间接证明--反证法
反证法
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于
否定词
不等于 不是
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 存在某x, 成立
对所有x, 存在某x， 对任何x， 不成立 成立 不成立
写出下列结论的反面情况：
（1）ab； （5）∠A是锐角；
写出下列结论的反面情况： （6）三角形的外角中，至少
有两个钝角.
（7）三角形中最多有一个角
是直角.
试一试
求证：在一个三角形中， 至少有一个内角小于或等 于60°. A
反思与收获
1、你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
推理 合情推理 （归纳、类比） 证明 直接证明 （分析法、综合法） 间接证明 （反证法） 演绎推理 （三段论）
数学—公理化思想
推理方法?
王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
概念形成
事实：树上结满 已知：树上有李 反证法的步骤 了李子 求证：李为苦李 假设结论不成立 小朋友问：为什 么李苦 王戎：假如李子 不苦 则早被路人摘光 所以一定是苦的 证明：假设李不 苦 则早被路人摘光 与已知树上有李 矛盾 所以李为苦李 2从这个假设出 发，经过推理论 证，得出矛盾 3由矛盾判定假 设不正确，从而 肯定命题的结论 正确
间接证明之反证法
两个正整数m,n
互质,是指m ,n 的最 大公约数是1,即
m,n 1.
从而有 m 2n,因此 m2 2n2,所以 m 为偶数.
于是可设 m 2kk是正整数 ,从而有4k2 2n2,
即n2 2k2,所以n也是偶数 .这与m,n互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错 误,从而 2是无理数.
正是 2的发现,使人们认识到在有理数之 外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无 理数;从而引发了数学史上的第一次危机, 大大推动了数学前进的步伐.
归纳总结
2、哪些命题适宜用反证法证明？ （1）至多，至少型命题 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 等
正难则反!
归纳总结
3、反证法的一般步骤是什么？
反设
归谬
不假
成设
引
立命 题Βιβλιοθήκη 从假设出发出 矛的
盾
结
论
结论
求
假
设 不
得出结论
成
立
证 的 命 题 正 确
归纳总结
4、归谬矛盾的类型有哪些?
（1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾或自相矛盾; （3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
典例剖析
例1：
证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”， “不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……” 等) 常用反证法
典例剖析
例2：
已知 a、b、c 都是正数，求证：a 1 ,b 1 , c 1 bca
间接证明(反证法)
布置作业: 布置作业:
见数学作业本
定理 求证:在同一平面内 如果两条直线都和第三 求证 在同一平面内,如果两条直线都和第三 在同一平面内 条直线平行,那么这两条直线也互相平行 那么这两条直线也互相平行. 条直线平行 那么这两条直线也互相平行 (1)你首先会选择哪一种证明方法 你首先会选择哪一种证明方法? 你首先会选择哪一种证明方法 (2)如果你选择反证法 先怎样假设 结果和什 如果你选择反证法,先怎样假设 如果你选择反证法 Ｐ
[能力测试] 能力测试]
写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
变式训练
1、“a＜b”的反面应是（ D 、 的反面应是（ ＜ 的反面应是 ） （A）a≠＞b（B）a ＞b （C）a=b ） ＞ （ ） ） （D）a=b或a ＞b ） 或 2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时 、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角” 应假设______________________________________ 应假设 假设三角形中有两个或三个角是直角
1.反设（否定结论）； 2.归谬（利用已知条件和反设，已学过的公理、定理、定义、 法则，进行推理，得出与已学过的公理、定理、或与已知条件， 或与假设矛盾）； 3.写出结论（肯定原命题成立）。
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3Ｐ 已知 如图， 如图 求证： l１∥l３ 求证： 证明：假设l 不平行l 相交， 证明：假设 １不平行 ３，则l１与l ３相交， 设交点为Ｐ，∵l１∥l２ ,l ２ ∥l ３ 设交点为Ｐ，∵ Ｐ，
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立, 在证明一个命题时 人们有时先假设命题不成立 人们有时先假设命题不成立 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 从这样的假设出发 经过推理得出和已知条件矛 或者与定义,公理 定理等矛盾 从而得出假设 盾,或者与定义 公理 定理等矛盾 从而得出假设 或者与定义 公理,定理等矛盾,从而得出 命题不成立是错误的 即所求证的命题正确.这种 是错误的,即所求证的命题正确 命题不成立是错误的 即所求证的命题正确 这种 证明方法叫做反证法 反证法. 证明方法叫做反证法
间接证明--反证法
例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1a)b, (1b)c, (1c)a,不可能同时大于
3.教学难点：反证法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子
例1、求： 不是有理数
例2、已知 ，求证： （ 且 ）
例3、设 ，求证
课后作业：第84页4、5、6
教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反证法
这些都同已知条件a b 0矛盾, 所以 a b
求证：若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. (x-a)(x-b)=0 x=a 或______________, 证明 假设_________ x=a x=b 由于____________ 时,_________,
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
2
6
, 求证 : a, b, c中至少有一个大于 0.
