2019年高考数学(理)一轮复习 选修4-4 坐标系与参数方程习题及答案

选修4－4⎪⎪⎪ 坐标系与参方程第一节 坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞，y ′＝μ·y μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[典例]求椭圆x24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.[解]由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax a ，Y ＝byb建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x .3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1， 简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．4．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax a ，Y ＝byb，求a ，b 的值． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1aX ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.突破点(二) 极坐标系基础联通 抓主干知识的“”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互1．极坐标方程为直角坐标方程的步骤2．直角坐标方程为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标为极坐标(1)直角坐标方程为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤： 第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步，根据角θ的正切值tan θ＝y x(x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsinθ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.[方法技巧]1．应用互公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程；(2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值．[解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直，即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.[易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先为直角坐标方程，将不熟悉的问题转为熟悉的问题加以解决．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一、二]已知直线l的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2．[考点一]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.由坐标变换公式，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实a 的值．解：直线的极坐标方程为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝ r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝2， 解得a ＝－5或a ＝－1.故实a 的值为－5或－1.4．[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.由坐标变换公式， 得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．在极坐标系中，已知圆C经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ 22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程，R 点的极坐标为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1.∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．(2017·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，22. 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)． 7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M 的轨迹的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1. 由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 第二节 参方程突破点(一) 参方程1．参方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变t 的函：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝gt就叫做这条曲线的参方程，变t 叫做参变，简称参．相对于参方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参方程为本节主要包括2个知识点： 1.参方程；.参方程与极坐标方程的综合问题.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参)．1基本思路是消去参，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程为参方程 (1)选择参的一般原则曲线上任意一点的坐标与参的关系比较明显且关系相对简单；当参取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参，但要选定合适的参t ；第二步，确定参t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1tt 2－1(t 为参)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参)．[解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0<x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x <0， ∴所求普通方程为x 2＋y2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参方程为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参方程为普通方程时，要注意参的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参方程及应用1． 第一步，把直线和圆锥曲线的参方程都为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参)，交点A ，B 对应的参分别为t 1，t 2，计算时把直线的参方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1·t 2.[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． [解] (1)将曲线C 的参方程为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1213，－313. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1．解决直线与圆的参方程的应用问题时一般是先为普通方程再根据直线与圆的位置关系解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参)的直线的参方程，当a 2＋b 2≠1时，应先为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]将下列参方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k2(k 为参)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参)．解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y2x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2，简得4x 2＋y 2－6y ＝0，因为y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0<y <6，所以所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0<y <6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴将A 点坐标代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3， 故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4．[考点二]设直线l 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参，α为倾斜角)，圆C 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k＝52. (2)将圆C 的参方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α，由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.突破点(二) 参方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参方程的综合应用.将各类方程相互转是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.求曲线方程，常设曲线上任意一点P ρ，θ，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定的应用.圆的参方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.参方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参方程与极坐标方程的综合问题[典例C 1的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sinθ)＝－2(k 为实)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[解] (1)由曲线C 1的参方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0.因为圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d <1，直线l 与曲线C 1相交． (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点， 且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝22，解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处极坐标、参方程综合问题的方法(1)涉及参方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)形结合的应用，即充分利用参方程中参的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到繁为简的解题目的．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； (2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322，∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0.(2)因为直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋－2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－59∪[)5，＋∞.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)． 因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参)．(1)写出曲线C 的参方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参方程为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参t ，为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2017·郑州模拟)已知曲线C 1的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．解：(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)，即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋32＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参)，若圆C 1与圆C 2外切，求实a 的值．解：(1)O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝－1－2＋－1－2，解得a ＝± 2.3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22t ，y ＝y 0＋22t(t 为参)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2＋2y 2＝6表示一椭圆，设直线l 1为y ＝x ＋m ，将y ＝x ＋m 代入x 22＋y 2＝1得，3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0得－3<m <3，故点M 的轨迹是椭圆x 2＋2y 2＝6夹在平行直线y ＝x ±3之间的两段椭圆弧．4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k t －(t 为参)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k t －可得其普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k 2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k 2－1，故|6k ＋3|1＋k 2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43.5．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点．。