2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.6.2 直线与平面垂直

解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中 给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边， 它们互相平行，不满足定理条件.
二、直线与平面垂直的判定
例2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC； 证明 因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
三、直线与平面垂直的性质
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平 面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且 MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
文字语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线_平__行___ ab⊥ ⊥αα⇒a∥b
图形语言
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做 这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思考 垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？ 答案 共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个 平面.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 2.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( × )
跟踪训练3 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证： a∥l.
证明 ∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB. ∴a∥l.
12345
4.下列命题正确的是
① a∥b，⇒b⊥α； ② a⊥α，⇒b∥α；③ a∥α，⇒b⊥α.
a⊥α
a⊥b
a⊥b
A.①② C.②③
B.①③
√D.①
12345
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C C.平面A1B1C1D1
√B.平面A1DB1 D.平面A1DB
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
求直线与平面所成的角
典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解 ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
3 随堂演练
PART THREE
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是
A.1
√B.2
C.3
D.6
12345
2.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC. 由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC.
反思 感悟
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论.
如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与 此平面垂直
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b ＝P⇒l⊥α
图形语言
思考 若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定 垂直吗？ 答案 当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一 定垂直.
知识点三 直线与平面所成的角
反思 感悟
证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与平面α 相交 ，但不与这个平面 垂直 ， 这条直线叫做这个平面的斜线，如图中_直__线__P_A_
斜足
斜线和平面的 交点 ，图中_点__A__
过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过_垂__足__
射影 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中
斜线PA在平面α上的射影为_直__线__A_O__
第八章 8.6 空间直线、平面的垂直
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直. 3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.
内容索引
NEI RONG SUO YIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
3.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
(√ )
4.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(√ )
2 题型探究
PART TWO
一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
例1 下列命题中，正确的序号是__③__④___. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面 α互相垂直
记法
_l_⊥__α_
有关概念
直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的 垂面 ，它们唯一的公共 点P叫做_垂__足__
图示Biblioteka 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的 一边垂直
本课结束
更多精彩内容请登录：
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做 这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 思考 空间两条直线垂直一定相交吗？ 答案 不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种 是异面垂直.
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 符号语言
解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
反思 感悟
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与 “直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 ①错，②③对.
12345
3.(多选)在空间中，下列哪些命题是正确的
√A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.平行于同一个平面的两条直线互相平行
√D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行
解析 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1， ∴AD1⊥平面A1DB1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理. (3)直线与平面垂直的性质定理. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.
2 2.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝AA11OB＝12，又 0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
素养 提升
求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角 或直角即为所求的角. (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB
B.平面OAC
√C.平面OBC
D.平面ABC
解析 ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC， ∴OA⊥平面OBC.