反比例函数与四边形结合问题赏析
反比例函数与四边形结合问题赏析
反比例函数与四边形联袂出场的试题层出不穷.这些试题设计新颖，灵活性较强，与四边形的知识和其它数学知识结合较为紧密，综合程度高，难度较大，是增强学生的数感和符号感、培养学生利用数形结合思想进行数学探究能力的有效载体.下面以试题为例，就反比例函数与四边形结合的问题作出分析，仅供参考. 一、一支双曲线与四边形结合
例1 (2015年陕西)如图1，在平面直角坐标系中，过点(3,2)M -分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数4
y x
=的图象交于,A B 两点，则四边形MAOB 的面积为 .
图1
解析 如图1，设点A 的坐标为(,a b )，点B 的坐标为(,c d ).根据反比例函数4y x
=的图象过,A B 两点，得4,4ab cd ==. 进而得到11
2,2,33622
AOC BOD MCDO S ab S cd S ??=
====?=矩形, 所以四边形MAOB 的面积为22610AOC BOD MCDO S S S ??++=++=矩形,
故答案为10.
点评 本题主要考查反比例函数的对称性和k 的几何意义，根据条件得出
11
2,222
AOC BOD S ab S cd ??=
===是解题的关键，注意k 的几何意义的应用. 二、一支双曲线与平行四边形结合
例2 (2013年武汉)如图2，已知四边形ABCD 是平行四边形，2,,BC AB A B =两点的坐标分别是(－1 ,0) , (0,2) ,,C D 两点在反比例函数(0)k
y x x
=<的图象上，则k 的值等于 .
图2
解析 如图2，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ,CF 交AD 于M 点，过D 点作DH CG ⊥，垂足为H .
CD //AB ,CD AB = ,
CDH ∴?≌ABO ?,1,2DH AO CH OB ∴====.
设(,),(1,2)C m n D m n --，则(1)(2)mn m n k =--=, 解得22n m =-
,BC =
=
,AB =
2,BC AB ==
解得2,6m n =-=, 12k mn ∴==-.
点评 本题考查反比例函数的综合题，涉及平行四边形的性质、坐标平移及解方程的知识.解本题的关键在于两点:①设C 点的坐标，利用平移得到D 点坐标，根据反比例图象上点的坐标与k 的关系，代入反比例函数解析式得出方程;②根据2BC AB =，得到另一个方程.本题难度较大，既考查几何推理能力，又考查学生的计算能力，是一道数形结合的好题. 三、一支双曲线与矩形结合
例3 (2013年乌鲁木齐)如图3，反比例函数3
(0)y x x
=>的图象与矩形OABC 的边长AB 、BC 分别交于点E 、F ，且AE BE =，则OEF ?的面积的值为 .
图3
解析 如图3，连接OB .首先根据反比例函数的比例系数k 的几何意义，得出
1.5AOE COF S S ??==.
然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F 是BC 的中点，
则1
0.752
BEF OCF S S ??=
=. 由33139622224
OEF AOE COF BEF AOCB S S S S S ????=---=---?=矩形, 得出结果.
点评 本题主要考查反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即1
2
S k =
.
根据题中的条件和矩
形的性质，得出点F 为BC 的中点是解决本题的关键. 四、一支双曲线与菱形结合
例4 (2015年重庆)如图4，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，,A B 两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数3
y x
=的图象经过,A B 两点，则菱形ABCD 的面积为( )
(A) 2 (B) 4 (C)
(D)
图4
解析 过A 点作x 轴垂线，与CB 的延长线交于点E ，根据,A B 两点的纵坐标分别为3,1，可以求出A (3,1),B (1,3)，并有2AE BE ==.
再根据勾股定理求出AB
，利用菱形的面积公式，求出菱形面积为 应选D.
点评 本题主要考查菱形性质及反比例图象上点的坐标特征，熟悉菱形的面积公式是解题的关键.
五、一支双曲线与正方形结合
例5 (2014年济宁)如图5，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上 ,点B 、E 在反比例函数k y x
=的图象上，1,6OA OC ==，则正方形ADEF 的边长为 .
解析 先确定B 点坐标(1 ,6).
根据反比例函数图象上点的坐标特征得 到6k =, 则反比例函数解析式为6y x
=
. 设AD t =，则1OD t =+， 所以E 点坐标为(1,)t t +.
