2002∽2003学年第一学期高二数学第二次月考试卷
山东省聊城市水城慧德学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含解析)
2024-2025学年第一学期聊城市水城慧德学校十二月月考高二数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知直线,则直线l的倾斜角为( )2．已知直线与圆则( )A.4B.-4C.2D.-23．已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称.若椭的中点坐标为( )A. B. C. D.4．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则( )D.15．已知抛物线的焦点为F,准线为l,且l过点,M在抛物线C 上,若点,则的最小值为( )A.2B.3C.4D.56．已知点,.则动点P的轨迹方程为( )与曲线（）的( ):310l y-+=:20l x y+-=22:44M x y x y a+--+=a=()2222:10x yC a ba b+=>>10x y--=()5,4()4,3()3,2()2,1O ABC-1G ABC△1OG13OG GG=OG xOA yOB zOC=++x y z++=2:2(0)C y px p=>(3,2)-(2,4)N||||MF MN+()M-(N4PM PN-=(21216yx=≥()21216yx-=≤-()2144yx=≥()2144yx-=≤-217y+=11122na nnb-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7k<A.短轴长相等B.长轴长相等C.焦距相等D.离心率相等8．如图,已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中.“果圆”与轴的交点分别为,,与y 轴的交点分别为,,点P 为半椭圆上一点（不与重合）,若存在.,则半椭圆的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．向量,,若,则( )A.C. D.10．已知直线l 经过点,且被两条平行直线和截得的线段长为5,则直线l 的方程为( )A. B. C. D.11．已知F 为椭圆的左焦点，直线，与椭圆C 交于A 、B 两点，，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则( )A.的最小值为2B.C.直线的斜率为D.为直角()22122:10x y C x a b +=≥22222:1(0)y x C x b c+=<222,0a b c a b c =+>>>x 1A 2A 1B 2B 2C 1A 1PA 20PA =1C 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛ ⎝23⎫⎪⎪⎭()2,1,3a x = ()1,2,9b y =- //a bx =32y =-13a b= 12a b= (3,1)P 1:10x y l ++=26:0l x y ++=2x =3x =1y =2y =22:142x y C +=:l y kx =()0k ≠AE x ⊥轴14AF BF+ABE △BE 2kPAB ∠三、填空题12．已知圆,过圆C 外一点P 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ,若__________.13．已知点在抛物线上，F 为抛物线的焦点，直线与准线相交于点B ，则线段的长度为________.四、双空题14．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，则______________.五、解答题15．(1)已知空间向量,(2)已知,,若,求实数的值16．如图所示，C ，D 分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，O 为中点，E 为母线的中点.（1）证明：平面；（2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值.17．如图,在四棱锥中,平面,,,,,M 为棱的中点(1)证明：平面;221:x C y +=120APB ∠=(,4)A a 24y x =AF ||FB 1l ()7,3,4-2l (),,8x y 12//l l x =y =()2,1,2a =-- (1,1,4b =--()2,1,3a =- ()1,2,1b =-()a ab λ⊥- λPAB AB PB //DE PAC PAB △PAB PAD P ABCD -PD ⊥ABCD AD DC ⊥//AB DC 122AB AD CD ===2PD =PC //BM PAD(2)求平面和平面夹角的余弦值;18．如图,在五棱锥中,,,,,（1）证明:平面.（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19．如图,直四棱柱中底面为平行四边形,,的中点.（1）证明:平面;（2）求二面角的余弦值.PDM DMB P ABCDE -AB AE ⊥//BC AE //DE AB 222AB AE DE BC ====PA =PE ==PA ⊥ABCDE PAB PCD 1111ABCD A B C D -ABCD 2AB AC ==1AD AA ==1CP ⊥1ACB 1P AB C --参考答案1．答案：A 2．答案：D 3．答案：C 4．答案：C 5．答案：D 6．答案：A 7．答案：C 8．答案：D 9．答案：BC 10．答案：BC 11．答案：BCD 12．答案：114．答案：-14;615．答案：(1)(2)2.16．（1）设的中点为F ，连接，，，，，在中，为三角形的中位线，所以，，因为C ，D 分别为半圆弧上的两个三等分点，为等边三角形，所以，，易得四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；PA FC CD PAB △//EF AB EF OC BD EF 12EF AB =OCD △ODC DOB ∠=∠=//CD AB 12CD AB =CDEF //DE CF CF ⊂PAC DE ⊂/PAC //DE PAC（2）解法一：过D 作的垂线，则垂足M 为的中点，过M 作的垂线，设垂足为N ，连接，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，又因为，，所以平面，，则为平面与平面的夹角，设底面半径为R ，则，，，在中，，即，所以与平面解法二：AB OB PA MN PAB ⊥ABCD PAB ABCD AB =DM AB ⊥DM ⊥PAB DM PA ⊥PA MN ⊥DM MN M = PA ⊥DMN PA DN ⊥DNM ∠PAB PAD DM R =BF =34MN BF R ==Rt DMN △22223916DN DM MN R =+=DN R =cos MN DNM DN ∠==PAB作的中点Q ，连接，以O 为坐标原点，，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2，则，，，，，，由图形可知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，，所以是平面的一个法向量，即平面与平面17．(1)取中点N ,连接,.在中,M ,N 分别为,的中点,则,,因为,,则,,可知四边形为平行四边形,则,且平面,平面,所以平面.(2)因为平面,,平面,则,,且,以D 为坐标原点,,,所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,CD OQ OQ OB OP ()0,0,0O (0,0,P ()0,2,0A -)D (0,2,PA =--)AD =PAB ()1,0,0n =PAD (),,m x y z =2030PA m y AD m y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ y =1z =-3x =-()1m =--PAD cos m n m n m n ⋅⋅===⋅PAB PAD PD AN MN PCD △PC PD //MN DC 12MN DC =//AB DC 12AB DC =AB MN ∥AB MN =ABMN BM AN ∥BM ∉PAD AN ⊂PAD //BM PAD PD ⊥ABCD AD DC ⊂ABCD PD AD ⊥PD DC ⊥AD DC ⊥DA DC DP D xyz -取的中点E ,连接,因为,,则,.又因为,所以四边形为矩形,且,可知四边形是以边长为2的正方形,则,,,,,,可得,,,设平面的法向量为,所以,令,则,,所以平面的一个法向量为,易知为平面的一个法向量,所以所以平面和平面18．（1）证明:因为,所以,,则,,因为,平面,平面,所以平面.（2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系.CD BE //AB DC 12AB DC =//AB DE AB DE =AD DC ⊥ABED 2AB AD ==ABED ()0,0,0D ()2,0,0A ()2,2,0B ()0,4,0C ()0,0,2P ()0,2,1M ()2,0,0DA = ()0,2,1DM = ()2,2,0DB =BDM (),,n x y z = 20220n DM y z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1y =-1x =2z =BDM ()1,1,2n =-DAPDM cos ,n DA n DA n DA⋅===PDM PA ===2AB AE ==222PA AB PB +=222PA AE PE +=PA AB ⊥PA AE ⊥AB AE A = AB ⊂ABCDE AE ⊂ABCDE PA ⊥ABCDE,,,则,.