2021《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学(文)精练九 平面解析几何
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书 文 苏教版(2021年最新整理)
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3 圆的方程圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆方程标准(x－a）2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心（a,b）半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：（－D2,－错误!）半径r＝错误!错误!【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为（1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E,F的方程组；(3）解出a，b,r或D,E，F代入标准方程或一般方程。
2。
点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。
圆的标准方程（x－a）2＋(y－b)2＝r2,点M(x0，y0) (1）点在圆上：（x0－a）2＋（y0－b)2＝r2；(2）点在圆外：(x0－a)2＋（y0－b)2>r2；（3)点在圆内：(x0－a）2＋(y0－b）2〈r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.( √)(2)已知点A（x1，y1)，B（x2，y2）,则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1）（y －y2)＝0.( √）（3）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF〉0.( √）(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.( ×）（5）若点M(x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F＞0.（√)1。
2021-2022年高考数学滚动检测07解析几何统计和概率的综合同步单元双基双测B卷文
2021年高考数学滚动检测07解析几何统计和概率的综合同步单元双基双测B卷文一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，） B．（0，） C．（，0） D．（，0）【答案】B【解析】试题分析：先将抛物线的方程化为标准形式，所以焦点坐标为（）．故选B．考点：求抛物线的焦点．2. 【xx天津耀华中学二模】某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为的样本，若从丙车间抽取6件，则的值为（）A. 18B. 20C. 24D. 26【答案】D3. 为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A.60%，60B.60%，80C.80%，80D.80%，60 【答案】C 【解析】试题分析：及格率为()10.0150.005100.8P =-+⨯=，优秀人数为()4000.0100.0101080⨯+⨯=，故选C.考点：频率分布直方图.4. 【xx 湖南两市联考】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C设，则.所以. ..: .与抛物线联立得： . .121016233AB x x p=++=+=.故选C.5. 在区间中随机取出两个数，则两数之和不小于的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】考点：几何概型.【思路点睛】根据题意，设取出两个数为x，y；易得，若这两数之和小于，则有01415xyx y+⎧⎪<<⎪<<⎨⎪⎪<⎩，根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组01415xyx y+⎧⎪<<⎪<<⎨⎪⎪<⎩表示的区域与表示区域的面积的比值的问题，做出图形，计算可得答案.6. 【xx湖北八校联考】秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入, 的值分别为,则输出的值为（）A. B.C. D.【答案】B点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题；对于循环结构的程序框图，当循环次数较少时，逐一写出循环过程，当循环次数较多时，寻找其规律尤其是循环的终止条件一定要仔细斟酌.7. 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法.首先画出圆的图象，由图可知，圆与轴相切与点，直线恰好也过.利用勾股定理，将转化为圆心到直线的距离，继续转化为，根据对称性，可求得斜率的取值范围.8. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】从两个集合中分别取一个数a,b,用坐标表示为(a,b),则(a,b)的取值有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)共15种,而b>a时有(1,2),(1,3),(2,3)3种结果,故所求概率是=,选D.考点：概率9. 椭圆的左、右焦点为，过作直线交C于A，B两点，若是等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】考点：椭圆的标准方程及性质.10. 已知是双曲线的两焦点，以点为直角顶点作等腰直角三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：由等腰直角三角形得222121220bF F MF c c ac aa=∴=∴--=考点：双曲线方程及性质11. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】考点：1、导数的几何意义；2、点到直线的距离公式．12. 设，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C. D．【答案】D试题分析：因为为直径的圆经过，所以为直角，即轴，所以,由222121225tan22bPF baPF FF F c ac∠====得422445106450c a c a-+=即，解之得，故选D.xyPF1O F2考点：1.圆的性质；2.椭圆的标准方程及几何性质.【名师点睛】本题考查圆的性质、椭圆的标准方程及几何性质，属中档题；椭圆的几何性质是高考的热点内容，求离心率或取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量满足的等量关系或不等量关系，以确定的取值范围．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有根在棉花纤维的长度大于25mm．【解析】⨯+⨯+⨯⨯=．试题分析：(0.0550.0250.015)10040考点：频率分布直方图．14. 如图，若时，则输出的结果为 .【答案】【解析】考点：循环结构程序框图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.15. 在棱长为3的正方体内随机取点，则点到正方体各顶点的距离都大于1的概率为．【答案】．【解析】试题分析：由题意知，点到正方体各顶点的距离都等于1的点的集合为以正方体的各顶点为球心，半径为的球，而正方体的体积为：，所以由几何概型的概率计算公式可得：，故应填．考点：1、几何概型．16. 【xx福建泉州质检】已知为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线，与圆（其中）相交于两点，若，则的离心率为__________．【答案】可得 ,可得，可得4(c2−a2)=3a2，解得.故答案为： .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．（1）求圆的方程；（2）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】试题解析：（1）直线与两坐标轴的交点分别为，．所以线段的中点为，．故所求圆的方程为．（2）设直线到原点距离为，则．若直线斜率不存在，不符合题意．若直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或．所以直线的方程为或．考点：1．圆的方程；2．直线和圆相交的相关问题18. 某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设为每天饮品的销量，为该店每天的利润．（1）求关于的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．【答案】（1）()()5019,7619,x x x Zyx x x Z≤≤∈⎧⎪=⎨+>∈⎪⎩（2）【解析】试题分析：（1）根据利润等于销量乘以每一杯利润，而每一杯利润与销量是分段函数关系，得当时，每一杯利润为，所以；当时，中每一杯利润为，从第起每一杯利润为519(43)(19)76y x x =⨯+--=+；（2）由，所以日利润不少于96元共有5天，由，所以日利润是97元共有2天，利用列举法得从这5天中任取2天共有10种基本事件，其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，因此所求概率为试题解析：（1）()()()()()()()()83019,5019,8319431919,7619,x x x Z x x x Z y x x x Z x x x Z -≤≤∈≤≤∈⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-⨯+-⨯->∈+>∈⎪⎪⎩⎩．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元；日销售量为20杯时，日利润为96元；日销售量为21杯的有2 天，．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分销量为20杯的3天，记为，销量为21杯的 2 天，记为，从这5天中任取2天，包括()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,B ,,a b a c a A a B b c b A b B c A c A B 共10种情况．．．．．．．．．10分其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故所求概率为．．．．．．．．．．．．．12分 考点：分段函数解析式，古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 19. 【xx 黑龙江齐齐哈尔八中联盟】某教师调查了名高三学生购买的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如下表格：（Ⅰ）根据表格中的数据，是否有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别相关；（Ⅱ）从购买数学课外辅导书不超过本的学生中，按照性别分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人询问购买原因，求恰有名男生被抽到的概率. 附： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++， .【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）的观测值()2100200120016.66710.82840605050k⨯-=≈>⨯⨯⨯，故有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别有关.（Ⅱ）依题意，被抽到的女生人数为，记为，；男生人数为，记为，，，，则随机抽取人，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个.满足条件的有，，，，，，，，，，，，共个，故所求概率为20. 【xx百校联盟模考】某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据，如下表所示：已知变量具有线性负相关关系，且，，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率.【答案】（1）,（2）.试题解析：（1）因为变量具有线性负相关关系，所以甲是错误的.又易得，满足方程，故乙是正确的.由条件可得（2）由计算可得“理想数据”有个，即. 从检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形， 其中这两个检测数据均为“理想数据”有种情形. 故所求概率为.21. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组（第一组：，第二组，第三组：，第四组：，第五组：），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．（1）求；（2）求抽取的人的年龄的中位数（结果保留整数）；（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1-5组，从这5个按年龄分的组合5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应组的成绩，年龄组中1-5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1-5组的成绩分别为93，98，94，95，90．（i ）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；（ii ）以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．【答案】(1)；(2)；(3)（i ）8.6,94,6,94222211====s x s x ；（ii ）从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好. 【解析】试题分析：(1)因为第一组有人,且频率为,所以；(2)中位数平分整个面积,因为第一二个矩形的面积和为,所以中位数在第三个矩形的上,设中位数为,,解得；(3)（i ）因为()()()]...[1,...22221221x x x x x x ns n x x x x n n -++-+-=+++=,代入数据计算即可；（ii ）平均数反映平均水平,方差反映波动情况.试题解析：解：（1）根据频率分布直方图得第一组频率为，，．（2）设中位数为，则()0.0150.075300.060.5a ⨯+⨯+-⨯=， ，中位数为32．考点：频率分布直方图.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值． 【答案】（1）（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）过左焦点且垂直于长轴的弦长为通径长，即，又离心率为，得，再由，解方程组得（2）解析几何中证明定值问题，一般方法为以算代证，因为2222221122()()PA PB m x y m x y +=-++-+，利用，消y 得22222121292322()()25PA PB m m x x x x +=+-+++，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，代入化简得定值41试题解析：（1）由2222355232453cea abbaca b c⎧==⎪=⎪⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，可得椭圆方程．．．．．．．．．．4分考点：解析几何中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
2021年高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何章末检测 理
2021年高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何章末检测 理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1B . 3C ．2D .52．(xx·安徽)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A .32B .34C ．2 5D .3554．(2011·咸宁调研)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x2a 2－y 2＝1 (a>0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A . 3B . 6C ．2D ．35．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 66．(2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A .12或32B .23或2 C .12或2 D .23或327．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b2＝1的离心率e 等于( )A .32 B .152 C .13 D .1338．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，339．(2011·商丘模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A .54B ．5C .52D . 5 10．“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心，F 为左焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面m km ，远地点B 距离地面n km ，地球的半径为k km ，关于椭圆有以下三种说法：①焦距长为n －m ；②短轴长为m ＋k n ＋k ；③离心率e ＝n －mm ＋n ＋2k.以上正确的说法有( )A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③11．设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A .3－12B .3＋12C ．2D .5＋1212．(xx·浙江)设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x±4y＝0B ．3x±5y＝0C ．4x±3y＝0D ．5x±4y＝0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2011·安庆模拟)若一个圆的圆心在抛物线y 2＝4x 的焦点处，且此圆与直线3x ＋4y ＋7＝0相切，则这个圆的方程为________________．14．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)的左顶点A 作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B.若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．15．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．16．若方程x 24－t ＋y2t －1＝1所表示的曲线C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1<t<4；②若C 为双曲线，则t>4或t<1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1<t<32.其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．(1)求BC边所在直线方程；(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．18．(12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．19．(12分)(2011·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．20．(12分)设直线l ：y ＝k(x ＋1) (k≠0)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a>0)相交于两个不同的点A 、B ，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(1)证明：a 2>3k 21＋3k2；(2)若AC →＝2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．21．(12分)(2011·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．22．(12分)(2011·山东)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点． (1)证明：x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值．(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值． (3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62？若存在，判断 △DEG 的形状；若不存在，请说明理由．第九章 章末检测1．D 2.A 3.C 4.B 5.B6．A [由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，可设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，若圆锥曲线为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝12.