九年级数学上册 3.5 圆周角同步练习(1)浙教版

合集下载

九年级数学上册3.5圆周角同步练习(无答案)浙教版(new)

3.5 圆周角一、选择题（)1.如图，是的外接圆，，则的大小为A。

B。

C。

D.2.如图，是的外接圆,已知，则为A.B.C。

D。

3.如图，点是上的三点，已知，那么的度数是A.B.C。

D.4.如图，AB为的直径，点C在上，若，则的度数为A.B。

C。

D.5.已知:如图，O为的圆心,点D在上，若，则的度数为A。

B.C。

D。

6.如图，是一个圆形展厅，为了监控整个展厅，在其圆形边缘上安装了甲、乙两台监视器,若甲监视器的监控角度为，则乙监控器的监控角度至少为A.B。

C.D.7.如图，CD为的直径，且弦,则大小为A。

B。

C.D。

8.圆中与半径相等的弦所对的圆周角度数是A。

B. C. D。

或9.已知A、B、C三点在上，且AB是内接正三角形的边长，AC是内接正方形的边长,则的度数为A. 或B. 或C. D。

10.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是A. B.C。

D.二、解答题11.已知：如图，内接于，求的半径．12.13.14.15.16.17.已知：如图，内接于是的弦，,垂足为D,点E为弧BF上一点,且，求证:AE是的直径；若，求AC的长．18.19.20.21.如图,是半圆上的两点,O为圆心，BC是直径,，求的度数．22.23.24.25.如图，点A、B在上，点O是的圆心，请你只用无刻度的直尺,分别画出图和图中的余角．图中，点C在上；图中，点C在内．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

浙教版数学九年级上册同步测试：3.5 圆周角.docx

浙教版九年级数学上册同步测试：3.5 圆周角一、选择题1．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（）A．14°B．28°C．56°D．84°3．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°8．下列四个图中，∠x是圆周角的是（）A．B．C．D．9．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°10．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A ．B ．2C ．2D ．411．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于（）A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°12．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是（）A ．AD=AB B ．∠BOC=2∠DC ．∠D +∠BOC=90° D ．∠D=∠B13．如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB=40°，则∠A 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．100°15．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）A．20°B．46°C．55°D．70°16．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°17．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD 平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD二、填空题18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是．19．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N 两点，则∠APB的范围是．20．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．21．已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是．22．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是．23．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．24．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．25．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=．26．如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5cm，则CD等于cm．27．如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB=．三、解答题28．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：郊县人数/万人均耕地面积/公顷A 20 0.15B 5 0.20C 10 0.18求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；（2）先化简下式，再求值：，其中，；（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．29．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．30．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：（1）△AEB∽△OFC；（2）AD=2FO．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《圆周角》单元同步练习1及答案.docx

3.5 圆周角（一）1.如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为50° .(第1题)2.如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD ∥AB ，连结AC ，则∠BAC ＝35° .(第2题)3.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则AC 长为 2 2 .(第3题) (第4题)4.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是(C)A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°5.如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB＝40°，则∠C等于(A)A. 25°B. 30°C. 45°D. 50°(第5题)6.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE ＝40°，则∠P的度数为(B)(第6题)A. 140°B. 70°C. 60°D. 40°(第7题)7.如图，点A ，B ，D ，E 在⊙O 上，弦AE ，BD 的延长线交于点C.若AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点.(1)试判断AB ，AC 之间的大小关系，并给出证明.(2)在上述题设条件下，△ABC 还需满足什么条件，E 才一定是AC 的中点(直接写出结论)？【解】 (1)AB ＝AC.证明如下：连结AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AB ＝AC.(2)∠BAC ＝60°或∠ABC ＝60°或∠C ＝60°或BC ＝AB 等.8.如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，将AC ︵沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD.如果∠BAC ＝20°，那么∠CDB 的度数为(B)(第8题)A. 80°B. 70°C. 60°D. 50° 【解】连结BC.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠BAC ＝20°，∴∠B ＝70°.根据翻折的性质得，AC ︵所对的圆周角为∠B ，ABC ︵所对的圆周角为∠ADC ， ∴∠ADC ＋∠B ＝180°. 又∵∠ADC ＋∠CDB ＝180°， ∴∠CDB ＝∠B ＝70°.9.如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连结OB ，OC.若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为(B)(第9题)A. 3 3B. 4 3C. 5 3D. 6 3【解】过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则BC ＝2BD.∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC ＝2∠A ，∠BOC ＋∠A ＝180°， ∴∠BOC ＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－∠BOC)＝30°.∵OB ＝4，∴OD ＝2，∴BD ＝2 3，∴BC ＝4 3.10.如图，一块直角三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为61° .(第10题)【解】连结OD.∵直角三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合， ∴点A ，B ，C ，D 共圆，∵点D 对应的刻度是58°，∴∠BOD ＝58°，∴∠BCD ＝12∠BOD ＝29°，∴∠ACD ＝90°－∠BCD ＝61°.11.已知AB 为⊙O 的直径，AC 和AD 为弦，AB ＝2，AC ＝2，AD ＝1，则∠CAD＝15°或105° .【解】 (1)当AC 与AD 在AB 同侧时，如解图①所示，连结BC ，BD.(第11题解①)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠C ＝∠D ＝90°. 在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝2，∴BC ＝AB 2－AC 2＝2＝AC ，∴∠CAB ＝45°. 在Rt △ADB 中，∵AD ＝1，AB ＝2，∴∠ABD ＝30°， ∴∠DAB ＝60°.∴∠CAD ＝∠DAB －∠CAB ＝15°.(第11题解②)(2)当AC 与AD 在AB 两侧时，如解图②所示. 同理于(1)，可知∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°， ∴∠CAD ＝∠DAB ＋∠CAB ＝105°. 综上所述，∠CAD 的度数为15°或105°.12.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD.(1)若P 是CAD ︵上一点(不与点C ，D 重合)，求证：∠CPD ＝∠COB.(2)当点P ′在劣弧CD 上(不与点C ，D 重合)时，∠CP ′D 与∠COD 有什么数量关系？请证明你的结论.(第12题)【解】 (1)如解图①，连结OD. ∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠BOC ＝∠BOD ＝12∠COD.又∵∠CPD ＝12∠COD ，∴∠CPD ＝∠COB.(第12题解)(2)如解图②，2∠CP ′D ＋∠COD ＝360°.证明如下： ∵∠CP ′D ＋∠CPD=====m12(CPD ︵＋CP ′D ︵)＝180°，∴∠CP ′D ＝180°－∠CPD. 由(1)知∠CPD ＝12∠COD ，∴∠CP ′D ＝180°－12∠COD ，即2∠CP′D＋∠COD＝360°.13.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 2 .(第13题)【解】∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°.∴点P在以AB为直径的⊙O上.如解图，连结OC交⊙O于点P，此时PC最小.(第13题解)在Rt △BCO 中，∵∠OBC ＝90°，BC ＝4，OB ＝12AB ＝3，∴OC ＝OB 2＋BC 2＝5，∴PC ＝OC －OP ＝5－3＝2.。

