8范德瓦尔斯方程
8-5范氏方程
l
l α
γ
β
分子β 没就有这种对称性 所以, 这种对称性. 分子β 和γ 没就有这种对称性.所以,处于边界 层中的分子都受到一个垂直于器壁且指向气体内 部的拉力作用,称为内向拉力 部的拉力作用,称为内向拉力 .
在考虑了边界层分子受到的内拉 力作用后, 力作用后,气体分子实际作用于器 减小了p 壁的压强 减小了 i,因此实际可测 得的压强为 或写为 ( p + pi )(Vm b) = RT ,
§8-5 范德瓦耳斯方程
实际气体的分子不仅具有一定的体积, 实际气体的分子不仅具有一定的体积,分子 之间还存在着相互作用力,称为分子力. 之间还存在着相互作用力,称为分子力.实际 这些都是不能忽略的,为了更准确的描述气体 这些都是不能忽略的, 的宏观性质,引入范德瓦耳斯方程. 的宏观性质,引入范德瓦耳斯方程. 一,范德瓦尔斯方程的导出 1.体积修正 理想气体的系统中, 1.体积修正 在1mol理想气体的系统中,由于 理想气体的系统中 考虑了分子的体积后, 考虑了分子的体积后,理想气体物态方程 pVm=RT 其中, 气体所占据的体积. 其中,Vm表示 1 mol 气体所占据的体积.是分子 可以自由活动的空间. 可以自由活动的空间.
4. 范德瓦耳斯方程的一般形式 如果质量为M的气体的体积为 , 如果质量为 的气体的体积为V,则在相同温度 的气体的体积为 和压强下, 与 和压强下,V与Vm的关系为
V=
M
Vm
或
V Vm = M
式中为摩尔质量, 为摩尔质量, 将上式代入右式得
(p +
a
2 Vm
)(Vm b) = RT
b) = M
将
VmK b= 3
代入上式得
a = 3 pK V
高二物理竞赛范德瓦尔斯方程 课件
8
•内摩擦
z df '
dS df
现象：A盘自由，B盘由电机带动而 转动，慢慢A盘也跟着转动起来。
A 解释：B盘转动因摩擦作用力带动了
B 周围的空气层，这层又带动邻近层， 直到带动A盘。
这种相邻的流体之间因速度不同，引起的 相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。
u = u (z)
流速不均匀，沿 z 变化（或有梯度）
v [n (z0 - ) - n
(z0 + )]dtdS
dn -2 dz
z=z0
D=
1 3
v
讨论类似
14
线度 ~ 10-8m
气体分子自由程
15
思考：你能说说气体动理论中,在讨论理想气体压强公 式、内能公式、分子平均碰撞频率及范德瓦耳斯方程 时，各用了什么样的气体分子模型？
(1)在推导理想气体压强公式时，将气体分子看成是自由 质点，即分子本身大小忽略不计，分子之间没有相互作 用力。分子之间和分子与器壁间的碰撞均视为完全弹性 碰撞。 (2)在讨论气体内能时，考虑了分子内部的结构，按分子 含有原子数的多少，将气体分为单原子分子气体、双原 子分子气体和多原子分子气体。 (3)在研究分子碰撞频率时，把气体分子看成具有一定大 小、有效直径为 d 的钢球。 (4)在推导范德瓦耳斯方程时，把气体分子看作是相互间 有吸引力的钢球，它比前几种模型更接近实际气体的情 况。
用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。
10
微观上，这种粘滞力是动量传递的结果
z
z0
1 6
v
n
1 6
v
n
u（z+ ）
x
u（z - ）
下层 平均自由程 l 的区域， 单位时间通过 dS 面积，向 上层输运动量的平均 x 分量
范德瓦尔斯方程
