高等数学第八章多元函数微分法及其应用教案

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

1、()y x,f z =，定义域为平面上某一个平面域

几何上()y x,f z =为空间一张曲面。

2、二元函数极限

P186 例1、讨论函数

()()()0,00

y x 0y x 0x y y 4x y x,f 222222

44

2在=+≠+?????+=极限是否存在。 解：()()()01K x x 4K lim x x K x K 4x lim x y y 4x lim 24222022444

42022442y x 0

2=+=+?=+→→=→x x x

而 ()4y y y 4y lim 244442y x 0

x =+?=→ ∴ ()

y x f 在(0,0)极限不存在. 3、连续

P187

第二节 偏导数

定义：()()00y ,x y x,f z 在点=处对x 的偏导数， 记作：()0010y y 0x x x 0y y 0x x 0y y 0x x y ,x f ,z ,x f ,

x z

''????======

即： ()()()x y ,x f y x,x f lim y ,x f 00000x 00x

?-?+='→? 同理：()()()y

y ,x f y y ,x f lim y ,x f 00000y 00y ?-?+='→? ()00y x

y ,x f ,f 在''存在，称()()00y ,x y x,f z 在=可导。 例1、y

z ,x z ,x z y ????=求 解：lnx x y z ,yx x

z y 1y =??=??- 例2、P188，例5，6

设 ()()()2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32'++-=求

解：()()()

123x dx x,1dz 2,1z ,x x,1z 2x 2

2x x 3==='===

2、高阶偏导数

()2x xx xx 22f z y x,f x z x x z ''=''=''=??

? ??????=?? xy xy 2z f x z y y x z ''=''=??? ??????=??? yx yx 2z f y z x x y z ''=''=???

? ??????=??? ???

? ??????=??y z y y z 22 ,f ,f yx xy

''''连续，则yx xy f f ''=''

第三节 全微分

如 ()()()ρo y B x A y x,f y y x,x f z +?+?=-?+?+=?

()()22y x ρ?+?=

()()y x,y x,f z 在=可微

全微分 dy y

f dx x f dz ??+??= 偏导数 y

f ,x f ????连续→可微 例3、设 ()1ylnx xlny y x,u -+= 则 dy lnx y x dx x y lny du ???? ??++??? ??+

=

例4、由方程 2z y x xyz 222=+++

确定()y x,z z =在点()1,0,1-全微分dy 2dx dz -=

第四节 多元复合函数的求导法则

定理：P25

↗可导 ↘连续

z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y )

x v v f x u u f x z ?????+?????=?? , x

v v f y u u f y z ?????+?????=??

例5、设 z = ( 1 + x 2 + y 2 )xy

求 y z x z ???? 解：)2y 2x xyln(1e z ++=

??

????+++++++=??22222xy 22y x 1y 2x )y x yln(1)y x (1x z ?????

?+++++++=??22222xy 22y x 12xy )y x xln(1)y x (1y z

例5.15 解 ()

xy ,y x f z 22+=，()x x y ?+= ()()()()()()x F v ,u f x x x ,x x x 2x 2f z 222==?+?+?+=

[][](x)x (x)2x v

f (x)(x)2(x)2x (x)24x u f x z ??????'++??+'+'++??=?? [][](x)x (x)2x v

f (x)(x)(x)x (x)2x u f 2?'+?+??+?'?+?'+?+??=

例7、()222y

x f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ()()y 2u f y 2u f 2x y y z x z y

+'-'=??+??

