第8讲_函数方程与函数迭代_福州一中__龚梅勇
高中数学竞赛专题讲座---函数方程与迭代
函数方程与迭代1.迭代法先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴55|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1nn na f x a xb a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;169)94()49()11(;49)61()16()11(;164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。
苏教版高中数学必修1第3章3.3.1从函数观点看一元二次方程课件
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6.(多选)关于函数y＝mx2－4x－m＋5的零点，以下说法正确的是
√A.当m＝0时，该函数只有一个零点 √B.当m＝1时，该函数只有一个零点
C.当m＝－1时，该函数没有零点 D.当m＝2时，该函数有两个零点
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跟踪训练2 若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)， B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2＋β2＝51，求p的值；
由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0， Δ＝(p－2)2＋84>0，所以方程有两个不同的实根，易知α，β为方程x2 ＋(p－2)x－21＝0的两个实根， 则αα＋ β＝β＝ －22－1，p， ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51， ∴(2－p)2＋42＝51， 解得p＝－1或p＝5. 即p的值为－1或5.
即5－4>0， 1－m－2×5＋4>0，
解得－241≤m＜－5， ∴实数 m 的取值范围是－241，－5.
反思感悟
二次函数的零点散布问题， 一般要结合二次函数图象以及根与 系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象， 得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点 指的是与方程的根比较大小的数) ，列出不等式组进行求解.
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2.函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是
A.－1 √B.1
C.－2
D.2
设方程ax2＋2ax＋c(a≠0)＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关 系得x1＋x2＝－2aa＝－2，所以方程的另一个根为1.
第8讲_函数方程与函数迭代_福州一中__龚梅勇
2011年协作体夏令营系列讲座(八)函数方程与函数迭代福州一中 龚梅勇许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐，其形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：（1）探求函数的解析式；（2）探求函数的值；（3）讨论函数的性质.本文主要讲解求函数解析式的几种常用方法.一. 知识与方法1. 函数方程的定义:含有未知函数的等式叫做函数方程.2. 函数方程的解:能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解.3. 解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程.4. 柯西函数方程的解定理:若()f x 是单调（或连续）函数且满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈, 则()(1)f x xf =.5. 定义：设()x f 是定义在D 上函数，记()0,fx x = ()()1,f x f x =()()()2f x f f x = ,, ()()1n n f x f f x -=，则称()n f x 是()x f 在D 上的n 次迭代。
讲座八参考答案 2011-7-22二．范例选讲1．代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.例1.(1)已知x f xx 2)1e 1e (=-+，求).(xf (2)已知32231311()32f x x x x x x x x-=+-+++-，求).(x f例1.解:(1)令1e 1e -+=x x y ，则11ln -+=y y x ，带入原方程得到11ln 2)(-+=y y y f，即为()1)f x x =>. (2)323232131111()32()()4f x x x x x x x x x x x x -=-+-+++=-+-+，故32()4()f x x x x R =++∈例2.设220,ab a b ≠≠,求1()()af x bf cx x+=的解. 例2.解：分别令1,x x t t==得11()()af bf t c t t+=（1） 1()()af t bf ctt+=（2）由（1），（2）组成方程组解得222()()()c at b f t a b t-=-即：222()()()c ax b f x a b x -=-例3.解函数方程x xx f x f +=-+1)1()(. 例3.解：令u u x 1-=，代入原式得11211u u f f u u u --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(1) u x -=11，代入原式得：()1211u f f u u u -⎛⎫+= ⎪--⎝⎭(2) 又：()11u f u f u u -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭(3)三个方程中仅含有()111u f u f f u u -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭、、∴由方程组(1)(2)(3)得()321()21u u f u u u --=-即：()()()3210,121x x f x x x x x --=≠≠-检验：11112111)1(21)1()(2323+=⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=-+x x x x x x x x x x x x x x x f x f所以{}1,0\,)1(21)(23R x x x x x x f ∈∀---=.经检验上式满足条件.注:事实上,对于函数方程)())(()()()(x c x f x b x f x a =+ϕ,其中(),(),a x b x (),()x c x ϕ为已知函数,如果存在一个N k ∈，使得x x k =)(ϕ(k 次迭代)，即可用上述的方法求解。