荷兰物理学家范德瓦耳斯（Johannes Diderik Van der Waals，1837—1923）改进了气体的状态方程，把分子间的作用力和分子的有限体积放进方程中去。他论证了，分子间距离较远时，它们间必定存在吸引力，这一作用附加到容器壁施加的压强上去。他进一步提供论据，假设附加产生的压强反比于气体比容的平方。还有，由于分子占有体积，它们可利用的空间必须减少，或者说得更明白些，减少的总体积就正比于分子在相互接触时所占有的体积。于是一摩尔真实气体的状态方程变成(p+an2/V2)(V-nb)=RT。 这简单方程包含两个常数，即a和b，对于每一种物质它们可由实验确定。R是普适气体数学。1873 年在博士论文《论气态和液态的连续性》中考虑了分子体积和分子间吸力的影响，推出了著名的物态方程：(p+a/V2)（V－b）＝RT 后来人们称之为范德瓦耳斯方程。他还导出了b 是分子体积的4 倍。这个方程不仅能解释安德纽斯的实验结果及J．汤姆生的见解，而且能从常数a、b 值计算出临界参数，这对“永久气体”液化的理论起了指导作用。
范德华方程是范德瓦耳斯方程的另一种翻译，简称范氏方程，是荷兰物理学家范德瓦耳斯（van der Waals，又译“范德华”、“凡德瓦耳”）于1873年提出的一种实际气体状态方程。范氏方程是对理想气体状态方程的一种改进，特点在于将被理想气体模型所忽略的的气体分子自身大小和分子之间的相互作用力考虑进来，以便更好地描述气体的宏观物理性质。
式中A* 为每个分子的亥姆霍兹自由能。由此得到，引力使压强减小的量正比于1/v2。记该比例常数为a，可得...这便是范氏方程。(注：由于笔者自身水平有限，“。。。”处笔者这样的：先由范德瓦耳斯提出假设，再通过计算证明假设的成立，因此当初方程的产生并不是由于数学推导，而是一种经验性的假设，通过计算，符合事实，便成为一个结论。更简单的理解是：根据理想气体状态方程pV=nRT，由于真是气体压强和体积的测定相对于真实气体存在误差，因此要对压强和体积进行修正。体积上的修正很容易理解，就是理想气体体积减去分子占有体积就是真实气体运动所占有的体积，而对于压强的修正，理解是这样的：分子间的吸引力会对气体对外表现出的压强产生减弱，因此在真实气体的基础上加上由于吸引减弱的压力才是理想气体表现出的压力。而这个分子间的吸引力的大小，是与分子的密度有关的。而在分子间吸引力相同的情况下，分子密度越大，吸引力对压力的削减也越强，因此在压强出的修正方面，是加上分子密度平方的正比。
理想液体状态方程
理想液体状态方程理想气体状态方程是描述气体的压力、体积和温度之间关系的数学公式。
而理想液体状态方程描述的是理想液体的压力、体积和温度之间的关系。
尽管理想液体的状态方程不像理想气体那样普适，但从分子的角度来看，液体也是由分子组成，它们之间存在着相互作用力。
因此，通过分子动理论以及温度、压力、体积的变化，我们可以得到理想液体的状态方程。
理想液体状态方程的一个经验公式是范德瓦尔斯方程，其可以用来近似描述各类液体的状态。
范德瓦尔斯方程如下：(P + a/V^2)(V - b) = RT其中，P是液体的压强，V是液体的摩尔体积，T是液体的温度，R是气体常量。
在范德瓦尔斯方程中，a和b分别表示范德瓦尔斯常数，可以通过实验数据拟合得到。
范德瓦尔斯方程是一种修正的理想状态方程，它引入了分子之间的吸引和斥力，可以更好地描述液体的行为。
其中，a/V^2的作用是修正液体分子之间的吸引力，V - b的作用是修正分子之间的排斥力。
需要注意的是，范德瓦尔斯方程只是一种近似公式，并不能精确描述液体的状态。
因为液体的分子之间的相互作用力较为复杂，范德瓦尔斯方程无法完全考虑其中的所有因素。
因此，在实际计算中，我们可能需要根据具体的实验数据以及液体的性质来选择适合的修正参数，以得到更准确的结果。
除了范德瓦尔斯方程，还有许多其他的状态方程可以用来描述液体的特性，比如改进的范德瓦尔斯方程、纯液体状态方程等。