浙教版九年级数学上册《圆心角、圆周角》练习题

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.4圆心角、3.5圆周角》优生辅导综合练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°4．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（）A．158°B．58°C．64°D．116°5．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°6．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点D在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和AD交于点E，已知AC＝8cm，则这个圆圈上的弦CE长是（）A．6cm B．6cm C．4cm D．cm 二．填空题7．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝50°，则∠BAD的大小为°．8．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．若∠BAC＝44°，BD＝2，则弧AE的度数是，DC的长为．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为．10．在半径为r的圆中，长度为r的弦所对的圆周角的度数是．11．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为．12．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC 等于度．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，以点D为圆心，CD长为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点E，若的度数为60°，则直径BC长为．14．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C旋转到C′，则∠C′AB＝°．15．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA＝OB＝1，AB＝，在⊙O上一点C，使BC＝，则∠BAC的度数为．三．解答题16．如图，在下列4×4（边长为1）的网格中，已知△ABC的三个顶点A，B，C在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个格点D，并写出点D的坐标．（1）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后所得的三角形，点A旋转后落点为D；（2）经过A，B，C三点有一条抛物线，请找到点D，使点D也落在这条抛物线上；（3）经过A，B，C三点有一个圆，请找到一个横坐标为2的点D，使点D也落在这个圆上，①点D的坐标为；②点D的坐标为；③点D的坐标为．17．如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．（1）求证：AC＝BD；（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，连接CO，CB．（1）若AM＝2，BM＝8，求CD的长度；（2）若CO平分∠DCB，求证：CD＝CB．19．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．21．如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：（1）BC平分∠ACE；（2）AB∥CE．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．23．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，且OC平分∠ACD，延长AC与DB交于点E，过点C作CF⊥OC交DE于点F．（1）求证：∠A＝∠E．（2）若BF＝5，，求⊙O的半径．24．如图，Rt△ABC中，AC＝CB，点E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB 于点Q，D．（1）如图1，若点D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B；（2）在（1）问的条件下：①如图2，连接CD，交EF于H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长度．②如图2，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比（直接写出答案）．（3）如图3，连接CQ，CD，若AE+BF＝EF，求证：∠QCD＝45°．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣130°＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．故选：C．2．解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．3．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．4．解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．5．解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．6．解：作AH⊥CE于H，如图，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠BCE＝∠BAD＝30°，∴∠ACE＝60°，在Rt△ACH中，CH＝AC＝×8＝4cm，∴AH＝CH＝4cm，∵∠AEC＝∠ABC＝45°，∴AH＝HE＝4cm，∴CE＝CH+HE＝（4+4）cm．故选：C．二．填空题7．解：连接BD，∵BD是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40．8．解：连接OE，AD，∵OA＝OE，∠BAC＝44°，∴∠BAC＝∠OEA＝44°，∴∠AOE＝92°，∴弧AE的度数是92°，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BD＝2，∴CD＝2．故答案为：92°，2．9．解：连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC＝2，故答案为：2．10．解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，则由垂径定理知，点D是AB的中点，∴AD＝AB＝r，∴∠AOD＝45°，∴∠AOB＝2∠AOD＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°，故答案为：45°或135°．11．解：连接AO，CO，则∠AOC＝2∠ADC，∠BOC＝2∠BAC，∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝2∠BAC+2∠ADC＝2×15°+2×20°＝70°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝55°，故答案为：55°．12．解：∵OA⊥BC，∴∠OEB＝90°，∵∠OBC＝20°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝70°，∴的度数是70°，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴＝，∴的度数是70°，∴圆周角∠ADC＝＝35°，故答案为：35．13．解：如图，连接BE，EC．∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∵的度数＝60°，∴∠BCE＝×60°＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，∵DE＝DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC＝CD＝6，∴BC＝4．故答案为：．14．解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°；同理可得△OAD′为等边三角形，∴∠OAD′＝60°，∴∠D′AB＝60°+60°＝120°；∵AC′为正方形AB′C′D′的对角线，∴∠D′AC′＝45°，∴∠C′AB＝∠D′AB﹣∠D′AC′＝120°﹣45°＝75°．故答案为75．15．解：如图，作OH⊥BC于H．连接AC．∵OH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴∠OBH＝30°，∵OA＝OB＝1，AB＝，∴AB2＝OA2+OB2，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝45°+30°＝75°，∴∠BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，作点C关于直线OB的对称点C′，连接AC′，BC′，CC′，∵∠OBC＝∠OBC′＝30°，∴∠CBC′＝60°，∵BC＝BC′，∴△BCC′是等边三角形，∴∠BCC′＝60°，∴∠BAC′＝180°﹣60°＝120°，故答案为60°或120°．三．解答题16．解：（1）如图，点B的对应点为B′，点A的对应点为点D（4，2）；故①答案为：（4，2）；（2）抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，故点D（3，2），故②的答案为：（3，2）；（3）AB中垂线的表达式为：y＝x，BC的中垂线为：x＝，则圆心O为：（，），设点D（2，m），则OD＝OB，（）2+（）2＝（2﹣）2+（m﹣）2，解得：m＝0或3（舍去0），故点D（2，3）；故③的答案为（2，3）．17．（1）证明：∵B，C是的三等分点，∴＝＝，∴+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接CD，AD，∵∠BDC＝25°，＝＝，∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，∴∠BEC＝∠AED＝130°．18．解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM＝DM，∵AM＝2，BM＝8，∴AB＝10，∴OA＝OC＝5，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，∴CM＝＝4，∴CD＝8；（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，∵CO平分∠DCB，∴OM＝ON，∴CB＝CD．19．（1）证明：∵AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，∴⊙O的直径＝2r＝26．20．（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．21．证明：（1）∵AB＝BE，∴，∴∠ACB＝∠BCE，∴BC平分∠ACE；（2）连接OC、OB，∵OA、OB、OC是⊙O半径，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ABO＝∠ACO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AB＝BE，∴AC＝BE，∴，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥CE．22．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．23．（1）证明：由题意∠ACO＝∠A＝∠D．∵OC平分∠ACD，∴∠ACO＝∠OCD，∴∠OCD＝∠D．∴OC∥DE，∴∠E＝∠ACO，∴∠E＝∠A．（2）解：∵，∴设BD＝3x，OB＝4x，由（1）得∠E＝∠A＝∠CDE，OC∥DE．∵CF⊥OC，∴CF⊥DE，∴EF＝DF＝3x+5．∴BE＝3x+10，∵∠E＝∠A，∴AB＝BE，即3x+10＝8x，解得x＝2∴半径OB＝4x＝8．24．（1）证明：连接CD．在Rt△ABC中，∵AC＝CB，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝45°，∵∠DEF＝∠DCB，∴∠DEF＝∠B．（2）解：①如图2﹣1中，当EH＝HD，可证四边形CFDE是正方形CF＝2．如图2﹣2中，当EH＝ED时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°，∵∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴BD＝BF＝2，∴CF＝4﹣2．如图2﹣3中，当DA＝FH时，点E于A重合，点H与C重合，CF＝0．综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4﹣2．②如图2﹣4中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DF．∵CA＝CB，AD＝DB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝DA＝DB∴DE＝DF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，∴DM＝DN，可得四边形DMCN是正方形，∴DM＝CM＝CN＝DN，∵＝＝＝＝，∴可以假设DN＝3k，EC＝4k，则AC＝BC＝6k，AE＝CF＝2k，∴＝＝．（3）证明：连接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．∵ER∥OH∥FK，EO＝OF，∴RH＝HK∴OH＝（ER+FK），∵ER＝AE，FK＝FB，∴OH＝（AE+BF）＝EF＝OE＝OQ，∴∠OQD＝∠ODQ＝45°，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝45°．。

