专题六 动点问题6
专题——数轴上的动点问题
数轴上的动点问题动点问题处理策略1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。
2、如何表示运动过程中的数：点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
（简单说成左减右加）3、分类讨论的思想：数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况种的分类讨论4、绝对值策略：对于两个动点P,Q，若点P,Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p,q两数差的绝对值表示P,Q两点距离，从而避免分复杂分类讨论类型一、数轴上两点距离的应用例1、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-2和5，点P为数轴上一点（1）若点P到A,B两点的距离相等，求P点表示的数（2）若PA=2PB,求P点表示的数B的距离之和为13，求点P所表示的数。
（3）若点P到点A和点类型二、绝对值的处理策略例2、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位，Q点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒（1）点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？（2）若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8？（3）在（2）的条件下，另一动点M同时从O点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，多少秒后，点M到点P和点Q的距离相等？练、已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为-8，点B表示的数为4．动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，设运动时间为t秒。
（1）若点P向右运动，点Q向左运动，问多少秒后点P与Q相距2个单位长度？（2）若动点P、Q都向右运动，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．当t为何值时，2OP-OQ=4？类型三、小狗来回跑的问题例、数轴上，点A表示-3，点B表示12，A,B两点同时向负方向运动，速度分别为1个单位和4个单位每秒，同时另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．练习、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？类型四、运动中的变与不变例3、数轴上A,B,C三点分别表示-1，1，5，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．（1）请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（2）是否存在一个常数m使得m•BC-2AB不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．练习、如图①，M、N、P是数轴上顺次三点，M、N之间的距离记为MN，M，P之间的距离记为MP．（1）若MP=3MN，求x的值；（2）在（1）的条件下，如图②，点M、N、P开始在数轴上运动，点M以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点N和点P分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t（t＞0）秒，PN-MN的值是否随时间t的变化而改变？若改变，说明理由；若不变，求其值．为定值？若存在求出k值，并求出这个定值。
专题六：数轴动点问题
数轴动点问题数轴动点对应数的表示：左移减，右移加数轴上两点之间的距离表示：AB=|a﹣b|数轴动点问题万能三步走：1、表示数2、表示线段长3、列方程1、同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）如果|x﹣2|＝5，则x＝．（2）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，请写出当x在什么范围时有最小值；并求出最小值是多少？（3）请写出当x满足什么范围时．使得|x+3|﹣|x﹣1|＝42、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．数轴动点问题1、同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）如果|x﹣2|＝5，则x＝．（2）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，请写出当x在什么范围时有最小值；并求出最小值是多少？（3）请写出当x满足什么范围时．使得|x+3|﹣|x﹣1|＝4解：（1）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝±5，解得，x＝﹣3或x＝7，故答案为：﹣3或7；（2）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3，当x＞6时，x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3，当3≤x≤6时，x﹣3+6﹣x＝3，当x＜3时，3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3，故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3；（3）∵|x+3|﹣|x﹣1|＝4，∴当x≥1时，x+3﹣x+1＝4，得4＝4；当﹣3＜x＜1时，x+3﹣1+x＝4，解得：x＝1，当x＝1时，|x+3|﹣|x﹣1|＝4成立；则﹣3＜x＜1使得|x+3|﹣|x﹣1|＝4成立；当x≤﹣3时，﹣x﹣3﹣1+x＝4，不成立，由上可得，当x≥1时，使得|x+3|﹣|x﹣1|＝4成立．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．解：（1）1和﹣3两点之间的距离为|1﹣（﹣3）|＝4；故答案为：4；（2）∵|b|＝3|a|∴b＝±3a∵AB＝8∴|a﹣b|＝8当b＝3a时，|a﹣b|＝|﹣2a|＝8∴a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12当b＝﹣3a时，|a﹣b|＝|4a|＝8∴a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6综上所述：a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12或a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6．（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，①当点b在a的右侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，解得：b＝7；②当点b在a的左侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，解得：b＝﹣1，综上所述：b＝7或﹣1．。
初中数学几何的动点问题专题练习附答案版(供参考)