再利用根据反比例函数图象上点的坐标特征，得(1)6t t +=， 解得13t =-(舍去), 22t =.
图5
点评 本题利用正方形边长相等，建立B 点和E 点之间的关系，重点考查了反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(,x y )的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =.同时也考查用因式分解法解一元二次方程的知识. 六、两支双曲线与四边形结合
例 6 (2015年南宁)如图6，点A
在双曲线0)y x =
>上，点B 在双曲线(0)k
y x x
=
>上(点B 在点A 的右侧)，且AB //x 轴.若四边形OABC 是菱形，且60AOC ∠=?，则k = .
图6
解析 根据点A
在双曲线0)y x =>上，可设A 点坐标为
(a ) ,利用含30°直角三角形的性质求出2OA a =.
再利用菱形的性质得到B 点坐标为
(3a
可得3k a ==. 点评 此题主要考查利用待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B 点
坐标，由此即可求出反比例函数解析式， 七、两个正方形与一支双曲线结合
例7 (2011年宁波)如图7，正方形1112A B PP 的顶点1P 、
2P 在反比例函数2
(0)y x x
=>的图象上，顶点1A 、1B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上;再在其右侧作正方形2322P P A B ，顶点
3P 在反比例函数2
(0)y x x
=>的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为 .
图7
解析 过点1P 、2P 分别作y 轴的垂线1PM y ⊥轴，2P N x ⊥轴，垂足分别为,M N . 易证11PB M ?≌21P A N ?≌11
A BO ?. 设12(,),(,)P m m n P m n n ++，则有()()2m m n n m n +=+=, 所以2(2,1)P .
同理设3(2,)P a a +，则有(2)2a a +=,
解得1a =，
所以31
1)P . 点评 本题考查反比例函数图象上点的坐标的特点，即横坐标、纵坐标之积为定值k ;也考查了正方形的性质、三角形的性质和判断，以及解一元二次方程的知识.
反比例函数四边形.doc
智谷教育辅导学案 Education Change Tlie Future 姓 名； 门淇琪 ;年 级 初三 性 别1 女 讶斗 目 数学 教 师i i 授课时间i 15.4.30 课 时1 19:00 ? ［备课时间； 教学课题反比例函数与四边形 ■ ■■■■■■■■■■（ \ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----- ------------------------------------- 教学目标 教学内容 反比例函数 k k y 二 1-定义：一般地，形如 二— y —— 兀（R 为常数，的函数称为反比例函数。 兀述可以写成 y = kx^} 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数A ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数殳（也叫做比例系数比）， 分母中含有自变 量％,且指数为1? ⑵比例系数2 0 ⑶自变量兀的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以0为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） k y =— ⑵反比例函数的图像是双曲线， X （￡为常数，PH °）中自变量XH0,函数值yH°, 所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与 坐标轴相交。 智谷教育 ZHIGU EDUCATION Quilin institute Of Zhigu Education 皆谷教肓，快乐学习，健康成长 One To One
二次函数中考平行四边形含答案
二次函数（平行四边形） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1， 把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m2+m+4， ∴y=﹣?++4， ∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4， ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4， 把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： ﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： m+4=﹣m2+m+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．
反比例函数与等腰三角形
反比例函数与等腰三角形 【例题讲解】例1：如图，直线y=kx-2k 交坐标轴于A ，B 两点，P （m,n ）为直线上一点，且满足m 2+n 2-2m+4n+5=0. （1）求m ，n ，k 的值； （2）Q 为双曲线y= x 10（x ＞0）上一点，且∠APQ=45°.求Q 点坐标. 例2：如图，已知A （1,0），C （0，-3），将△AOC 沿AC 翻折得到△ACE ，AE 所在的直线交双曲线y=- x 29于M ，N 点，试求M ，N 的坐标. 例3：如图，y=-5x+5与坐标轴交于A ，B 两点，△ABC 是以AB 为底边的等腰直角三角形，双曲线y=x k （x ＜0）经过C 点. （1）求k 的值. （2）如图，P 为x 轴上的点，△PAC 为等腰三角形，请求出所有可能的P 点.