浙教版数学九年级上册(同步练习)《3.5圆周角》

《3.5圆周角》同步练习一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个图中，∠x是圆周角的是 ( )A. B.C. D.2. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为 ( )A. 个单位B. 个单位C. 个单位D. 个单位3. 如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130∘，则∠D等于 ( )A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 50∘⏜上4. 如图，经过原点O的⊙P与x，y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB一点，则∠ACB= ( )A. 80∘B. 90∘C. 100∘D. 无法确定5. 如图，有一锐角为30∘的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54∘，则∠BCD的度数为 ( )A. 27∘B. 54∘C. 63∘D. 36∘6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45∘，则∠B的度数为 ( )A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘7. 如图所示，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，E为弧AD的中点，若∠BAC=52∘，则∠AOE的大小为 ( )A. 26∘B. 52∘C. 78∘D. 104∘8. 如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交于点F，作直线PF．下列说法一定正确的是 ( ) ① AC垂直平分BF；② AC平分∠BAF；③ FP⊥AB；④ BD⊥AF．A. ①③B. ①④C. ②④D. ③④9. 如图，已知AB是半径为的圆O的一条弦，且AB=a<1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 ( )A. √52a B. C. √32D. a10. 已知：如图，△ABC中，∠A=60∘，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E连接DE，OE．下列结论：。

初中数学浙教版九年级上册3.5圆周角同步练习

初中数学浙教版九年级上册3.5圆周角同步练习一、单选题（共12题；共23分）1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为( )A. 100°B. 105°C. 110°D. 1202.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°3.用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）A. B. C. D.4.已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则（）A. 150°B. 120°C. 150°或30°D. 120°或60°5.如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB.则∠APB的大小为________度．6.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°7.AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（）A. 40°B. 140°或40°C. 20°D. 20°或160°8.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°9.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )A. 勾股定理B. 勾股定理的逆定理C. 直径所对的圆周角是直角D. 90°的圆周角所对的弦是直径10.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x，则x的取值范围是（）A. 30≤x≤60B. 30≤x≤90C. 30≤x≤120D. 60≤x≤12011.如图，点A，B，D，C是⊙O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 55°12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（）A. 62°B. 70°C. 72°D. 74°二、填空题（共5题；共5分）13.如图，量角器上、两点所表示的读数分别是、，则的度数为________.14.如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是________.15.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第18秒时，点E在量角器上对应的读数是________度．16.若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为________.17.如图,AB是半圆O的直径,弦AC=4,∠CAB=60°,点D是弧BC上的一个动点,作CG⊥AD,连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是________.三、解答题（共5题；共40分）18.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，求∠ABE的度数.19.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．20.已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数（2）求证：∠ABD=∠AEB21.如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．22.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E.（1）求证：∠BCD=∠CBD；（2）若BE=4，AC=6，求DE的长.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°.故答案为：B.【分析】利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠BAC=60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD=45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可.2.【答案】B【解析】【解答】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,∴∠BOC+∠AOB=220°,∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,故答案为：B.【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.3.【答案】C【解析】【解答】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，故答案为：C.【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可.4.【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧上的时候，∠ACB=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上的时候，∠ACB=180°-30°=150°，∴∠ACB的度数为150°或30° .故答案为：C.【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数，然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案.5.【答案】45【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角，∴∠APB= ∠AOB= ×90°=45°.【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”进行解答.6.【答案】D【解析】【解答】解：连接，，，，．故答案为：D．【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。

浙教版九年级数学上3.5圆周角(1)同步导学练(含答案)

