第一节外测度
外测度——精选推荐
3.2 外测度一. 外测度概念定义1 设}{,n n I R E ⊂为n R 中的一列开区间, 则称{}E I I u u n n n n ⊃=∞=∞=∑ 11,:inf为E 的Lebesgue 外测度, 简称为外测度, 记为E m *.注 (1) 点集的外测度也就是集合的所有可数开区间覆盖中诸开区间体积之和的下确界, 若记{}E I I u u U n n n n E ⊃==∞=∞=∑ 11,:, 则.inf *E U E m =(2) n R 中的任意集合都有外测度，外测度非负，但可能为无穷.(3) 若外测度为无穷, 则意味着对集合的任意可数开区间覆盖来说它的各个区间的体积之和为无穷.若外测度有限, 则意味着集合存在一个可数开区间覆盖, 它的各个区间的体积之和有限.∞<=a E m *等价于: 对E 的任意可数开区间覆盖}{n I 都有a I n n ≥∑∞=1, 且对任意的0>ε, 存在一可数开区间覆盖}{n I 使得ε+<∑∞=a I n n 1.不管怎样, 对E 的任意可数开区间覆盖}{n I , 均有E m I n n *1≥∑∞=.例1 对空集∅, 有0*=∅m . 例2 任何单点集的外测度均为0.证明 不妨以1R 为例, 设单点集10}{R x ⊂, 则: (1) 对}{0x 的任一可数开覆盖}{n I , 均有01≥∑∞=n n I ;(2) 0>∀ε, 取}{0x 的如下可数开覆盖}{n I :},,),4,4{(00 ∅∅+-εεx x . 则εε<=∑∞=21n n I .例3 对任何有界点集E , 均有+∞<E m *. 二. 外测度的性质定理1 (1) 单调性: F m E m F E **≤⇒⊂.(2) 次可数可加性: ∑∞=∞=≤1*1*)(n n n n E m E m .(2)换成有限个的情形也是成立的, 此时称为次可加性证明 证(1): ⇒⊂F E F 的任何可数开覆盖均为E 的可数开覆盖 F m E m U U U U F E F E **i n f i n f ≤⇒≤⇒⊃⇒. 证(2): 不妨设+∞<∑∞=1*n n E m , 故.,2,1,*=+∞<n E m n 对0>∀ε, 下面证明ε+<∑∞=∞=1*1*)(n n n n E m E m .∃∀,n E 开区间列},2,1,{=m I m n , 使 n m n E I m ⊃∞= 1,nn m n E m I m 2*1ε+<∑∞=.从而∞=∞=∞=⊃111n n n m n E I m.21*1*11εε+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=n n n n n n m n E m E m Im由单调性和次可数可加性，容易得到 推论1 任何可数点集的外测度为零.推论2 若一个集合的外测度为零，则它的任意子集的外测度也为零. 推论3 设n R E E ⊂21,, ∞<2*E m , 则()2*1*21*\E m E m E E m -≥. 证明 因为()212211\E E E E E E =⊂, 由单调性得到()()21*2*21*1*\E E m E m E E m E m +≤≤ .又∞<2*E m , 移项就得到所要结果. 以下的定理均以一维情形为例定理 2 若()0,>F E ρ, 则()F m E m F E m ***+= . 即当集合间的距离大于零时, 外测度有可加性.为证明此定理, 我们先给出一个引理.引理1 设开区间1),(R I ⊂=βα和0>d , 则对0>∀ε, 存在有限个开区间n I I I ,,,21 使得 ni i I I 1=⊂, n i d I m i ,,2,1,* =<,ε+<∑=I I n i i 1.证明 不妨设d I ≥. 首先将区间I 分成有限个小开区间m L L L ,,,21 , 使得m i d L i ,,2,1, ==<, 设其分点为121,,,-m a a a . 再在每一分点1,,2,1,-=m i a i 处作小开区间i J 使得i i J a ∈, d J i <,ε<∑-=11m i i J (1,,2,1-=m i ). 则开区间12121,,,,,,,-m m J J J L L L 即为所求.定理2的证明 设()0,>=d F E ρ.由外测度的次可加性, 我们只需证明()F m E m F E m ***+≥ . 不妨设()∞<F E m *. 对0>∀ε, 下面证明()ε+<+F E m F m E m ***.对该ε, 存在开区间列}{n I , 使F E I n n ⊃∞=1,2)(*1ε+<∑∞=F E m I n n .由引理1, n ∀, 存在有限个开区间)()(2)(1,,,n m n n n I I I 使得n mk n k n I I 1)(=⊂, n n k m k d I ,,2,1,)( =<;11)(2+=+<∑n n mk n kI I n ε.则F E I I n n n m k n k n⊃⊃∞=∞==111)(()εεε+<+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∑∑∑∞=∞=+∞==F E m I I I n n n n n n m k n k n*11111)(22.