动点问题专题训练一、如图，已知ABC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．AB AC△中，10（1）若是点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，通过1秒后，BPD△与CQP△是不是全等，请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与△全等？CQP（2）假设点Q以②中的运动速度从点C动身，点P以原先的运动速度从点B同时动身，都逆时针沿ABC△三边运动，求通过量长时刻点P与点Q第一次在ABC△的哪条边Array上相遇？P二、直线364y x =-+与坐标轴别离交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点动身，同时抵达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿线路O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时刻为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标．3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，现在AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，现在AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判定四边形EDBC 是不是为菱形，并说明理由．xAO QPBy O E CDA α lOCA（备用图）4、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8别离与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结P A，假设P A=PB，试判定⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形？五、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点动身沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点动身沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时刻为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探讨：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．六、如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标别离为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点PC在正方形 ABCD 的边上，从点A 动身沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点抵达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时刻为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时刻t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及极点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求现在P 点的坐标；(4)若是点P 、Q 维持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 可否相等，假设能，写出所有符合条件的t 的值；假设不能，请说明理由．7、数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．通过试探，小明展现了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，那么AM =EC ，易证AME ECF △≌△，因此AE EF =．在此基础上，同窗们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，若是把“点E 是边BC 的中点”改成“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你以为小颖的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你以为小华的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由．八、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）假设折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFGB图3（Ⅱ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确信y 的取值范围；（Ⅲ）假设折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求现在点C 的坐标．1.解：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米，∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，那么45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时刻433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t ===厘米/秒． ·································································· （7分） （2）设通过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴通过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） ·············· 1分 （2）86OA OB ==， 10AB ∴=点Q 由O 到A 的时刻是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） ·· 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ········································································································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ····························· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································ 1分（自变量取值范围写对给1分，不然不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ···················································· 3分3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =P A =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE 33. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，∴332,45AO PE AB PB PB =即， ∴315PB =∴3158PO BO PB =-= ∴3158)P -， ∴3158k =. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,315－8)， ∴k =315－8，∴当k=315－8或k=－315－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， 即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 现在∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．现在∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 通过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 通过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6.