3.5 圆周角(1)(1)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(2)直径(或半圆)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．1.如图所示，在⊙O 中，OD ⊥BC ，∠BOD=60°，则∠CAD 的度数为(D ).A.15°B.20°C.25°D.30°(第1题) （第2题）(第3题)(第4题)2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED=20°，则∠BCD 的度数为(B ).A.100°B.110°C.115°D.120°3.如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是上任意一点.若AB=5，BC=3，则AP 的长不可能为(A ).A.3B.4C. 29 D.5 4.如图所示，ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连结AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数为(B ).A.44°B.54°C.72°D.53°5.如图所示，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD 的度数为(B ).A.90°B.100°C.110°D.120°(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)6.如图所示，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58°.7.如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC= 100°．8.如图所示，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径作半⊙O，交BC于点D.若∠BAC=40°，则的度数是140°.9.如图所示，已知△ABC，以AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．(第9题) （第9题答图）【答案】如答图所示，连结AE.∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB=90°.∴AE⊥BC.∵BE=CE，∴AB=AC.∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE.∴∠BAC=40°.∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°.(第10题)10.如图所示，△ABD是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，C为的中点，AD分别与BC，OC交于E，F两点.求证：(1)OF∥BD．(2)若∠C=30°，则AD平分OC．【答案】(1)∵OC为半径，点C为中点，∴AF=DF.∵AO=BO，∴OF∥BD.（第10题答图）(2)如答图所示，延长CO 交⊙O 于点N.∵∠C=30°，∴∠BON=60°.∵∠AOC=∠BON，∴∠AOC=60°.∵OC 为半径，C 为中点，∴OF⊥AD.∴∠OFA=90°.∴∠A=30°.∴OF=21OA=21OC ，即AD 平分OC.11.如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC=40°，则∠AMB 的度数不可能是(D ). A.45° B.60° C.75° D.85°（第11题） (第12题) （第13题）（第14题）12.如图所示，⊙O 的直径AB 为8，P 是上半圆(点A ，B 除外)上任一点，∠APB 的平分线交⊙O 于点C ，弦EF 过AC ，BC 的中点M ，N ，则EF 的长是(A ).A.43B.23C.6D.2513.如图所示，A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 20° .14.AB 为半圆O 的直径，现将一把等腰直角三角尺如图所示放置，锐角顶点P 在半圆上，斜边过点B ，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ 的长为2 .(第15题)15.如图所示，D 为边AC 上一点，O 为边AB 上一点，AD=DO.以点O 为圆心，OD 长为半径作圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连结EF.若∠BAC=22°，则∠EFG= 33° ．16.我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.则圆心角∠AOB 的度数等于它所对的弧的度数，记为：.由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半”是真命题，请结合图1给予证明(不要求写已知、求证，只需直接证明)，并解决以下的问题．(1)如图2所示，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于圆内一点P ，求证：．(2)如图3所示，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于圆外一点P.(1)中的结论是否成立？如果成立，给予证明；如果不成立，写出一个类似的结论(不要求证明).(第16题)（第16题答图）【答案】∵∠APB=21∠AOB，,即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半.(1)如答图所示，连结BC ，则∠APC=∠PCB+∠PBC.∵.(2)(1)中的结论不成立.类似的结论为：.（第17题17.【毕节】如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为(C ).A.30°B.50°C.60°D.70°18.【临沂】如图所示，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE=DB.(2)若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC 外接圆的半径.（第18题）（第18题答图）【答案】(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAD.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.∵∠DBE=∠CBE+∠DBC ，∠DEB=∠ABE+∠BAD ，∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB.(2)如答图所示，连结CD.由(1)得，∴CD=BD=4.∵∠BAC=90°，∴BC 是直径.∴∠BDC=90°.∴BC=22CD BD =42.∴△ABC 外接圆的半径=21×42=22.19.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图1所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC=BD ，且AC⊥BD.(1)求证：AB=CD.(2)若⊙O 的半径为8，的度数为120°，求四边形ABCD 的面积.(3)如图2所示，作OM⊥BC 于点M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论.图1图2（第19题）图1图2（第19题答图）【答案】(1)∵AC=BD，∴，∴AB=CD. (2)如答图所示，连结OB ，OD ，作OH⊥BD 于点H ，∵的度数为120°，∴∠BOD=120°.∴∠BOH=60°.则BH=23OB=43，∴BD=83则四边形ABCD 的面积S=21×AC×BD=96.(3)AD=2OM.证明：如答图2所示，连结OB ，OC ，OA ，OD ，作OE⊥AD 于点E.∵OE⊥AD，∴AE=DE. ∵∠BOC=2∠BAC ，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC.同理可得∠AOE=∠ABD.∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°.∴∠BOM+∠AOE=90°.∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE.在△BOM和△OAE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OA OB AOE OBM OEA OMB ,∴△BOM≌△OAE.∴OM=AE.∴AD=2OM.。

浙教版九年级数学圆周角同步练习1

圆周角同步练习1A组1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=1600, 则∠BAD的度数是，∠BCD的度数是.（第3题）2. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠DPC =.3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C为AB的一个三等分点，则BC : AC : AB.4. BD是⊙O的直径，OA,OC是⊙O的半径，且OA，OC在BD两侧．如果∠AOD:∠COD=4:1，那么∠ABD:∠CBD.5.如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, E是AD上一点，若∠BCD=350，求∠AED的度数．6. 已知，A, B, C是⊙O上的三点，∠AOC=1000, 则∠ABC =.7. 如图，弦AB, CD相交于点E , AD=600, BC=400，则∠AED=.8. 如图，P为圆外一点，PA交圆于点A,B，PC交圆于点C, D, BD=750,AC=150，则∠P=9. 如图，AB, AC 是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．B组1. 如图，AB是半圆直径，∠BAC=200，D是AC的中点，则∠DAC的度数是（）A . 300B. 350 C. 450D . 7002. 下面每X方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（）3. 已知AB是⊙O的直径，AC, AD是弦，且AB=2, AC=2，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是 ( )A. 450或600B. 600 C . 1050 D. 150或10504. 如图，A, B, C为⊙O上三点，∠ABO=650，则∠BCA 等于（）A. 250B. 0 C . 300 D. 4505. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=1400，则∠DCE=.6. 如图，AB是⊙O的直径，C, D, E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2 =.7. 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD//BC交AC于点D, AC=6cm，则DC=cm .8. 如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B, 点A的坐标为（0, 4 ) , M是圆上一点，∠BMO=120．求：⊙C的半径和圆心C的坐标.9．如图， AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC, D是BC上一点， P是AC上一点，若∠BDC=1500, 则∠APC.10. 在⊙O中，己知∠AOB=1000 , C为AB的中点，D在圆上，则∠ADC=.11. 如图，PB交⊙O于点A , B，PD交⊙O于点C , D，已知DQ=420 , BQ=380，则∠P＋∠Q的度数为.（第9题）BD BC CE DE ，则∠A的12. 如图，∠A的两边交⊙O于点B . C , E , D，若:::1:3:4:4度数为.13. 如图，在⊙O中AB是直径， CD是弦，AB⊥CD.(1)P是CAD上一点（不与C, D重合）．求证：∠CPD=∠COB；(2)点P’在劣弧CD上（不与C , D重合）时，∠CP/D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．。

