数学物理方法 第十章(1)
数学物理方法第十章_格林函数法
G ( x, y | x0 , y0 )
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 ln[ ] 2 2 4π ( x x0 ) ( y y0 )
据上述物理模型可求解下列定解问题 例1 定解问题：
u xx u yy 0, ( y 0) u | y 0 ( x)
边界外法线方向为负 y 轴，故有
y0 y0 y0 G G 1 1 1 | | y 0 = 2 2 2 2 2 n y 2π ( x x0 ) y0 π ( x x0 ) y0 π ( x x0 )2 y0
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由 项 ,则由 f 0
G (r , r0 ) u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r ) ]dS T n
得
y0 u ( x0 , y0 ) π
( x)
( x x0 ) y
2 2 0
dx
或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式
G (r , r0 ) u (r ) (r0 ) ]dS0 n 0 得到
对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像 点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两 个电荷在界面上产生的电势之和为零
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
.
即为
0
|
2 02 a 4 2 0 a 2 cos( ) 1 G ( , 0 ) ln{ 2 2 } 2 4π a [ 0 2 0 cos( )]
球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方法--球函数
)
12
例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的 电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质 球内外的电场强度
分析：球内电势 球外电势 衔接条件
13
10.2 连带勒让德函数
一. 连带勒让德函数
(1
x2 )
d2 dx2
2x
d dx
[l (l
1)
m2 1 x2
]
0(m
0,1, 2,L
u 0
(r2R' )'l(l 1)R 0
(sin' )'l(l 1) sin 0 (0),( )有界
x cos
r2R"2rR'l(l 1)R 0
[(1 x2 )' ]'l(l 1) 0 (1)有界
R Al rl Bl rl1
f ( )
l 0
Rl
(a)Pl
(cos
)
u
l 0
Rl
(r)Pl
(cos
)
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 c，os 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
定解问题为：u |rr0 u0 cos
u
|
2
0
问题有反演对称性，对z进行偶延拓后
u 0，r a
u
|ra
u0
cos (
)
y |x1 有限
求对应的本征函数:
m
设 (1 x2 ) 2 y(x) 带入方程整理得:
(1 x2) y 2(m 1)xy [l(l 1) m2]y 0(m 0,1, 2,L )
14
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
《数学物理方法》教学大纲
山东教育学院物理科学与技术系《数学物理方法》教学大纲一、课程概述1、《数学物理方法》是物理学专业本科的一门重要的基础课，它是前导课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》以及《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理学专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理学专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2、本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶变换、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3、本课程的内容为数学课程，注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有深广的物理背景，实用性强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4、本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、目的要求1、为了使学生能学好物理学专业的理论物理课程， 胜任中学物理教学及适应社会主义现代化建设的需要， 在本门课程中系统讲授复变函数和数学物理方程的基本理论和基本方法，并介绍数学物理中常用的几种特殊函数。
要求学生对规定的内容有一个总体了解。
掌握其中的基本概念，熟悉一些重要的理论及公式，并使所学到的知识在头脑中形成合理的结构。
2、大纲贯彻少而精的原则，着重让学生掌握最基本的理论知识和计算方法.在讲授过程中紧密联系物理实际， 但也注意保证数学概念的严格性和理论的系统性。
数学物理方法知识点归纳
第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
《数学物理方法》第10讲.ppt
4. xJm'(x) mJm(x) xJm1(x);
5.
mJm ( x)
x 2
[J
m
1
(
x)
Jm1( x)];
6.
J
m
'(
x
)
1 2
[J
m
1
(
x)
J
m
1(
x)]
.
证明
d dx
J
m
x
(x
m
)
J
m1( xm
x)
.
Jm(x) xm
k0
k
(1)k (1)2k m !(m k)! 2
x2k
.
d dx
由定解条件及温度有限知
R(b) R( 0)
0
因此
.
Qm
0,
且
R( )
Pm Jm (
)
(0 b)
()
R(b) 0.