【巩固练习】 1. 如图，直线y=2x-4分别交坐标轴于B ，A 两点，交双曲线y=x k （x ＞0）于点C ，且S △AOC=8. （1）求双曲线的解析式； （2）在C 点右侧的双曲线上是否存在点P ，使∠PBC=45°？若存在，求P 点坐标；若不存在，说明理由. 2. 如图，y=-2x+4交坐标轴于A ，B 两点，交y=x k （x ＜0）于C 点，△OAC 的面积为6. （1）求k 的值. （2）如图，D 为反比例函数上另一点，连CD ，过D 作DE ⊥CD 交x 轴于E 点，且CD=ED ，求E 点坐标. 3.如图，已知正比例函数y=ax 与反比例函数y=x k （x ＞0）的图象交于点A （3,2）. （1）求上述两函数的解析式； （2）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一个动点，其中0＜m ＜3.过点M 作直线MB ∥x 轴交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D.若四边形OADM 的面积为6，求M 点坐标. （3）探索：x 轴上是否存在点P ，使△OAP 是等腰三角形？若存在，求出所有可能的点P ；若不存在，说明理由.
(完整版)一次函数与特殊四边形存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
(第23题)反比例函数与特殊四边形相结合的题
1.如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将 所在的直线绕着原点 逆时针旋转 度角后的图形,若它与反比例函数 的图象分别交 于第一.三象限的点B.D,已知点 (1)直接判断并填写:不论 取何值,四边形 的形状一定是____________ (2)①当点B 为 时,四边形 是矩形,试求 的值. ②观察猜想:对①中的 值,能使四边形 为矩形的点B 共有几个? (3)试探究:四边形 能不能是菱形?若能,直接写出B 点坐标;若不能,说明理由 2.如图,已知反比例函数 与直线 交于A,B 两点,点A 在第一象限,试回答下列问题: (1)若点A 的坐标为(4,2),则点B 的坐标为_______ 若点A 的横坐标为 ,则点B 的坐标可表示为_________ (2)如图,过原点O 作另一条直线,交反比例函数 于P.Q 两点,点P 在第一象限. ①说明四边形 一定是平行四边形; ②设点A,P 的横坐标分别为 ,四边形 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出 应满足的条件;若不可能,请说明理由. ABCD ABCD αx y 3 =) 0,)(0,(),0,(>-m m m C m A 且是常数αABCD )1,(P ABCD m m P 和α,轴x o n m ,)0(>=k x k y x k y ' =m )0(>=k x k y APBQ APBQ n m ,
3.如图,已知点 是反比例函数 图象上的动点, 分别交反比例函数 的图象于A,B 两点,点C 为直线 上一点. (1)请用含 的式子分别表示P.A.B 三点坐标; (2)连接AB,在P 点运动过程中 的面积是否变化?若不变,请求出 ,若改变,请说明理由; (3)在点P 运动过程中,以点P.A.B.C 为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,请直接写出P 点坐标,若不能,请说明理由. 4.如图,正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 (1)填空 (2)关于 的不等式 的解集为 _________ (3)将直线 向上平移若干个单位后,与第一象限双曲线交于点B,与 轴交于点 ,过B 作 交OA 于点D,若四边形 是菱形,求C 点坐标 ),(n m p )0(6 >=x x y 轴轴y PB x PA //,//)0(3 >=x x y m PAB ?PAB S ?x y 2=x OA y C 轴y BD //BCOD )3,3(A ax y =x k y =_________; ________==k a 0>-x k ax
二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2
∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；
数形结合在函数中的应用汇总
数形结合在函数中的应用 四川省乐至中学唐贤国 教学目标：1、知识目标 1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图象的性质． 2）了解数形结合在解决函数问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决． 2、能力目标 1）掌握用初等函数的图象来处理函数问题，培养用函数图象解决问题的意识．掌握运用图象将代数问题转化为几何问题的 技巧． 2）通过运用数形结合解题，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法． 3、情感目标 通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神， 培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到 一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想． 教学重点：利用基本初等函数的图象将函数问题转化为几何问题．（以形助数） 教学难点：利用图象转化函数问题，在代数与几何的结合上去找出解题思路．教学方法：启发式教学． 教学过程 一、新课引入
1）提问：上述四个函数图象分别对应于四个函数y = x 2 , y = 2x , y=0.5x , y= log 2 x 中的哪一个? 2）说明上述四种函数及图象代表了几类基本函数的基本图象． 3）强调：作出简图时要注意到函数的性质在其图象上的体现，比如特殊的点、 线（对称轴、渐进线）。 2．几种常见的图象变换（提问） 平移变换、伸缩变换、对称变换． 3．说明函数图象的作用：它直观地体现了函数的变化状况和函数的各种性 质（奇偶性、单调性和周期性等）．许多函数问题大多可以从函数的图象中得到直观地解释或形象地提示解决问题的方法． 二、 基础训练题组 1．函数 31)1(+=x y 的反函数的图象不经过第______象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 分析：正确作出函数的图象是本题的关键所在．由于它是复合函数， 其图象需要由基本函数的图象作适当的变换得到．（提问学生：如何作出图象？本题有2种变换方法，可启发学生思考．） 方法二：先求出反函数，再作其图象．31)1(+=x y 的反函数为13-=x y 。
反比例函数和相似三角形综合检测卷
九年级下数学第一次月考测试题 ：_________ 成绩：_________ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分,请将正确选项填入下列答题框内） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．下列函数中，反比例函数是（） A．2 y x =- B. 1 1 y x = + C.3 y x =- D. 1 3 y x = 2．如果 3 2 a b =,那么 a a b+ 等于( ) A． 3 2 B． 5 2 C． 5 3 D． 3 5 3．矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（） 4．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC=（） A． 2 1 B． 3 1 C． 3 2 D． 4 1 5．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ) 6．已知反比例函数()0 k y k x =<的图象上有两点A（ 1 x， 1 y），B（ 2 x， 2 y），且 12 x x <，则 12 y y -的值是（）A．正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定 7．如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数)0 (< =x x k y的图象上．则反比例函数的解析式是（） A． x y 4 =B． x y 2 = C． x y 2 - =D． x y 4 - = 8．函数y1= x k 和y2=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A B C O x y
