三角函数的和角与差角公式
三角函数的和角与差角公式三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题中发挥着重要作用。
而求解三角函数中的角的和与差关系，则需要用到和角与差角公式。
本文将着重介绍三角函数的和角与差角公式，并对其应用进行详细讨论。
一、三角函数的和角公式
1. 正弦函数的和角公式
正弦函数的和角公式可以表示为：
sin(x+y) = sin x * cos y + cos x * sin y
2. 余弦函数的和角公式
余弦函数的和角公式可以表示为：
cos(x+y) = cos x * cos y - sin x * sin y
3. 正切函数的和角公式
正切函数的和角公式可以表示为：
tan(x+y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x * tan y)
二、三角函数的差角公式
1. 正弦函数的差角公式
正弦函数的差角公式可以表示为：
sin(x-y) = sin x * cos y - cos x * sin y
2. 余弦函数的差角公式
余弦函数的差角公式可以表示为：
cos(x-y) = cos x * cos y + sin x * sin y
3. 正切函数的差角公式
正切函数的差角公式可以表示为：
tan(x-y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x * tan y)
三、和角与差角公式的应用
1. 应用举例：求解三角函数值
通过和角与差角公式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，从而更方便地求解其值。
例如，我们可以利用和角公式将sin(α+β) 表达式化简为已知角度的正弦函数值的乘积之和，进而得到具体数值。
2. 应用举例：证明恒等式
利用和角与差角公式，我们可以证明一些重要的三角函数恒等式。
例如，利用和角公式可以证明 si n²θ + cos²θ = 1 这个著名的三角函数恒等式。
3. 应用举例：解决几何问题
三角函数的和角与差角公式在几何问题的解决中起着重要作用。
通过使用这些公式，我们可以计算出不同角度之间的关系，并在解决几何问题时提供有力的数学工具。
四、总结
本文中我们介绍了三角函数的和角与差角公式，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的和角与差角公式。
我们讨论了这些公式的具体形式，以及它们在三角函数的求解、恒等式的证明以及几何问题的解决中的应用。
掌握和灵活应用这些公式，对于深入理解三角函数及其应用领域具有重要意义。
三角函数和角公式有哪些
三角函数和角公式又称三角函数的加法定理，是几个角的和的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。
下面总结了三角函数的和角公式，供大家参考。
三角函数和角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)三角函数其他公式和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(αβ)sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(αβ)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(αβ)cos(α-β)]si nα·sinβ=-(1/2)[cos(αβ)-cos(α-β)]sinαsinβ=2sin[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(αβ)/2]sin[(α-β)/2]cosαcosβ=2cos[(αβ)/2]cos[(α-β)/2]三角函数介绍三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
和角公式和差角公式推导过程
和角公式和差角公式推导过程和差角公式是三角函数中一个重要的推导公式，可以用来计算两个角度之间的和差的三角函数值。
下面是和差角公式的详细推导过程。
假设有两个角度θ和ϕ，我们需要计算它们的和差的三角函数值。
首先，我们可以利用三角函数的定义将θ和ϕ表示为对应直角三角形中的边长比值。
1.定义辅助角：令α为和角θ+ϕ的辅助角，即α=θ+ϕ。
2.三角函数的定义：根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin θ = 对边/斜边sin α = 对边/斜边对于和角θ+ϕ的辅助角α：对边=对边1+对边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：sin α = (对边1 + 对边2)/斜边1 = (sin θ + sin ϕ)/1 = sin θ + sin ϕ3.代换：我们可以将sin θ和sin ϕ用cos函数进行代换。
利用余弦函数的定义：cos θ = 邻边/斜边cos α = 邻边/斜边邻边=邻边1+邻边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：cos α = (邻边1 + 邻边2)/斜边1 = (cos θ + cos ϕ)/1 = cos θ + cos ϕ4.综合运用：利用三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可以得到：(sin θ + sin ϕ)² + (cos θ + cos ϕ)² = 1展开得：sin²θ + 2sin θsin ϕ+ sin²ϕ+ cos²θ + 2cos θcos ϕ +cos²ϕ = 1利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1和sin²ϕ+ cos²ϕ = 1，可以简化上式为：2sin θsin ϕ+ 2cos θcos ϕ = 0利用三角函数的乘积公式sinαsinβ = (1/2)(cos(α-β) -cos(α+β))，可以将上式继续简化为：cos(θ - ϕ) = cosϕcosθ + sinϕsinθ这就是和差角公式的推导过程。
两角和与差倍角半角公式
两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三角函数和与差公式推导
三角函数和与差公式推导三角函数是数学中常见的一类函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在几何、物理以及工程等各个领域中都有广泛的应用。
与差公式是指将两个角的正弦和余弦的和或差表示为它们各自的正弦和余弦的倍积的形式，即sin(A±B)或cos(A±B)。
这些公式在解决三角函数的运算以及求解三角方程时非常有用。
接下来，我将通过一些推导和例子来详细介绍三角函数的与差公式。
一、正弦函数的和差公式1. sin(A ± B) = sin A * cos B ± cos A * sin B推导过程：利用正弦函数的定义：sinθ = 直角三角形的对边/斜边设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，角A对应的直角边为a，角B对应的直角边为b。
则sin(A ± B) = (a ± b)/c利用余弦函数的定义：cosθ = 直角三角形的邻边/斜边则cos A = b/c，cos B = a/c将cos A和cos B代入推导式中，得到：sin(A + B) = (a/c) * (b/c) ± (b/c) * (a/c) = sin A * cos B ± cos A * sin B同理，可以推导出sin(A - B) = sin A * cos B ± cos A * sin B。
二、余弦函数的和差公式1. cos(A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B2. cos(A - B) = cos A * cos B + sin A * sin B推导过程：利用余弦函数的定义：cosθ = 直角三角形的邻边/斜边设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，角A对应的直角边为a，角B对应的直角边为b。
则cos(A ± B) = (a± b)/c利用正弦函数的定义：sinθ = 直角三角形的对边/斜边则sin A = a/c，sin B = b/c将sin A和sin B代入推导式中，得到：cos(A + B) = (a/c) * (a/c) - (b/c) * (b/c) = cos A * cos B - sin A * sin B同理，可以推导出cos(A - B) = cos A * cos B + sin A * sin B。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