最新福建省高中数学新人教版必修一教案：1.3函数的性质及综合应用名师精编资料汇编
三维目标定向〖知识与技能〗进一步领会函数单调性和奇偶性的定义，并在此基础上，熟练应用定义判断和证明函数的单调性及奇偶性，初步学习单调性和奇偶性结合起来解决函数的有关问题。
〖过程与方法〗体会单调性和奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能力。
〖情感、态度与价值观〗体会转化化归及数形结合思想的应用，培养学生的逻辑思维能力。
教学重难点函数的单调性、奇偶性的灵活应用。
案例背景函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，知识内容可浅可深，问题涉及分类讨论、数形结合、探索性，仅用两课时只能作肤浅的介绍，学生掌握的也只是一些皮毛，不能很好地展示函数丰富的内涵。
但函数的问题既千姿百态，又有章可循，综合单调性与奇偶性的内容，可以设计出很多具有挑战性的问题，有利于培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，有利于创新思维和实践意识的发展。
因此我们设计了《函数的性质及综合应用》这一教学案例，预计用两课时，力图通过种类问题的探究，引导学生领略函数内容的精彩，加深对函数性质的深刻理解。
教学过程设计第一课时一、温故知新1、函数的单调性（概念、判断方法、应用——求函数的最值）；2、函数的奇偶性（概念、图象特征、判断方法）。
二、问题探究1、函数单调性、奇偶性的理解及性质的判定单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，对概念的理解要抓住关键词如“任意”“都有”“给定区间”等，同时要明确两者的区别：单调性是反映函数的局部性质，而奇偶性则反映的是函数的整体性质。
例1、已知f (x ) = ax 3 + bx – 4，若f (2) = 6，则f (– 2) = 。
例2、奇函数f (x )在),0[+∞∈x 时的表达式是f (x ) = x (1 – x )，则]0,(-∞∈x 时，f (x )的表达式为 。
练习：（1）已知f (x ) = ax 5 + bx 3 + cx + 2，若f (– 7) = 7，则f (7) = 。
数学竞赛专题讲座_第三讲_函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代大冶二中 纪德贵1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足 A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a 1+b 1+c1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a<b<c 且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质：① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}②对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
3.3.1 从函数观点看一元二次方程(教学课件)-高一数学(苏教版2019必修一)
Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0，
∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不相等的实数根，即一定有实数根.
分层练习-拓展
14.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，下列关于x1，
2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么
●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题?
新知探究
从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次
函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的
图象与x轴交点的横坐标.
－7＝0有两个不相等的实数根即可.
证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0.
因为 ∆＝32－4×2×(－7) ＝65＞0，
所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根.
因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点.
课本例题
例2
判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点.
y|
x＝－4＝8a＋1<0，
即a
1
∴a<－ ，
3
1
的取值范围是－∞，－3.
分层练习-巩固
1
0 或－
3
11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝___________.
解析
1
当 a＝0 时，由 y＝0 得－2x－1＝0，即 x＝－ ，符合题意；
北师大版高中数学必修1第四章《函数应用》方程的根与函数的零点
② 在区间(b,c)上______(有/无)零 点；ff((b2))·.ff((c1))_______0_（_＜_或＞0）（． ＜或＞）．
○2 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞）．
15
理论迁移
例1如果函数 f(x)ax2x1仅有一个零点， 求实数a的取值范围.
例２求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
16
归纳整理，整体认识：1、请学生回顾本节课所学 知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪 些；2、在本节课的学习过程中，还有哪些不太明 白的地方，请向老师提出。 布置作业： P102页练习第二题的（3）、（4） 小题。
思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是 什么？函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点 附近如何分布？
11
知识探究（二）：函数零点存在性原理
问题探究 思考 3：函数 y观＝f(察x)在函某数个区的间上图是象否一定有零点？ ①在区怎样间的(条a件,b下)，上函_数_y_＝_f_(x_)(一有定有/无零点)零？ 点； 探究:f(（aⅠ).）f(观b察)二_次__函_数_f0(x（) x＜2 或2x ＞3 的）图象．：
Ｃ. １
Ｄ.不确定
8
练习：求下列函数的零点： （1）y 2 x 8 ;（2）y2lo3gx .