解（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC ∴AO =12AC ……………………8分P图4图5在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 别离作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，那么四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． ················································································ 1分 在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒== ·························································· 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，那么四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ············································································· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = ··················································································· 5分 即10257t t -= 解得，5017t = ···················································································· 6分（3）分三种情形讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =·························································································· 7分 （图①） A D C B K H （图②） A D C B G MNADNAD N②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ······················································································· 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ·························································································· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方式同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC = 即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··············· 9分（图⑤）A DCBH N MF8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··········· 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，那么MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．现在，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP ===现在，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D E BF CG图2A D EBF CPNMG H则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．现在，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 9解：（1）Q （1，0） ····················································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ································································ 2分 （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，那么BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB == 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ················································ 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ························· 6分 现在P 的坐标为（9415，5310） ． ····································································· 7分 （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················································ 9分10.解：（1）正确． ················································ （1分） 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分） BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．A DF CGEBM90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··································································· （5分） AE EF ∴=． ························································································· （6分） （2）正确． ····················································· （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． ·································· （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ·································································· （10分） AE EF ∴=． （11分）11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ·················································································· 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ ···························································································· 6分 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，A D F GB Ny ∴的取值范围为322y ≤≤. ····································································· 7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ·································································· 9分 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，那么02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C 的坐标为()016. ···································································· 10分。
