福建省三明市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题

三明市2017—2018学年第二学期普通高中期末质量检测高二理科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上.1.定积分211dx x=⎰（ ） A ．ln 21- B ．ln 2 C ．54-D ．342.在“矩形ABCD ，AC ，BD 是它的两条对角线，则AC BD =”的推理过程中，大前提是（ ） A ．矩形ABCD B ．AC ，BD 是矩形的两条对角线 C ．AC BD = D ．矩形的两条对角线相等3.（A ）（4-4：坐标系与参数方程）参数方程00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r ≠）和参数方程1cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、直线D ．圆、圆 （B ）（4-5：不等式选讲）若,a b R +∈，且1a b +=，则1149a b+的最小值为（ ） A ．125 B ．5 C ．2536D ．25 4.设随机变量(,4)N a ξ，若(1)(5)P P ξξ>=<，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15.若函数2()ln f x x x a x =++在区间(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≥- B ．3a <- C ．3a ≤- D ．3a >-6.为了解班级前10号同学的作业完成情况，随机抽查其中3位同学，相邻两个号数不同时抽查，则不同的抽查的方法数为（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 7.（A ）（4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） AB（B ）（4-5：不等式选讲）若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b b a ->-B ．22c c a b< C2ab a b ≥+ D ．33a b a a b b +>+ 8.在某场考试中，同学甲最后两道单项选择题（每题四个选项）不会解答，分别随机选择一个选项作为答案，在其答对了其中一道题的条件下，两道题都答对的概率为（ ）A ．116 B ．17 C ．14 D ．139.241()4x x+展开式中2x 项的系数为（ ） A ．394 B ．164 C ．348 D ．12810.定义在R 上的可导函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且在(,0]-∞上'()10f x ->，若(2)()22f a f a a +>-++，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >-B ．1a >C ．1a <-D ．1a <11.小华与另外4名同学进行“手心手背”游戏，规则是：5人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得0分.现5人共进行了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为X ，则EX 为（ ）A ．1516 B ．3316C ．158D ．32 12.如图1，将一个实心小球放入玻璃杯（不计厚度）中，已知玻璃杯的侧面可以看成由图2的曲线33(0)2y x x =≤≤绕y 轴旋转一周所形成，若要求小球接触到玻璃杯底部O ，则小球的最大半径为（ ）A ．3243-⨯ B ．3223-⨯ C ．3443-⨯ D ．3423-⨯第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上.13.设复数z 满足(2)1z i i i +=-，其中i 为虚数单位，则z = ．14.下表为生产A 产品过程中产量x （吨）与相应的生产耗能y （吨）的几组相对应数据：根据上表提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则a = ．15.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI 中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为 ．16.已知函数32()2f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若存在0x 满足等式012(1)x x x λλ+=+，()0λ>，且函数0()()()g x f x f x =-至多有两个零点，则实数λ的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位，m R ∈）. （1）若z 是实数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.18.为了调查高中学生喜欢打羽毛球与性别是否有关，调查人员就“是否喜欢打羽毛球”这个问题，分别随机调查了50名女生和50名男生，根据调查结果得到如图所示的等高条形图：（1）完成下列22⨯列联表：（2）能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关. 参考数表：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.已知0a >，0b >，c R ∈.（1）用分析法证明：252323a b a b≤++；（2）用反证法证明：614c c ++与3212c c ++不能同时为负数.20.某市要对该市六年级学生进行体育素质调查测试，现让学生从“跳绳、短跑400米、长跑1000米、仰卧起坐、游泳100米、立定跳远”6项中选择3项进行测试，其中“短跑、长跑、仰卧起坐”3项中至少选择其中1项进行测试.现从该市六年级学生中随机抽取了50名学生进行调查，他们选择的项目中包含“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数及人数统计如下表：（其中x y <）已知从所调查的50名学生中任选2名，他们选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数不相等概率为2949，记ξ为这2名学生选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数之和. （1）求x 的值；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望.21.