9
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
10
知识探究（二）：函数零点存在性原理 思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布？
福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 三角函数专题复习 新人教版
（一）、本专题的学习的主要内容是什么，要达到什么要求？ 1、本专题主要内容必修4：三角函数（16课时） 三角恒等变换（8课时） 必修5：解三角形（8课时） 2、课标要求:三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。
在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
3、考试说明（本专题文、理科要求相同，近几年基本不变） 1.三角函数（16课时） （1）任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念．② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化． （2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出πα±的正弦、余弦、正切，及2πα±的正弦、余弦的诱导公式，能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象，了解三角函数周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等）；理解正切函数在区间(,)22ππ-的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=． ⑤了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题. 2．三角恒等变换（8课时） （1）和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．3．解三角形（8课时）①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 4、考查要求的可测性细化 三角函数部分：了解：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
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2011年协作体夏令营系列讲座(八)函数方程与函数迭代福州一中 龚梅勇许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐，其形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：（1）探求函数的解析式；（2）探求函数的值；（3）讨论函数的性质.本文主要讲解求函数解析式的几种常用方法.一. 知识与方法1. 函数方程的定义:含有未知函数的等式叫做函数方程.2. 函数方程的解:能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解.3. 解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程.4. 柯西函数方程的解定理:若()f x 是单调（或连续）函数且满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈, 则()(1)f x xf =.5. 定义：设()x f 是定义在D 上函数，记()0,fx x = ()()1,f x f x =()()()2f x f f x = ,, ()()1n n f x f f x -=，则称()n f x 是()x f 在D 上的n 次迭代。
讲座八参考答案 2011-7-22二．范例选讲1．代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.例1.(1)已知x f xx 2)1e 1e (=-+，求).(xf (2)已知32231311()32f x x x x x x x x-=+-+++-，求).(x f例1.解:(1)令1e 1e -+=x x y ，则11ln -+=y y x ，带入原方程得到11ln 2)(-+=y y y f，即为()1)f x x =>. (2)323232131111()32()()4f x x x x x x x x x x x x -=-+-+++=-+-+，故32()4()f x x x x R =++∈例2.设220,ab a b ≠≠,求1()()af x bf cx x+=的解. 例2.解：分别令1,x x t t==得11()()af bf t c t t+=（1） 1()()af t bf ctt+=（2）由（1），（2）组成方程组解得222()()()c at b f t a b t-=-即：222()()()c ax b f x a b x -=-例3.解函数方程x xx f x f +=-+1)1()(. 例3.解：令u u x 1-=，代入原式得11211u u f f u u u --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(1) u x -=11，代入原式得：()1211u f f u u u -⎛⎫+= ⎪--⎝⎭(2) 又：()11u f u f u u -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭(3)三个方程中仅含有()111u f u f f u u -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭、、∴由方程组(1)(2)(3)得()321()21u u f u u u --=-即：()()()3210,121x x f x x x x x --=≠≠-检验：11112111)1(21)1()(2323+=⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=-+x x x x x x x x x x x x x x x f x f所以{}1,0\,)1(21)(23R x x x x x x f ∈∀---=.经检验上式满足条件.注:事实上,对于函数方程)())(()()()(x c x f x b x f x a =+ϕ,其中(),(),a x b x (),()x c x ϕ为已知函数,如果存在一个N k ∈，使得x x k =)(ϕ(k 次迭代)，即可用上述的方法求解。