若圆锥曲线为双曲线，则2a ＝4k －2k ＝2k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝32.]7．D 8.C 9.D 10．A 11.D 12.C13．(x －1)2＋y 2＝4 14.6315.x 25＋y24＝1解析 由题意可得切点A(1,0)．切点B(m ，n)满足⎩⎪⎨⎪⎧n －12m －1＝－m n，m 2＋n 2＝1，解得B(35，45)．∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0. 令y ＝0得x ＝1，即c ＝1； 令x ＝0得y ＝2，即b ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.16．②17．解 (1)∵k AB ＝－2，AB⊥BC，∴k CB ＝22. ∴l BC ：y ＝22x －2 2. 故BC 边所在的直线方程为x －2y －4＝0.(3分)(2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)，∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.(6分)(3)∵圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．又∵动圆N与圆M内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3>2＝|MP|.(8分)∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a＝32，c＝1，b＝a2－c2＝54.∴轨迹方程为x294＋y254＝1.(10分)18．解设A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝－x，y＝k x＋1，得ky2＋y－k＝0，(2分) ∴y1y2＝－1.又－x1＝y21，－x2＝y22，∴x1x2＝(y1y2)2＝1，∴x1x2＋y1y2＝0.(4分)∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝0，∴OA⊥OB.(6分)(2)如图，由(1)知y1＋y2＝－1k，y1y2＝－1，∴|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝1k2＋4＝210，(10分)∴k2＝136，∴k＝±16，即所求k的值为±16.(12分)19．解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x P，y P)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x，y P＝54y，∵P在圆上，∴x2＋(54y)2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(6分) (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.(8分) ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.(10分) ∴线段AB 的长度为|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415.(12分) 20．(1)证明 依题意，由y ＝k(x ＋1)，得x ＝1ky －1.将x ＝1ky －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋3y 2－2k y ＋1－a 2＝0.①(2分)由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋3()1－a 2>0， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋3a 2>3，即a 2>3k 21＋3k 2.(5分)(2)解 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由①得y 1＋y 2＝2k1＋3k2，由AC →＝2CB →，C(－1,0)，得y 1＝－2y 2，代入上式，得y 2＝－2k 1＋3k2.(8分)于是，S △OAB ＝12|OC|·|y 1－y 2|＝32|y 2|＝3|k|1＋3k 2≤3|k|23|k|＝32，(10分) 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±33， 由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±33， 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－33，y 2＝33这两组值分别代入①，均可解出a 2＝5，所以，△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.(12分)21．解 方法一 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．(3分)从而圆的半径r ＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(6分) (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l′的方程为y ＝－x －m. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．当m ＝1时，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切；当m≠1时，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．(10分) 综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切； 当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切．(12分)方法二 (1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.(4分)所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(6分) (2)同方法一．22．(1)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1. 因为P(x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1.①又因为S △OPQ ＝62，所以|x 1|·|y 1|＝62.② 由①②得|x 1|＝62，|y 1|＝1， 此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2. ②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知m≠0，将其代入x 23＋y22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0，其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0，即3k 2＋2>m 2.(*)又x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－22＋3k 2， 所以|PQ|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2. 因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m|1＋k2，所以S △OPQ ＝12|PQ|·d＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m|1＋k2＝6|m|3k 2＋2－m 22＋3k 2.又S △OPQ ＝62， 整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式，(2分)此时x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－6km 2＋3k 2)2－2×3m 2－22＋3k 2＝3， y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2，综上所述，x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2，结论成立．(4分)(2)解 方法一 ①当直线l 的斜率不存在时，由(1)知|OM|＝|x 1|＝62，|PQ|＝2|y 1|＝2，因此|OM|·|PQ|＝62×2＝ 6. ②当直线l 的斜率存在时，由(1)知：x 1＋x 22＝－3k 2m ，y 1＋y 22＝k(x 1＋x 22)＋m ＝－3k22m＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m，|OM|2＝(x 1＋x 22)2＋(y 1＋y 22)2＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12(3－1m2)．|PQ|2＝(1＋k 2)243k 2＋2－m 22＋3k 22＝22m 2＋1m 2＝2(2＋1m 2)， 所以|OM|2·|PQ|2＝12×(3－1m 2)×2×(2＋1m 2)＝(3－1m 2)(2＋1m2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－1m2＋2＋1m 222＝254. 所以|OM|·|PQ|≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m 2，即m ＝±2时，等号成立．综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为52.(8分)方法二 因为4|OM|2＋|PQ|2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)]＝10.所以2|OM|·|PQ|≤4|OM|2＋|PQ|22＝102＝5.即|OM|·|PQ|≤52，当且仅当2|OM|＝|PQ|＝5时等号成立．因此|OM|·|PQ|的最大值为52. (3)解 椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 证明：假设存在D(u ，v)，E(x 1，y 1)，G(x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62， 由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3；v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，(10分)解得u 2＝x 21＝x 22＝32；v 2＝y 21＝y 22＝1，因此u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取． 因此D ，E ，G 只能在(±62，±1)这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾，所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.(12分)"< 32836 8044 聄32390 7E86 纆!"24969 6189 憉31135 799F 禟33729 83C1 菁.<n39087 98AF 颯d。