易得平面的一个法向量为,设平面的法向量为,则,可取.设平面与平面的夹角为,则即平面与平面19．（1）连接,因为,,所以,所以,所以,又,所以,因为,,所以,又四棱柱为直四棱柱,所以平面,平面,所以,又,平面,(0,0,P (2,1,0)C (1,2,0)D (2,1,PC =- (1,1,0)CD =-PAB (0,1,0)n =PCD (,,)x m y z =200m PC x y m CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ m =PAB PCD θcos cos ,m n m n m n θ⋅====PAB PCD 1C D 11CC AA ==2=DP ==190C CD CDP =∠=︒1C CD CDP △∽△190PCD CDC PCD CPD ∠+∠=∠+∠=︒1C D CP ⊥11//AB DC 1AB CP ⊥2CD AC ==AD =222AC CD AD +=AC CD ⊥1111ABCD A B C D -1CC ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1CC AC ⊥1CD CC C = 1,CD CC ⊂11CDD C所以平面,又平面,所以,又,,平面,所以平面;（2）由（1）可知、、两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,取,则,,;由（1）得平面的法向量,设二面角为,显然二面角为锐二面角,所以()0,0,0A ()0,2,0C (12,0,B (2,P -(CP =- (2,AP =-(12,0,AB =1PAB (),,n x y z =122020n AP x y n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩z =AC ⊥11CDD C CP ⊂11CDD C AC CP ⊥1AC AB A = AC 1AB ⊂1ACB CP ⊥1ACB AB AC 1AA 2x =-3y =-(2,n =--1ACB (m CP ==-1P AB C --θ1P AB C --cos m n m n θ⋅==⋅ 1P AB C --。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2002高二(上)数学试题1
马鞍山市2002---2003学年度第一学期期末考试高二数学试题一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题所给的四个选择支中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内） 1．若0<<b a ，则下列关系中不．能成立的是（ ）（A ）ba 11> （B ）ab a 11>- （C ）b a > （D ）22b a > 2．直线033=+-y x 的倾斜角是（ ）（A ）︒30（B ）︒60（C ）︒120（D ）︒150 3．两平行线01=+-y x 、01=--y x 间的距离是（ ）（A ）22（B ）2（C ）2（D ）22 4．已知0<⋅b a ，则下列不等式中成立的是（ ）（A ）b a b a ->+ （B ）b a b a +<- （C ）b a b a -<-（D ）b a b a -<+5．过点A （1，2），且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 （ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 6．中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21=e 的椭圆的标准方程为 （ ） （A ）13422=+y x （B ）14322=+y x （C ）1422=+y x （D ）1422=+y x 7．曲线)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 与x 轴切于原点，那么 （ ） （A ）0,0≠=D F （B ）0,0≠==E F D （C ）0,0≠==F E D（D ）0,0≠==D F E8．若双曲线8822=-my mx 的焦距为6，则m 的值是 （ ）（A ）1（B ）8（C ）97-（D ）1或-19．方程)(sin 42cos 31为参数θθθ⎩⎨⎧+-=+=y x 表示的曲线是（ ）（A ）直线（B ）圆（C ）椭圆（D ）双曲线10．若n m < ，q p <，且0))((<--n p m p ，0))((<--n q m q ，则q p n m ,,,的大小关系为 （ ） （A ）n q p m <<< （B ）n q m p <<<（C ）q n p m <<<（D ）q n m p <<<二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
2023年湖北武汉华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
华科附中2022-2023学年上学期9月月考高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足(1i)i z −=，则下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部为1i 2B. z 的共轭复数为11i 22z =−+ C. z 对应的点在第二象限 D. 1z =【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z −=，得()()()i 1i i 1i11i 1i 1i 1i 222z ×+−+====−+−−×+， 对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 共轭复数为11i 22z =−−，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为12 −，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确； 对于D，z =D 不正确. 故选：C.2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点,,,M A B C 共面的是（ ）A. 2OM OA OB OC −−B. 111532OM OA OB OC =++C. 20MA MB MC ++=D. 0OM OA OB OC +++=【答案】C 【解析】【分析】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=，由此可判断出答案. 的【详解】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=， 由此可得A ，B ，D 不正确，选项C ：2MA MB MC −=−，所以,,,M A B C 四点共面， 故选：C.3. 已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A −在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A −，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA =−− ，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅=.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题4. 已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+ ，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.5. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0,0,,1,2c b C B b a π−=∈，则ABC 的面积为（）A.或14 B.或14C.D.或34 【答案】C 【解析】B ，然后利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可. 【详解】因为2sin 0c bC −=，由正弦定理sin 2sin sin 0C B C −=， 因为0,,sin 02C C π∈≠，所以1sin 2B =，因为0,2B π∈，所以6B π=，根据余弦定理得2222cos b c a c a B +−⋅⋅，得1c =或2c =，所以11222ABC S =×=或11122ABC S =×= ， 故选：C.6. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ） 甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 无法确定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为825<，但丙组不符合“优秀小组”的概念. 故选：A.7. 如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. 78B.1516 C. 2324D. 45【答案】A 【解析】【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =， ∴ 1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=−×××=， ∴ 事件灯亮的概率78P =， 故选：A.8. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，点P 在11A C B △的内部及其边界上运动，且DP =，则点P 的轨迹长度为( )A.B. 2πC.D. 3π【答案】A 【解析】【分析】连接1B D 、11B D 、BD ，1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，证明1B D ⊥平面11A C B 得DO ⊥OP ，求出OP 长度，确定O 的位置，确定P 的轨迹形状，从而可求P 的轨迹长度． 【详解】连接1B D 、11B D 、BD ，则1111AC B D ⊥，111A C DD ⊥，1111B D DD D = ， ∴11A C ⊥平面11B DD ，∴111A C B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． 设1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，由△BOD ∽△1EOB 且BD =12B E 可知OD =12B O ，则123OD B D ==，连接OP ，则OD OP ⊥，∴OP可得点P 的轨迹为以点O 为半径的圆在11A C B △内部及其边界上的部分，OB =2OE ，E 为11A C 中点，及△11A BC 为等边三角形可知O 为△11A BC 中心， OE=1133BE =<OF =，OE =，πcos 6OE EOF EOF OF ∠∠==， 则∠OFE =∠1A =π3，∴OF ∥1A B ，同理易知OG ∥11A C ， 故四边形1A FOG 是菱形，则π.3FOG ∠=∴ FG长度为π3，故点P的轨迹长度为3π． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. PM 2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM 2.5日均值在335/m g µ以下，空气质量为一级：PM 2.5日均值在335~75/m g µ，空气质量为二级：PM 2.5日均值超过375/m g µ为超标.如图是某地12月1日至10日PM 2.5的日均值（单位：3/m g µ）变化的折线图，关于PM 2.5日均值说法正确的是（ ）的A. 这10天的日均值的80%分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 这10天的日均值的中位数为41D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】BD 【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案. 【详解】10个数据为：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，100.88×=，故80%分位数为6078692+=，A 选项错误. 5天的日均值的极差为413011−=，后5天的日均值的极差为804535−=，B 选项正确. 中位数是4145432+=，C 选项错误. 根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以D 选项正确. 故选：BD10. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+ ；③若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中错误的命题是（ ） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答. 【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若A ，B 为两个随机事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+− ，②错误； 对于③：由()()()113434P AB P A P B ==×=，得A ，B 相互独立，③正确； 对于④：记事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，则()0.5P A =，()0.5P B =，满足()()1P A P B +=，显然事件A 与B 可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD11. 已知空间四点()0,0,0O ，()0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则下列说法正确的是（ ）A. 2OA OB ⋅=−B. 以OA ，OBC. 点O 到直线BCD. O ，A ，B ，C 四点共面 【答案】AC 【解析】【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A 、B 、C 、D 的结论即可．【详解】空间四点()0,0,0O ，)0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，所以OA =，OB = ，对于A ：2OA OB ⋅=−，故A 正确；对于B ：2cos ,5OA OB OA OB OA OB ⋅==−，所以sin AOB ∠=，所以以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积sin SOA OB AOB ∠=，故B 错误；对于C ：由于()2,0,1OB =−，()1,2,2BC = ，所以0OB BC ⋅=，故OB BC ⊥ ，所以点O 到直线BC 的距离||d OB ==，故C 正确；对于D ：根据已知的条件求出：()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，()3,2,1OC =，假设,,OA OB OC 共面，则存在实数λ和µ使得OC OA OB λµ=+，所以3=22=1=2µλλµ−，无解，故,,OA OB OC 不共面，故D 错误； 故选：AC ．12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. PE PF ⋅的最小值为148B. 若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98C. PF 与底面ABCD 所成的角的取值范围为0,4πD. 若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是23π【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤ ，得()1,1,P λλλ−−，利用空间向量法求得数量积PE PF ⋅，计算最小值判断A ；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B ；过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角.设=PQ x ，运用余弦定理求出QF ，由tan PQPFQ FQ∠=，计算判断C ；结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ． 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −.由正方体棱长为1，则11,1,22E，()1,1,0B ，()10,0,1D ，10,,12F ，()1,0,0A .对于A ，()11,1,1BD =−−，设()1,,BP BD λλλλ==−− ，()01λ≤≤，所以()1,1,P λλλ−−，11,,22PE λλλ =−− ，11,,12PF λλλ =−−−， ()()211171113()2221248PE PF λλλλλλλ⋅=−−+−+−−=−−， 所以712λ=时，1()48min PE PF ⋅=− ，故A 错误； 对于B ，12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112,,333P，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12,,033G，120,,33PG =−.显然PG与平面11CDD C 的法向量()1,0,0DA = 垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行， 作//CM PG 交11D C 于点M ，设()0,,1M k ，则()0,1,1CMk =− ，由//CM PG ，可得()21133k −−=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11D A 中点N ，易得//NF AC ， 所以截面为ACFN ，且为等腰梯形，AC =NF =，AN CF ==梯形的高为h ，截面面积为1928S =，故B 正确； 对于C ，过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角．设=PQ x，则1D Q =，由余弦定理知，222111222424FQ x x x =+−⋅=−+. 因为P 为线段1BD 上的动点，所以01x ≤≤.当=0x时，tan 0PQPFQ FQ∠==.tan PQPFQ FQ∠=， 当01x <≤时，，11x≥， 所以tan 1PFQ ∠≤，故0,4PFQ π∠∈，C 正确；对于D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()1,1,0AC =−，()11,1,1BD =−−，则11100AC BD ⋅=−+=，1AC BD ∴⊥ ，同理11AB BD ⊥ . 