高中数学选修2-2培优精品讲义
人教版高中数学高一培优讲义第7讲函数与方程
第7讲函数与方程 理清双基 1．函数的零点（非点） （1）函数零点的定义；对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数 ))((D x x f y ∈=的零点． （2）几个等价关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数 )(x f y =有零点。 （3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(++=a c bx ax y 的图象与零点的关系 >?0=?0 ++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点) 0,)(0,(21x x ) 0,(1x 无交点零点个数 2 1 无 3.二分法 定义：对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(高中数学培优补差计划
高一“培优补差”工作计划 一、指导计划 提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。培养优秀计划要落到实处，发掘并培养一批尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和缜密的思维，并能协助老师进行辅导后进生活动，提高整个班级的素养和成绩。 二、工作目标： 在这个学期的培优补差活动中，坚持“抓两头、带中间、整体推进”的方针，培优对象能按照计划提高学生数学思维、数学思想方法的应用以及合作能力，学习成绩好的同学，能积极主动协助老师实施补差工作，帮助后进生取得进步。补差对象能按照老师的要求做好，成绩有一定的提高。特别是做题、考试这一基本的能力。并在课堂教学中不断引导学生熟悉并应用各种基本的数学思想方法，使学生形成缜密的逻辑思维，并喜欢上数学学习。 三、工作内容： （一）优等生：拓展高考知识，拓宽知识面，促进其能力持续发展。鼓励参与班级管理，自发组成各种兴趣小组，指导其他同学学习。鼓
励多作数学笔记及错题集，并和同学分享学习方法。 （二）学困生:补差的工作内容是教会学生敢于做题，会做题，安排比较基础的内容让他们掌握，鼓励他们大胆问问题，虚心向别人请教。多关心学困生的学习，老师对他们做到有耐心、有信心，同时也要多给他们布置任务，比如初中没学习懂的东西或者在新课学习中遗留下来的问题，要督促他们用更多的时间来完成这部分内容。除老师的版主外，还应调动起优等生辅助他们学习，让他们一起合作学习的效果更加明显。 （三）中等生：鼓励他们向优等生靠齐，多对学习方法和他们做一些交流。对该部分同学布置问题时应循序渐进，有易到难。在讲解题时，多他们灌输学学思想方法和解题技巧。 四、主要措施： l．课外辅导，利用课余时间。 2．采用一优生带一差生的一帮一行动。 3．请优生介绍学习经验，差生加以学习。 4．课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。 5．对差生实施多做多练措施。优生适当增加题目难度，并安排课外作品阅读，不断提高做题和写作能力。 6．采用激励机制，对差生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。
高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析
选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内
高中数学培优练习
数学培优练习 一．填空 1.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 =在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721= +y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 2.使得381n +是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.已知实系数一元二次方程x 2 +(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1， 则 a b 的取值范围 （ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜2 1 - 4. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+42 5. 点M （，），N （，）是所给函数图像上的点，则能使成立的函是 （ ） A ． B ． C ． 6.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ． 7.在抛物线2 x y =上任取一点A （非坐标原点O ），连结OA ，在OA 上取点B ，使OB= 3 1 OA ， 则顶点在原点且过点B 的抛物线的解析式为 （ ） 2-a 4-b b a >32+-=x y 4)3(22 ++-=x y x y 2 - =1)2(32--=x y 2
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?===== （二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。 高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8) 高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式 常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 专题18 等比数列 一、单选题 1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31 B ．15 C ．8 D ．7 2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A ．512- B ．512 C ．1024 D ．1024- 4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（ ） A ．128 B ．64 C ．64或64- D ．128或128- 5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9 B ．3 C ．-3 D ．-9 6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4- 7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的4 5 .若这堆货物总价是425655n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 考点1 复数 [玩前必备] 1．复数的有关概念 (1)定义： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝?a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R 3．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． [玩转典例] 题型一 复数的概念 例1（2018?福建）若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015?湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1- (2i)(1i)a ++i 例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( ) （A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省烟台市高三模拟）设i 是虚数单位，若复数5i 2i ()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1- 2.已知复数 z = (m 2 - m - 2) + (m 2 - 3m + 2)i 是实数，则实数 m =_________ 3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i - 题型二 复数的代数运算 例5（2016?全国）复数2 2 (12)(2)i i -+的模为( ) A ．1 B ．2 C D ．5 例6（2020?梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2i C ．1i -+ D ．0 例7【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ， 若12z zz =，则z 的共复数z =（ ） A ． 1322i + B ． 1322i - C ．1322 i - + D ．13 22i - - 2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i =+-，则z ＝（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155 i -- 题型三 复数的几何意义 人教版高中数学选修2-1 全册导学案 目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法 §1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结 培优辅差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优辅差措施，争取让“好的吃的饱，让差的吃的着”。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯。 学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成，甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人，不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习，他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素。 家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度。 