝________．三、 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]若tan θ＝－2，则sin θ()1＋sin 2θsin θ＋cos θ＝( )A ．－65 B. －25 C ．25 D. 652．[2021ꞏ全国乙卷]cos 2π12 －cos 25π12 ＝( )A ．12B ．33C ．22D ．323．[2021ꞏ全国甲卷]若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，tan2α＝cos α2－sin α，则tan α＝( ) A ．1515 B ．55 C ．53 D ．1534．[2020ꞏ全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )A ．5B ．23C ．13D ．55．[2020ꞏ浙江卷]已知tan θ＝2，则cos 2θ＝__________，tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝________． 6．[2020ꞏ江苏卷]已知sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝23，则sin2α的值是________．四、 经典大题强化篇1.化简求值．(1)2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ； (2)[2sin50°＋sin 10°(1＋3 tan 10°)]ꞏ2sin 280° .2．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23 sin ωx cos ωx (0<ω<1)，直线x ＝π3 是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3 个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝65 ，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，求sin α的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：A答案解析：tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝tan 45°＝1.2．答案：C答案解析：∵2α＝2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＋π2 ， ∴tan 2α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－1tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－12tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π41－tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－12tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝158 .故选C.3．答案：D答案解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，2α∈（0，π），cos α＝13 ，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79 ，sin2α＝1－cos 22α ＝429 .而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以α＋β∈（0，π），所以sin （α＋β）＝1－cos 2（α＋β） ＝223.所以cos （α－β）＝cos [2α－（α＋β）]＝cos 2αcos （α＋β）＋sin 2αsin （α＋β）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＋429 ×223 ＝2327. 4．答案：D答案解析：因为2α－π6 ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝π2 ，所以2α－π6 ＝π2 －2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫35 2 －1＝－725 . 故选D. 5．答案：B答案解析：由题意，得tan α＝－2，从而tan （π－2α）＝－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝－2×（－2）1－（－2）2 ＝－43 .6．答案：B答案解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝13， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝79 ， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π ＝－79 .故选B.二 能力小题提升篇1．答案：D答案解析：sin 40°·（tan 10°－3 ）＝sin 40°·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－3＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2（12sin 10°－32cos 10°）cos 10°＝sin 40°·2（cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°）cos 10°＝sin 40°·2sin （10°－60°）cos 10° ＝sin 40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10° ＝－sin 80°cos 10°＝－1.2．答案：A答案解析：因为1712 π<θ<74 π，5π3 <θ＋π4 <2π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ <0， 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ ＝45 ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ ＝－35 所以，sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－π4 ＝－35 ×22 －45 ×22 ＝－7210 ， cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－π4 ＝45 ×22 －35 ×22 ＝210 ，tan θ＝－7，所以，1－tan θ2sin 2θ＋2sin θcos θ ＝()1－tan θ()sin 2θ＋cos 2θ2sin 2θ＋2sin θcos θ ＝()1－tan θ()tan 2θ＋12tan 2θ＋2tan θ ＝8×5098－14 ＝10021 . 故选A. 3．答案：D答案解析：cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝cos 2θ－sin 2θ22（sin θ－cos θ） ＝－2 （cos θ＋sin θ）＝－725， 故cos θ＋sin θ＝75 ，又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，且cos 2θ＋sin 2θ＝1.故cos θ＝35 ，sin θ＝45 或cos θ＝45 ，sin θ＝35 ，则tan θ＝43 或34 ，故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ ＝±247. 4．答案：D答案解析：f （x ）＝23 sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3 sin2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ，令x ＝512 π，则2x －π6 ＝23 π，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12 ＝3 ≠0，故A 项错误； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 时，2x －π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 ，f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ∈[1，2]，故B项错误，因为f （x ）的周期T ＝2π2＝π，所以若f （x 1）＝f （x 2）＝2，则x 1－x 2＝k π，k ∈Z ，故C 项错误，将f（x ）的图象向右平移π6 个单位得g （x ）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝－2cos 2x 的图象，故D 项正确．5．答案：－725答案解析：由诱导公式可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3 ， 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝35 ， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3 ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 －1＝－725 .6．