将{})(n k I 的全体记为{}n K , 由()0,>=d F E ρ和d K n <知道每一n K 不能与F E ,同时相交, 故可将{}n K 分成与E 相交的一组{})1(i K 及和F 相交的一组{})(j iK , 则这两组无公共元且 i iK E )1(⊂, j jK F )2(⊂, 从而有()ε+<≤+≤+∑∑∑∑∞==F E m I K K F m E m n mk n kjjiin*11)()2()1(**, 即是说()F m E m F E m ***+≥ . 定理得证.定理3 对任何区间I , 均有I I m =*.这说明外测度是一般“长度、面积、体积”等概念的推广.证明 (1) 设I 为闭区间, 比如],[b a I =.对0>∀ε, 存在开区间K , 使得K I ⊂, ε+<I K . 此时, 开区间列{} ,,,∅∅K 覆盖I , 且ε+<≤I K I m *. 故有I I m ≤*.另一方面, 对I 的任意开区间覆盖{}n I , 由Borel 有限覆盖定理, 存在有限的子覆盖{}n I I I ,,,21 , 则易知∑∑∞==≤≤11i in i i I I I , 即是说I I m ≥*. 总之I I m =*.(2) 设I 为闭区间, 比如),(b a I =.令],[b a I =, 则{}{}b a I I =. 由外测度的单调性, 单点集的测度为零得到{}{}I m b m a m I m I m I m ******=++≤≤再由第一步的结果得到I I I m I m ===**. 也就是说当区间是开区间时结论成立 其他的情形类似.定理4 外测度具有平移不变性, 即{}()0**x E m E m +=, 而{}{}E x x x x E ∈+=+:00. 证明 首先注意到开区间平移后仍是开区间, 且保持体积不变. 对E 的任意可数开区间覆盖{}n I , 则{}{}0x I n +必是{}{}0x E +的开区间覆盖. 故有{}{}()0*101x E m x I I n n n n +≥+=∑∑∞=∞=.因而由E 的开区间覆盖的任意性得到{}()0**x E m E m +≥. 类似的也得到{}()0**x E m E m +≤. 即有{}()0**x E m E m +=.。
实变函数第二章,第一节
注2.在L-测度公理下,[0,1]上的有理数集的测度为0.
定义2.1.1 Lebesgue外测度
n 设 E R 定义： ，称非负广义实数 ( R {} R* )
m E inf{ G : G开，且E G}
为E的Lebesgue外测度。
下确界：
inf S
(1)是数集S的下界，即 x S , x (2)是数集S的最大下界， 即 0, x S , 使得x
第二章 可测集与可测函数
第一节 外侧度的定义及其性质
长度公理:设有实数直线上的一些点集所构成的集合族μ,
若对于每个E ∈μ,都对应一个实数m,使得
1.(非负性) m(E)≥0
2.(有限可加性) 如果E1,E2,……,En两两不相交,那么
m(E1 ∪E2 ∪…… ∪En)=m(E1)+m(E2)+…+m(En) 3.(正则性) m([0,1])=1 例.实数集R上区间且E G}
0, 开集G, 使得E G且m* E G m*E
即：用一开集G “近似”替换集合E
（2）Lebesgue外测度的性质
m E 0， （a）非负性： m E 0. 当E为空集时，
若A B，则m A m B （b）单调性：
问题:[0,1]上有理点集的长度为?
L-测度公理: 对于实数直线上的一部分集合族μ,使得对
于每个E ∈μ,都对应一个实数m,满足
1.(非负性) m(E)≥0
2.(可列可加性) 如果E1,E2,…En,…两两不相交,那么
m(E1 ∪E2 ∪…∪En ∪…)=m(E1)+m(E2)+…+m(En)+… 3.(正则性) m([0,1])=1 注1.并不是所有集合都可测.
教学大纲_实变函数与泛函分析
《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编号：120233B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0学分：3适用对象：经济统计学先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题2.可以建立统计模型，获得有效结论3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用4.关注国际统计应用的新进展5.基于数据结论，提出决策咨询建议6.具有不断学习的意识一、课程的教学目标本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。
本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。
二、教学基本要求（一）教学内容及要求《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。
其中要求同学们：1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
实变函数论课件8、9 外测度和可测集(选讲)
m*J I | I | 1, m*J E 1, m*J (I \ E) 1; m*I | I | 1, m*E 0, m*(I \ E) 1
16
命题1 若 G 是有界开集,则 G 可测, 并且对任何包含G 的开区间I 恒有 m*G m* (I \ G) | I | .
