人教版初二数学上册因式分解——十字相乘法
十字相乘法因式分解 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
(3) ax2+4ax+3a=a(x²+4x+3)
提问：请问x²+4x+3还能再分解吗？
设计意图
复习旧知， 引入新知
同 伴互 助 答疑解惑
设计意图
十字相乘法因式分解
十字相乘法 =(x+1)(x+
x2 + 4x + 3=(x+1)(x+3) 步骤： ①竖分常数项与二次项; ②交叉相乘，积相加; ③检验确定，横写因式
试一试：把下列各式因式分解。
(1) x2 8x 7
(2)x2 2x 15
x -7
x
5
x -1
x
-3
x 7x 8x
3x 5x 2x
解:原式=(x-7)(x-1)
解:原式=(x+5)(x-3)
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，
因式的符号与一次项系数的符号相同.
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，
初步探究，总 结方法
十字相乘法因式分解 1. 概念：
借用一个十字叉帮助我们把二次三项式分解因式，这种 方法叫做十字相乘法。 2. 式子表示为：
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
形成概念， 总结方法
3、步骤： （顺口溜）竖分常数交叉验，横写 因式不能乱。
１.因式分解与整式乘法的关系？
２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
x 1
x 6
小结：
1、十字相乘法因式分解概念： 2、因式分解的十字相乘法式子表示： x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 3、十字相乘法因式分解的步骤： 4、竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
人教版数学八年级上册-第14章 十字相乘法-课件
1、x4-13x2+36
2、x2+3xy-4y2
3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
五、拓展延伸
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾分解， 交叉相乘，求和凑中，观察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b项是正数时，分解的两个数必同 号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得 一次项系数。当常数项是负数时，分解的 两个数必为异号，交叉相乘之和仍得一次 项系数。因此因式分解时，不但要注意首 尾分解，而且需十分注意一次项的系数， 才能保证因式分解的正确性。
例2、把 y4-7y2-18 分解因式
三、巩固练习
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12
2. x2+4x-12
3. x2-5x-14 4. y2-11y+24
数学人教版八年级上册十字相乘法
（4）横写结论：x2+bx+c=(x+c1)(x+c2)
将下列多项式分解因式
（1）x2+7x+10 （2）x2-x-6 =(x+2)(x+5) =(x+2)(x-3)
（3）x2-7x+12 （4）x2-12x+20
=(x-3)(x-4) =(x-2)(x-10)
（5）x3+6x2-27x =x(x+9)(x-3)
则a+b=-5,ab=p
因为，满足a+！
将下列多项式分解因式
（1）x2-20xy+64y2 =(x-4y)(x-16y)
（2）5x2+6xy-8y2 =(x+2y)(5x-4y) =(2x-y)(3x-2y)
（3）6x2-7xy+2y2
拓展提高
1.要使二次三项式x2+px+5在整数范围内能进行因 6，-6 。 式分解，那么P的取值是______
2
3x 2 ( x 1)( x 2) 5 x 6 ( x 2)( x 3) 3x 4 ( x 1)( x 4) 5 x 6 ( x 2)( x 3)
归纳：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
• （2）x
2 2 2
2.用十字相乘法因式分解ax2+bx+c
例2：分解因式：12x2-5x-2
解： 12x2-5x-2
3x 4x
-2
+1
3x*1+4x*(-2)=-5x
12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1)
人教版八年级数学上册 《十字相乘法》整式的乘法与因式分解PPT
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
-2 + -6
1．分解首尾系数
2．交叉相乘
= -8
3．相加验证 4．横向写出因式
第十三页，共四十四页。
首一的十字相乘法
什么是十字相乘法？
如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？
第十四页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十五页，共四十四页。
第八页，共四十四页。
12=1×12
归纳
试着把常数项分成两个整数的积
然后看这两个数之和是否等于一次项系数
是否
否
相等
是
写出分解结果
第九页，共四十四页。
思考 不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．
那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？
十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下．
第十页，共四十四页。
其中p，q是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？
第四十四页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十六页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十七页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十八页，共四十四页。
思考
刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况， 如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？
用十字相乘法分解因式：
1．分解首尾系数
3
2．交叉相乘
1
3．相加验证
人教版八年级数学上册 《十字相乘法》整式的乘法与因式分解PPT
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】Fra bibliotek十字相乘法
最新人教版初中数学八年级上册 14.3《因式分解》十字相乘法教案
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)（4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。
