材料力学教案第5章弯曲应力
材料力学弯曲应力原创教案
材料力学弯曲应力原创教案弯曲应力我们开始弯曲这一章，我们讲了拉压、扭转、剪切，现在我们要讲弯曲。
弯曲的情况要比拉压和扭转更加复杂一些，它所涉及的问题更多一些，它和工程实际联系的更加紧密一些。
因此，这一章和下一章都是特别重要的章节。
在这一章中，我们首先要讨论弯曲正应力，横截面上有弯矩，那它就有了正应力，同时还要考虑弯曲切应力的问题，横截面上有剪力，说明它有切应力存在。
了解了正应力和切应力的情况，我们要讨论梁的强度和破坏，这个思路和前面几章是一样的。
特别的，要强调薄壁杆件中弯曲切应力的处理，最后呢，我们要讲组合变形的应用。
不仅仅是弯曲，而是弯曲和拉压，弯曲和扭转组合在一起的时候，如何来处理它的应力问题。
因此，这章的内容是比较多的。
工程实际例子我们来看看弯曲在工程中的应用。
这是一个厂房，这是一个大梁，这个吊车可以在这个大梁上运动。
对于这样一个问题，我们可以把它简化成一个简支梁，这个吊车的移动呢可以处理成一个移动荷载。
那么对于这个移动荷载而言，它所导致的应力如何计算？行车移动时，它的应力如何变化？这就是本章的内容之一。
我们再看看这个图片，这是我们拍摄的汽车的下部分，大家注意一些这个部分，这是就是汽车的板簧，它的模型就是这个样子，可以看成好几个钢板的组合，那么，为什么要设计成这个样子呢？它有什么优点呢？这也是本章要解决的问题。
这是一个运动员，撑杆跳，对吧。
大家常常见到，利用这个杆的助力，人可以跳的更高。
我们可以处理成这样一个模型。
她在跳高的过程中，杆就发生了弯曲。
那么，这个时候，跳杆横截面上的应力和杆曲率半径有什么关系？这个杆在什么情况下才满足强度要求？大家看看这个场面，对于这个场面，我们截面几何性质那章提到过，都是薄壁杆件，那么薄壁杆件有弯曲正应力和弯曲切应力，专门有一小节来讲解它的弯曲切应力，看看这些切应力有什么特点？如何避免薄壁杆件的强度失效？这也是本章的问题这个大家都熟悉，著名的比萨斜塔。
对于这个结构，初步计算，我们可以简化成这样一个均质圆筒，那么它有哪些变形效应？它的危险截面、危险点在哪儿？如何计算其应力？这也是本章可以解决的问题。
材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
材料力学第五章 弯曲应力-正式
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第5章弯曲应力
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
材料力学第五章 弯曲应力
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学第5章弯曲应力
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
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§ 5.1纯弯曲§ 5.2纯弯曲时的正应力§ 5-3横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力 § 5.4弯曲切应力 § 5.6提高弯曲强度的措施成为曲线a a 、b b ，变形前的mm , nn 变形后仍为直线mm 、m n ，然而却相对转过了一个角度，且仍与 aa 、bb 曲线相垂直(2) 平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平 面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直 于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面 假设。
(3) 设想设想梁是由平行于轴线的众多纤维组 成。
在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。
显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的 纤维缩短。
由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一 层纤维称既不伸长，也不缩第五章弯曲应力§ 5.1纯弯曲 1.弯曲 横力弯曲 纯弯曲 F s ,M F s 0,M const.0,2.观察变形 以矩形截面梁为例 (1)变形前的直线aa 、bb 变形后1aa丿bbm AXn 1mn△m Maa M b'短，这一层纤维为中性层。
(4)中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。
P139 note：可以证明，中性轴为形心主轴。
§ 5.2纯弯曲时的正应力1.正应力分布规律：r①变形几何关系Y②物理关系•③静力关系(1)变形几何关系取dx微段来研究，竖直对称轴为为z轴，距中性层为y的任一纤维b by d d yd(2)物理关系因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩,当应力小于比例极限时，由胡克定律(b)此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。
在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。
亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。
(3)静力关系横截面上的微内力。
dA 组成垂直于横截面的空间平行力学。
这一力系可能简化为三个内力分量: dAA z dAA y dA AM iy M iz 横截面上的内力与截面左侧的外力必须 平衡。
在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有 对z 轴的力偶矩M e 。
由于内外力必须满足平衡 方程，故： ① F x 0AdA式（b ）代入式（c ）dA const… ydA S z （A结论：Z 轴（中性轴）通过形心。
②M y 0Miyz dAA(d )式（b ）代入式（d ）z dAAEyzdA 0AyzdA AI yz 0结论：y 轴为对称轴, ③M上式自然满足 0 M eM iz MAy dA( e )式（b ）代入式（e ）M yAy 2dAAdA — y 2dAA(f )I Z•••式（f ）可写成1 MEI Z(g )式中1为梁轴线变形后的曲率，El z 称为梁的抗弯刚度。
2. 纯弯曲时梁的正应力计算公式 由式（g ）和式（b ）中消去丄得讨论：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特 性，因此，公式具有普遍性。
（2） 只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用 （3） 横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需 用y坐标的正负来判定。
§ 5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力1. 纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲M yl z讨论：公式的适用条件 （1） 平面弯曲（2） 纯弯曲或l/h >5的横力弯曲（C ,T ） （3） 应力小于比例极限。
2. 最大正应力M max y maxl zmaxW ——抗弯截面系数（m 3） 讨论：max引入记号:l zy maxM max720(1)等直梁而言。