任给 0, 对每个 In ,显然可以作闭区间Jn In , 使
| Jn || In | 2n . 闭区间 J1, J2 , J3,...两两无交, 每个闭区间Jn 与闭集 I \ G 无交而两个无交的非空有界闭集间的距离大
于 0,由第二节命题1以及外测度的隔距可列可加性
等性质
n1
|
In
|
m*E
2
.
对每个 In ,显然可以作开区间Jn In ,使
| Jn || In | 2n1 .
13
令 G J n ,则 G 是开集, G E, 由外测度的
n1
半可列可加性及命题1 知
m*G m* J n | J n |
i 1
i 1
i 1
令n ,得
m* Ai m* Ai .m* Ai .
i 1
i 1
注：当两个点集E1, E2 无交时,未必有 m* (E1 E2 ) m*E1 m*E2 .(从第五节可看出)
12
2.3 外测度的开集逼近
(1)
由 (iii) 知 m* ( A B) m* A m*B.
再证相反的不等式. 任给 0,由外测度的定义知存在
实变函数论3.1 外测度
上面叙述的错误出在取
2 i 1
，因为i的取定依赖于δ
思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的 有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1] （除有限个点外） 注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列
n
b
a
f ( x)dx lim mi xi
||T || 0 i 1
xi-1 xi
•Jordan测度
Jordan外测度（外包）
n n
(m E ) J inf{ | I i | : E I i且I i为开区间 }
i 1 i 1
Jordan内测度（内填）
(m E ) J sup{ | I i | : I i E且I i为两两不交的开区间 }
2.平面上的x轴的外测度为0
Ii (ri 1, ri 1) (
2i2
, 2i2 ), ri Z，i 1,2,3,
思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中 的开区间列是否覆盖了区间[0,1]
E [0,1] Q {r1, r2 , r3 ,}
（C）次可数可加性 m ( An )
* n 1
n 1
m* An
证明：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开区间（即用一开区间{I nm}列近似替换An）
I n1 , I n 2 , I nm ,, 使得An I nm且m An | I nm | m An n m 1 2 m 1
I i (ri 2 , r , 2 , 3 , i 1 i 1 ), i 1 i 2
《实变函数》第三章_测度论
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E =思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
外测度教案
实变函数 Ver.1.0 © 渭南师范学院 余保民
–5–
教学过程
在每一个等价类中选取一个代表元，这些代表元的全体构成的集
合记为 R，即 R ⊂ [−1, 1] 且对任意的 a ∈ [−1, 1]，R ∩ a˜ 恰有一个元素. 令 R ∩ a˜ = {e}，则 r : = a − e ∈ Q，从而 a = r + e ∈ r + R，容易看到
m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am) ⩽ m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Ak.
证明. 令 Ak = ∅, k > n，则有 m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am)
=m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ · · · ) ⩽m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Am + m∗∅ + m∗∅ + · · · =m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Am.
则在 I1, · · · , Im+1 中，存在某个开区间包含 b. 不妨设 b ∈ Im+1 且 Im+1 = (c, d). 如果 c < a，则由(??)可知(??)成立. 如果 a ⩽ c < b < d，则
[a, c] ⊂ I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ Im.
实变函数 Ver.1.0 © 渭南师范学院 余保民
, I3 =
, 23 23
,··· ,
则
I
⊂
∪∞
Ik，从而
m∗I
⩽
∞
∑
|Ik| = b − a + 2ε.