这些方程的形式都是类似的，都是通过引入修正因子来考虑分子之间的相互作用，以更好地描述液体的状态。
综上所述，理想液体状态方程可以用范德瓦尔斯方程来近似描述。
通过引入范德瓦尔斯常数和修正因子，可以修正液体分子之间的相互作用力，使得方程更为准确。
但需要注意的是，液体的状态方程因涉及到复杂的分子相互作用，所以理想液体状态方程只是一种近似形式，实际计算中可能需要根据具体情况选择适用的修正参数。
范德华方程
范德华方程范德华方程范德华方程是范德瓦耳斯方程的另一种翻译，简称范氏方程，是荷兰物理学家范德瓦耳斯（van der Waals，又译“范德华”、“凡德瓦耳”）于1873年提出的一种实际气体状态方程。
1范德华方程范德华方程是范德瓦耳斯方程的另一种翻译，简称范氏方程，是荷兰物理学家范德瓦耳斯（van der Waals，又译“范德华”、“凡德瓦耳”）于1873年提出的一种实际气体状态方程。
范氏方程是对理想气体状态方程的一种改进，特点在于将被理想气体模型所忽略的的气体分子自身大小和分子之间的相互作用力考虑进来，以便更好地描述气体的宏观物理性质。
2适用范围范氏方程对气-液临界温度以上流体性质的描写优于理想气体方程。
对温度稍低于临界温度的液体和低压气体也有较合理的描述。
但是，当描述对象处于状态参量空间(P,V,T)中气液相变区（即正在发生气液转变）时，对于固定的温度，气相的压强恒为所在温度下的饱和蒸气压，即不再随体积V（严格地说应该是单位质量气体占用的体积，即比容）变化而变化，所以这种情况下范氏方程不再适用。
3与理想气体方程模拟结果的比较3.1低压状况在气体压强不太高的情况下，以下事实成立：排斥体积b 的影响相对V 而言极小，可以忽略；以二氧化碳（CO2）为例，在标准状况（0°C，1标准大气压）下，一摩尔CO2体积V 为22414 cm³，而相应的b= 43 cm³，比V 小3个数量级；分子间的距离足够大，a/V² 项完全可以视为0；譬如在一大气压下二氧化碳气体的a/V² 值只有7‰。
所以此时理想气体方程是范氏方程（也是对实际气体行为的）的一个良好近似。
分别用理想气体方程和范德瓦耳斯方程模拟的二氧化碳气体70°C时的p-V等温线3.2中高压状况随着气体压力的增加，范氏方程和理想气体方程结果的差别会变得十分明显（左图为CO2分别用理想气体方程和范德瓦耳斯方程模拟的p-V等温线，温度70°C）：在压强为5000~15000kPa（50~150标准大气压）的中压区，由于体积被“压小”导致分子间距靠近，分子间的引力（表现为a/V² 项）变得不可忽略。
范德瓦尔斯状态方程改正量b
范德瓦尔斯状态方程改正量b范德瓦尔斯方程是一个热力学方程，用于描述气体的状态和性质。
当然不是每个气体都满足这个方程，因为气体的状态和性质受许多因素影响，如温度，压力和组成。
因此，范德瓦尔斯方程需要一些改正，以使其能够在更广泛的条件下适用。
其中一个改正就是范德瓦尔斯状态方程的改正量b。
在范德瓦尔斯方程中，我们假设气体分子是一个点，这样就忽略了它们的体积。
然而，实际上分子占据一定的空间，这对于高压下的气体尤其重要。
因此，我们需要一个改正来考虑气体分子的体积占据，这个改正即范德瓦尔斯状态方程的改正量b。
改正量b的具体定义是气体分子体积和压缩系数的乘积，可以表示为b = Vm - nB / V，其中Vm是摩尔体积，n 是气体摩尔数，B是已知常数。
常数B代表气体分子之间的相互作用力，因此它可以用来描述气体的相互作用性质。
改正量b的引入使得范德瓦尔斯方程考虑到了气体分子的体积占据，并因此更准确地描述了气体的状态和性质。
在低压下，气体的分子间距较大，其相互作用相对较小，因此b对范德瓦尔斯方程的影响也相对较小。
但是在高压下，气体的分子之间距离变得极短，相互作用力增强，因此b变得非常重要，需要被考虑进入范德瓦尔斯方程中。