数轴动点问题6题型
数轴动点问题6题型数轴动点问题是高中数学中常见的一类问题，主要涉及到点在数轴上运动的情况。
在解决这类问题时，可以利用数轴上的点的坐标与距离的关系，来求解点的位置、速度等信息。
本文将介绍数轴动点问题的6个典型题型，并通过解题步骤和例题来帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
题型一：根据速度求坐标如果一个点在数轴上以一定的速度运动，我们可以通过根据速度求坐标的方法来求解点的位置。
这个问题通常会给出点的初始位置和速度，要求我们求解点在某个给定的时间后的位置。
解决这类问题时，我们可以使用速度乘以时间的公式，即坐标 = 初始位置 + 速度 * 时间。
举例来说，假设一个点在数轴上初始位置为3，速度为2，我们需要求解它在10秒后的位置。
根据公式，我们可以得到坐标 = 3 + 2 * 10 = 23。
因此，在经过10秒后，点的位置为23。
题型二：根据坐标求速度与题型一相反，如果我们已知一个点在数轴上的初始位置和结束位置，并且需要求解点的速度，我们可以使用根据坐标求速度的方法。
解决这类问题时，我们可以使用坐标之差除以时间的公式，即速度 = (结束位置 - 初始位置) / 时间。
举例来说，假设一个点在数轴上初始位置为5，结束位置为25，并且经过10秒后到达结束位置。
我们可以使用公式速度 = (25 - 5) / 10 = 2来求解点的速度。
因此，这个点的速度为2。
题型三：两点相遇问题在数轴上，如果有两个点A和B，它们同时从不同的位置出发，以不同的速度运动，我们常常会遇到两点相遇的问题。
解决这类问题时，我们可以使用等速度的思想，通过设置一个相对速度来求解两点相遇的时间和位置。
举例来说，假设点A从位置1出发，速度为3，点B从位置9出发，速度为1，我们需要知道它们第一次相遇的时间和位置。
我们可以设置点A和点B的相对速度为3 - 1 = 2，根据题目描述，相对速度不变。
因此，这个问题可以转化为一个点以相对速度2运动的问题，我们可以使用速度乘以时间的公式，即坐标 = 初始位置 + 速度 * 时间，来求解它们的相遇时间和位置。
数轴动点问题6题型
数轴动点问题6题型数轴动点问题是数学中常见的问题之一，通过给定的条件，我们需要确定数轴上的某个点在未来的某个时刻的位置。
数轴动点问题可以分为六个不同的题型，包括直线匀速运动、自由落体运动、匀加速直线运动、正弦运动、周期性运动和复合运动。
一、直线匀速运动直线匀速运动是最简单的一个题型，其特点是物体在数轴上做匀速运动，即运动速度保持恒定。
在这种情况下，我们可以通过已知物体的初始位置和速度，以及经过的时间来确定物体在某个时刻的位置。
例如，已知小明从A点出发，以每小时30公里的速度向B点行进，经过2小时后，我们需要确定小明在这个时刻的位置。
解题思路如下：设小明从A点出发，以每小时30公里的速度向B点行进，经过2小时后小明行驶的距离为x公里。
根据速度的定义，速度等于位移与时间的比值，即速度=位移/时间。
因为小明的速度是恒定的，所以我们可以得到以下等式：30km/h = x km/2 h将等式化简，得到：x = 60 km因此，在经过2小时后，小明的位置在B点的60公里处。
二、自由落体运动自由落体运动是物体在重力作用下做垂直向下的运动。
在这种情况下，物体的初速度通常为0，所以我们只需考虑物体下落的距离和经过的时间。
例如，已知一个物体从高处下落，2秒后触地，我们需要确定物体下落的高度。
解题思路如下：设物体下落的高度为h米。
根据自由落体运动的公式：h = (1/2) * g * t^2其中，g为重力加速度，取9.8米/秒^2，t为时间，取2秒。
将这些数值代入公式中，我们可以计算出物体下落的高度：h = (1/2) * 9.8 * 2^2 = 19.6米因此，物体下落的高度为19.6米。
三、匀加速直线运动匀加速直线运动是物体在数轴上做匀加速运动，即运动的加速度保持恒定。
在这种情况下，我们需要根据已知的初始速度、加速度和时间来确定物体在某个时刻的位置。
例如，已知小车以每小时20公里的速度匀速行驶，并在10秒内加速到每小时60公里的速度，我们需要确定小车在这个时刻的位置。
常考压轴06 动点问题-2020年中考数学特训营(解析版)
【十大常考压轴题特训】特训06——动点问题题量﹕10题；分值﹕每小题10分，共计100分；推荐时间﹕45分钟问题1．（2019 湖南省衡阳市）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以l cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明DE＝12AC即可解决问题．（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6＋t＝2（6﹣t），∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝12∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣12t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴P A＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK＋DK＝12（AK＋CK）＝12AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝AB2－BM2＝33，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥33﹣3，∴AB′的最小值为33﹣3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．问题2．（2019•吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q 从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作□PQMN．设□PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当□PQMN 为矩形时，求t 的值；（3）当□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 之间的函数关系式； （4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，直接写出t 的值．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN ． （2）当□PQMN 为矩形时，由PN ⊥AB 可知PQ ∥AB ，根据平行线分线段成比例定理可得CP CA ＝CQBC，即可计算出t 的值．（3）当□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．□PQMN 在三角形内部时，Ⅱ．□PQMN 有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN 的中点，Ⅱ．过QM 的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值． 【解答】（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝15． ∴AB ＝AC 2＋BC 2 ＝ 202＋152 ＝25．∴sin ∠CAB ＝35,由题可知AP ＝5t ，∴PN ＝AP •sin ∠CAB ＝5t ·35＝3t ．故答案为：①25；②3t ．（2）当□PQMN 为矩形时，∠NPQ ＝90°， ∵PN ⊥AB ， ∴PQ ∥AB ， ∴CP CA ＝CQ BC， 由题意可知AP ＝CQ ＝5t ，CP ＝20﹣5t ， ∴20－5t 20＝5t15， 解得t ＝127，即当□PQMN 为矩形时t ＝127． （3）当□PQMN △ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．□PQMN 在三角形内部时．延长QM 交AB 于G 点， 由（1）题可知：cos A ＝sin B ＝45，cos B ＝35，AP ＝5t ，BQ ＝15﹣5t ，PN ＝QM ＝3t ．