所以1BD是平面1ACB 一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则1111123AO C B O C AO B π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===ABAD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．的【解析】【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解． 【详解】 11AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++×××−+×××−+×××2=，1AC ∴．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14. 已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,a b a b c +− 是空间的另一个基底，一向量P在基底{}a b c ，，下的坐标为()1,2,3，则向量P在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为__________．【答案】31,,322 −【解析】【分析】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，可得 123x y x y z +=−== ，所以解出x ，y ，z 即可．【详解】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+；123x y x y z +=∴−= =，解得：31,,322x y z ==−=；p ∴ 在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为：31,,322 −．故答案为：31,,322 −． 15. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||5a b −≥”的概率为_______． 【答案】415【解析】【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a ，b 的不同结果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，事件“||5a b −≥”记为M ，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，于是得4()15P M =， 所以事件“||5a b −≥”的概率为415. 故答案为：41516. 设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a满足对任意的,,x y a xi y j −− 的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．【答案】1 【解析】【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i = ，()0,1,0j = ，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则a xi y j −−=，当,r x s y ==时a xi y j −−的最小值是2， 2t ∴=± 取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5. 取(),,2ax y =− 则()3,,1a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1. 故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 已知()3,2,1a =− ，()2,1,2b = ． （1）求a 与b夹角的余弦值；（2）当()()ka b a kb +⊥−时，求实数k 的值．【答案】（1（2）32k或23k =− 【解析】【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据()()ka b a kb +⊥−列方程，从而求得k 的值.【小问1详解】cos ,a b a ba b⋅==⋅【小问2详解】由于()()ka b a kb +⊥− ，所以()()0ka b a kb +⋅−=， 所以()22210ka k a b kb +−⋅−= ，()22146190,6560k k k k k +−−=−−=， 解得32k或23k =−. 18. 袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是12，得到黄球或绿球的概率是23，试求： （1）从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1）111,,362；（2）1115【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率．（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率．【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知得()()()11()()22()()3P A P B P C P A P B P B P C++=+=+=，解得1()31()61()2P A P B P C===，∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是111,,362；（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为1315154+=， 则得到的两个球颜色不相同的概率是41111515−=． 19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5 （2）10 【解析】【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，进而根据方差公式，代入计算即可得答案. 【小问1详解】设这20人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =×+×+×+×+×=.设第80百分位数为a ，由50.02(40)0.040.2a ×+−×=，解得37.5a =. 【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ， 则437x =，543x =，2452s =，251s =， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z+=，()(){}222224545142106s s x z s x z =×+−+×+−= ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 20. 已知函数()2sin cos x x f x x +−（1）若123f α = ，且π0,2α ∈，求sin α的值； （2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f=−，求a b 的取值范围． 【答案】（1；（2a b <<【解析】【分析】（1）化简()f x 解析式，由123f α = 得到1sin 3π3α−= ，从而求得cos 3πα −，进而求得sin α.（2）由122C f=−求得C ，利用正弦定理化简a b ，通过tan B 取值范围，求得a b 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin cos x x f x x +1cos 21πsin 2sin 2223x x x −+−=−， 的由123f α = ，得1sin 3π3α −= ，因π0,2α ∈，所以ππ36π3α−<−<，所以πcos 3α−所以ππsin sin 33αα =−+ππππsin cos cos sin 3333αα=−+−1132=×=． （2）由π1sin 232C f C =−=−，因为π0,2C∈ ，所以πππ336C −<−<， 所以ππ36C −=−，即π6C =． 由正弦定理sin sin a bA B=，可得，5πsin sin cos 6sin sin 2sin B a A B b B B B− ===+．因为ABC 是锐角三角形，所以π025ππ062B B <<<−<，即ππ32B <<．所以cos 12sin 2tan aB b B B =+ 由ππ32B <<，得tan B >a b << 21. 如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=°，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD −，连结MN ．