此为第一类边界条件下Bessel函数的本征值问题，
进一步的讨论涉及 Bessel 函数的零点等问题。
若 0, (**)式化为 2R '' R m2R 0 .其通解为
方程。它须满足条件 v |x2 y2 b2 0 . 为求其解，将方程 和条件写成极坐标形式。
v
1
v
1
2
v
v
0
,
( b)
v
|
b
Hale Waihona Puke 0.再令 v R( ) ( ) , 代入上式得 '' 0 ()
2R '' R '( 2 ) R 0 . ()
由(*)式及周期条件 ( 2 ) 得特征值 m2 ,
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lim ( p) 0
(t )在t 0 的情况，故变换式中 (t )
应理解为 (t )H(t ) ,但为方便常略写 H(t )
3. e
pt
若t作为时间变量，则p具有频率的量纲，
所以Laplace变换是将时域函数 (t ) 复频域解析函数 ( p ) .
记作： ( p) L (t ), 或
( p) (t )e dt (Re p s0 ) 0 称为 (t )的Laplace变换式； ( p ) 称为 (t ) 的变换像函数， (t ) 称为 ( p ) 的变换原函数.
pt
( p) (t )或 (t ) ( p)
, 不难证明
~ ~ (1) c1 f1 ( x) c2 f2 ( x) c1 f1 (k ) c2 f2 (k )
(3)若f (m) ( x)
1 ~ k f ( ) (a 0) (2) f (ax) a a
0, (m 0,1, , n 1), 则
x ( n) n ~ f ( x) (ik ) f (k ) (n 1,2 ) x 1 ~ f ( ) d f (k ) (4)若 f ( )d 0，则
f (t1 , t2 )
Cmn
其中 0
1 T1 2 T2 2 t1 m 0 t 2 ) i ( n 0 f (t1 , t2 ) e dt1dt2 T 2 T 2 2 T1T2 1
.
m n
C
mn
e
t1 m 0 t 2 ) i ( n 0
A dt pa
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（二） 普拉斯变换的基本性质
1)线性定理：若1 (t ) 1 ( p),
2 (t ) 2 ( p), 则
c11(t ) c22 (t ) c11( p) c22 ( p) (其中c1, c2为复常数)
由定义、“和的积分和等于积分之和”易证. 例
1.1正交、模平方关系
T 2
T 2
cos
2nt 2kt T cos dt δ nk δ n , T T 2
2nt 2kt T T 2 sin T sin T dt 2 δ nk ,
T 2
2nt 2kt T 2 cos T sin T dt 0.
T 2
1 n k 2 n 0 δnk , δn 0 n k 1 n 0
第十章 积分变换法(P123)
基本内容：傅里叶积分变换、拉普拉斯积分变换 及性质。 本章重点：求解常微分方程和偏微分方程.
§10.1傅里叶积分变换
（一）傅立叶积分变换
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2
1.傅里叶级数
2nt 2nt , sin n 0,1,2, 的正交性与完备性 三角函数族 cos T T
(5) f ( x ) e
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ik
~ f (k )
ik
11
(6) f1 ( x) f 2 ( x)
~(m) (7)若f (k )
n
~( n ) (ix) f ( x) f (k ) (n 1,2 )
k
~ 1 ~ f1 ( ) f 2 (k )d 2 0 (m 0,1,2 , n 1), 则
~ 1 2 - ikx f (k ) e e dx 14 2 1 2 k2 1 4 ( ik ) 2 1 = 2 1 4 2 e e 2a 14 12 2 Ax2 x 4 A (其中用到了高斯积分公式 e dx e ). A 量子一维谐振子基态波函数：
n
cn e
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6
2.1同实数形式傅里叶级数间的关系 an ibn an ibn c , (n 1,2 ) . c0 a0， cn ， n 2 2 n次谐波的振幅为 2 cn
2.2具有周期 T1和T2的二元函数 f (t1 , t2 ) 的傅里叶级数
2 2 , 0 T1 T2
此为双重傅里叶级数→可推广为更多重数的傅里叶级数.