已知函数()ln(24)x f x e x b =-+-，b 为实数. （1）当0b =时，求函数()f x 在点(1,)a -处的切线方程； （2）当b Z ∈，且()0f x ≥恒成立时，求b 的最大值.22.（A ）（4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin 10ρρθθ+--=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的直线cos()032πρθ++=距离最大的点的直角坐标. （B ）（4-5：不等式选讲）设函数()2f x x x a =+++，a R ∈. （1）若3a =-，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式2()23f x m m ≤++对任意的m R ∈恒有解，求a 的取值范围.三明市2017—2018学年第二学期普通高中期末质量检测高二理科数学参考答案一、选择题1-5: BDCBA 6-10: ACBCA 11、12：BD二、填空题0.85 15. 6 16. 1[,)2+∞三、解答题17.解：（1）23(68)(1)41m m m i z m i --++=+--223(68)(1)4(1)(1)m m m i m i i --++=+--+ 23(68)4m m m i m-=+-+-. 因为z 是实数，所以240680m m m -≠⎧⎨-+=⎩，解得2m =.（2）因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以2304680m m m m -⎧>⎪-⎨⎪-+<⎩，解得34m <<.18.解：（1）根据等高条形图，女生不喜欢打羽毛球的人数为500.420⨯=， 男性不喜欢打羽毛球的人数为500.630⨯=. 填写22⨯列联表如下：（2）根据列联表中数据，计算22100(30252025)50505545K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1002.70699=<， 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关. 19.解：（1）因为0a >，0b >，要证：252323a b a b≤++，只需证：25(23)(32)ab a b a b ≤++， 只需证：22256613ab a b ab ≤++，即证：2266120a b ab +-≥，即证：26()0a b -≥，显然上式恒成立，故252323a b a b ≤++.（2）设614c c ++与3212c c ++同时为负数，则632304c c c c ++++<（1），所以6326331()44c c c c c c ++++=++232211111()()()044224c c c c ++++=++++>，与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以614c c ++与3212c c ++不能同时为负数. 20.解：（1）记“选择短跑、长跑、仰卧起坐的项目个数相等”为事件A ，则2225452502920()14949x xC C C P A C -++=-==， 所以2455000x x -+=，解得20x =或25x =， 因为x y <，所以20x =.（2）由题意可知ξ的可能取值分别为2，3，4，5，6，则2525010(2)1225C P C ξ===，11520250100(3)1225C C P C ξ===，11252520250315(4)1225C C C P C ξ+===，112025250500(5)1225C C P C ξ===，225250300(6)1225C P C ξ===. 从而ξ的分布列为：数学期望为10100315()234122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯500300588024561225122512255+⨯+⨯==. 21.解：（1）当0b =时，1'()2xf x e x =-+，∴1'(1)1f e --=-，所以函数()f x 在点(1,)a -处的切线方程为1(1)(1)(1)y f e x ---=-+，即为11(1)2ln 21y e x e --=-+--.（2）()ln(24)0x f x e x b =-+-≥恒成立，则()ln(24)xg x e x b =-+≥恒成立， 又1'()2xg x e x =-+，令'()()g x h x =，所以21'()0(2)xh x e x =+>+， 所以'()g x 在(2,)x ∈-+∞为单调递增函数.又因为'(0)0g >，'(1)0g -<，所以0(1,0)x ∃∈-使得0'()0g x =，即0(2,)x x ∈-，'()0g x <，0(,)x x ∈+∞，'()0g x >，所以min 0()()g x g x =.又因为0001'()02xg x e x =-=+，所以00ln(2)x x =-+， 所以0001()ln 22g x x x =+-+，0(1,0)x ∈-， 令1()2r x x x =++，(1,0)x ∈-，21'()10(2)r x x =->+， 所以1()(0,)2r x ∈，即min 1()(ln 2,ln 2)2g x ∈--，又1ln 212<<， 所以min ()(1,0)g x ∈-，因为min ()(1,0)b g x ≤∈-，b Z ∈，所以b 的最大值为1-.22.（A ）解：（1）因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C的直角坐标方程为22210x y x ++--=.（2）直线方程为0x =，圆C的标准方程为22(1)(4x y ++=，所以设圆上点坐标为(12cos 2sin )θθ-+，则d =4cos()132πθ+-=，所以当cos()13πθ+=-，即23πθ=时距离最大，此时点坐标为(-. （B ）解：（1）因为3a =-，所以()23f x x x =++-， 当3x >时，237x x ++-≤，即4x ≤，所以34x <≤， 当2x <-时，237x x ---+≤，即3x ≥-，所以32x -≤<-， 当23x -≤≤时，237x x +-+≤，即57≤，所以23x -≤≤， 综上所述，原不等式的解集是{}|34x x -≤≤. （2）2223(1)22m m m ++=++≥，()2f x x x a =+++(2)()2x x a a ≥+-+=-.因为关于x 的不等式2()23f x m m ≤++对任意的m R ∈恒有解.所以22a -≤，解得04a ≤≤.。