为（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，利用面面平行的判定证明平面//MNE 平面PAD ，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】在四棱锥P ABCD −中，取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC ，则ME PA //，//EN AD ，因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，则//ME 平面PAD ，同理可得，//EN 平面PAD ， 又ME EN E ∩=，ME ，EN ⊂平面MNE ，故平面//MNE 平面PAD ，因为MN ⊂平面MNE ， 故//MN 平面PAD ； 【小问2详解】因为在等腰直角三角形PAD 中，90∠=°，//AD BC ， 所以BCPA ⊥，则在四棱锥P ABCD −中，BC PB ⊥，BC AB ⊥，因为//AD BC ，则AD PB ⊥，AD AB ⊥，又PB AB B ∩=，,PB AB ⊂平面PAB ， 故AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，故PA AD ⊥，因为8AD =，3AB =，4PA =，则5PB =，所以222AB PA PB +=，故PA AB ⊥． 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：(3,0,0)B ，()0,0,4P ，(0,8,0)D ，(3,5,0)C ，故(3,0,4),(3,5,4),(0,8,4)PB PC PD =−=−=−，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则3403540n PB x z n PC x y z ⋅=−= ⋅=+−= ， 令4x =，则3z =，故(4,0,3)n = ；设平面PCD 的法向量为(,,)m a b c = ，则8403540m PD b c m PC a b c ⋅=−= ⋅=+−= ， 令1b =，则1a =，2c =，故(1,1,2)m = ，所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅== ， 故平面PBC 与平面PCD． 22. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得1BC =1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ； （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E，可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+−×°，解得1BC =22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥ 侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥． 又AB BC B ∩= ，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A，1(B −，12E，1(2)A −，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z = ，11(0,0,2)A B =−，13,22A E =−， 11100m A B m A E ⋅= ⋅=，203202z x y z −= ∴ −=，令y =1x =，m ∴= ， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈， (1,,)(1,0,2)x y z λ∴−=−，(1,0,2)M λλ∴−，1,22EM λλ ∴=−利用平面11A B E的一个法向量为m =，2693850λλ−+=．即(31)(235)0λλ−−=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.。
内蒙古通辽市高二上学期数学第二次月考试卷
内蒙古通辽市高二上学期数学第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·双流期中) 直线l：3x-y-6=0被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长是（）A . 10B . 5C .D .2. （2分）点A(－3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是（）A .B .C . (－2,3,5)D .3. （2分）两直线与的位置关系是（）A . 相交B . 平行C . 重合D . 平行或重合4. （2分）在直角坐标系中,直线的倾斜角是（）A . 30°B . 120°C . 60°D . 150°5. （2分）若三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（）共线，则的值为（）A . 1B .C .D .6. （2分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·镇江期末) “ ”是“直线和直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A . 0.5小时B . 1小时C . 1.5小时D . 2小时9. （2分）直线l1过点A(3，1)，B(-3，4)，直线l2过点C(1，3)，D(-1，4)，则直线l1与l2的位置关系为（）A . 平行B . 重合C . 垂直D . 无法判断10. （2分）在长方体中，,，则二面角的大小是（）A . 300B . 450C . 600D . 90011. （2分）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A . 或B . 或C . 或D . 或12. （2分）已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高一下·伊通期末) 若三点共线，则实数的值为________．14. （1分） (2019高三上·济南期中) 若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则 ________．15. （1分） (2016高一上·吉林期中) 以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________16. （2分） (2018高二上·衢州期中) 圆 :关于直线与直线都对称，则＝________，若原点在圆外，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2017高一下·盐城期中) 求经过A（﹣2，3），B（4，﹣1）的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．18. （10分） (2017高二上·武清期中) 已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．（1）求证△ABC为等腰直角三角形；（2）若直线3x﹣y=0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．19. （10分） (2018高一下·重庆期末) 在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）是的面积，若，求的最小值．20. （10分） (2016高三上·湖北期中) 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21. （5分） (2017高二上·安平期末) 如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．22. （5分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知圆C1：（x+3）2+y2=1和圆C2：（x﹣3）2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、第11 页共11 页。
上学期高二第二次月考数学(文)(附答案)
2016届高二数学第二次月考试卷（文科）一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝14.直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16B.116C ．4D.145．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a 的最小值为( )A.233B.33C ．2D ．16．设双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝2围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝12x －y 的最小值为( )A ．－2B ．－322C ．0D ．－5227．以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于不同的四点，顺次连接四个交点和两个焦点恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率为( ) A.3－ 2B.3－1C.22D.328．当实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2时，恒有ax ＋y ≤3成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．[0,2]D ．(－∞，3]9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．810.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 12．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 14．