浙教版九年级上第三章圆同步练习3.5圆周角(1)

3.5 圆周角（1）第1课时圆周角定理及其推论1基础题知识点1 圆周角定理1．下列命题中是真命题的是（）A ．顶点在圆周上的角叫做圆周角B ．60°的圆周角所对的弧的度数是30°C ．一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角D ．120°的弧所对的圆周角是60°2．(株洲中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠OBC 的大小是（）A ．22°B ．26°C ．32°D ．68°3．如图，A ，B ，C 为⊙O 上三点，∠ABO ＝65°，则∠BCA 等于（）A ．25°B ．32.5°C ．30°D ．45°4．(绍兴中考)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为．5．如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOD 是圆心角，∠BCD 是圆周角．若∠BCD ＝25°，则∠AOD ＝．6．如图，P 为圆外一点，P A 交圆于点A ，B ，PC 交圆于点C ，D ，BD ︵＝75°，AC ︵＝15°，则∠P ＝．7．如图，在⊙O 中，AD ∥BC ，∠AOB ＝60°，求∠DAC 的度数．第4题第5题第6题知识点2 圆周角定理的推论18．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ，量得OM ＝8 cm ，ON ＝6 cm ，则该圆玻璃镜的半径是（） A .10 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．10 cm9．如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为．10．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且OD ∥AC ，OD 与BC 交于点E ．（1）求证：E 为BC 的中点；（2）若BC ＝8，DE ＝3，求AB 的长度．中档题11．(湛江中考)如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝110°，则∠D ＝（）A ．25°B ．35°C ．55°D ．70°12．已知⊙O 的半径为6 cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为6 3 cm ，则弦AB 所对的圆周角是（）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°13．(泰安中考)如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交⊙O 于点F ，则∠BAF 等于（）A ．12.5°B ．15°C ．20°D ．22.5°14．(威海中考)如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为（）A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°15．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB ︵上，则∠DPC 的大小是．第13题第14题第15题点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是．综合题17．如图，△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．。