(江苏专用)高三数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时跟踪检测 理
（江苏专用）高三数学一轮总复习 第九章平面解析几何课时跟踪检测 理第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式[小题体验]1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3.答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x－0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.答案：1或－24．已知a≠0，直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________．解析：因为直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，所以－2a＋m－5m ＝0，得a＝－2m，所以直线方程为－2mx＋my－5m＝0.又a≠0，所以m≠0，所以直线方程－2mx＋my－5m＝0可化为－2x＋y－5＝0，即y ＝2x＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B .[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法：①直线l 的斜率为－m ；②直线l 的斜率为－1m ；③直线l 过定点(0,1)；④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m ，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2019·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确． 答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32， k P A ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12 [谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．(2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________． 解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2， 即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三 直线方程的综合应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2019·福建高考改编)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2019·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)，∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1， 即3x ＋y －3－1＝0.答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33. 答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________． 解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π ∴－3≤k <0或33≤k ≤1.答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －C B .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B >0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 2．(2019·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________．解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2019·盐城调研)若直线l ：x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当ba＝2ab 时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，解得a ＝5， 此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1， 即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k . ∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4k ，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ≥9，当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6. ∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xe x ＋12＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x＝2当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2kk <0且1＋2k >0， ∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB | ＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y－2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________．解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2019·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b ＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法l 1与l 2相交 的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合 的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2019·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， 所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25， 解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三 对称问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称；(4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2019·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________．解析：设M (x ，y )，则⎩⎨⎧3＋x 2＝1，2＋y 2＝4，∴x ＝－1，y ＝6，∴M (－1,6)．答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题 2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.答案：x －2y ＋3＝0角度四：对称问题的应用4．(2019·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1， 即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解． (2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎨⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________.解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2，故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m ＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：24．(2019·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y－3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2019·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.答案：29103．(2019·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1.答案：14．(2019·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1) 为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 6．(2019·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1， 因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|P A |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝08．(2019·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为 y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝a ＋b 2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c ≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12.答案：22，122．