答案：7210答案解析：因为α是锐角，所以α＋π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 ，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝－35 <0，所以α＋π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45 ， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 cos π4 －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 sin π4 ＝45 ×22 －22 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝7210 .三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：将式子进行齐次化处理得：sin θ()1＋sin 2θsin θ＋cos θ ＝sin θ()sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θsin θ＋cos θ＝sin θ()sin θ＋cos θ ＝sin θ()sin θ＋cos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4 ＝25. 2．答案：D答案解析：通解 因为cos 5π12 ＝sin （π2 －5π12 ）＝sin π12，所以cos2π12 －cos 25π12 ＝cos 2π12 －sin 2π12 ＝cos （2×π12 ）＝cos π6 ＝32. 优解 设cos 2π12 －cos 25π12 ＝a ，sin 2π12 －sin 25π12 ＝b ，则a ＋b ＝（cos 2π12 ＋sin 2π12 ）－（cos 25π12 ＋sin 25π12 ）＝1－1＝0 ①，a －b ＝（cos 2π12 －sin 2π12 ）－（cos 25π12 －sin 25π12 ）＝cos （2×π12 ）－cos （2×5π12 ）＝cos π6 －cos 5π6 ＝2cos π6＝3 ②，所以根据①＋②可得2a ＝3 ，即a ＝32 ，即cos 2π12 －cos 25π12 ＝32. 光速解 因为cos π12＝6＋24 ，cos 5π12 ＝6－24 ， 所以cos2π12 －cos 25π12 ＝（6＋24 ）2－（6－24 ）2＝32. 3．答案：A答案解析：因为tan2α＝sin 2αcos 2α ＝2sin αcos α1－2sin 2α ，且tan 2α＝cos α2－sin α ，所以2sin αcos α1－2sin 2α ＝cos α2－sin α ，解得sin α＝14 .因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以cos α＝154 ，tan α＝sin αcos α ＝1515 . 4．答案：A答案解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3cos 2α－4cos α－4＝0，所以cos α＝－23或cos α＝2（舍去），因为α∈（0，π），所以sin α＝53. 5．答案：－35 13答案解析：方法一 因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1可知，sin 2θ＝45 ，cos 2θ＝15 ，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝15 －45 ＝－35 ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝tan θ－11＋tan θ ＝2－11＋2 ＝13. 方法二 因为tan θ＝2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ ＝1－41＋4 ＝－35 ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝tan θ－11＋tan θ ＝2－11＋2 ＝13 . 6．答案：13答案解析：因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝23，所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2 ＝23 ，1＋sin 2α2 ＝23 ，得sin 2α＝13.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 22α2cos2α ＝12 cos 2α. （2）原式＝[2sin 50°＋sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin 10°cos 10° ]·2 sin 80°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°（cos 10°＋3sin 10°）cos 10° ·2 sin 80°＝2sin 50°cos 10°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2 sin 80°＝2（sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°）cos 10°·2 sin 80°＝2sin 60°cos 10°·2 cos 10°＝6 . 2．答案解析：（1）f （x ）＝cos 2ωx ＋3 sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6 ， 由于直线x ＝π3 是函数f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6 的图象的一条对称轴， 所以2π3 ω＋π6 ＝k π＋π2 （k ∈Z ），解得ω＝32 k ＋12（k ∈Z ），又0<ω<1，所以ω＝12 ，所以f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .由2k π－π2 ≤x ＋π6 ≤2k π＋π2 （k ∈Z ），得2k π－2π3 ≤x ≤2k π＋π3（k ∈Z ），所以函数f （x ）的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 （k ∈Z ）. （2）由题意可得g （x ）＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6 ，即g （x ）＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝65 ，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝35 ， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，故π6 <α＋π6 <2π3 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝45 ， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 cos π6 －cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 sin π6 ＝45 ×32 －35 ×12 ＝43－310 .。
高考数学 真题分类汇编 第三章三角恒等变换(含解析)新人教版必修4
必修4第三章三角恒等变换1.（2012·安徽高考卷·T18·5分）在平面直角坐标系中，点O （0，0），点()6,8P ，将向量OP uuu r 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是（ ）（A）()72,2-- （B ）()72,2- (C) ()46,2-- (D ) ()46,2- 【答案】A【解析】三角求值和定义.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4tan =3α，可得431tan tan3134tan =34471tan tan 143παπαπα-+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⨯+，验证可知只有当Q 点坐标为()72,2--时满足条件，故答案为A ；法二：估算.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4tan =3α，可得<43ππα<，313<412πππα<+，所以点Q 在第三象限，排除B ，D 选项，又30tan <234πα⎛⎫<+- ⎪⎝⎭，故答案为A.【技巧点拨】本题快速求解的办法是直接估测出角34πα+的范围，再利用三角函数定义加以排除.2.（2012·安徽高考卷·T4·5分）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【点评】本题主要考察三角函数的图象变化，三角变换是三角函数图象内容的一个重要的考点3.（2011年辽宁）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （A ）79-（B ）19-（C ）19 （D ）79【答案】A4.（2011年福建）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D5.（2011年全国新课标）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 【答案】A6.（2011年上海）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。
2025新高考数学计算题型精练专题09 三角恒等变换(解析版)
2025新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。