练4 : 若p1 p2 2(q1 q2 ), 证明: 关于x的方程 x 2 p1 x q1 0与x 2 p2 x q2 0中至少有一个有实根 .
“不能不” 法
反证
通常的证明方法： “对”
矛盾
“不对”
1、反证法的基本思路 2、反证法的一般步骤 3、反证法是间接证明 4、反证法作用
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）可能与临时假设矛盾； （4）自相矛盾。
反证法的一般适用情形： （1）结论为否定性命题； （2）结论为“至少”、“至多”类命题； （3）结论为 “唯一”类命题； （4）结论为 “有无穷多个”类命题。
已知：在⊙O中,AB,CD为圆的两条相交弦,且不 全为直径.求证AB,CD不能互相平分 证明 假设AB,CD互相平分,则ACBD
x=b 时,_______________, (x-a)(x-b)=0 又_________
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
x ≠a 且 x ≠b 所以________________.
练3 : 若a, b, c均为实数, 且a x 2 y
2
2
, b y 2z
2
3
,
c z 2x
2.2.2反 证 法
2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果x1－x2＞0，则2x1－x2 ＞1，这与2x1－x2＝1相矛盾；
如果x1－x2＜0，则2x1－x2＜1，这也与2x1－x2＝1相矛盾，因 此，x1－x2＝0，即x1＝x2，这与x1≠x2矛盾，所以方程2x＝3有且 只有一个根．
当正面入手较困难时，宜用反证法 已知，α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，c∥a.
求证：b，c为异面直线．
证明：假设b，c不是异面直线，即b，c共面， 则b，c相交或平行． (1)若b∩c＝P，已知b⊂β，c⊂α，又α∩β＝a 则P∈b⊂β，且P∈c⊂α，从而，交点P一定在平面α，β 的交线上，即P∈a，于是a∩c＝P，这与已知c∥a矛盾，因此 b，c不相交．
分析：如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两 个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证 明两个分式都不小于2是不可能的．于是考虑采用反证法．
1＋x 1＋y 1＋x 1＋y 证明： 假设 y ， x 都不小于 2，即 y ≥2， x ≥2.
因为x＞0，y＞0所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x. 把这两个不等式相加，得2＋x＋y≥2(x＋y)，
ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ1＝4b2－4ac＜0.
同理，Δ2＝4c2－4ab＜0，Δ3＝4a2－4bc＜0，
则Δ1＋Δ2＋Δ3＜0，即 Δ1＋Δ2＋Δ3＝4a2＋4b2＋4c2－4ab－4bc－4ac ＝2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2＜0， 这与2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2≥0相矛盾，故假设错 误．
比数列． 分析：因为结论是否定的，所以用反证法证明．
证明：假设{cn}是等比数列，则c22＝c1c3，即 (a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)， 展开并整理得a1b1(p－q)2＝0.