(2019·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋－12＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|－32＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝|2×5＋1|22＋－12＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2. 第三节 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系：(1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2.(2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2.(3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.[小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________．解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4.即a 2＜1，故－1＜a ＜1.答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________．解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，显然圆心位于第四象限． 答案：四考点一 圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)(2019·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有2－12＋b －02＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2019·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. 答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二 与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以y x 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题。
2021-2022年高考数学滚动检测07解析几何统计和概率的综合同步单元双基双测A卷文
2021年高考数学滚动检测07解析几何统计和概率的综合同步单元双基双测A卷文一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知是虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有，故选B．考点：复数的运算．2. 若双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】3. 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．36 B．40 C．48 D．50【答案】C【解析】考点：频率分布直方图4. 【xx广东百校联盟联考】下表是我国某城市在xx年1月份至10月份各月最低温与最高温的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前个月不是逐月增加，错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在月，正确；由表格可知月至月的月温差（最高温减最低温）相对于月至月，波动性更大，正确，故选B.5. 某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】考点：平均数，中位数6. 如图圆内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点在圆内的概率为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】试题分析：作辅助线，则设圆的半径为，可得所以扇形的半径为，由几何概型，点在圆内的概率为32361122=⨯*⨯==ππAOBCSSP扇形圆，故选C.考点：几何概型.【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．7. 【xx广东五校联考】已知点在双曲线：（，）上，，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，若为等腰三角形，其顶角为，则（）A. B. C. D.【答案】D8. 【xx广西两市联考】执行如图的程序框图，那么输出的值是( )A. -1B.C. 2D. 1【答案】C点睛：本题考查的是算法与流程图，侧重于对流程图循环结构的考查.解决问题要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 在区域：内随机取一个点，则此点到点的距离大于2的概率是（）A． B． C．D．【答案】B【解析】试题分析：区域D是以（1,0）为圆心，半径为2的圆及内部，其面积为，到点的距离不大于2的点构成的区域为以（1,2）为圆心，半径为2的圆及内部；，两圆是相交圆，其公共弦所对的圆心角为结合图形可知两圆的公共部分面积为1218 24231232323Sππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭，所以所求概率为842313343Pπππ⎛⎫--⎪⎝⎭==+考点：1．几何概型概率；2．圆与圆相交的位置关系；3．圆的方程10. 设，是双曲线（，）的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】考点：求双曲线的离心率．11. 由直线y=x+l上的点向圆2264120x y x y引切线，则切线长的最小值为（A）（B）（C）（D）；【答案】A【解析】试题分析：由图可知，222221AB AC BC AC R AC=-=-=-，要使最小，只要最小，过C（3，-2）做直线的垂线，这时考点：本题考查圆的切线问题12. 从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，可得．依题意设，代入椭圆方程可得22222224200222222211y yc c a c b bya b b a a a a-+=⇒=-==⇒=，．则2101,,,bPF y BO b FO c OA aa=====，2bc b ca b cb a a a∴=⇒=⇒=，，．故C正确．考点：椭圆的简单几何性质．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 过点且在轴上截距是在轴上截距的两倍的直线的方程为．【答案】或．【解析】考点：求直线方程．14. 从某市参加高中数学建模竞赛的1008份试卷中随机抽取一个容量为54的样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小矩形的高的比为1：1：4：6：4：2，据此估计该市在这次竞赛中，成绩高于80分的学生总人数为 人。
2021年全国各地高考数学模拟试题平面解析几何试题汇编(含答案解
2021年全国各地高考数学模拟试题平面解析几何试题汇编(含答案解2021年全国各地高考数学模拟试题平面解析几何解的汇编（包括答案分析）1．（2021?南海区模拟）在平面直角坐标系xoy中，动点m到定点f（的距离和它到定直线x=（ⅰ）求ω的方程；（二）设置交叉点（0，2）的直线L和ω在两点a和B相交。
当△ AOB为1，查找| ab|2．（2021?江苏模拟）已知中心在坐标原点的椭圆c，f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆c的标准方程；（2）假设点P位于椭圆C上，且Pf1=4，求出点P到右引导线的距离3．（2021?道里区校级三模）抛物线y2=4x的焦点为f，过f的直线交抛物线于a、b两点．（一）如果点t（1,0）和直线at和BT的斜率分别为K1和K2，则验证K1+K2为固定值；（ⅱ）设a、b两点在抛物线的准线上的射影分别为p、q，线段pq的中点为r，求证：ar∥fq．4.（2022？四川模拟）椭圆的左顶点A1（4,0）已知。
（一）求出椭圆C的方程；（ⅱ）已知p（2，3），q（2，3）是椭圆上的两点，a，b是椭圆上位于直线pq两侧的动点．若∠apq=∠bpq，试问直线ab的斜率是否为定值？请说明理由．5．（2021?济宁一模）已知椭圆c：椭圆C在两点a和B相交，D是ab的中点（1）若直线l与直线od（o为坐标原点）的斜率之积为，求出椭圆方程；，直线l：y=kx+1（k≠0）与（a＞b＞0）的左焦点f（2，0））的距离比为，记动点m的轨迹为ω．（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点m使得当k变化时，总有∠amo=∠bmo（o为坐标原点）．若存在，求出定点m的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021?南昌校级二模）已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于a、b两个不同的点，记l与y轴的交点为c．（ⅰ）若k=1，且|ab|=（ⅱ）若=2，求实数a的值；，找到△ AOB面积和此时的椭圆方程的离心率为，它的左边7．（2021?河南模拟）已知椭圆右焦点分别是F1和F2，点P（x0，Y0）是坐标平面中的一个点，而（o是坐标原点）。
高考数学苏教版数学(文)精练八 立体几何
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测八立体几何第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是________．2.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．5.如图所示，在正方体AC1中，E，F分别是AB和AA1的中点，给出下列说法：①E，C，D1，F四点共面；②CE，D1F，DA三线共点；③EF和BD1所成的角为45°；④A1B∥平面CD1E；⑤B1D⊥平面CD1E，其中，正确说法的个数是________．6．(·郑州第二次质量预测)设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是________．①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α⊥β，m⊥α，则m∥β；③α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β；④m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.7．如图，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________．8．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球的表面积等于________．9．(·无锡模拟)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是________．①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED 的体积有最大值．