9．如图，在△ABC 中，0 90=∠BAC ,AD ⊥BC 与D ，DE ⊥AB 与E ，若AD=3，DE=2，则AC=（ ） A ． 2 21 B ．215 C ． 2 9 D ．15 10．如图，点M 是△ABC 内一点,过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边,所形成的三个小三角形1?,2?,3?(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC 的面积是( ) A ．81 B ．121 C ．124 D ．144 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 12．若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，AB=2，则AP= ．（保留根号） 13．点A (2，1)在反比例函数y k x = 的图像上，当y<2时，x 的取值范围是 ． 14．反比例函数2 2 )12(--=m x m y ，在每个象限内,y 随x 的增大而增大，则m 的值是 ． 15．如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________． 16．如图，将△ABC 沿EF 折叠，使点B 落在边AC 上的点B ’处,已知 AB=AC=3,BC=4，若以点B ’, F, C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么BF 的长 是 ． 三、解答题：（本题有8小题，共66分） 17．（本小题6分）一定质量的氧气，其密度ρ(kg/m 3,）是它的体积v (m 3,）的反比例函数．当V=10m 3 时ρ＝1.43kg/m 3. （1）求ρ与v 的函数关系式； （2）求当V=2m 3时，氧气的密度． 18．（本小题6分）如图，已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，点E 在AC 边上，且∠AED=∠ADB 。 求证：（1）△ABD ∽△ADE ； C A E B'
收集反比例函数与三角形四边形的面积等
反比例函数比例系数k与图形面积经典专题 知识点回顾 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下： 利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 类型之一k与三角形的面积 k（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，※1、如图，已知双曲线y= x 与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为6，则k=______． 最佳答案 过D点作DE⊥x轴，垂足为E， 1k, 由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 2
∵DE⊥x轴，AB⊥x轴， ∴DE ∥ AB， ∴△OAB ∽△OED， 又∵OB=2OD， ∴S △OAB =4S △DOE =2k， 由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，1k=6， 得2k- 2 解得：k=4． 故答案为：4．
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，
一次函数与四边形问题
一次函数与四边形问题 例1、（2009春?静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求直线BD的表达式． 练习1．（2010秋?常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b 的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D． （1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）； （2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由． （3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k 的取值范围是．
2．（2012?绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式； （3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 3、（2014?温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒． （1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标； （2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为S． ①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值； ②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．
反比例函数难题(含标准答案)
反比例函数典型例题
2 （x＞0）的图象上，顶点 A1、B1 分别在 x 轴、y 轴的 x 2 正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 x
1、（2011?宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y= P2 点的坐标为___________，则点 P3 的坐标为__________。
答案：P2（2，1） P2（ 3 +1， 3 -1）
2、已知关于 x 的方程 x +3x+a=0 的两个实数根的倒数和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）x +3x-2a=0 有实根，且 k 为正整
2
2
数，正方形 ABP1P2 的顶点 P1、P2 在反比例函数 y= 点 P2 的坐标．
k ?1 （x＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，求 x
答案：（2，1）或 （ 6 ，
6 ） 2
3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC 的边长为 2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标．
答案：（1） y=
4 x
(2) ( 5 ? 1 , 5 - 1 )