解二:令x x x 1)(-=ϕ，則x xx x x x x x -=--=-==1111)1())(()(2ϕϕϕϕ; x xx xx x =---=-==1111)11())(()(23ϕϕϕϕ此时可将(2)式表示为x x f x f +=+1))(()(ϕ……(1)'迭代一次可得xx x x f x f 12)(1))(())((2-=+=+ϕϕϕ……(2)'再迭代一次可得xx x f x f x x x f x f --=+=-=+12)())(()(1)(2))(())((232ϕϕϕϕϕ…(3)' 解方程可得321()0,1;2(1)x x f x x x R x x --=∀≠∈-（）检验略。
2．赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量赋以一些特殊值代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的. 例 4.设)(x f 是在实数域上有定义的函数，满足1)0(=f 且对任意的R y x ∈,，)12()()(+--=-y x y x f y x f 都成立，试求)(x f . 例4.解:取y x =代入(1)式，则可得 x x x f x x x x f x x f f --=+--=-==2)()12()()()0(1， ∴R x x x x f ∈∀++=,1)(2易检验1)(2++=x x x f 满足已知条件。
例5.已知函数)(x f 满足：2)2(,1)0(==πf f ，且对任意的R y x ∈,，y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++都成立，试求)(x f .例5.解:在已知条件中令t y x ==,0可得t t f t f t f cos 2cos )0(2)()(==-+……(1) 令2,2ππ=+=y t x 可得0)()(=++t f t f π (2)令t y x +==2,2ππ可得t t f t f t f sin 4sin )2(2)()(-=-=-++ππ (3)解方程可得()cos 2sin f t t t =+x x x f sin 2cos )(+=∴易检验)(x f 满足已知条件。
例 6.()f x 的定义域在非负实数集合上并取非负数值的函数，求满足下列所有条件的()f x ：（1）(())()()f xf y f x f x y ⋅=+；（2）(2)=0f ；（3）当02x ≤<时，()0f x ≠. 例 6.解：（Ⅰ）令=22(2)x y t t =-≥，得0(2(2))(2)()f f t f f t =-⋅=.所以当2t ≥时，()0f t =.（Ⅱ）考虑02,02x y ≤<≤<（即()()0f x f y ≠）时，（1）两边等于零的特殊情况。
设(())()0f xf y f x ⋅=,由（Ⅰ）得：()2xf y ≥，即)(2y f x ≥。
设()0f x y +=，由（Ⅰ）得；2x y +≥，即2x y ≥-，因为)(2y f x ≥，且2x y ≥-，所以y y f -=2)(2，解得y y f -=22)(.所以当02x ≤<时,x x f -=22)(.所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=)2.(0)20(,22)(x x x x f .3．递推法 这一方法的其本思想是:当()f x 是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f (n )的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f (n )的递推关系,然后根据递推关系求出()f x (即数列{a n}的通项表达式).例7.设()f x 定义在正整数集上，且(1)1f =,()()()f x y f x f y xy +=++，求()f x .例7.解：令1y =，得(1)()(1)()1f x f x f x f x x +=++=++ 再依次令1,2,3,,1x n =-，有(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n=+=+=-+累加可得(1)()1232n n f n n +=++++=∴*(1)()()2x x f x x N +=∈例8.设函数)(n f 在自然数上都有定义，1)2(,0)1(==f f ，并满足： *(2)2(1)()f n f n f n n n N +-++=∈（），试求)(n f . 例8.解：将原式变形为n n f n f n f n f =-+-+-+)]()1([)]1()2([令1,2,,2n n =-可得2)]2()1([)]1()([2)]2()3([)]3()4([1)]1()2([)]2()3([-=------=---=---n n f n f n f n f f f f f f f f f累加可得)2(21)]1()2([)]1()([-+++=----n f f n f n f2)1)(2(]01[)]1()([--=----⇒n n n f n f ， 2≥∀n2)1)(2(1)1()(--+=--⇒n n n f n f ， 2≥∀n 。
再次利用累加法可得)]1()([)]2()3([)]1()2([--++-+-n f n f f f f f]2)1)(2(1[]2211[]2101[--+++⋅++⋅+=n n )]1)(2(3221[21)1()1()(--++⋅+⋅+-=-n n n f n f{}]1)2)[(2()]12(2[)11(1[21)1(+--++++++-=n n n )]2(21[21])2(21[21)1(222-++++-++++-=n n n2)1)(2(216)32)(1)(2(21)1(--⋅+---⋅+-=n n n n n n)62)(1(612+--=n n n)62)(1(61)(2+--=∴n n n n f )0)1((=f4．待定系数法当我们知道函数的类型（如多项式函数，对数函数，指数函数等）及函数的某些特性（如已知函数在某些点的值或函数的对称性、周期性等），可以考虑用待定系数法来求解。
例9.已知)(x f 为多项式函数，解函数方程x x x f x f 42)1()1(2-=-++例9.解：因为)(x f 为多项式函数，而)1(+x f 与)1(-x f 并不会改变)(x f 的次数，故由已知条件可知)(x f 为二次函数，不妨设c bx ax x f ++=2)()()2()1()1()1(22c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+⇒ )()2()1()1()1(22c b a x a b ax c x b x a x f +-+-+=+-+-=-⇒x x c a bx ax x f x f 42)(222)1()1(22-=+++=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-==∴04222c a b a ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==121c b a∴12)(2--=x x x f 易检验)(x f 满足条件。