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．15．已知A ，B 两点分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，若AB →·BF →>0，则椭圆的离心率的取值范围为________．2016届高二数学第二次月考试卷（文科）答题卡一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)11、 12、 13、 14、 15、三、解答题16．已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值．(12分)17．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．（12分）18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设直线l是抛物线的准线，AB是抛物线过焦点的弦．求证：以AB为直径的圆与准线l 相切．（12分）19．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)求双曲线E的方程．（12分）20．设x>0，且x≠1，f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，试比较f(x)与g(x)的大小．（13分）21．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝2PM ？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．（14分）2016届高二数学第二次月考试卷（文科）答案ACABA BBDCC11. x 216＋y 28＝1 12. 2 13. 43 14. ⎝⎛⎦⎤0，12 15. ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 16.(1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.17.将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 18.(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1. ∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：y 2－2ty －1＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则y 0＝t ，x 0＝1＋2t 22.∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2.又AB ＝2x 0＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d＝12AB ，故以AB 为直径的圆与准线l 相切． 19.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得： y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得 a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.20. f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x －log x 4＝log x 3x4.(1)当log x 3x4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，3x 4>1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<3x 4<1，也就是x >43，或0<x <1时，f (x )>g (x )．(2)当log x 3x 4＝0，即3x 4＝1，也就是x ＝43时，f (x )＝g (x )．(3)当log x 3x4<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，0<3x 4<1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，3x 4>1，也就是1<x <43时，f (x )<g (x )．综上，知当x >43，或0<x <1时，f (x )>g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当1<x <43时，f (x )<g (x )．21.(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝11218(21)34k k k -+，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以2112116168[234k k ---⋅+11218(21)34k k k -+4]+(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
2024-2025学年福建省泉州五中九年级(上)第二次月考数学试卷+答案解析
2024-2025学年福建省泉州五中九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件中，属于必然事件的是()A.旭日东升B.守株待兔C.大海捞针D.水中捞月2.如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为()A.18mB.24mC.36mD.54m3.在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则的正弦值()A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的3倍C.不变D.不能确定4.已知两个三角形相似，它们的对应高之比为4：9，则它们的周长比为()A.2：3B.4：9C.16：81D.9：45.如图，在中，，，，则()A.B.C.D.6.放在正方形网格纸的位置如图，则的值为()A. B. C. D.7.如图，一个小球由地面沿着坡度：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为()A. B.5m C. D.8.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.9.如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为()A. B. C. D.10.如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是()A.①③⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②③⑤二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则______.12.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______.13.已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______.14.如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为______.15.如图，是等边三角形，D是BC延长线上一点，于点E，于点若，，则AC的长为______.16.如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则的面积是______.三、解答题：本题共9小题，共72分。
2024年西师新版高二数学下册月考试卷778
2024年西师新版高二数学下册月考试卷778考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、若函数在（0，1）内有极小值，则（）A. 0＜＜1B. ＜1C. ＞0D. ＜2、在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，且样本容量为160，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积的和的则该组的频数为（）A. 32B. 0.2C. 40D. 0.253、计算( )A.B.C.D.4、已知函数与的图象在处有相同的切线，则（）A.B.C.D.5、【题文】直线与平行，则的值等于（）A. -1或3B. 1或3C. -3D. -16、【题文】将函数y=sin2x的图象向左平移0＜的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于（）A.B.C.D.7、设是两个非零向量，且|+|=|-|，则与夹角的大小为（）A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°8、曲线y=xex鈭�1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 1评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、【题文】已知则不等式的解集为10、如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2 cm，则这个二面角的度数为____．11、如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若==m则m的值为______ ．12、为了响应国家号召；某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：。