由于b的引入，范德瓦尔斯方程可以更准确地描述气体的状态和性质，特别是在高压下的情况下，范德瓦尔斯方程的改正量b的引入可以进一步扩展气体的可适用范围，提高相应的计算准确度。
虽然b的引入就范德瓦尔斯方程的改正有了重要的影响，但是它是一个经验性改正，只能考虑部分气体的相互作用。
然而，它对气体的状态和性质的描述还是有很重要的作用。
范德瓦尔斯方程需要进一步改正以考虑其他性质和状态，以使该方程成为更适用于各种气体的普遍性方程。
在研究过程中，气体的状态、性质、相互作用等影响因素应该进一步明确，以帮助改进范德瓦尔斯方程，推进气体理论及实际应用的研究。
范德瓦尔方程 常用气体 a和b
范德瓦尔方程常用于描述气体的状态方程，通过引入修正参数a和b，更准确地描述了实际气体与理想气体之间的差异。
本文将从范德瓦尔方程的历史背景、基本原理、常用气体以及参数a和b的物理意义等方面展开阐述。
一、范德瓦尔方程的历史背景1. 范德瓦尔方程的提出荷兰物理学家约翰内斯·范德瓦尔（Johannes Diderik van der Waals）于1873年提出了范德瓦尔方程，用以修正理想气体状态方程的不足之处。
范德瓦尔发现，在高压和低温条件下，实际气体与理想气体之间存在较大差异，因此他引入了修正参数a和b，使得范德瓦尔方程更适用于描述实际气体的状态。
2. 范德瓦尔方程的意义范德瓦尔方程的提出填补了理想气体状态方程在描述实际气体时的不足，为研究气体的物理性质和化学反应提供了重要的理论基础。
范德瓦尔方程的成功应用也为后来状态方程的修正和发展奠定了基础。
二、范德瓦尔方程的基本原理1. 理想气体状态方程理想气体状态方程描述了理想气体的状态与压力、体积、温度之间的关系，通常表示为PV = nRT，其中P为压力，V为体积，n为物质的量，R为气体常数，T为温度。
2. 范德瓦尔方程的修正范德瓦尔方程对理想气体状态方程进行了修正，引入了修正参数a 和b。
修正参数a反映了气体分子间由于吸引力而形成的分子间作用力，修正了理想气体方程在描述分子间相互作用时的不足；而修正参数b则反映了气体分子的实际体积，修正了理想气体方程忽略分子体积的缺陷。
三、范德瓦尔方程中常用气体1. 氢气氢气是范德瓦尔方程中常用的气体之一，其分子间随距离变化的作用力很小，因此修正参数a较小。
2. 氧气氧气的分子间作用力较大，因此修正参数a较大。
氧气分子较大，占据一定体积，因此修正参数b也较大。
3. 氮气氮气与氧气同属于常用气体，其修正参数a和b介于氢气和氧气之间，反映了分子间作用力和分子体积对气体性质的影响。
四、范德瓦尔方程中参数a和b的物理意义1. 参数a的物理意义参数a反映了气体分子间由于吸引力而形成的分子间作用力，即分子之间由于范德瓦尔斯力而产生的吸引力。
范德霍夫方程
范德霍夫方程范德霍夫方程（Van der Waals equation）是19世纪末荷兰物理学家约翰内斯·迪德里克·范德华尔斯（Johannes Diderik van der Waals）提出的一种修正理想气体状态方程，用于描述实际气体的状态。
范德华尔斯方程的形式为：(P + a/V^2)(V - b) = RT其中，P为气体的压强，V为气体的体积，T为气体的温度，R为理想气体常量。
方程中的a和b分别是常数，代表分子间相互作用力和分子体积对气体状态的修正。
在范德华尔斯方程中，第一项(P + a/V^2)修正了分子间吸引力，第二项(V - b)修正了分子体积的影响。
这样，相较于理想气体方程PV = RT，范德华尔斯方程考虑了真实气体分子间相互作用力和分子体积，更接近实际。
范德华尔斯方程可以从分子角度来理解。
分子之间存在排斥力和吸引力。