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段。 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等，对学习困难学生改进学习肯定是有益的。 4、激发好奇心，引发求知欲。 在讲授教学内容之前，先提出一些与教学内容相关的实际生活问题，引起他们的好奇心。为学习困难学生创设问题情境，问题要小而具体，新颖有趣，有启发性，并有适当的难度，使他们“跳一跳摘到桃子”。引发学习困难学生的求知欲，也要注意知识的积累。他们的基础知识较差，只有当某一知识领域内的知识累 高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”． 给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）： 当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=． 在上述定义中，集合(){} *|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=； ③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2 6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠； ⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． ⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 或 7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对 ()m n ，满足下述条件： ① ()11f m =， ； ② 若m n <，()0f m n =，； ③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-???? 高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/() 空间几何体的表面积和体积 培优班专题资料 考点一 几何体的表面积 (1)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q ＝( ) A.8π B.6π C.π6 D. π8 解析 由题意可以得到n ＝6m 2 ，q ＝4πp 2 ，所以n q ＝6m 24πp 2＝ 32π×4＝6 π ，故选B. 答案 B (2)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．54 B ．58 C ．60 D ．63 解析 由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S 表＝6×32 ＋2×1×3＝60. 答案 C (3)(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．2π＋4 D ．3π＋4 解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×1 2π×12＋12 ×2π×1×2＋2×2 ＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D (4)(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( ) A ．1＋ 3 B ．2＋ 3 C ．1＋2 2 D ．2 2 解析 由空间几何体的三视图可得 该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2 ＝2＋3，故 选B. 答案 B (5)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2 ＝4π× 62 ＝144π，选C. 答案 C (6)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．54 B ．60 C ．66 D ．72 解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋5 2×4＋3×5＝60.选B.答案 B (7)(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 数学培优专题讲座 专题之：立体几何 一、考点过关 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a∥b ，?a∥α． (2)线面平行的性质定理：a∥α，?a∥b． (3)面面平行的判定定理：a∥α，b∥α，?α∥β． (4)面面平行的性质定理：α∥β，?a∥b． 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：l⊥m，m?α，?l⊥α． (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，?a∥b． (3)面面垂直的判定定理：a⊥α，?α⊥β． (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，?a⊥β． 二、典型例题 【例1】(1) (2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m?α，n?β．有下列命题： ①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β． 其中真命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是() (3)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) 【例2】(1).在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD. (I) 求证：P A ⊥底面ABCD ； (II) 若E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 求证：（i ）BE ∥平面P AD ；（ii ）平面BEF ⊥平面PCD (III) 若平面BEF ∥平面P AD ，F 为PC 的中点，求证：E 是CD 的中点 (2)(2019·成都诊断)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ， R 分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BR RH ．将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示． (I)求证：GR ⊥平面PEF ； (II)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径． 巩固练习 图1 图2 1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 2．(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β． ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ． ③如果α∥β，m ?α，那么m ∥β． ④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)． 3．已知α，β为平面，a ，b ，c 为直线，下列命题正确的是( ) A ．a ?α，若b ∥a ，则b ∥α B ．α⊥β，α∩β＝c ，b ⊥c ，则b ⊥β C ．a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c D ．a ∩b ＝A ，a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β，则α∥β 4. (2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1 D ．A 1 E ⊥AC 5．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE . 6．如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===， 2AM MD =，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =. (1)求BC 的长； (2)求点C 到平面ADP 的距离 高中数学——基本不等式培优专题 目录 1.常规配凑法 (2) 2.“1”的代换 (3) 3.换元法 (5) 4.和、积、平方和三量减元 (7) 5.轮换对称与万能k法 (10) 6.消元法（必要构造函数求异） (11) 7.不等式算两次 (13) 8.齐次化 (14) 9.待定与技巧性强的配凑 (15) 10.多元变量的不等式最值问题 (17) 11.不等式综合应用 (19) 1.常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)( (≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2， 则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则b b a 21 4+ -的最小值是_____________ 7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 2.“1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9 10.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y 满足x ﹥y ﹥0,且x+y=2，则 3y x 4 y -x 1++的最小值是_____________ 11.（18届金华十校高一下期末）记max ｛x,y,z ｝表示x,y,z 中的最大数，若a ﹥0,b ﹥0,则max ｛a,b, b a 31+｝ 的最小值为（ ） 高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假高一数学培优专题(已修正)
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