max 发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处 y max(2)对于变截面梁不应只注意最大弯矩M max 截面，而应综合考虑 弯矩和抗弯截面系数W Z 两个因素。
3. 强度条件maxW Z(1)对抗拉抗压强度相同的材料，只要 即可 max(2)对抗拉抗压强度不等的材料(如铸铁)则应同时满足:t max tcmax4. 强度计算 (1) 强度校核(3)确定许用载荷：M maxW ZExamplel 空气泵操作杆，右端受力 F i =8.5kN , 1-1、2-2截面相同,均为h/b=3的矩形，若[(T ]=50MPa ，试选用1-1、2-2截面尺寸。
M 1=8.5X (0.72-0.08)=5.44kN m • M 2=16.1X (0.38-0.08)=4.38kN m •max(2)设计截面尺寸：W ZmaxSolutio n ①求F 2M 0 00.38F 28.5 0.72 0②求截面弯矩F 216.1kN故:M 1 5.44 kN -mmax720§ 5.4弯曲切应力 横力弯曲MF S切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状 不同分别加以讨论。
1.矩形截面梁(1) 切应力的分布规律切应力的方向与剪力F s 平行 假设 切应力沿截面宽度均匀分布 当h>b 时，按上述假设得到的解答与精确解 相比有足够的准确度。
(2) 切应力沿截面高度的变化规律 ① 从梁中取出dx 段，而微段上无载荷作用②截面上的C 和T 的分布如图 ③研究微块的平衡③设计截面W ZMjmax5.44 101.088 105mm 3I Z50bh 3 y maxh 3bW z 更 1.088 105mm 3232 1-088 10341.7 mmVh=125mm12式。
F2 . dA .. M dM y-dAI；A* A*M dM—A* y i dAM dM *I式中：S Z A* y-dA为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。
AMy. M — MS；F 1 dA -dA ；1A* A* A；；考虑到微块顶面上相切的内力系的合dF s bdx (c)F x(a)*%dAI z(b)F 2 F 1 dF s 0(d)(a)、(b)、(c)dM j M j「S z工dM S；代入式(d)(e)bdx 0P7 /dx I Z b(d)由切应力互等定理,dMdxF S*FSSZI z b横截面上pq线处切应力为*F s S；I；b这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公④讨论:a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b.矩形截面如图dA bd y-i S zh /2A*y1 dA y b%dy1(f)(g)2y orS Z A* [y2 Jh h 、1』、b」2、F S 212h22 4 yc. 当y —时，2T =O当y=0时, max F s h2 81；d.考虑到I；bh12max 3 F S2 bh 1.5空bh2.工字形截面梁(1)计算表明：截面上剪力F S的95〜97%说明切应力T沿截面高度按抛物线规律变化由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均适用(T方向与F S一致，均布),米用矩形截面方法可得：*F S S；I；b o h设宽度max9 Tiin式中：S；h2h o2b o h：以y=0，yI；b o弘代入上式得2h0b o2h24 maxminF S bh2I；b o 8F S bh2I；b08b h：bo I8(2)翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予 讨论。
(3) 工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远， 每一点的正应力都很大, 所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪 力。
(2)圆环形截面2 FSmaxA4.弯曲切应力的强度校核 (1)强度条件*F s s max Z maxmaxI z bS Zmax ——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩T bo«b…Tmax ~Tmin于是近似认为F Smaxb o h3.圆形及圆环形截面梁*F S S ZI z b(1)yS Z阴影面积对中性轴的静矩b ――为弦AB 的长度在中性轴上SZmaxI ZmaxR 2 2 4 4旦 3 R 24R 34F S3Ab=2R最大切应力发生于中性轴处，故max(2)细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。
(3)只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：①梁的跨度较短。
②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。
③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。
④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。
§ 5.6提高弯曲强度的措施弯曲正应力为控制梁的主要因素。
梁的强度条件：M maxmax合理安排梁的受力情况，降低M max 采用合理截面形状，提高W Z1 .合理安排梁的受力情况，降低(1)合理布置梁的支座(2)合理布置载荷①载荷置于合理位置②将集中力分为较小的集中力③将集中力分为分布力M max MiMl-■-|伍］書冲2期A/加屯1 ；5 5QATr Trmtrini11in[IT[^nnnirnnrnTTrn■—£占術I 豎価牛F/2W Z由2.梁的合理截面，提高W Z由强度条件M max W Z可见W Z越大，梁承受的弯矩就越大。
（1）矩形截面梁竖放：W Z也，由A=bh，用6衡量截面形状的合理性和经济性。
K1W L h0.167hA 6hb2平放：W ------- ，由A=bh6K2W L b0.167bA 6显然：因为h>b，故Q>K2，所以，K矩形截面梁竖放比平放要好。
（2）截面合理性，经济性用W比A值来评价，引入W Kh，K值越Ah3.等强度梁的设计（1）等截面梁是按最大弯矩设计max i11•i(2)等强度梁是按变截面设计wx M2(2)等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力。
max 都相等，且等于许用应力［(T ］。
M (x)maxW(x)4.举例Example 图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为 矩形。
设 h=c on st ,而 b=b(x)② 当x=0时，b=0。
这显然不能满足剪切条件。
必须根据截面上中性 轴处的最大切应力来论最小的宽度 b min 。
③ 根据max3 F s max 3 F / 2 2 A 2 b min h b .王min.4h即: 故:当x 2时,bma X 畀(3)叠板弹簧梁的构成将厚度为h的钢，切割成b min的钢板条，当然钢板条长度不同叠起来，构成叠板梁如图示。
(4)鱼腹梁的设计设：b co nst h h xW xM x F/2 x即：bh2 x Fx62又：h x3Fxb3 F smax 3 F /2max2 A 2 bh min故：h min 3F 4bh max 3Fl 2b鱼腹梁形成。