10．(·常州模拟)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若P A，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．11．(·宁夏银川一中模拟)已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中为真命题的序号是________．12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD ＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有______对．13．已知三棱锥O－ABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，三棱锥O－ABC的体积为54，则球O的表面积为________．14．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)(·扬州模拟)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，M，N分别是AA1，CD，CB的中点，求证：(1)MN∥B1D1；(2)AC1∥平面EB1D1.16．(14分)(·江西六校联考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2.(1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)点C 到平面AB 1E 上的距离．17.(14分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．18．(16分)(·北京海淀第二学期期末)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点．(1)证明：AB ⊥平面AA 1C 1C ；(2)若线段AC 上的点D 满足平面DEF ∥平面ABC 1，试确定点D 的位置，并说明理由； (3)证明：EF ⊥A 1C .19.(16分)(·泰安二模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，CD ⊥平面P AD ，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，PD＝AD，E为PB的中点．证明：(1)CE∥平面P AD；(2)P A⊥平面CDE.20．(16分)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．答案解析1．①④解析 对于②，平面α与β还可以相交； 对于③，当a ∥b 时，不一定能推出α∥β， 所以②③是错误的，易知①④正确． 2．①④解析 由P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ， 得P A ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ， 得AE ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，∴AE ⊥PB ，①正确； ∵平面P AD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错； 由正六边形的性质得BC ∥AD ， 又AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ， ∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 也不成立，③错；在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°， ∴④正确． 3．② 4.73πa 2 解析 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为R ＝ (a 2)2＋(a 2sin 60°)2＝ 712a 2，球的表面积S ＝4πR 2＝4π·7a 212＝73πa 2. 5．3解析 ∵EF ∥CD 1，∴E ，C ，D 1，F 四点共面，故①正确； ∵CE 与D 1F 相交，交点在DA 上， ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点，故②正确； EF 和BD 1所成的角即为A 1B 和BD 1所成的角， 其正切值为22，故③错误；∵A1B∥CD1，A1B⊄面CD1E，∴A1B∥平面CD1E，故④正确；∵B1D⊥AC，∴B1D不垂直于EC，∴B1D不垂直于平面CD1E，故⑤错误．6．③解析①错，两平面可平行；②错，直线可在平面内；③正确，符合线面平行的判定定理条件；④错，两直线可平行，综上可知③正确．7．6解析沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图，则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案为6.8．16π解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4ab＝82，当且仅当a ＝b＝22时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π. 9．①②③解析①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′－FDE的体积达到最大．10.3 3解析如图，作PM⊥面ABC，设P A＝a，则AB＝2a，CM＝63a，PM＝33a.设球的半径为R ，所以⎝⎛⎭⎫33a －R 2＋⎝⎛⎭⎫63a 2＝R 2，将R ＝3代入上式， 解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.11．①④解析 ①正确，因为l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又m ⊂β，故l ⊥m ；②错，当两平面相交且交线为直线m 时也满足题意；③错，各种位置关系均有可能；④正确，l ⊥α，l ∥m ⇒m ⊥α，又m ⊂β，所以α⊥β，综上可知命题①④为真命题． 12．5解析 底面ABCD 是边长为a 的正方形， 侧棱P A ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，可得P A ⊥底面ABCD ，P A ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AD ， 可得：平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AD ⊥平面ABCD ； AB ⊥平面P AD ，可得平面P AB ⊥平面P AD ； BC ⊥平面P AB ，可得平面P AB ⊥平面PBC ；CD ⊥平面P AD ，可得平面P AD ⊥平面PCD . 13．64π解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ′，在△ABC 中，据余弦定理得AC ＝3，通过构造 Rt △得△ABC 的外接圆的半径r ＝1，三棱锥O －ABC 的体积为V ＝13×12×1×1×32×OO ′＝54，∴OO ′＝15，∴OB ＝OO ′2＋O ′B 2＝15＋1＝4， ∴S 球＝4π×42＝64π. 14.2＋ 6解析 取SC 的中点M ，CD 的中点N ，连结ME ，EN ，MN ，连结AC ，BD 且交于点O ， 连结SO ，则SO ⊥平面ABCD ，SO ⊂平面SBD ， 由面面垂直的判定知平面SBD ⊥平面ABCD ，因为M ，N ，E 均为中点，故MN ∥SD ，ME ∥SB ， 又MN ∩EM ＝M ，故平面EMN ∥平面SBD ，则有平面EMN ⊥平面ABCD ， 因为AC ⊥EN ， 所以AC ⊥平面EMN ， 故P 是△EMN 的边上任一点，易知MN ＝ME ＝12SD ＝12SO 2＋OD 2＝62，EN ＝2，故轨迹的周长为2＋ 6.15．证明 (1)∵M ，N 分别是CD ，CB 的中点， ∴MN ∥BD .又∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形． ∴BD ∥B 1D 1.又MN ∥BD ，从而MN ∥B 1D 1.(2)方法一 连结A 1C 1，A 1C 1与B 1D 1交于O 点，连结OE .∵四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点，E 是AA 1的中点， ∴EO 是△AA 1C 1的中位线，EO ∥AC 1，AC 1⊄平面EB 1D 1，EO ⊂平面EB 1D 1， 所以AC 1∥平面EB 1D 1.方法二 取BB 1中点为H 点，连结AH ，C 1H ，EH ， ∵E ，H 点分别为AA 1，BB 1中点，∴EH 綊C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形， ∴ED 1∥HC 1，又HC 1⊄平面EB 1D 1，ED 1⊂平面EB 1D 1， ∴HC 1∥平面EB 1D 1.又∵EA 綊B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形， ∴EB 1∥AH ，又AH ⊄平面EB 1D 1，EB 1⊂平面EB 1D 1， ∴AH ∥平面EB 1D 1. ∵AH ∩HC 1＝H ， ∴平面AHC 1∥平面EB 1D 1.而AC 1⊂平面AHC 1， ∴AC 1∥平面EB 1D 1.16．(1)证明 取AB 1的中点G ，连结EG ，FG ，∵F ，G 分别是AB ，AB 1的中点， ∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1.∵E 为侧棱CC 1的中点， ∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，∴四边形FGEC 是平行四边形，∴CF ∥EG ， ∵CF ⊄平面AB 1E ， EG ⊂平面AB 1E ， ∴CF ∥平面AB 1E .(2)解 ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，AA 1∥BB 1，∴BB 1⊥平面ABC . 又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1， ∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ， ∵BB 1∩BC ＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1， BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥平面EB 1C ，又CB 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥CB 1，∴1A EB C V -＝131EB C S ∆ AC＝13×(12×1×1)×1＝16. ∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6， ∴1AB E S ∆＝32， ∵1C AB E V -＝1A EB C V -， ∴点C 到平面AB 1E 上的距离为113C AB E AB EV S -∆＝33.17．