第3章反证法
§4 反证法1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．2．理解反证法的概念及思考过程和特点．(难点)3．掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 反证法阅读教材P65～P67“练习”以上内容，完成下列问题．1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2．反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图3-4-1表示：→→→图3-4-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．( )【解析】 (1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法．(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小组合作型]用反证法证明否定性命题 等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋，S3＝9＋3. 【导学号：67720020】(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝(n∈N＋)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【精彩点拨】 第(1)问应用a n＝a1＋(n－1)d和S n＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项b p，b q，b r成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】 (1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知得∴d＝2，故a n＝2n－1＋，S n＝n(n＋)．(2)证明：由(1)得b n＝＝n＋.假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝b p b r，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N＋，∴∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．3．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在[再练一题]1．已知方程f(x)＝a x＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．【证明】 假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝－.又当x0<0时，0<ax0<1，故0<－<1，即0<－1＋<1,1<<2，解得<x0<2.这与x0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．用反证法证明“至多”“至少”问题 已知x，y，z均大于零，求证：x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4.【精彩点拨】 本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明．【自主解答】 假设x＋，y＋，z＋都小于4，即x＋<4，y＋<4，z＋<4，于是得＋＋<12，而＋＋＝＋＋≥2 ＋2 ＋2 ＝12，这与＋＋<12矛盾，因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4.1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q[再练一题]2．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.【证明】 假设与都不小于2，即≥2，≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾，∴假设不成立，原命题成立．故与至少有一个小于2.[探究共研型]用反证法证明“唯一性”命题探究1 用反证法证明数学命题的步骤是什么？【提示】 (1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果．(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．探究2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】 假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点． 已知一点A和平面±.求证：经过点A只能有一条直线和平面±垂直．【精彩点拨】 【自主解答】 根据点A和平面±的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①，点A在平面±内，假设经过点A至少有平面±的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面²，平面²和平面±相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面±，AC⊥平面±，a*±，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面²内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．①(2)如图②，点A在平面±外，假设经过点A至少有平面±的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面²，平面²和平面±相交于直线BC，因为AB⊥平面±，AC⊥平面±，BC*±，所以AB⊥BC，AC⊥BC.②在平面²内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有一条直线和平面±垂直．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．[再练一题]3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[构建·体系]1．应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是( )①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．②③C．①②③ D．①②④【解析】 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义等”作为条件使用．【答案】 C2．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】 不全为0即至少有一个不为0，故选D.【答案】 D3．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是( )A．a<b B．a≤bC．a＝b D．a≥b【解析】 “大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.【答案】 B4．用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________．【解析】 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”．【答案】 a，b，c中至少有一个偶数5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，则”1＝4b2－4ac≤0，”2＝4c2－4ab≤0，”3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
北师大版选修1-2--第三章-4-反证法----课件(22张)
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目标导航
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.了解反证法的思考过程、特点.
知识梳理
1.反证法的定义
(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必
居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推