∴AN ＝AP •cos A ＝4t ，BG ＝BQ •cos B ＝9﹣3t ，QG ＝BQ •sin B ＝12﹣4t ， ∵．□PQMN 在三角形内部时．有0＜QM ≤QG ， ∴0＜3t ≤12﹣4t ， ∴0＜t ≤127∴NG ＝25﹣4t ﹣（9﹣3t ）＝16﹣t ．∴当0＜t ≤127时，□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为□PQMN ，S 与t 之间的函数关系式为S ＝PN •NG ＝3t •（16﹣t ）＝﹣3t 2＋48t ．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG ＜QM ，□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形PQMG 时， 即：0＜12﹣4t ＜3t ，解得：127≤ t ＜3, □PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形PQMG 的面积S ＝12NG (PN ＋QG )＝12(16－t )(3t ＋12－4t )＝ 12t 2－14t ＋96综上所述：当0＜t ≤127时，S ＝﹣3t 2＋48t ．当127 ≤ t ＜3，S ＝12t 2－14t ＋96． （4）当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR ∥BC ，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH ⊥AB ， ∴∠PKN ＝∠HKR ＝∠B ， NK ＝PN •cot ∠PKN ＝3t · 34＝9t4，∵NR ＝MR ，HR ∥PN ∥QM ， ∴NH ＝GH ＝12(16－t )，HR ＝12GM ,∴GM ＝QM ﹣QG ＝3t ﹣（12﹣4t ）＝7t ﹣12．HR ＝12GM ＝12(7t －12)．∴KH ＝HR •cot ∠HKR ＝12(7t －12) × 34 ＝38(7t －12)∵NK ＋KH ＝NH ， ∴94t ＋38(7t －12)＝12(16－t )解得：t＝100 34，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，∴HQ＝QR•sin∠QRH＝3t2·35＝9t10∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝9t10，解得t＝59 200．综上所述：当t＝10034或59200时，点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．问题3．（2019•吉林省）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A 同时出发，点P以 2 cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝54cm时，直接写出x的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝AB2＋BE2＝32cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：32，45（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，∵AP＝2x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝12×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝12x2＋12（2x﹣4＋x）（4﹣x）＝﹣x2＋8x﹣8当3＜x≤72时，如图，点P与点E重合．∵CQ＝（3＋4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm∴y＝12（1＋4）×3﹣12（7﹣2x）×1＝x＋4（3）当0＜x≤2时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD ∴PQ＝AP∵PQ＝54cm∴ 2 x＝5 4∴x＝52 8当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD∴四边形MPFD是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2＋MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x ）2＋（4﹣x ）2＝2516∵△＜0 ∴方程无解 当3＜x ≤72时，∵PQ 2＝CP 2＋CQ 2， ∴2516＝1＋（7﹣2x ）2， ∴x ＝258综上所述：x ＝258或528【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．问题4．（2019•江苏省苏州市）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm²），S 与t 的函数关系如图②所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm .①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.5【分析】（1）由题意得t ＝2.5时，函数图象发生改变，得出t ＝2.5时M 运动到点B 的速度为2cm/s ；由t ＝7.5，S ＝0得出BC ＝10；（2）由题意得出当在C 点相遇时，v ＝23，当在B 相遇时， v ＝6即可得出答案．过点P 作EF ⊥ AB 于F ，交CD 于E ，则EF //BC ，由平行可得出AF AB ＝APAC，从而可得出AF ＝2，DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，再由勾股定理可得出EP ＝6，求出S 1和S 2的表达式，从而可得出最终答案． 【解答】（1）2cm/s ；10cm（2）①解：∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴⎩⎪⎨⎪⎧5 v ＜7.5在C 点15 v ≥2.5在B 点 ∴23cm/s ＜v ≤ 6cm/s ②如右图S 1· S 2＝S 矩形ABCD －S △P AD －S △CDM －S △ABM ＝75－10－5×(15－2x )2－5×(2x －5)2＝15过M 点做MH ⊥AC ，则MH ＝12CM ＝15－2x 5∴S －1＝12 MH ·AP ＝－2x ＋15∴S 2＝2xS 1·S 2＝(－2x ＋15)·2x ＝－4x 2＋30x ＝－4⎝⎛⎭⎫x －1542＋2254因为2.5＜154＜7.5,所以当x ＝154时，S 1·S 2取最大值2254.10515-2x2x-5H PBCDA M (N )【点评】本题是四边形与动点的综合问题，综合性较强，有一定难度，正确理解函数图象上的拐点的意义是解题的关键．问题5．（2019•江苏省扬州市）如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角△GDC ，∠G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ∥A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ． （1）若a ＝12．①如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为 ； ②在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．【分析】（1）①P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可； ②当P ，在AD 上运动时，P 到D 点时四边形AMQP 面积最大，为直角梯形，得出0＜x ≤10时，四边形AMQP 面积的最大值＝12（12＋20）10＝160，当P 在DG 上运动，10＜x ≤20，四边形AMQP 为不规则梯形，作PH ⊥AB 于M ，交CD 于N ，作GE ⊥CD 于E ，交AB 于F ，则PM ＝x ，PN ＝x ﹣10，EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝12CD＝10，得出GF＝GE＋EF＝20，GH＝20﹣x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40﹣2x，求出梯形AMQP的面积＝12（12＋40﹣2x）×x＝﹣（x﹣13）2＋169，由二次函数的性质即可得出结果；（2）P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝12（a＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋40＋a2x，对称轴x＝10＋a4，得出10≤10＋a4≤15，对称轴在10和15之间，得出10≤x≤20，二次函数图象开口向下，当x＝20时，S最小，得出﹣202＋40＋a2×20≥50，a≥5；即可得出答案．