(1)证明 由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1.又∵DC 1⊂平面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又∵DC ∩BC ＝C ，∴DC 1⊥平面BDC .又∵DC 1⊂平面BDC 1，∴平面BDC 1⊥平面BDC .(2)解 设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，∴(V －V 1)∶V 1＝1∶1.∴平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.18．(1)证明 ∵A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1A ⊥AB ， 又∵AB ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面AA 1C 1C .(2)解 ∵平面DEF ∥平面ABC 1，平面ABC ∩平面DEF ＝DE ，平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ， ∴AB ∥DE ，∵在△ABC 中，E 是BC 的中点， ∴D 是线段AC 的中点．(3)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝AC ， ∴侧面A 1ACC 1是菱形，∴A 1C ⊥AC 1，由(1)可得，AB ⊥A 1C ，∵AB ∩AC 1＝A ，∴A 1C ⊥平面ABC 1，∴A 1C ⊥BC 1.又∵E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点，∴EF ∥BC 1，∴EF ⊥A 1C .19.证明 (1)取P A 的中点F ，连结DF ，EF ，∵E 是PB 的中点，∴在△P AB 中有EF ∥AB ，且EF ＝12AB . 又CD ∥AB ，AB ＝2CD ，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四边形CDFE为平行四边形，∴CE∥DF，∵CE⊄平面P AD，DF⊂平面P AD，∴CE∥平面P AD.(2)∵CD⊥平面P AD，P A⊂平面P AD，∴CD⊥P A，∵△P AD中，PD＝AD，F为P A的中点，∴DF⊥PF，∵CE∥DF，∴CE⊥P A，∵CE∩CD＝C，CE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，∴P A⊥平面CDE.20．(1)证明因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF.又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)证明因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.又A1F⊂平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)解直线A1B与直线CD不能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．。
2021年高三数学课标一轮复习单元质检 九解析几何含解析
2021年高三数学课标一轮复习单元质检九解析几何含解析2021年高三数学课标一轮复习单元质检九解析几何含解析2022轮三级数学课程标准复审单位质检问题单元质检九解析几何（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线L1:MX+Y-1=0，直线L2:（m-2）x+MY-1=0，则“m=1”为（）a.充分不必要条件b.充要条件c、必要条件和不充分条件D.既不充分也不必要条件2.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()a.2条b、第三条1??c.4条d.6条3.假设点P（x，y）是曲线y=x+和点a（0,4）的任意点，直线AP的斜率k的取值范围为（）a.[-3，+∞) C.[2，+∞)b.(3,+∞)d.(1,+∞)4.（2022浙江金力克模拟）通过点P（4,2）画出两条圆x2+y2=4的切线，切线分别为a、B和O。
然后给出了该方程的外接圆方程△ OAB是（）A.（X-2）2+（Y-1）2=5b.(x-4)2+(y-2)2=20c、（x+2）2+（y+1）2=5d。
（x+4）2+（y+2）2=20在x轴正方向上投影5.(2021辽宁沈阳期末)已知直线3x-y+4=0与圆x2+y2=16交于a,b两点,则的绝对值为()a.43b、四,c.23d、二,6.(2021江苏盐城模拟)已知两圆c1:(x-4)2+y2=169,c2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆c1内部且和圆c1相内切,和圆c2相外切,则动圆圆心m的轨迹方程为()a.64?48=12.二c.48?64=1??2二b.48+64=12.二d.64+48=12.二7.(2021浙江绍兴一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为f,过点m(p,0)的直线交抛物线于a,b两点,||若=2,则||=()a、 2b。
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高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测九 平面解析几何第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α的值为________． 2．(2021·南京模拟)已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )的轨迹是__________．3．(2021·西安质检)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是___________．4．(2021·镇江模拟)已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为________．5．若AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为________．6．(2021·武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．7．(2022·北京海淀区期末练习)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰好为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．8．点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，则直线ax ＋by －r 2＝0与圆的交点的个数是________．9．(2021·福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝bxa对称，则该双曲线的离心率为______．10．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是______________．11．已知三个数2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率为________．12．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝163，则α＝________.13．(2021·南通模拟)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________.14．(2022·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(14分)(2021·安徽六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．16．(14分)(2021·扬州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．17.(14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2M B →，求直线l 的方程．18．(16分)(2021·泰州模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，PF 1→·PF 2→＝116a 2.倾斜角等于π3的直线l 经过F 1，与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设△F 1PF 2的周长为2＋3，求△ABF 2的面积S 的值．19.(16分)(2021·江西百所重点中学诊断)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，△PF 1F 2的周长为16，直线2x ＋y ＝4经过椭圆的上顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆同时被直线l 1：10x －5y －21＝0与l 2：10x －15y －33＝0平分，求直线l 的方程．20．(16分)如图，已知点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且PM →·PF →＝0，PN →＋PM →＝0.(1)求点N 的轨迹C ；(2)过点F (a,0)的直线l (不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，设K (－a,0)，KA →与KB →的夹角为θ，求证：0<θ<π2.答案解析1.3π4解析 若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆， 则有k 2＋4－4k 2＞0，解得0≤k 2＜43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4，要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k ＝0时，r 取得最大值1，此时直线方程为y ＝－x ＋2， 由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1， 又由于α∈[0，π)，所以α＝3π4.2．抛物线解析 设P 在以原点为圆心，1为半径的圆上，则P (x 0，y 0)，有x 20＋y 20＝1，∵Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0＋y 0，y ′＝x 0·y 0. ∴x ′2＝x 20＋y 20＋2x 0y 0＝1＋2y ′， 即Q 点的轨迹方程为y ′＝12x ′2－12，∴Q 点的轨迹是抛物线． 