排斥力导致分子不能无限靠近，进而增加气体体积；吸引力使气体分子聚集在一起，进而增加气体的压强。
范德华尔斯方程中的参数a和b正是为了考虑这两个因素的影响。
参数a主要用于修正气体的吸引力。
在范德华尔斯方程中，气体分子间的吸引力会减小气体压强，所以要将实际压强加上一个修正项a/V^2。
参数a的大小与气体分子间的相互作用强度有关，一般情况下，极性分子作用力较强，所以a的值较大。
参数b主要用于修正气体的体积。
气体分子占据一定的体积，会减小气体的实际体积。
所以要将实际体积减去一个修正项b。
参数b的大小与气体分子体积有关，分子体积较大的气体b的值会较大。
范德华尔斯方程的好处在于适用范围较广，可以描述气体在较宽压强和温度范围内的状态。
对于低压强和高温度下，范德华尔斯方程可以退化为理想气体状态方程。
对于高压强和低温度下，范德华尔斯方程可以更准确地描述气体的状态。
然而，范德华尔斯方程仍然存在一些局限性。
首先，参数a和b是针对特定气体确定的，不同气体的分子间相互作用情况不同，所以参数a和b需要针对不同的气体进行调整。
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内部
Pi
器 壁
P
§7. 范德瓦尔斯方程 / 二、考虑分子的作用力引起的修正
Pi 为器壁内表面上单位面积上所受内部分 子的引力----内压强。
考虑到气体分子间的引力作用后，气体的 压强为外压强 P 与内压强 Pi 之和。对压 强进行修正，
P理 P Pi
1. Pi 与器壁附近单位面积上的相碰气体分 子数成正比，而这个分子数与容器中分子 数密度 n 成正比， 2. Pi 又与内部的吸引分子数成正比，而这 个分子数也正比于分子数密度 n 。
由比例式
V0
MV
有
V0
M
V
代入
(P
a
ห้องสมุดไป่ตู้
V
2 0
)(V 0
b)
RT
整理后得
范德瓦尔斯方程
(P
M2
2
a V2
)(V
M
b)
M
RT
§7. 范德瓦尔斯方程 / 二、考虑分子的作用力引起的修正
设计制作 干耀国
山东科技大学济南校区
§7. 范德瓦尔斯方程
§7. 范德瓦尔斯方程 / 一、考虑分子的大小引起的修正
P0V0 RT
V0为分子运动的空间体积，由于分子要占 据一定体积，对V0进行修正， V0修正为
V修0 正- 值b。b为分子体积的4倍，
b
4N
0
4 3
d 2
3
N0为1mol气体的分子数----阿伏加德罗常 数。
P (V0 b) RT
第八节
范德瓦尔斯 方程
§7. 范德瓦尔斯方程
对于理想气体分子间的相互作用力忽 略不计，分子的体积忽略不计；但对于实 际气体当分子数密度较大时，分子间的作 用力和分子的体积不能忽略不计。
范德瓦尔斯对理想气体状态方程从两个方 面进行修正，得出实际气体的状态方程。
一.考虑分子的大小而引起的修正
研究 1 mol的理想气体， P0 为理想气体的 压强，V0为 1 mol 气体的体积。
§7. 范德瓦尔斯方程 / 二、考虑分子的作用力引起的修正
写成等式
2
Pi
n2
N V0
Pi
1
V
2 0
Pi
a
V
2 0
修正后的1mol理想气体状态方程为：
(P
a
V
2 0
)(V 0
b)
RT
§7. 范德瓦尔斯方程 / 二、考虑分子的作用力引起的修正
不同气体在不同条件下，a、b值是不同的。
三、任意质量实际气体的状态方程
§7. 范德瓦尔斯方程 / 一、考虑分子的大小引起的修正
二.考虑分子的作用力引起的修正
由于分子间的引力存在，当一些分子
对器壁碰撞时器壁附近的一些分子对它们
存在吸引力，这个吸引力减小了它们对器
壁的冲力。
跟踪的分子除了受器壁 的作用力外----外压强P， 还要受到内部气体分子 的引力----内压强Pi 对于 理想气体只有外压强P。