【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝12（12＋20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝12（12＋20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，∵△GDC是等腰直角三角形，∴DE＝CE，GE＝12CD＝10，∴GF＝GE＋EF＝20，∴GH＝20﹣x，由题意得：PQ∥CD，∴△GPQ∽△GDC，∴PQDC＝GHGE，即PQ20＝20－x10，解得：PQ＝40﹣2x，∴梯形AMQP的面积＝12（12＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋26x＝﹣（x﹣13）2＋169，∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P 在DG 上，则10≤x ≤20，AM ＝a ，PQ ＝40﹣2x ，梯形AMQP 的面积S ＝12（a ＋40﹣2x ）×x ＝﹣x 2＋40＋a 2x ，对称轴为：x ＝10＋a4，∵0≤x ≤20，∴10≤10＋a4≤15，对称轴在10和15之间，∵10≤x ≤20，二次函数图象开口向下， ∴当x ＝20时，S 最小， ∴﹣202＋40＋a2×20≥50，∴a ≥5；综上所述，a 的取值范围为5≤a ≤20．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．问题6．（2019 宁夏回族自治区）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ABC ∆∆∽；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【分析】（1）根据题意得到∠MQB＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．【解答】（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN//BQ，BQ＝MN，∴四边形BMNQ为平行四边形；（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝AB2＋AC2＝5，∵△QBM∽△ABC，∴QBAB＝QMAC＝BMBC，即x3＝QM4＝BM5，解得，QM＝43x，BM＝53x，∵MN//BC，∴MNBC＝AMAB，即MN5＝3－53x3解得，MN＝5－259x，则四边形BMNQ的面积＝12×⎝⎛⎭⎫5－259x＋x×43x＝－3227⎝⎛⎭⎫x－4582＋752，∴当x＝458时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为752．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．问题7．（2019•山东省青岛市）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE＝EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC＝∠QOG，可得tan∠EOC＝tan∠QOG，推出ECOC＝GQOG，由此构建方程即可解决问题．【解答】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝102－82＝6(cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCO，∵∠DOC＝∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴ACOC＝ABCD＝BCOD，∴63＝10CD＝8OD'∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），∵PB＝t，PE⊥AB，易知：PE＝34t，BE＝54t，当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE＝EC，∴34t＝8﹣54t，∴t＝4．∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，P C．S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）＝12•（4﹣45t）•3＋[12•3•（8﹣45t）＋12•（8﹣54t）•35t﹣12•3•（8﹣54t）＝﹣83t2＋153t＋16（0＜t＜5）．（3）存在．∵S＝﹣83（t﹣52）2＋683（0＜t＜5），∴t＝52时，四边形OPEG的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴∠EOC＋∠QOC＝90°，∵∠QOC＋∠QOG＝90°，∴∠EOC＝∠QOG，∴tan∠EOC＝tan∠QOG，∴ECOC＝GQ OG，∴8－54t3＝35t4－45t整理得：5t 2﹣66t ＋160＝0， 解得t ＝165或10（舍弃） ∴当t ＝165秒时，OE ⊥OQ ．【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．问题8．（2019•山东省烟台市）如图，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A （－1，0），B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ．双曲线y ＝6x（x ＞0）经过点D ，连接MD ，B D ． （1）求抛物线的表达式；（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）yxBAMECDOyx备用图B AME CDO【分析】由已知求出点D 的坐标，将A 、D 坐标代入即可；作M 关于纵轴的对称点M '，作D 关于横轴的对称点D ’，连接这两个点分别交x ,y 轴于N 、F ，则以M 、N 、N 、F 为顶点的四边形周长最小即为M 'D '＋MD ；设P 点坐标，作△PBD 的外接圆N ，当⊙N 与y 轴相切时，∠BPD 的度数最大． 【解答】（1）由题意知C 的坐标为（0，3），则D 点的纵坐标为3． 把y ＝3代入y ＝6x ，得x ＝2． ∴D 的坐标为（2，3）．把A （－1，0），D （2，3）的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎨⎧0＝a －b ＋33＝4a ＋2b ＋3 解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．∴顶点M 的坐标为（1，4）． 设M 关于y 轴的对称点为M ′，则M ′的坐标为（－1，4）． 同理D 点关于x 轴对称点的坐标D ′的坐标为（2，－3）． 设直线M ′D ′为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧4＝－k ＋b －3＝2k ＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－73b ＝53 ∴直线M ′D ′的表达式为y ＝－73 x ＋53．直线M ′D ′交x 轴于点（57 ，0），交y 轴于点（0，53）．∴当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，点N 的坐标为（57 ，0），F 的坐标（0，53 ）．（3）（3）t ＝9－215．（解析：过B 、D 两点的圆，当圆与y 轴相切时，切点即为点P ． 设圆心的坐标为（a ，b ），则由勾股定理定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝(a －2)2＋(b －3)2a 2＝(a －3)2＋b 2 解得b ＝9 ±215 （由题意，取较小值）． 所以当t ＝9－215时，∠BPD 的度数最大． 