浙教版初中数学九年级上册《3.5 圆周角》同步练习卷

浙教新版九年级上学期《3.5 圆周角》同步练习卷一．选择题（共14小题）1．在⊙O中，A、B为圆上两点，∠AOB＝76°，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．76°B．104°C．38°D．38°或142°2．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm3．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C 重合），则∠A为（）A．48°B．132°C．48°或132°D．96°4．如图，六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠A+∠C+∠E的值为（）A．90°B．180°C．270°D．360°5．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠C＝35°，∠ADC＝85°，则∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°6．如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN 于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．74°7．在下列语句中，叙述正确的个数为（）①相等的圆周角所对弧相等；②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对圆周角相等；⑤圆的内接平行四边形是矩形；A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．36°B．38°C．40°D．42°9．如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D．若∠BFC＝18°，则∠DBC＝（）A．30°B．32°C．36°D．40°10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③BD＝2OF；④△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O．C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣3，2），则cos∠OBC的值为（）A．B．C．D．12．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（）A．45°B．60°C．75°D．85°13．如图，AB为⊙O的直径，AC＝2，BC＝4，CD＝BD＝DE，则CE＝（）A．3﹣B．C．3﹣D．3﹣14．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大二．填空题（共2小题）15．如图，点A、B、C分别是⊙O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝°．三．解答题（共18小题）17．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．18．如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB ＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）填空：①PC、PB、P A之间的数量关系是；②四边形APBC的最大面积为．19．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD＝，sin∠ABC＝（1）求⊙O的半径；（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD＝DF时，求CE 的长．20．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC＝P A•BC．21．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）求证：△CBE∽△CAB；（2）若S△CBE ：S△CAB＝1：4，求sin∠ABD的值．23．如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．24．已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD．25．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．26．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A 点的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：AB•DA＝CD•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EF A，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）27．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．28．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．29．（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB ＝10，P A＝4，OP＝5，求⊙O的半径R．30．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB ＝60°，OF⊥CD于F．（1）求EF的长；（2）求CD的长．31．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．32．如图，在⊙O中，过弦AB的中点E作弦CD，且CE＝2，DE＝4，求弦AB 的长．33．⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长．34．如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径．浙教新版九年级上学期《3.5 圆周角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．在⊙O中，A、B为圆上两点，∠AOB＝76°，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．76°B．104°C．38°D．38°或142°【分析】根据圆周角定理求出∠ACB，根据圆内接四边形的性质求出∠ADB．【解答】解：∵∠AOB＝76°，∴∠ACB＝∠AOB＝38°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝142°．∴弦AB所对的圆周角的度数为：38°或142°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm【分析】连接EC，根据圆周角定理得到∠E＝∠B，∠ACE＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接EC，由圆周角定理得，∠E＝∠B，∠ACE＝90°，∵∠B＝∠EAC，∴∠E＝∠EAC，∴CE＝CA，∴AC＝AE＝5（cm），故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．3．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C 重合），则∠A为（）A．48°B．132°C．48°或132°D．96°【分析】在优弧BC上取一点A′，连接BA′，CA′．利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．【解答】解：在优弧BC上取一点A′，连接BA′，CA′．∵∠A′＝∠BOC，∠BOC＝96°，∴∠A′＝48°，∵∠A+∠A′＝180°，∴∠A＝132°，∴∠A＝48°或132°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意一题多解．4．如图，六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠A+∠C+∠E的值为（）A．90°B．180°C．270°D．360°【分析】连接OB，OC，OD，OE，OF，由圆周角定理得出∠A＝（∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC），∠BCD＝（∠BOF+∠EOF+∠DOE），∠DEF＝（∠BOF+∠BOC+∠COD），将所得等式相加，再根据∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC+∠BOF＝360°，∠EOF+∠DOE+∠BOF+∠BOC+∠COD＝360°可得答案．【解答】解：如图，连接OB，OC，OD，OE，OF，则∠A＝（∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC），∠BCD＝（∠BOF+∠EOF+∠DOE），∠DEF＝（∠BOF+∠BOC+∠COD），∴∠A+∠BCD+∠DEF＝（∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC+∠BOF+∠EOF+∠DOE+∠BOF+∠BOC+∠COD），∵∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC+∠BOF＝360°，∠EOF+∠DOE+∠BOF+∠BOC+∠COD＝360°，∴∠A+∠BCD+∠DEF＝×（360°+360°）＝360°，故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠C＝35°，∠ADC＝85°，则∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°【分析】先根据三角形外角性质得出∠AOC度数，再由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠B度数，继而再次利用三角形外角的性质可得答案．【解答】解：∵∠C＝35°，∠ADC＝85°，∴∠AOC＝∠ADC﹣∠C＝50°，∴∠B＝∠AOC＝25°，则∠A＝∠ADC﹣∠B＝60°，故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以三角形外角的性质等知识，正确得出∠AOC与∠B的度数是解题关键．6．如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN 于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．74°【分析】首先连接NQ，由MN是直径，可求得∠MQN＝90°，则可求得∠MNQ 的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，继而求得答案．【解答】解：连接NQ，∵MN是直径，∴∠MQN＝90°，∵∠PMQ＝16°，∴∠MNQ＝90°﹣∠PMQ＝90°﹣16°＝74°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，∴∠MPQ+∠MNQ＝180°，∴∠MNQ＝∠QPN＝74°，∴∠PQM＝∠MNQ﹣∠PMQ＝74°﹣16°＝58°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠MNQ＝∠QPN是解此题的关键．7．在下列语句中，叙述正确的个数为（）①相等的圆周角所对弧相等；②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对圆周角相等；⑤圆的内接平行四边形是矩形；A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，若没有条件“在同圆或等圆中”，相等的圆周角所对弧不一定相等，此没有为假命题；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，可画出图形，举出反例说明此命题为假命题，如图所示；③根据垂径定理解答；④根据等弧所对圆周角相等正确．等弧是指在同圆或等圆．；⑤根据圆内四边形的性质和矩形的判定方法判断．【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，此命题为假命题；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，如图：BC为圆O的弦，∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角，但是∠A与∠D互补，不一定相等，此命题为假命题；③平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，错误；④等弧所对圆周角相等，此命题为真命题，本选项正确；⑤根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故此结论正确；故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，利用了数形结合及转化的思想，解答此类题时，常常要明白要说明一个命题为真命题必须经过严格的证明，要说明一个命题为假命题，只需举一个反例即可．8．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．36°B．38°C．40°D．42°【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到∠ADC的度数，最后利用三角形内角和可得结论．【解答】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，△ADC中，∵∠BAC＝26°，∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．9．如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D．若∠BFC＝18°，则∠DBC＝（）A．30°B．32°C．36°D．