3.x 24＋y 23＝1 解析 依题意，所求椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.4.116解析 依题意得双曲线中a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝4，∴e ＝c a ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116. 5．12解析 如图，设A 的坐标为(x ，y )，则依据对称性得B (－x ，－y )，则△F 1AB 面积S ＝12×OF 1×|2y |＝c |y |.∴当|y |最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大， 则△F 1AB 面积的最大值为cb ＝25－16×4＝12. 6．23解析 由于抛物线C ：y 2＝42x 的准线方程是x ＝－2， 所以由PF ＝42得x p ＝32， 代入抛物线方程得y p ＝±26，所以△POF 的面积为12·OF ·|y p |＝12×2×26＝2 3.7．1＋2解析 依题意可知，点A (1，±2)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，AF 1＝22＋22＝22，AF 2＝F 1F 2＝2， 双曲线C 的离心率为e ＝F 1F 2AF 1－AF 2＝222－2＝2＋1.8．0解析 由于点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，所以0<a 2＋b 2<r 2，所以0<a 2＋b 2<r ， 则圆心(0,0)到直线ax ＋by －r 2＝0的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r ，所以直线ax ＋by －r 2＝0与圆x 2＋y 2＝r 2无交点．9.5解析 记线段PF 2与直线y ＝bax 的交点为M ，依题意，直线y ＝ba x 是已知双曲线的一条渐近线，M 是PF 2的中点，且PF 2＝2MF 2＝2b ；又点O 是F 1F 2的中点，因此有PF 1＝2OM ＝2a ；由点P 在双曲线的左支上得PF 2＝PF 1＋2a ＝4a ＝2b ，b ＝2a ， 该双曲线的离心率是e ＝ 1＋(ba)2＝ 5.10．两条平行直线解析 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，ayx ×1＝－1，x ＝－ay ， ∵OP ＝OQ ，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2， 而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1， ∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．11.22或3 解析 ∵2，m,8成等比数列，∴m 2＝16，m ＝±4， 当m ＝4时，e ＝c a ＝22；当m ＝－4时，e ＝ca ＝ 3.12．60°或120°解析 当α＝90°时，AB ＝4不成立；当α≠90°时，设直线方程为y ＝tan α(x －1)，与抛物线方程联立得：(tan α)2x 2－[2(tan α)2＋4]x ＋(tan α)2＝0，∴由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2(tan α)2＋4(tan α)2，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2(tan α)2＋4(tan α)2＋2＝163， ∴tan α＝±3，∴α＝60°或120°. 13．12解析 取MN 的中点G ，G 在椭圆上，由于点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ， 故有GF 1＝12AN ，GF 2＝12BN ，所以AN ＋BN ＝2(GF 1＋GF 2)＝4a ＝12. 14.22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，依据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×(－12)＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)， 整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22. 15．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1得圆心C (3,2)， ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1， 明显切线的斜率确定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 即kx －y ＋3＝0，∴|3k －2＋3|k 2＋1＝1，∴|3k ＋1|＝k 2＋1， ∴2k (4k ＋3)＝0， ∴k ＝0或k ＝－34，∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， ∴设圆心C 为(a,2a －4)，则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1. 又∵MA ＝2MO ，∴设M (x ，y ), 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，设为圆D ，∴点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴2－1≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤2＋1，解得a 的取值范围为[0，125]．16．解 (1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由于过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①由于直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为(1，32)．17．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由AM →＝2M B →得x 1＝－2x 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2，得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2， 解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.18．解 (1)∵F 1，F 2分别是椭圆E 的左，右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上， ∴PF 2⊥x 轴，∴PF 2＝b 2a.又∵PF 1→·PF 2→＝116a 2，∴PF 22＝116a 2， 即b 2a ＝14a ，∴a 2＝4b 2， 即a 2＝4(a 2－c 2)， 化简得：3a 2＝4c 2， ∴c a ＝32. ∴椭圆E 的离心率为32.(2)∵△F 1PF 2的周长等于2＋3， ∴2a ＋2c ＝2＋ 3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝2＋3，c a ＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝32. ∴b 2＝14，∴椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由已知得直线l 的方程为y ＝3(x ＋32)，即23x －2y ＋3＝0， ∴F 2(32，0)到直线l 的距离d ＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋32)，x 2＋4y 2＝1得13x 2＋123x ＋8＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12313，x 1x 2＝813.∴AB ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝813，∴S ＝12·AB ·d ＝613，∴△ABF 2的面积S 的值等于613.19．解 (1)设椭圆的半焦距为c ， 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，2a ＋2c ＝16，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝3，故椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)设AB 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧10x －5y －21＝0，10x －15y －33＝0，解得M (32，－65)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，依题意有⎩⎨⎧x 2125＋y 2116＝1，x 2225＋y2216＝1，两式相减得x 21－x 2225＋y 21－y 2216＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)25＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，又AB 的中点为M (32，－65)，∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝－125，∴325(x 1－x 2)＝320(y 1－y 2)，y 1－y 2x 1－x 2＝45， 即直线l 的斜率为45，故直线l 的方程为y ＋65＝45(x －32)，即4x －5y －12＝0.20．(1)解 设N (x ，y )，∵PN →＋PM →＝0，∴M (－x,0)，P (0，y2)．PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(a ，－y 2)，∵PM →·PF →＝0，∴PM →·PF →＝－ax ＋y 24＝0，∴y 2＝4ax .故点N 的轨迹为以F 为焦点的抛物线． (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴直线l ：y ＝k (x －a )，KA →＝(x 1＋a ，y 1)，KB →＝(x 2＋a ，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －a )，y 2＝4ax消去x 得ky 2－4ay －4ka 2＝0， ∴y 1＋y 2＝4ak ，y 1y 2＝－4a 2，x 1x 2＝a 2，x 1＋x 2＝2a (k 2＋2)k 2， ∴KA →·KB →＝(x 1＋a )(x 2＋a )＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＋y 1y 2 ＝2a 2＋2a 2(k 2＋2)k 2－4a 2＝2a 2(k 2＋2)k 2－2a 2 ＝2a 2(1＋2k 2－1)＝4a 2k2>0，∴cos θ>0， ∵θ∈[0，π]，∴θ∈(0，π2)．。