例8、 )y

x (x z 2?=,(u)?可微，则 2z y z y x z 2=??+?? 例9、设 )

y -f(x y z 22=，求证 2y z y z y 1x z x 1=??+?? 证：令 u y x 22=- 则 f(u)

y z =

(u )

f (u )f 2xy x z 2'-=?? (u )f (u )f 2y f(u)1y z 22'+=?? (u )f (u )f 2y yf(u)1(u)

f (u)f 2y y z y 1x z x 122'++'-=??+?? 2y z yf(u)1==

例10、设()()xy ,x g y x 2f z +-=，其中()t f 二阶可导，()v ,u g 具有二阶连续偏导数。

求 y

x z 2??? 解： y g g 2(t)f x

z v u ?'+'+?'=?? []x g 0g y g x g 0g 1)((t)f 2y

x z vv vu v uv u 2?''+?''+'+?''+?''+-?''=??? vv v uv g xy g g x (t)f 2''+'+''+''-=

例11、设x y v y,u ==，试将方程 0y x z x

z x 222=???+??变换成以u , v 为自变量的方程，其中函数z 具有二阶连续偏导数。

解： )x

y (v z x v v z x u u z x z 2-??=?????+?????=?? 224232222322v

z x y v z x 2y x u u v z x v v z x y v z x 2y x z ??+??=???????????+????-??=?? ??

?????????+?????-??-=???y u u v z y v v z x y v z x 1y x z 222222 ??

??????+???-??-=22222v z x 1v u z x y v z x 1 ∴ 223222222232222

2v z x y u v z x y v z x y v z x y v z x 2y y x z y x z x ??-???-??-??+??=???+?? 0u

v z x y v z x y 2222=???-??=

于是方程变为：02=???-??v

u z u v z

第五节 隐函数的求导公式

()0z .y .x F = 确定了 ()y .x z z = 求y

z ,x z ???? (1)方程两边同时对x 求导，注意()y .x z z =，可求得

x z ?? 方程两边同时对y 求导，注意()y .x z z =，可求得 y

z ?? (2)利用公式 y x F F x z ''-=?? z y F F y z '

'-=?? (3)两边微分

用(2)，(3)需具体方程给出，容易

例12、设()y .x z z = 由方程0e z 2e z xy =+--，求x

z ?? 解法一、在方程两边对x 求导，注意()y .x z z =

z xy z xy e 2ye x z 0x

z e x z 2ye --=??=??+??---- 解法二、设()z xy e z 2e z .y .x F +-==-

z xy z x e

2-ye F F x z +-=''-=??- 解法三、在方程两边微分 ()0e z 2e d z xy =+--

()()()0e d z 2d e d z xy =+-- ()0dz e dz 2xy d z xy =+--e

[]0dz e 2dz ydx xdy e z xy =+-+--

即 dy e

-2xe dx e -2ye dz z xy

z xy ---+-= ∴ z

xy

e -2ye x z --=?? z

xy e -2xe y z --=??

例13、设 ()y .x z z = 由方程??

? ??=++x y xf z y x 222确定，其中f 可微 则

2z

2y f y z -'=??

例14、已知方程y z ln z x = 定义了()y .x z z =，求22x

z ?? 解： y ln z z ln z x -=

z

x z z x

11lny lnz 11F F x z z x +=+=-+--=-=?? （或方程两边对x 求导，注意()y .x z z =）

在方程 ()z z x x z =+?? 两边对x 求导，()y .x z z =

()x z x z 1x z z x x

z 22??=??? ????+??++?? ()

322

222z x z z x z x z z x x z x z +=+??? ??+=+??? ????=??

在(1) 式两边对x 求导 法二： ()()2

22z x x z 1z z x x z x z +??? ????+-+??=?? ()()()

3222

z x z y x y x z z z +=+++-= ∴ ()

3222

22x z z -xz x x z x z x z 1x z ++-=+??? ????-??-=??

例15、习题7

设()z .y .x f u =，()0z .e .x y 2=Φ，x sin y =，其中f ，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z ≠???，求 dx

dz 解：0x

z z f cosx y f x f dx du =?????+???+??= 在()0z ,e ,x x sin 2==Φ，两边对x 求导，设2x u = x e v sin =

0x

z z x v v x u u =??????+??????+?????? 0x z z c o s x e v 2x u sinx =??????+????+???? z

/c o s x e v 2x u x z sinx ????????????+????=??

c o s x e v 2x u /z z f cosx y f x f dx du sin x ???+??????????+???+??=

例16、P200，例：5.20

第六节 多元函数微分学的几何应用

1、空间曲线的切线与法平面

曲线L ：（Ⅰ）??