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3.傅里叶变换
定义于(-∞，∞）上的非周期函数，满足条件：(ⅰ)在任何 有限区间上f(t)是分段光滑的，至多存在有限个第一类间断点； (ⅱ)积分 f (t ) dt存在，则有
nx nx f ( x) a0 (an cos bn sin ) (l x l ) l l n 1 1 l nx 1 l nx . an f ( x) cos dx, bn f ( x) sin dx l l l l lδ n l
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2017/3/2பைடு நூலகம் 8
1)亦可取成 f (t ) c1()e 2) t x, 频率 波矢k
it
1 c ( ) d, 1 2
1 2
f (t )( e it ) dt系数不对称
~ 1 ~ ikx f ( x) f (k )e dk , f (k ) 2
1 f ( t ) ②若 2
~ ~ f ( )eit d , f ( )
12
思考与讨论题
1.何谓Fourier积分变换？它的存在条件是什么？ 2.Fourier积分变换有哪些基本性质？已知 F[(x)] G(), 你能利用Fourier积分变换的某些 1 G ( ) 1 性质求出 F [G() cosat ] 和 F [ a sin at ] 吗？其中a为常数、t为参量. 作业：p270 1 2 4
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( p)
(t ) 或 (t )
(t ) L1 ( p)
( p)
15
( p )存在、解析且 1.定理一:在Re p s0的右半平面上，
1 (t 0) 2.阶梯(跃)(或亥维赛单位阶跃)函数 H(t ) 0 (t 0)
因变换只考虑
2.复数形式的Fourier级数
正交完备的函数族: e
正交模平方关系: 完备性: f (t )
in 0 t
2 n 0,1,2, (0 T )
T 2
T 2
(ein0t )(eik0t ) dt Tδnk
i n 0 t
T 2 1 , cn f (t )( e in 0 t ) dt T T 2
2 T2 an f (t ) cos n0tdt , bn f (t ) sin n0td.t T 2 T n T T 2
2
T 2
n 1
物理意义：周期信号→分解为直流成分、基波(频率为0 )
和各高次谐波（频率为n0 )的迭加，谐波的振幅为 an 2 bn 2
2)时间t→空间x，时间周期T→空间长度2 l,则
1 it e (Rep 0) p i 1 it it sin t (e e ) 2i e it 1 (Rep 0) pi
1 1 1 1 sin t 2 (Rep 0) 2i p i p i p 1
1 f (t ) 2 ~ f ( )eit d f (t ) 的傅里叶积分(或傅
里叶变换的反演式)
~ f ( )
1 2
f (t )(eit ) dt f (t ) 的傅里叶变换
原函数f (t ) ~ 记作f (t ) f ( ) 傅里叶变换 ~ 像函数f ( )
~ f (k ) 是微观粒子在动量空间的波函数.
f (t )
f (t ) 的傅里叶积分 1 ~
f ( )e 2
it
h sin t it d e d.
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[例3]求 f ( x)
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的像函数.
e
2 x2
2
( 0)
k ~ 1 f ( x) f ( )d ix
(8)若
1 2
~ f ( )d 0 ，则
ix
(9) f ( x)e
~ f (k )
(10) 注： ① f(x)积分式与变换式的对称形式决定了上述性质的对称： (1)、(2)自身，(3)与(7)，(4)与(8)，(5)与(9)，(6)与(10).
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1.2完备性 以T为周期的函数f(t)若满足Dirichlet条件： (1)处处连续或在每个周期中至多存在有限个第一类间断点， (2)在每个周期中至多存在有限个极值点（即每个周期只能 分成有限个单调区间），则 2nt 2nt
f (t ) a0 an cos bn sin T T n 1
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2) 相似定理：若 (t )
( p)，a是一正数，则
1 p (at) a a 由定义作变量代换 at 即可证. 1 1 [例] sin t 2 (Re p 0, 0) 2 2 p p 1 3)延迟定理：若 (t ) ( p)，则 (t ) e p ( p)
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• 例题1. 阶跃函数的像函数
1 (t ) H (t ) 0 (t 0) (t 0) 1 p
( p)
0
H (t )e pt dt
例题2.指数函数的像函数