【点评】本题考查了二次函数与动点结合的问题，利用动点的运动很好地考查了学生运用运动变化的观点分析问题和解决问题的能力．本题难度较大，综合性很强．属于中考中典型的压轴题．问题9．（2019•四川省绵阳市）如图，在以点O 为中心的正方形ABCD 中，AD ＝4，连接AC ，动点E 从点O 出发沿O →C 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【分析】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF＝2t，证明△AEF∽△ADG可得AG＝42t22+t，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段FGDG=AFCD，求出t的值，代入EG的表达式可求EH的值；（3）由（2）知EG＝t2+822+t，过点F作FK⊥AC于点K，根据S△EFG＝12EG·FK即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE＝t，连接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t，又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD=AFAG，∴AG · AE=AD · AF=42t，又∵AE＝OA＋OE＝22＋t，∴AG=42t22+t，∴EG＝AE－AG＝t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE＋∠HFE＝45°＋45°＝90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDG=AFCD=2t4，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1＝10 - 2 ，t2＝10 + 2 （舍去），∴EG＝EH＝t2+822+t =(10 -2) 2+822+10-2=310-5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG＝t2＋822＋t，∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，∴S△EFG＝12EG·FK＝t3＋8t 42＋2t【点评】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．问题10．（2019•天津市）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ′O ′D ′E ′，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C ′，O ′，D ′，E ′．设OO ′＝t ，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分的面积为S ．①如图②，当矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为五边形时，C ′E ′，E ′D ′分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当3≤S ≤53时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝43，即可得出答案；（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝43，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，得出∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′＝MF 2－ME '2 ＝ (2t )2－t 2 ＝3t ，求出S △MFE ′＝12ME ′•FE ′＝12×t ×3t ＝32t 2，S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×43＝83，即可得出答案； ②当S ＝3时，O 'A ＝OA ﹣OO '＝6﹣t ，由直角三角形的性质得出O 'F ＝3O 'A ＝3（6﹣t ），得出方程，解方程即可；当S ＝53时，O 'A ＝6﹣t ，D 'A ＝6﹣t ﹣2＝4﹣t ，由直角三角形的性质得出O 'G ＝3（6﹣t ），D 'F ＝3（4﹣t ），由梯形面积公式得出S ＝12[3（6﹣t ）＋3（4﹣t ）]×2＝53，解方程即可． 【解答】（Ⅰ）∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，ED ＝AE 2－AD '2 ＝ 82－42 ＝43，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，43）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝43，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′＝MF 2－ME '2 ＝ (2t )2－t 2 ＝ 3t ，∴S △MFE ′＝12ME ′•FE ′＝12×t ×3t ＝32t 2，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×43＝83，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝83﹣32t 2，∴S ＝﹣32t 2＋83，其中t 的取值范围是：0＜t ＜2；②当S ＝3时，如图③所示：O 'A ＝OA ﹣OO '＝6﹣t ，∵∠AO 'F ＝90°，∠AFO '＝∠ABO ＝30°，∴O 'F ＝3O 'A ＝3（6﹣t ）∴S ＝12（6﹣t ）×3（6﹣t ）＝3，解得：t ＝6﹣2，或t ＝6＋2（舍去），∴t ＝6﹣2；当S ＝53时，如图④所示：O 'A ＝6﹣t ，D 'A ＝6﹣t ﹣2＝4﹣t ，∴O 'G ＝3（6﹣t ），D 'F ＝3（4﹣t ），∴S ＝12 [3（6﹣t ）＋3（4﹣t ）]×2＝53，解得：t ＝52，∴当3≤S ≤53时，t 的取值范围为52≤t ≤6﹣2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．。
中考数学动点问题专题讲解(22页)
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式.例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.!2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NG PO!AB图1xy∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；}(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,:又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.[(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.AEDCB 图2AC 3(2)￥EC 3(1)根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, (∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . *∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . A!BCO 图8HC此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
动点问题(6题含答案)