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3 6 ，y= 在第一象限内的图象如图所示，点 P1、P2 在反比例函数图象上，过点 P1 作 x 轴的平行线 x x 3 与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好在 y= 的图象上，则 NP1 与 NP2 的乘积是______。 x
4、两个反比例函数 y= 答案：3
答案：3 5、（2007?泰安）已知三点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函数 y= 则下列式子正确的是（ A．y1＜y2＜0 ）答案：D C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
k 的图象上，若 x1＜0，x2＞0， x
B．y1＜0＜y2
6、如图，已知反比例函数 y=
1 的图象上有点 P，过 P 点分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，使四边形 OAPB x
为正方形，又在反比例函数图象上有点 P1，过点 P1 分别作 BP 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A1、B1，使四边形 BA1P1B1 为 正方形，则点 P1 的坐标是________。
答案： ? 7、在反比例函数 y=
? 5 ? 1 5 -1 ? ? ? 2 ，2 ? ? ?
1 （x＞0）的图象上，有一系列点 P1、P2、P3、…、Pn，若 P1 的横坐标为 2，且以后每点的横坐标与 x
它前一个点的横坐标的差都为 2．现分别过点 P1、P2、P3、…、Pn 作 x 轴与 y 轴的垂线段，构成若干个长方形如图所 示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 S1、S2、S3、…、Sn，则 S1+S2+S3+…+S2010=________。
答案：1 8、如图，四边形 ABCD 为正方形，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且 OA=2，OB=4，反比例函数 y= 限的图象经过正方形的顶点 D． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移_____个单位长度时，点 C 恰好落在反比例函数的图象上．
k (k≠0)在第一象 x
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二次函数与四边形判定
二次函数与特殊四边形判定 ★1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ， D 是抛物线W 的顶点. (1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线 W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标； (2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
★2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(－1，0)、B(0，1)，且与x轴有唯一交点. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边)，当∠CBD＝90°时，求m的值； (3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
★3.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)求抛物线的表达式； (2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积； (3)是否存在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点在过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由.
★4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE的边AB在x轴上，A(－1，0)，OB＝4OA，OE＝2，抛物线C经过△ABE的三个顶点． (1)求抛物线C的表达式； (2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′，使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，试求点M的坐标及m的值； (3)若点P是抛物线C′上一点，Q是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图
(完整)反比例函数与三角形
(完整)反比例函数与三角形 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)反比例函数与三角形）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)反比例函数与三角形的全部内容。
反比例函数与三角形 1、如图，、都是等腰直角三角形、在函数（)的图像上,斜边、 、都在轴上，则点的坐标__________ 2、如图所示,，……，在函数，，，…,，…都是等腰直角三角形,斜边轴 上，则__________ 3、如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与y= C 点作 CE ⊥y 轴，垂足为E 点，S △BDE = 错误!，则k=__________ 4、如图,直线y=x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B C 、D 两点，E 是点C 关于点A 的中心对称点，EF ⊥OA 于F,若△AOD 错误!时，则k=__________ 11POA ?212PAA ?1P 2 P 4 y x = 0x >1O A 12A A x 2A ()()111222P x y P x y ，，，()n n n P x y ，9 y x =11212PAA ?323PA A ?1n n n PA A -?1121n n -12n y y y +++=…
5、如图，反比例函数y=错误!(k<0)与直线y=x+4交于C 、D 两点，S △OCD=2S △AOC,则k= 6、如图,直线y=—x+b 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，与双曲线y= 错误!相交于C 、D 两点，当S △BOC + S △AOD= S △COD 时，b= 7、如图，直线y=—2x-2分别与两坐标轴交于A 、B 两点，C 为双曲线AC 交y 轴于点D ，且D 为AC 的中点，若△ABC 的面积为5 2 ，则k= 8、如图，直线y=–错误!x 与双曲线y= 错误!交于A 、B 两点，C(5，0)为x 轴正半轴上一点，若∠ACB=90°，则k=
一次函数与四边形存在性问题