40°【分析】利用圆周角定理得到∠BAC＝36°，根据线段垂直平分线的性质推知AD＝BD，然后结合等腰三角形的性质来求∠ABD、∠ABC的度数，从而得到∠DBC．【解答】解：∵∠BFC＝18°，∴∠BAC＝2∠BFC＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°．又EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③BD＝2OF；④△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④【分析】根据直径的性质，垂径定理等知识一一判断即可；【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，故①正确，∵OC∥BD，BD⊥AD，∴OC⊥AD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD，故②正确，∵AF＝DF，AO＝OB，∴BD＝2OF，故③正确，△CEF和△BED中，没有对应边相等，故④错误，故选：C．【点评】本题考查直径的性质、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O．C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣3，2），则cos∠OBC的值为（）A．B．C．D．【分析】连接EC，由∠COE＝90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径，求出OE和OC，根据勾股定理求出EC，解直角三角形求出即可．【解答】解：过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，∵∠COE＝90°，∴EC是⊙A的直径，即EC过O，∵A（﹣3，2），∴OM＝3，ON＝2，∵AM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴AM∥OC，同理AN∥OE，∴N为OC中点，M为OE中点，∴OE＝2AN＝6，OC＝2AM＝4，由勾股定理得：EC＝＝2，∵∠OBC＝∠OEC，∴cos∠OBC＝cos∠OEC＝＝＝，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．12．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（）A．45°B．60°C．75°D．85°【分析】连接OA，OB，AD，BD．根据∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，可得40°＜∠AMB＜80°，由此即可判断；【解答】解：连接OA，OB，AD，BD．∵∠AOB＝2∠ACB＝80°，∠ADB＝∠ACB＝40°，又∵∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，∴40°＜∠AMB＜80°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，判断出40°＜∠AMB＜80°，的解决问题的关键．13．如图，AB为⊙O的直径，AC＝2，BC＝4，CD＝BD＝DE，则CE＝（）A．3﹣B．C．3﹣D．3﹣【分析】先根据勾股定理计算直径AB＝＝2，作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP＝DQ，由全等可得AP＝AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC＝∠DCE，根据外角性质得：∠ACE＝∠ECB，则∠ACE＝∠ECB＝45°，作辅助线后可得：△EFC 是等腰直角三角形，设EF＝FC＝a，则CE＝a，AF＝2﹣a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝2，∵CD＝BD，∴，∴∠CAD＝∠BAD，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，∴PD＝DQ，∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），∴CP＝BQ，易得△APD≌△AQD，∴AP＝AQ，设PC＝x，则AP＝2+x，AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x，∴2+x＝2﹣x，x＝﹣1，∴BQ＝CP＝﹣1，OQ＝1，Rt△ODQ中，DQ＝PD＝＝2，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠ECB+∠DCB，∴∠CAD+∠ACE＝∠ECB+∠DCB，∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴∠ACE＝∠ECB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ECB＝45°，过E作EF⊥AP于F，∴△EFC是等腰直角三角形，设EF＝FC＝a，则CE＝a，AF＝2﹣a，∵EF∥PD，∴△AFE∽△APD，∴，∴，∴a＝3﹣，∴CE＝a＝（3﹣）＝3﹣；故选：D．【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC是关键．14．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α的大小无关；B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝菱形的面积＝2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理、四点共圆的知识以及菱形的面积公式．二．填空题（共2小题）15．如图，点A、B、C分别是⊙O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为．【分析】连接BC．利用圆周角定理证明BC是⊙O的直径，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：连接BC．∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴BC是直径，∴OA＝OB＝OC，∵BC＝＝＝2．∴OA的长为．故答案为．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝80°．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，∴∠B＝40°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，故答案为：80【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．三．解答题（共18小题）17．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．【解答】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．18．如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB ＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）填空：①PC、PB、P A之间的数量关系是CP＝BP+AP；②四边形APBC的最大面积为．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC ＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，证明△ABC是等边三角形；（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC 从而得出最大面积．【解答】（1）在⊙O中，∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC 是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）①如图1，在PC上截取PD＝AP，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP，故答案为：CP＝BP+AP；②当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB ＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．，故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．19．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD＝，sin∠ABC＝（1）求⊙O的半径；（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD＝DF时，求CE 的长．【分析】（1）由BD平分∠ABC，得到∠ABD＝∠GBD，从而得出△ADB≌△GDB 求出AG，最后用勾股定理即可；（2）先求出AC，BC，CD，DF，BF，根据勾股定理求出CG，FG，从而求出CF，最后用相交弦定理即可．【解答】解：（1）如图1，延长AD、BC交于G点，过G点作GH⊥AB于H，∵⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠GBD，在△ADB和△GDB中∵，∴△ADB≌△GDB（ASA），∴AD＝DG＝2，AB＝BG，∴AG＝，设GH＝4x，∵sin∠ABC＝，∴BG＝BA＝5x，∴BH＝3x，AH＝2x，∴（2x）2+（4x）2＝（4）2解得：x＝2∴半径为5；（2）如图2，过点C作CG⊥BD，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴cos∠ABD＝＝，在Rt△ABC中，AB＝10，∴sin∠ABC＝＝，∴AC＝8，∴BC＝6，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝2，∵CD＝DF，∴DF＝2，在Rt△CBG中，cos∠ABD＝cos∠CBG＝＝，∴BG＝，∴GF＝，CG＝∴根据勾股定理，FC＝＝2，根据相交弦定理得，DF×BF＝EF×CF，∴EF＝＝5，∴CE＝．【点评】此题是圆内接四边形，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相交弦定理，解本题的关键是FC，作辅助线是解本题的难点．20．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC＝P A•BC．【分析】要证AD•DC＝P A•BC，需证△P AD∽△DCB；由DP∥AC，可得∠ADP ＝∠DAC＝∠DBC；由于∠DAP是圆内接四边形ABCD的一个外角，故有∠DAP＝∠DCB；从而△P AD∽△DCB成立，由此得证．【解答】证明：如图，连接AC，连接BD．∵DP∥AC，∴∠PDA＝∠DAC．∵∠DAC＝∠DBC，∴∠PDA＝∠DBC．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP＝∠DCB．∴△P AD∽△DCB．得P A：DC＝AD：BC，即AD•DC＝P A•BC．【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识．21．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．【分析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B ＝∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC＝2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC＝180°，即可求得∠B＝∠AOC＝120°，∠ADC＝60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°．∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B．又∵由题意可知∠AOC＝2∠ADC．∴∠ADC＝180°÷3＝60°．连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD．∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC．∴∠OAD+∠OCD＝∠ODA+∠ODC＝∠D＝60°．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）求证：△CBE∽△CAB；（2）若S△CBE ：S△CAB＝1：4，求sin∠ABD的值．【分析】（1）利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似直接证明即可；（2）利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出AC：BC＝BC：EC＝2：1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出．【解答】（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在△CBE与△CAB中；∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB．（2）解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD∵S△CBE ：S△CAB＝1：4，△CBE∽△CAB，∴AC：BC＝BC：EC＝2：1，∴AC＝4EC，∴AE：EC＝3：1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则AD：FC＝AE：EC＝3：1，设FC＝a，则AD＝3a，∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a，∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质等知识，利用未知数表示出OF＝AD＝1.5a，AB＝2OC＝5a是解决问题的关键．