1、已知直角坐标系中菱形ABC啲位置如图，C, D两点的坐标分别为(4,0) , (0,3).现有两动点P,Q 分别从AC同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)填空：菱形ABCD勺边长是_____ 、面积是_、高BE的长是(2)探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△ APQ的面积S关于t 的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得厶APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形•请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.2、如图，在Rt A ABC中，/ C=90 ° AC = 3, AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1 个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D , 交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q 同时出发，当点Q到达点B点P、Q运动的时间是t秒(t>0).(1)当t = 2时，AP = ______ ，点Q到AC的距离是 ________(2)在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.图3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A ( 0,2 ),点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。
(1)求点B的坐标；(2)求证：当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时，/ ABQ为定值；(3)是否存在点P,使得以A O Q B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
九年级数学复习专题六 函数与圆中的动点问题 (共21张PPT)
6．(导学号 99854186)(2017· 白银)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的 图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；
(2)连结AC、AB，若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作 NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求点N的坐标；
4．如图，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，P是在以Q为圆心，
2为半径的⊙Q上一动点，A(1，0)、B(－1，0)，连结PA、PB，
20 则PA2＋PB2的最小值是 ___ ．
5．(导学号 99854185)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点Q从点A 出发，沿着AB方向以1个单位长度/s的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，
(3)当点 N 的坐标为(3，0)时，N 为 BC 的中点． ∵MN∥AC，∴M 为 AB 的中点， 1 ∴OM＝2AB.∵AB＝ OA2＋OB2＝2 5， AC＝ OC2＋OA2＝4 5， 1 1 ∴AB＝2AC，∴OM＝4AC.
7．(导学号 99854187)(2017· 襄阳)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上， 点A的坐标为(10，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋4过B、C两点，且与x轴的一个交
点为D(－2，0)，点P是线段CB上的动点，设CP＝t(0＜t＜10)．
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的表达式； (2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连结BE，当t为何值时，∠PBE＝
∠OCD?
(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交 BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
AM NC 8－n ∵MN∥AC，∴ AB ＝BC＝ 10 ， S△AMN AM 8－n ∴S ＝ AB ＝ 10 ， △ABN 8 －n 1 1 ∴S△AMN＝ 10 S△ABN＝5(8－n)(n＋2)＝－5(n－3)2＋5. 1 ∵－5＜0，－2＜n＜8， ∴当 n＝3 时，即点 N 的坐标为(3，0)时，△AMN 的面积最大．
专题六 运动型问题
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6．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两 边分别在 x 轴和 y 轴上，OA＝8 2 cm，OC＝8 cm， 现有两动点 P，Q 分别从 O，C 两点同时出发，P 在 线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运 动，Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度 匀速运动．设运动时间为 t 秒． (1)用 t 的式子表示△OPQ 的面积 S； (2)求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
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【正确解答】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象经过点C(0，－3)，∴c＝－3. 将点A(3,0)，B(2，－3)代入y＝a2＋bx＋c得
0＝9a＋3b－3， －3＝4a＋2b－3.
解得：a＝1，b＝－2. ∴y＝x2－2x－3. 配方得：y＝(x－1)2－4，所以对称轴为x＝1.
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3．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上， 且a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运 动，直到EG与BC重合，运动过程中Rt△GEF与矩形ABCD重合部 分的面积(S)随时间(t)变化的图象大致是( )
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A．(0,0) 1 1 C．(－ ，－ ) 2 2
B．(
2 2 ，－ ) 2 2 2 2 ，－ ) 2 2
D．(－
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解析：点到直线的连线中垂线段最短，故过点A作AP⊥BP.设P 点的坐标为(x，y)，因为在直线y＝x上，所以x＝y，即∠AOP＝ 45° ，所以直角△APO为等腰直角三角形．过点P作PE⊥OA于E， 1 1 1 易知PE＝OE＝ ，又P点在第三象限，故P点坐标为(－ ，－ )． 2 2 2 答案：C
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- 1 - 1.6因动点产生的相切问题
例 2012年河北省中考第25题
如图1，A (－5,0)，B (－3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD //AB ，∠CDA ＝90°．点P 从点Q (4,0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．
（1）求点C 的坐标；
（2）当∠BCP ＝15°时，求t 的值；
（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．
练习： 2012年无锡市中考模拟第28题
如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每
AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以
每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设
点P 运动的时间为t 秒．
（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；
（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有
1个公共点和2个公共点？。