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-2)]( x + 1 )
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公式推导
归纳总结
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
因式分解时常数项因数分解的一般规律：
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
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练习：在 横线上 填 、符号
__ x2 4x 3 =（x + 3）（x _+_ 1）
- x2 2x 3 =（x __ 3）（x _+_ 1）
- - y2 9y 20 =（y__ 4）（y __ 5）
运用公式必须同时具备的三个条件：
(1)二次项系数式是1的二次三项式
(2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
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人教版八年级数学上册《因式分解之十字相乘法》课件
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
数学人教版八年级上册因式分解之十字相乘法
1、 “拆常数项，凑一次项” ：从拆常数项作为找 p、q 的切入口； 2、当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的
符号相同；
当常数项为负数时， 把它分解为两个异号因数的积， 其中绝对值较大的因数的符号与
一次项系数的符号相同． 3、可用整式的乘法（即温故知新第 3 题规律）检验十字相乘法分解因式的结果
（二）十字相乘法之归纳章： 由区派学生代表回答上述问题，教师投影展示，并引入课题 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 特征：1、等号左边是二次项系数为 1 的二次三项式； 2、左边常数项可以写成两个因数的乘积，这两个因数的和恰好是一次 项系数； 3、等号右边可分解成这两个因数分别和 x 的和的乘积； （三）十字相乘法之游戏章： 将三个可用十字相乘法因式分解的二次三项式分给 3 个区，再将相应的 p、q 打散分给 另外的 6 个区，拿到多项式的 3 个区原地不动，另外 6 个区找寻合适的 p、q，再和多 项式站在一起.（划线为分发） x2+4x+3=(x+1)(x+3) ； x2+3x-10=(x-2)(x+5)； x2-10x+24=(x-4)(x-6). 教师提问：能否有较快的方法准确找到 p、q？ （四）十字相乘法之巩固章： 例 1: x2+3x+2=(x+1)(x+2) x x +1 +2 教师提问： 1、＋1、＋2 为什么要带符号？ 2、完成 x2－3x+2 因式分解 “十字”的由 来，更加形象 快捷，加深印 象； 教师展示例 1，教识学生 画交叉十字 ) 来因式分解； 学生回答教 师提问； =-1 )( ) 学生一齐得 学生先独立 完成填空， 教 师利用一体 +1× =1 机拍下学生 填空四题，用 了不同于 x 的 t，学生易错； 另外这四题 的 p、q 的绝 对值相等，负 同，意在让学 生学会确定 p、q 的负号； 学生讨论交 流 检验能确保 因式分解的 准确率 提问设计为 避免负号漏 写易错点； 学生参与游 戏， 由代表举 着数牌并走 动 提问引出下 个章 游戏的形 式，趣味化， 提高学生学 习兴趣，并巩 固以上所学 特征 由区派学生 代表回答上 述问题， 教师 投影展示 将特征具体 化，培养学生 归纳总结的 能力
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课题名称十字相乘法分解因式
教学过程
十字相乘法分解因式（1）
一、教学目标：
1、进一步理解因式分解的定义；
2、会用十字相乘法进行二次三项式（x2 px q ）的因式分解；
3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
二、教学的重点、难点
1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（x2 px q ）的因式分解。
2、教学难点：在x2 px q分解因式时，准确地找出a、b，使ab=p，a，b = q。
三、导学过程：
（一）创设情境，导入新课：
1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？
2、你知道X"+5X+6怎样分解因式吗？
（二）自主学习
我们知道x 2 x 3 = x25x 6，反过来，就得到二次三项式x2 5x 6的因式分解形式，即x25x x 2 x 3，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5,即
6=2X 3,且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，x a x b =x2，a b x ab，反过来，就得到
2
x +（a + b）x + ab = （x+a）（x + b）
（三）合作探索
这就是说，对于二次三项式x2 px q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，并且a+b 等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即
2 2 " r "
x px x ■ a b x a^ x a x b 。
可以用交叉线来表示：
十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（四）、展示交流：
例1 把X2 3x 2分解因式。
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1 X 2=（-1）（-2）, 要使它们的代数和等于3,只需取1,2即可。
例2 把x2 -7x 6分解因式。
例3 把X2-4X-21分解因式。
例4把x2 2x-15分解因式。
（后三个例题鼓励学生独立完成）
（五）点拨升华
通过例1 -4可以看出，怎样对x2 px q分解因式？
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P。
（六）拓展提咼
例5把下列各式分解因式：
2
(1) X4+6X2+8(2) (a+b) -4(a + b)+3
2 (3) x -3xy 2y
四、当堂检测：
1、因式分解：
2 2 2 2 2
(1) x -x -6 (2) x 5x 6 (3) x x -6 (4) x 3x -4 (5) x -3x -4
2、(1)若多项式x2 -8x m可分解为(x -2)(x -6)，则m的值为____________ .
(2)若多项式x2 -kx-12可分解为(x -2)(x • 6)，则k的值为___________ .
选作：若多项式x2 - 2x • m可分解为(x - 3)(x - n)，求m、n的值.。