一次函数与四边形存在性问题 1、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合， AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。 （1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若 不存在，请说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。 (2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出 此时点Q的坐标． (3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、 Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写 出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动 点．过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与X?轴所形成的两个角的平分线于点E、F． （1）求证：EB=BF； （2）当O B O A 为何值时，四边形AEOF是矩形？并证明你的结论； （3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标；?若不存在，请说明理由．
反比例函数与平行四边形
反比例函数与平行四边形 例2、（08威海市）如图3－1，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x k y = 的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． 分析：点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x k y =的图象上，所以有)1)(3()1(-+=+m m m m k =，解得12,3==k m 。 于是点A(3, 4), B(6, 2), 过A 、Ｂ两点分别作X 、Y 轴的垂线，垂足分别是M 、N,如图3－2，显然AM 和BN 互相平分，因此四边形ABMN 是平行四边形。这个平行四边形恰是符合题意的四边形。 因为M （3，0），N （0，2），根据待定系数法可求出直线MN 的解析式为23 2+-=x y . 注意应用反比例函数的另一个表达形式)0(≠=k k xy 。根据点的坐标在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。如果直接把点的坐标代入解析式x k y =中，有m k m =+1和3 1+=-m k m ，由此求m 和k 容易出错。反比例函数的另一个表达形式是)0(≠=k k xy 即两个变量的积一定。据此得)1)(3()1(-+=+m m m m k =，求m ，k 的值就比较简单。（2）以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，同学们往往盲目的在坐标轴上寻找点M 和点N, 当我们由m 的值写出了点A 点Ｂ的坐标A(3, 4)、B(6, 2), 并且在坐标轴上标出对应的坐标时，不难发现AM 和BN 互相平分，由此M 和N 点的确定使人大有“踏破铁鞋无处觅，得来全不费工夫”的感觉，真爽。 点评: 本例题把反比例函数图象与性质与一元二次方程、平行四边形性质判定结合
(完整版)二次函数中平行四边形通用解决方法
●探究 （1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________； ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________； （2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程； ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。 ①求出交点A，B的坐标； ②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。
图 2 图 3 图1 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2 21y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P = 2 21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点， ∴E 点坐标为(2C A x x +,2 C A y y +). 又∵点E 为B D 的中点， ∴ E 点坐标为( 2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ．
函数不等式中的数形结合
函数不等式中的数形结合 【知识要点】 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了． 解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法．函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法． 解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路． 【问题研究】 1． 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示， 则b 的取值范围是（ ）A （A ）)0,(-∞∈b （B ）)1,0(∈b （C ）)2,1(∈b （D ）),2(+∞∈b 2．在直角坐标系中,函数2 23 a x a y += )0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( )A 3．设()?? ?<≥=1 , 1, 2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是（ ）C A.(][)+∞-∞-,11, B.(][)+∞-∞-,01, C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 分析：本题为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值， 结合函数的图象，可以求得()x g 的值域． 解：作出函数()f x 的图象如图所示，由图知 当(] [),10,x ∈-∞-+∞时，函数()f x 的值域
反比例函数与三角形
X 反比例函数与三角形 1、如图，11POA ?、212P A A ?都是等腰直角三角形1P 、2P 在函数4 y x =(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，则点2A 的坐标__________ 2、如图所示，()()111222P x y P x y ，， ，，……，()n n n P x y ，在函数()9 0y x x =>的图象上，11OP A ?，212P A A ?，323P A A ?，…，1n n n P A A -?，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…__________ 3、如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与y= k x 相交于C 、D 两点，过C 点作 CE ⊥y 轴，垂足为E 点，S △BDE = 3 2 ，则k=__________
X X X 4、如图，直线y=x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与y= k x (x<0)的图像交于C 、D 两 点，E 是点C 关于点A 的中心对称点，EF ⊥OA 于F ，若△AOD 的面积与△AEF 的面积之和为 7 2 时，则k=__________ 5、如图，反比例函数y=k x (k<0)与直线y=x+4交于C 、D 两点，S △OCD=2S △AOC ，则k= 6、如图，直线y=-x+b 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，与双曲线y= 2 x 相交于C 、D 两点，当S △BOC + S △AOD= S △COD 时，b=