三角函数和差倍角公式
三角函数和差倍角公式三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中经常被使用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义基于一个单位圆，圆心为坐标原点，半径为1、本文将介绍三角函数的定义和性质，并详细讨论三角函数的和差倍角公式。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（sin）：正弦函数是对应于单位圆上任意点(x,y)的y 坐标，即：sinθ = y。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数是对应于单位圆上任意点(x,y)的x 坐标，即：cosθ = x。
3. 正切函数（tan）：正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，即：tanθ = sinθ / cosθ。
二、三角函数的周期性和性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即sinθ =sin(θ + 2π)和cosθ = cos(θ + 2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ，余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 正弦函数和余弦函数的平方和：sin^2θ + cos^2θ = 1，这是三角恒等式中的一个重要结果。
4. 正切函数的性质：tanθ= sinθ / cosθ，其中cosθ不为零，所以tanθ在90°和270°处不存在。
1. 正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sinαcosβ +cosαsinβ，sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ。
2. 余弦函数的和差公式：cos(α + β) = cosαcosβ -sinαsinβ，cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
3. 正切函数的和差公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)，tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)。
其中，α和β为任意角度。
两角和与差的三角函数公式推导
两角和与差的三角函数公式推导
三角函数是数学中非常重要的概念，它们可以用来描述和分析几何形状的变化，有助于我们理解和推导几何图形的性质。
其中，两角和与差的三角函数公式是推导三角函数的基本方法。
两角和与差的三角函数公式推导的基本原理是：若两个角α和β的余弦值分别为cosα和cosβ，那么α+β和α-β的余弦值分别为cos(α+β)和cos(α-β)，两者之间的关系可以用如下公式表示：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
由此可以得到两角和与差的三角函数公式：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
以上就是两角和与差的三角函数公式推导的基本原理和公式。
可以看出，这一公式的推导是基于两个角α和β的余弦值之间的关系，可以用来计算两个角的和与差的余弦值。
因此，它对于理解和推导三角函数有重要的意义。
三角函数的和角与差角公式
三角函数的和角与差角公式三角函数是数学中重要的一类函数，它们在计算、物理、工程等领域具有广泛应用。
和角与差角公式是在三角函数中常用的公式，它们可以将角度相加、相减的三角函数关系进行简化，从而方便计算和求解各种三角函数相关的问题。
一、和角公式和角公式是指两个角的三角函数和的关系。
在几何中，和角是指两个角的角度相加得到的角。
在三角函数中，和角公式可以表示为以下公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)其中，A和B为任意两个角。
二、差角公式差角公式是指两个角的三角函数差的关系。
在几何中，差角是指两个角的角度相减得到的角。
在三角函数中，差角公式可以表示为以下公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样地，其中，A和B为任意两个角。
三、和差化积公式和差化积公式是将和角公式和差角公式结合起来，从而将三角函数和的关系转化为三角函数积的关系。
和差化积公式可以表示为以下公式：sinA + sinB = 2sin[(A + B) / 2]cos[(A - B) / 2]sinA - sinB = 2cos[(A + B) / 2]sin[(A - B) / 2]cosA + cosB = 2cos[(A + B) / 2]cos[(A - B) / 2]cosA - cosB = -2sin[(A + B) / 2]sin[(A - B) / 2]其中，A和B为任意两个角。
四、应用举例1. 计算sin75°：根据和角公式sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，可将75°拆分为45°和30°，进一步，可将30°表示为45°-15°。
两角和与差的三角函数
§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。
两角和差公式
两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝（tanα+tanβ）／（1-tanαtanβ）tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2（α）－sin^2（α）＝2cos^2（α）－1＝1－2sin^2（α）tan2α＝2tanα/[1－tan^2（α）]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2（α/2）＝（1－cosα）／2 cos^2（α/2）＝（1＋cosα）／2tan^2（α/2）＝（1－cosα）／（1＋cosα）另也有tan（α/2）=（1－cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）万能公式sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）] cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）] tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））……*，（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α＝2tanα/（1＋tan^2（α））然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。
正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
和差化积公式三角函数的和差化积公式sinα＋sinβ＝2sin[（α＋β）/2]·cos[（α－β）/2]sinα－sinβ＝2cos[（α＋β）/2]·sin[（α－β）/2]cosα＋cosβ＝2cos[（α＋β）/2]·cos[（α－β）/2]cosα－cosβ＝－2sin[（α＋β）/2]·sin[（α－β）/2]积化和差公式三角函数的积化和差公式sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]和差化积公式推导附推导：首先，我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb所以，sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb 所以，把两式相加，我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb所以我们就得到，cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2 cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2 cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2 sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2 有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。