23．如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．【分析】（1）过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．根据全等三角形的判定和性质即可证明；（2）首先根据三角形的面积公式求得CF的长，根据全等三角形的性质求得∠B ＝∠CDF＝60°，从而求得DF的长，结合（1）的结论即可求解．【解答】（1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．∵＝，∴CD＝CB，∠1＝∠2．又∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF＝CE．∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴AF＝AE，DF＝BE，∴AD+DF＝AB﹣BE，∴AB＝AD+DF+BE＝AD+2BE，∴AB＝AD+2BE．（2）解：∵S＝AD×CF＝，△ADC∴CF＝，由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE，∴∠B＝∠CDF＝60°，在△CDF中，求得DF＝．∴AB＝AD+2BE＝6+×2＝11．【点评】解决此题的关键是巧妙构造全等三角形，综合运用圆周角定理的推论和全等三角形的判定及性质．24．已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD．【分析】根据内接四边形的性质可得到∠BCE＝∠A，已知∠DBA＝∠EBC，从而来可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABD∽△CBE，根据相似三角形的边对应成比例即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCE＝∠A．∵∠DBA＝∠EBC，∴△ABD∽△CBE．∴．∴AD•BE＝EC•BD．【点评】此题主要考查学生对圆内接四边形的性质及相似三角形的判定的综合运用．25．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【分析】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，根据等腰三角形的性质，得BD＝CD＝2，再根据割线定理即可求得CE的长；（2）根据（1）中等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC＝2∠CBE；（3）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC＝2∠CBE．【解答】解：（1）连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．又CD＝2，∴BD＝2．由CE•CA＝CD•CB，得6•CE＝2•（2+2），∴CE＝．（2）∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC＝2∠CBE．理由如下：由（1），得AD⊥BC．又AB＝AC，∴∠1＝∠2．又∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE．（3）相同．理由如下：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC，又AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角，∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE．【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质．26．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A 点的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：AB•DA＝CD•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EF A，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）【分析】（1）点A是弧BD的中点，根据弦切角定理和圆周角定理知∠1＝∠3，由圆内接四边形的性质知∠ABE＝∠D，于是有△ABE∽△CDA⇒⇒AB •DA＝CD•BE；（2）要使结论仍然成立，则应有△ABE∽△CDA，故可使＝．当＝时有∠EAB＝∠ACD，而由圆内接四边形的性质知∠ABE＝∠ADC，故有△ABE ∽△CDA，得⇒AB•DA＝CD•BE【解答】（1）证明：连接AC∵A是的中点，∴．∵EA切⊙O于点A，点C在⊙O上，∴∠1＝∠3＝∠2∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABE＝∠D∴△ABE∽△CDA∴∴AB•DA＝CD•BE．（2）解：如图，具备条件＝（BF＝DA，或∠BCF＝∠DCA，或∠BAF＝∠DCA，或F A∥BD等），使原结论成立【点评】本题利用了弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质求解．27．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．【分析】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．28．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．【分析】（1）连接AD、BC，利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．【解答】解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等29．（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB ＝10，P A＝4，OP＝5，求⊙O的半径R．【分析】（1）连AC，BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠B，∠A＝∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质得AE：DE＝CE：BE，变形有AE•BE＝CE•DE；由此得到相交弦定理；（2）由AB＝10，P A＝4，OP＝5，易得PB＝10﹣4＝6，PC＝OC﹣OP＝R﹣5，PD＝OD+OP＝R+5，根据相交弦定理得到P A•PB＝PC•PD，即4×6＝（R﹣5）×（R+5），解方程即可得到R的值．【解答】解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AE•BE＝CE•DE．证明如下：连AC，BD，如图，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△AEC∽△DEB，∴AE：DE＝CE：BE，∴AE•BE＝CE•DE；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图，∵AB＝10，P A＝4，OP＝5，∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC﹣OP＝R﹣5，PD＝OD+OP＝R+5，由（1）中结论得，P A•PB＝PC•PD，∴4×6＝（R﹣5）×（R+5），解得R＝7（R＝﹣7舍去）．所以⊙O的半径R＝7．【点评】本题考查了相交弦定理：圆的两条弦相交，那么这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．也考查了圆周角定理以及三角形相似的判定与性质．30．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB ＝60°，OF⊥CD于F．（1）求EF的长；（2）求CD的长．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3.5 圆周角
一、填空题：
1. 如图1，AB 是O 的直径， BC
BD =，若50BOD ∠=
，则A ∠的度数为．
答案：25
1 图3 2. 如图2，，，C 为O 上三点，若50OAB ∠=
，则ACB ∠= 度．
答案：40
3. 如图3，PA 、PB 是O 圆的切线，点、为切点，AC 是O 圆的直径，20BAC ∠=
，则P ∠的大小是度．答案：40
4. 如图4，在O 中，50BOC OC AB ∠=
，∥．则BDC ∠的度数为．答案：75
5 5. 如图5，ABC △内接于O ，30B ∠=
，2cm AC =，则O 半径的长为
答案：2
6. 如图6，AB 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点（不含、），点Q 为另一半圆上一定点，若POA ∠为度，PQB ∠为度．则与的函数关系是．答案：1
902
y x =-
+ 7. 如图7，在100O AOB C AB ∠=
中，，为优弧的中点，则CAB ∠=
答案：65
Ａ
ＡＢ
B
ＡＣ
图
8 图9
8. 如图8
，AB 是O 圆的弦，PA 是O 圆的切线，
是切点，如果30PAB ∠=
，那么A
O B ∠＝
．答案：60
二、选择题：
1. 如图9，BD 是O 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（）Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠
Ｃ．AOD AED ∠=∠
Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 答案：Ａ
2. 如图10，四边形ABCD 内接于O ，若它的一个外角70DCE ∠=
，则BOD ∠=（）Ａ．35
Ｂ．70
Ｃ．110
Ｄ．140
答案：Ｄ图
3. 如图11，A C B 、、是O 圆上三点，若40AOC ∠=
，则ABC ∠的度数是（）
Ａ．10
Ｂ．20
Ｃ．40
Ｄ．80
答案：B
4. 如图12，O 圆中弧AB 的度数为60
，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（）
A ．150
B ．130
C ．120
D ．60
答案：C
5. 如图，圆心角∠AOB =120︒，P 是 AB 上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC
等于（）
A.45︒
B.60︒
C.75︒
D.85︒ 答案：B 三、解答题：
P
Ｅ
1. 如图，在O 中，已知60ACB CDB ∠=∠=
，3AC =，求△ABC 的周长．
答案：9
2. 如图，已知在O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交O 于．求BC ，AD 和
BD 的长．
答案：8BC =cm
，AD =
，BD =3. 如图，O 的直径8cm AB =，45CBD ∠=
，求弦CD 的长．
答案：连接OC ，OD ，则290COD CBD ∠=∠=
，由已知得4cm OC OD ==，
故CD ==．
4. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点，若3CD =，4AB =，求sin APC ∠的值．
答案：连结AC ，BCD ∠= ，△CPD ∽△APB ．
3
4
PC CD PA AB ∴
==，由AB 3x =，
Ａ
Ａ
则4PA x =
，AC ∴=
=
，sin 44
AC APC PA x ∴∠=
==
． 5. 如图，已知半圆O 的直径4AB =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O 转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、两点，连结AD 、
BC 交于点．
（１）求证：ACE BDE △∽△；（２）求证：BD DE =恒成立；
（３）设BD x =，求AEC △的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
答案：．解：（１）ACD ∠ 与ADB ∠
都是半圆所对的圆周角，
90,A C D A D
B A E
C
D
E B ∴∠=∠=∠=∠
又（对顶角相等）．
所以.ACE BDE △∽△
（２）9090DOC AOC BOD ∠=∴∠+∠=
，
45BAD ABC ∴∠+∠=
45BED BAD ABC ∴∠=∠+∠=
．又90BDE ∠=
，
BED ∴
△是等腰直角三角形， B D D E ∴=
．
（３）BD x BD DE == ，
,,D E x A x A E A x
∴=∴=
,A C E B D E
△∽△AEC ∴△也是等腰直角三角形，
)
22
AC AE x ∴=
=．
A C E
B D E A
C ∴= △∽△，．
)2
2
2
11
22
y A C E C A C x x
∴=⨯=
-
-
1
4(04)
2
x
=-<<．（本题解答中，若用1
452
DBE DOC ∠=
∠= 来解答） A
O
B
E
D
C
6. 已知O 圆的内接四边形ABCD 中，AD BC ∥．试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明．答案：（１）如图①，当AD BC =时，四边形ABCD 为矩形．
AD BC AD BC =∴ ∥，，
四边形ABCD 为平行四边形．四边形ABCD 内接于.180.O B D ∴∠+∠=
90B D ∴∠=∠=
．四边形ABCD 为矩形．
（２）如图②，当AD BC ≠时，四边形ABCD 为等腰梯形，
.AD BC AB CD AB CD ∴∴= ∥，=，
AD BC ≠ ．
四边形ABCD 为等腰梯形．
7. 如图，已知在半圆AOB 中，30AD DC CAB =∠=
，
，AC =AD 的长度．
答案：解：AB 为直径，
90ACB ∴∠= ，
13060..2
CAB ABC BC AC ∠=∴∠=∴= ，
1.2AD DC AD DC AC BC AD =∴==∴= ，．
BC AD ∴=．
在ABC Rt △中
30CAB AC ∠== ，tan BC AC CAB =∠ ．
tan302BC ∴== ．
2AD ∴=．
图①
图② Ｏ
Ｂ
Ａ。