x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为 ______ 吨．13、计算：(22)23隆脕(0.1)鈭�1鈭�lg2鈭�lg5= ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共40分)20、已知：直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，侧棱AA1=2，N是棱AA1的中点，求：异面直线BN 与CB1的所成角的余弦值．21、【题文】在△中，角所对的边分别为已知．（1）求角C的值；（2）求及△ABC的面积.22、【题文】(14分)等差数列{a n}中，公差其前项和为且满足(1)求数列{a n}的通项公式；(2)构造一个新的数列{b n}，若{b n}也是等差数列，求非零常数．23、长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BC= E为CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BE⊥平面B1CD；（Ⅱ）平面A1BE与底面A1B1C1D1所成的锐二面角的大小为θ，当时，求θ的取值范围．评卷人得分五、计算题(共3题，共27分)24、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．25、1. （本小题满分12分）已知数列满足且（）。
高二数学02-03上学期期中试题.doc
北大附中2002-2003学年第一学期期中考试数学试卷2002．11．6一、选择题：（每个小题3分，共10小题，计30分）在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡对应的位置。
1、若a 、b 、c ∈R ，且|a-c|<|b|，则（ ）（A ）|a|<|b|+|c| (B)|a|<|b|-|c|(C)a<b+c (D)a>c-b2、已知a>0，b>0，则不等式a x b <<-1的解集为（ ）（A ）a x 1-<或b x 1>（B ）b x 1-<或a x 1>（C ）01<<-x a 或b x 10<<（D ）01<<-x b 或a x 10<<3、不等式0162341>-⨯-+x x 的解集是（ ）（A ）（-1，3） （B ）（-3，1）（C ）（3，+∞） （D ）（-∞，-1）∪（3，+∞）4、不等式02)1(≥+-x x 的解集是（ ）（A ）{x | x>1} （B ）}1|{≥x x（C ）{x | x ≥1或x=-2} （D ）{x | x ≥-2且x ≠1}5、设31arcsin =a ，2arctg b =，)43arccos(-=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）（A ）a<b<c （B ）c<b<a（C ）a<c<b （D ）c<a<b6、若ab<0，则直线1=+b ya x的倾斜角为（ ）（A ）)(a barctg （B ）)(a barctg -π（C ）)(a barctg - （D ）)(a barctg +π7、直线l 到直线2x+y-1=0的角是45°，则直线l 的斜率是（ ）（A ）31- （B ）3（C ）-1或3 （D ）31-或3 8、下列四个命题中，正确的是（ ） （A ）通过点（0，2）且倾斜角是15°的直线方程是2)23(+-=x y 。
高二数学上学期第二次月考试题 理(1)(2021年整理)
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河南省焦作市2016-2017学年高二数学上学期第二次月考试题 理（时间:120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题：若a 〉0，则a 2>0的逆命题为( )A ．若a 〉0,则a 2≤0 B ．若a 2>0，则a >0 C ．若a ≤0,则a 2>0D ．若a ≤0,则a 2〉02．设点B (－4,0），C (4，0)，若△ABC 的周长为18，则动点A 的轨迹方程是（ )A 。
错误!＋错误!＝1(y ≠0） B.错误!＋错误!＝1（y ≠0) C.错误!＋错误!＝1（x ≠0）D.错误!＋错误!＝1(x ≠0)3．在△ABC 中，角A ，B ,C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b "是“sin A ≤sin B "的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1F 、2F 是椭圆2221x a b2y ＋＝（a 〉b>0）的两个焦点，以线段1F 2F 为边作正三角形M 1F 2F ,若边M 1F 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是A B 1 C 1 5．命题“∃x 0∈R,2x 0－3〉1”的否定是( ）A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1B ．∀x ∈R ，2x －3〉1C ．∀x ∈R ，2x －3≤1D ．∃x 0∈R ，2x 0－3〉16．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 的（） A 。
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2002∽2003学年第一学期高二数学第二次月考试卷
（时间：120分钟 总分：150分）
一、单选题（本题共12道小题，共48分。
）
1. 已知a 、b 、c 表示不同的直线, α、β、γ表示不同的平面, 则下列四个命题中
真命题的个数为 [ ] ①若a ⊥c, b ⊥c, 则a ∥b, ②若a ⊥α, b ⊥α, 则a ∥b,
③若a ⊥b, b ⊥α, 则a ∥α, ④若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 设a 、b 是平面α外的两条线段，则的长相等是在平面α内的射影长相等的__条件[ ]
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．在正方体的一个面所在的平面内, 任意画一条直线, 则在正方体的12条棱中,与该直线异面的棱的条数可能是 [ ]
A.5, 6, 7, 8
B.4, 6, 7, 8
C.6, 7, 8
D.4, 5, 6, 7
4．设直线L 与两直线2x-y+6=0和x-3y-9=0分别相交于A 和B ，
若线段AB 的中点为M(1，1)，则直线L 的方程是 [ ]
A ．4x-y-3=0
B ．x-4y+3=0
C ．2x+3y-5=0
D ．3x+2y-5=0
5．方程(x 2-4)2＋(x 2-y 2)2=0表示的曲线是 [ ]
A ．四个点
B ．两个点
C ．一个点
D ．四条直线
6．圆心在x 轴正半轴上，半径为5且通过点(0，4)的圆的方程是 [ ]
A ．x 2+y 2-8y-9=0
B ．x 2+y 2-6y-16=0
C ．x 2+y 2-6y+8=0
D ．x 2+y 2-6x-16=0
7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，一个焦点是(0, -7)，一个顶点是(9, 0)，则该椭圆的方程是 [ ]
A +y =1
B +x =1
C +y =1
D +x =122
22
．．．．x y x y 222281328132
1308113081
8．
中心在原点，一个焦点为，，一条渐近线方程为的双曲线
方程是
．．．．(30)2x 3y =0[ ]A =1B =1C =1D =1-----13811336
13361381536554
55453622
2222
22x y x y x y x y 9 8
74 D. 815 C. 5 B. 6 A.]
[ )8
9Q(0, 6,x 12x y 2的距离是则此点到轴的距离为上一点与＋＝若抛物线
10． 圆心在抛物线上，且与轴及该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是．．．．y =
12
x y [ ]
A x +y x 2y 14
=0B x +y +x 2y +1=0C x +y x 2y +1=0D x +y 2x y +14=022*******-------- 11．
)5+3D.2( )2+5C.2()
52B.2( )25A.2(]
[ 010y x 214
y 9x 2
2--=+-=+的最小距离是上所有点到直线椭圆
12.抛物线y=4x 的焦点为A ，正三角形ABC 的另两个顶点B 、C 杂抛物线上，则正三角形的边长为
[ ]
A ． 348+
B ．348-
C ．348+ 或 348-
D ．8或2
13. 已知P 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，AA 1=AD ，则PB 与A 1D 所成角的大
小等于 [ ]
A ．45°
B ．60 °
C ．90°
D ．不确定
三、填空题（本题共20道小题，共0分。
）
13. 已知圆O在平面α内，PO⊥平面α，A在圆O上，如果圆O的周长与PA长之比为
π，那么AP与平面α所成的角是
2. 当m=__________时,方程m2x2+(2m - 1)y2-2mx-10y+1＝0表示抛物线.(用分数表示)
3. 直线平面，直线平面，∥，则平面和的位置关系是相交或．
⊂⊂
a m
b m a b
4.