???===z(t)z y(t)y x(t)x

（Ⅱ）???==0z)y,(x,F 0z)y,(x,F 2

1 曲线L 在M 0点处切线方程为： )(t z z z )(t y y y )(t x x x 000000'-='-='- 或0

t t 00t t 00t t 0dz z z dy y y dx x x ===-=-=-

例17、P204，例5.24，例5.25

例5.25 法二

在???+==++22222y

x z 6z y x 两边微分???=-+=++0dz 2ydy 2xdx 0zdz ydy xdx 在点()?

??=-+=++0dz 2dy 2dx 02dz dy dx 1,1,2M 0 0:5:52211:2112:1221dz :dy :dx -=--=

取{}1,01,τ-= ∴切线方程0

2z 11y 11x -=--=- 例19、求曲线()???+==1,2,7y

3x z 2x y 22在点处切线方程 解：法一 ()???=-+=+-1,2,70

dz 2ydy 6xdx 0

0dz dy 2dx 点代入 得?????==-+=+-14:2:1dz :dy :dx 0

dz 4dy 6dx 00dz dy 2dx ∴切线方程：14

7z 22y 11x -=-=- 2、空间曲面的切平面与法线

曲面方程：()()0000z ,y ,x P 0z y,x,F 点=

则曲面在0P 点处切平面方程：

()()()0z z z

F y y y F x x x F

00t 00P 00P =-??+-??+-?? 如曲面方程()y x,f z = 则切平面方程：()()()0z z y y f x x f 000P y 00P x

=---'+-' 法线方程：

0P z 0y 0x 0F z z F y y F x x -=-=-

例20、曲面22

y 2

x z +=在（2，1，3）处的法线方程

1

3z 21y 22x --=-=-

例21、P203，例5.22

例22、曲线???==+0z 122y 3x 22 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()

2,30,处的指向外侧单位法向量是

{}

3,20,51 例23、证明：曲面3a xyz =的切平面与坐标轴所围成的四面体体积为常数

证：设切点为()()3000a xyz z y,x,F ,z ,y ,x M -=

,z y x F

00M =?? ,z x y F

00M =?? 00M y x z F

=??

曲面在M(x 0，y 0，z 0)处切平面：

()()()0z z y x y y z x x x z y 000000000=-+-+-

即000000000z y 3x z y x y z x x z y =++ 即13z z 3y y 3x x 0

00=++ 四面体体积3000a 2

9,3z ,3y 3x 61V ==

第七节 方向导数与梯度 方向导数：()z y,x,f u =，可微 {}p n,m,l =

?

?????βα=γcos ,cos ,cos l 0 ()0000z ,y ,x M 222l n m m

cos ++=α, 222p n m n cos ++=β,

222p n m p

cos ++=γ 方向导数：γ??+β??+α??=??cos z

f cos y f cos x f l f 或：

cos γz u cos βy u cos αx u l u ??+??+??=?? 如 (){}

βcos ,αcos l y x,f z 0== 则 β??+α??=??cos y

x cos x z l z 分析：{}γβα?????

????????=??+α??=??cos ,cos ,cos z u ,y u ,x u γcos y u cos x u l u

设：?

???????????=z u ,y u ,x u G 则0l G l u ?=?? 设：k z

u j y u i x u ??+??+?? 为函数 ()z .y .x f u =在()z .y .x 处梯度 记为：gradu

即 k z

u j y u i x u gradu ??+??+??=

P20 例5.26、例5.29

例P220，习题19 解：228y 6x z 6x x u +-=?? 228y

6x z 8y y u +=?? 222z 8y 6x z u +-=?? gradu （M 0）=??????-=??+??+??14,148,146k z u j y u i x u 0

M 0M 0M {}{}4x,6y,2z F ,F ,F n z y x

='= 取M 0处法向量为{}2,3,1n = {}2,3,114

1n 0= 7111422114241412n gradu n u 0==-+=?=??