《电感元件》.

电感元件
1. 电压与电流的相量关系
图1（a ）是一个线性电感L 的交流电路，根据电感元件L 的物理特性，在取关联参考方向情况下，u L 和i L 满足微分关系
t
i L u d d L L = 对直流电路而言，由于稳态时电感电流i L 为一恒定值，故这时没有感应电压u L ，即u L =0，所以在直流电路中电感元件L 相当于两端短接；而在交流电路中，由于i L 随时间按正弦规律变化，就会在L 两端产生感应电压u L ，它仍为一正弦函数，这时它的物理特性是起阻碍电流变化的作用。

设t I i m ωsin L =，则有 ()()
90sin cos d sin d d d L L +====t LI t LI t t I L t i L u m m m ωωωωω ()
90sin +=t U m ω (1) 由此看出在理想电感电路中，u L 和i L 是同频率的正弦量并且在相位上u L 超前于电流i L
90，如图1(b)所示。

如用一个相量式来表达电感中电压和电流之间的大小和相位两方面的关系，则此相量式可表述如下 m
m I L j U ω= 或 I L j U
ω= (2) 若令L X ω=L ，则上式可写成
I jX U L = (3)
可用相量图表示为图1(c)所示。

X L 称为电感元件的感抗，它同样具有电阻的量纲即其单位也是欧姆(Ω)，其大小与频率f 及电感量L 成正比。

频率越高或者是电感量越大则感抗X L 就越大，它对电流的阻碍作用也就越大，所以在高频电路中X L 趋于很大，电感元件L 可看作开路；而对直流电路来说由于f =0，感抗X L =0，此时电感元件就相当于短路，这和我们在前面所介绍的有关内容是十分符合的。

需提请注意的是，感抗X L 是电感中电压与电流的幅值或有效值之比，而不是瞬时值的比值，所以不能写成i
u X =L ，这与电阻电路是不一样的。

在电感元件中电压与电流之间成
导数关系⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=dt di L u 而不是正比关系。

另外，电感元件中电压和电流的相量式I jX U L =，它既包含了电压与电流间的大小关系I X U L =，又包含了电压超前电流 90的概念。

对于
这一点我们要认真加以注意，在实际应用时要根据待求量的意义来进行分析考虑。

若电感中电流的初相不为零时，如i
I I ψ∠= 时，则)90( +∠=i U U ψ，即对于电感元件而言，电压总要超前于电流 90，其相位差
90=ϕ具有绝对性。

2) 电感元件的瞬时功率及无功功率
图1（d ）表示了线性电感L 的功率情况，设电感元件中电流和电压为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+==2sin sin πωωt U u t
I i m m 则电感元件的瞬时功率为 t t I U t I t U ui p m m m m ωωωπωsin cos sin 2sin =⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+== t UI ω2sin = (4)
电感元件吸收的能量和释放的能量是相等的，这说明电感元件实际上是不消耗电能的，故其有功功率或平均功率应当为零。

当然，这也可通过数学推导来说明
02sin T
1T 1T 0 T 0 L ====⎰⎰tdt UI pdt P P ω 电感元件虽不消耗能量，但作为一种理想的电路元件，它在电路中要体现出自己本身的物理属性，这一属性就是表现在它与电源要进行能量的交换。

为了衡量这种能量交换的规模或程度，我们引入“无功功率”这一概念，规定无功功率等于瞬时功率的幅值。

如用符号Q 来表示无功功率，则电感元件的无功功率为
L 2
L 2
L X U X I UI Q === (5) 为了与有功功率相区别，无功功率Q 的单位称为乏(Var)或千乏(KVar)。

需说明的是，一个实际的电感元件总是含有一定内阻的，它可看成是该内阻与一个理想电感串联而成。

例1 一个线圈的电感L =10mH ，设内阻忽略不计，接到电源V 314sin 2100t u = 上，求这时的感抗、电流和无功功率Q ，并画出相量图；若电压幅值不变，而频率变为Z 31050H ⨯='f ，问感抗和电流又为多少？
解 r a d /s
314=ω Var
31808.31100A 908.3114
.3010014.310103143=⨯==-∠=∠==Ω
=⨯⨯==-UI Q j jX U I L X L L L ω 相量图如图2所示。

当z f H ⨯='31050时 mA 9018.3314001003140101010502233 -∠=∠='=Ω
=⨯⨯⨯⨯='='-j jX U I L f X L
L ππ
图1 电感元件的交流电路
图2 例1解图。