出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛
盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断
定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
(2)反证法是一种间接证明的方法.
【做一做1】 在应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列可以作
为条件使用的是(
)
①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、
定义等;④原结论.
A.①②
B.①②④
至少有 n 个 至多有 n-1 个
都是
不都是
至多有 n 个 至少有 n+1 个
是
不是
p或q
p 且q
p且q
p 或q
只有一个
反设词
没有或至少
有两个
知识梳理
【做一做2】 命题“在△ABC中,若A>B,则a>b”的结论的否定应该
是(
)
A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b
答案:B
【做一做3】 用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”
1
故假设不成立,即函数 f(x)=2x+1除 − 外没有零点.
2
综上所述,函数 f(x)=2x+1 有且只有一个零点.
典例透析
题型一
题型二
题型三
间接证明反证法(上课)
注意结论的正确性验证
结论应当是正确的， 能够符合已知事实和 推理规则。 结论的验证可以通过 实践检验或其他证明 方法来完成。 如果结论存在错误， 应当分析错误原因， 重新审视假设和推理 过程，并修正结论。
总 结 与 展 望
总结间接证明反证法的原理与方法
间接证明反证法的原理
间接证明反证法是一种通过否定假设来证明命题的方法。其基本原理是，如果一个命题的否定会导致 矛盾，那么该命题就是正确的。这种方法通常用于证明存在性或唯一性命题。
例如，在证明一个命题的逆否命题 时，可以使用排除法来证明原命题 的正确性。
反证法与排除法的结合使用
反证法是一种常用的间接证明方法，其基本思想是通过假设某 一结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论的正确性。 在使用反证法时，常常需要结合排除法来排除一些不可能的情 况，以减少推导的复杂度。 例如，在证明一个命题的逆否命题时，可以先假设原命题不成 立，然后结合排除法来推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
推导
假设
在反证法中，假设是对原命题的否定，是 反证法的起点。假设应该尽可能明确、具 体，以便于后续的推理和计算。
间 接 证 明 巧的 方 法 与 技
排除法是一种常用的间接证明方法， 其基本思想是通过排除不可能的情 况，来证明某一结论的正确性。
排除法
在使用排除法时，需要全面考虑所 有可能的情况，并逐一排除，直到 只剩下一种可能，从而证明结论的 正确性。
间接证明中的逻辑推理
在间接证明中，逻辑推理是非常重要的。
逻辑推理包括演绎推理、归纳推理和类比推理等，这些推理方法在间接证明中都有 广泛的应用。
在使用逻辑推理时，需要注意推理的严密性和准确性，以避免出现逻辑错误或漏洞。
反证法
反证法（一）什么叫反证法反证法是一种间接证明方法．它先假设“结论”不成立，然后把“结论”的反面当作已知条件，进而运用数学知识进行正确的逻辑推理，得出与题设或已知的公理、定义、定理相矛盾的结论，从而说明假设不成立，即原“结论”成立．这种先驳倒“结论”反面，尔后肯定“结论”本身的证明方法叫做反证法．当“结论”的反面只有一个时，这种反证法又叫做归谬法；当“结论”的反面不只一个时，这种反证法又叫做穷举法．是证明与原命题等价的逆否命题．（二）哪些题型宜用反证法反证法是证明数学命题的一种重要方法，是数学家的一个精良武器．一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用反证法去证．在立体几何中，常用反证法证明的题型有：1．证明两条直线是异面直线证：b、c是异面直线．【证明】如图1-7．假设b、c不是异面直线，则b、c共面．这就说明假设不成立，故b、c是异面直线．【解说】证明两条直线异面，一般用反证法去证．2．证明否定型命题例2 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是锐角三角形，求证：点A在平面PBC内的射影H不可能在边BP或PC的高线上．【证明】如图1-8．假设H在PB边的高线CF上．这与已知条件∠BAC是锐角矛盾．这说明假设H在边PB的高线CF上不成立，∴ H不可能在边PB的高线上．同理，H也不可能在边PC的高线上．例3 已知：a、b是异面直线．求证：不存在一个平面与a、b都垂直．【证明】假设存在一个平面β与a、b都垂直，则这就说明假设不成立，故原命题成立．【解说】以上两个例题都属于否定型命题．否定型命题是指“结论”以否定论断形式出现的命题，例如，命题的结论是“不可能……”，“不是……”，“不存在……”等．这类命题用直接法去证很难奏效．因否定论断的反面是肯定论断，故用反证法去证思路自然，容易进行逻辑推理，3．证明平行例4 已知：b、c是异面直线，bα，cβ，c∥α，b∥β．求证：α∥β．【分析】假设aβ，则α与β重合或相交．若α与β重合，则b、c共面，这与b、c异面矛盾．若α与β相交（如图1-9），则由直线与平面平行的性质和三线平行公理，可得b∥c或b与c重合，这与已知矛盾．【证明】假设αβ，则α与β重合或相交．当α与β重合时，当α与β相交时，设α∩β=m（如图1-9），这与b、c异面矛盾．于是假设不成立，故α∥β．4．证明相交例5 已知： PA⊥α，PB⊥β，A∈α， B∈α，且A、B不重合（如图1-10）．求证：α与β相交．【分析】假设α与β不相交，则α与β重合或平行．若α与β重合，则由PA⊥α、PB⊥α和A、B不重合，可得过一点有两条直线都垂直于同一平面，这是不可能的．若α∥β，则由PB⊥β可得PB⊥α，从而PA、PB都垂直于α，这是不可能的．【证明】假设α与β不相交，则α与β重合或平行．当α与β重合时，当α∥β时，于是假设不成立．故α与β相交．5．证明直线在平面内例6 已知：直线b∥平面α，点A∈α，点A∈直线c，又b∥=c′．6．证明唯一性命题例7 已知：直线b不垂直于平面α．求证：过b有且只有一个平面与α垂直．【分析】这是一个唯一性命题，其证明可分两步进行：先证存在性，即过b 有一个平面与α垂直；再证唯一性，用直接法证明“只有一个”不好下手，我们用反证法，假设还有一个平面垂直于α，去寻找矛盾．【证明】如图1-12．（2）假设过b不只一个平面垂直于α，可设β以外还有平面γ⊥α．从而假设不成立，所以只有一个平面垂直于α．于是由（1）、（2）可知，原命题成立．【解说】以上给出了常用反证法证明的六种题型，除此之外，还有“至少”、“至多”类命题、某些命题的逆命题等都可用反证法去证．。
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则三式相乘：ab < (1a)b•(1b)c•(1c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1∴
同理： ,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证明：假设 ，则有 成立。
例4、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不小于 .
证明：假设 都小于 ，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
课后作业：第84页4、5、6
教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
课题：间接证明--反证法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1a)b, (1b)c, (1c)a,不可能同时大于
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子
例1、求证： 不是有理数
例2、已知 ，求证： （ 且 ）
例3、设 ，求证
证：设a < 0,∵abc > 0,∴bc < 0
又由a + b + c > 0,则b + c =a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
巩固练习：第83页练习3、4、5、6
3.教学难点：反证法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。