5. 一条直线被两条直线：4x+y+6=0及5x+3y-3=0截得线段的中点恰为原点,则这条直线方程的一般式是_______．
6. Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，若BC平面α，AB与平面α成θ角，则当θ=_ _____°时，△ABC在平面α内的射影是等腰直角三角形．
7. ∵点A∈a，A∈b，点B∈a，B∈b，∴a∩b=_____．
8. 已知圆的方程是x2+y2=13，那么过点P(-4，7),
且与圆相切的直线方程的一般式是2x+3y-13=0或____．
9. 已知直线a、b、c满足a∥b，b与c是异面直线，则a与c的位置关系是_________或异面．
10. 双曲线y2－x2＝－1和抛物线x2＋2y＝0交点的个数是______个.
11.
12. 在抛物线y2=64x上，到直线4x+3y+46=0的距离最小的点是___________；最小距离是______________．
13. 倾角是直线y＝(3/4)x+1的倾角的二倍,且通过两条直线x+y-5＝0与2x-y-1＝0
的交点的直线方程是__________.(化成一般式方程)
14. 直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0互相垂直，则a的值为___或1．
15. 经过A(-1，-1)、B(-4，y)、C(x，3)三点的直线的斜率为-2，则x=___，y=___ _．
16双曲线上一点，，那么对应的焦半径是．用分数表示填空
x y
22
916
16
3
-=1M(5)M
()
17. 若过A(-1，m)、B(2m，1)的直线垂直于直线y=-x，则m=____．
18. 过直线7x-y+3=0，3x+5y-4=0的交点和点A(-2，-1)的直线方程的一般式是____ _．
19. 已知直线L被两坐标轴截得的线段的中点为(3,－4), 则L的方程是________. (用直线方程的一般式表示)
20. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是________．(填分数)
四、计算题（本题共6道小题，共0分。
）
1. 已知矩形ABCD，沿对角线BD把矩形面ABCD折起，使A点在平面BCD上的射影H落在BC上．求AB与CD所成的角．
2. 矩形ABCD的两邻边长分别为9和12，若PD⊥平面AC，PD＝8，求P到矩形顶点B的距离．
3. 若PD⊥矩形ABCD所在的平面，AB＝6，AD＝4，PD＝3，求△PAB的面积．
4. 在直角三角形ABC中，两直角边AC、BC长分别为18cm、32cm，D是斜边中点，DE ∩平面ABC，DE长为12cm，求E点到AC、BC的距离．
5. 若△的斜边在平面内，，⊥于，若＝，＝，＝，求长．
Rt ABC AB C CC C AC2 BC3CC1AB
111 11
ααα
∉
6. 从平面外一点向这个平面引垂线和斜线、，已知长为，长为，它们在平面内的射影、的比为．
求点到平面的距离．
α
α
α
D DO DA DB DA8cm DB5cm OA OB4
D
:3
五、解答题（本题共6道小题，共0分。
）
1. 如图，在正方体中，P、Q、M、N、R、S分别是棱A1D1、A1A、B1C1、B1B、BC、AB 的中点，连结PQ、MN、RS，那么线段PQ、MN、RS所在直线的位置关系如何?如有异面直线，求出它们所成的角．
2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左准线为ｌ．能否在双曲线左支上求得一点，使ㄧㄧ是点到ｌ的距离与
ㄧㄧ的等比中项．如果能，求出点，如果不能，说明理由．x y
22
25144
-=1F F
P PF P d
PF P
12
1
2
3. 已知圆：－，抛物线的顶点是坐标原点，焦点是圆的圆心，过作倾角α的直线，直线与抛物线和圆
从上至下顺次交于、、、四点．
当α时，求││││；
当α变动时，α为何值时，││││有最小值并求出这个最小值．
F x+y4x=0
G O
F F F L L
G F
A B C D
(1)=arcsin
5
5
AB+CD
(2)AB+CD?
22
4. 过点M(2，3)作直线 L交x，y轴的正向于A，B．
(1)当三角形AOB面积最小时，求 L的方程．
(2)当丨MA丨·丨MB丨最小时，求L的方程．
5. 求圆心为(2，1)且与已知圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5，-2)的圆的方程．
6.
的方程．
直线
，求
⊥
两点．若
、
交椭圆于
′的直线
过这个椭圆另一焦点
求这个椭圆的方程；
的根．
方程
，离心率是
，
，相应的焦点为
方程为
已知椭圆的一条准线的
L
FB
FA
B
A
L
F
(2)
(1)
=
2
+
5x
2x
0)
F(4
10
=
x
2-。