深圳大学 实变函数课程教学大纲
教学要求
了解：了解微分与不定积分概念。 理解：理解 Lebesgue 积分概念可积函数及其性质，新旧积分之间的关系。Fubini 定 理的含义。 掌握：掌握简单 Lebesgue 积分的计算。
第六章 函数空间 Lp （不讲） 第七章 Fourier 级数与 Fourier 变换（不讲）
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
-3-
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第五学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配如下 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 集合及其基数 n 维空间中的点集 测度理论 可测函数 积分理论 8 学时 10 学时 12 学时 12 学时 12 学时
（二）考核要求
（二）开设目的
实变函数是数学专业的一门主要基础课，它的主要目的是改造数学分析的内容以更 加适合研究客观世界。从以区间、连续函数为主要研究对象拓广到以点集、可测函数为 主要研究对象。极限的概念也获得了很大的改进和弱化，使函数分析性质的讨论从一致 收敛、一致连续等很强的束缚中解脱出来。当然最主要的是勒贝格积分取代黎曼积分， 从而极大地提高了运算的灵活性。总之，实变函数为现代数学各分支的发展提供了一个 更合理更方便的分析基础，使得数学的现代化成了可能。 教学目的是为了使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分 析和解决问题的能力，培养抽象的思维能力。
教学要求
（1）掌握可测函数定义及简单性质 （2）熟悉 Egoroff 定理，Lusin 定理及依测度收敛及其性质。 （3）了解可测函数的结构。
第五章 积分理论
教学目的
介绍 Lebesque 积分的概念、Fubini 定理、微分与不定积分概念，通过 Fubini 定理认 识新积分的优越性。
测度的概念和相关
数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。
传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。
目录[隐藏]• 1 定义• 2 性质o 2.1 单调性o 2.2 可数个可测集的并集的测度o 2.3 可数个可测集的交集的测度• 3 σ有限测度• 4 完备性• 5 例子• 6 自相似分形测度的分维微积分基础引论•7 相关条目•8 参考文献[编辑]定义形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。
设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：•空集的测度为零：。
•可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：。
这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
[编辑]性质下面的一些性质可从测度的定义导出：[编辑]单调性测度的单调性：若和为可测集，而且，则。
[编辑]可数个可测集的并集的测度若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：以及如下极限：[编辑]可数个可测集的交集的测度若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。
进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。
例如对于每一个，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
[编辑]σ有限测度详见σ有限测度如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。
如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。
现代概率论03：测度空间（1）
现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。
可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。
有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。
可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。
本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。
设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。
若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。
若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。
()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。
命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。
命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。
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|: E
i 1
Ii且Ii为开区间}
Jordan内测度（内填）
(m E ) J
n
n
sup{
i 1
|
Ii
|
:
i 1
I
i
E且Ii为两两不交的开区间}
Jordan可测 (mE)J (mE)J
例：设E为[0,1]中的有理数全体，则E不Jordan可测
由于任一覆盖[0,1]中的有理数全体的有限开覆盖也一定
Ii (ri1
,r
2i2 i1
2i2
)
(ri2
,r
2i2 i2
2i2
),
(ri1,
ri
2
)
Q
Q,
i
1,
2,
3,L
2.平面上的x轴的外测度为0
Ii
(ri
1, ri
1)
(
2i2
,
2i2
),
ri
Z，i
1, 2,3,L
思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中 的开区间列是否覆盖了区间[0,1]
一列开区间（即用一开区间{I nm}列近似替换An）
In1, In2,
Inm ,
, 使得An
m1
I
nm且m*
An
| Inm
m1
| m* An
2n
从而
n1
An
n1
m1
I
nm
且|
n,m1
I nm
|
n 1
|
m1
I nm
|
(m* An
n 1
2n
)
m* An
n 1
可见m*( n1
An )
m ( A
B)
inf{
i 1
|
Ii
|:
A
B
i 1
Ii且Ii为开区间}
0, 开区间列{Ii}, 使得m*( A B) | Ii | m*( A B) i 1
当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A， B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A 中的点，一部分含有B中的点。
例
对任意区间 I ，有 mE | I |
证明参见教材p-56
思考：书本中的证明用有限开覆盖定 理的目的何在？
此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广
例：Cantor集的外测度为0。
证明：令第n次等分后留下的闭区间为
I
(n) i
i 1,2, 2n
2n
2n
2n
从而m*
(
P)
m*
(2)是数集S的最大下界， 即 0, x S,使得x
m E
inf{
i 1
|
Ii
|: E
i 1
I
i且I
i为开区间}
0, 开区间列{Ii},使得E Ii且m*E | Ii | m*E i 1
i 1
即：用一开区间列 {Ii} “近似”替换集合E
例 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0
( i1
I
(n) i
)
|
i1
Ii(n)
|
i1
1 3n
(
2 3
)n
0
故mP 0
M
M
M
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
定义： 设E Rn ，称非负广义实数 (R {} R*)
m E
inf{
|
i 1
Ii
|:
E
i 1
I
i且I
i为开区间}
为E的Lebesgue外测度。
与Jordan外测度比较：
n
n
(m E ) J
inf{ | Ii
i 1
|
:
E
i 1
I i且I i为开区间}
下确界： inf S
(1)是数集S的下界，即 x S, x
（b）单调性：若A B，则m A mB
m E
inf{
i 1
|
Ii
|:
E
i 1
I
i且I
i为开区间}
(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而 能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少， 相应的下确界反而大。
（C）次可数可加性
m*
(
n 1
An
)
n 1
m* An
证明：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有
第三章 测度论
第一节 外测度 主讲：胡努春
1.引言
(1) Riemann积分回顾（分割定义域）
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
其中 xi xi xi1
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
xi1 i xi
，则有x
I
i
(ri
2i1
, ri
)
2i1
上面叙述的错误出在取
2i1
，因为i的取定依赖于δ
思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的 有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1] （除有限个点外）
注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列
( [ ( ) )(
)(
０
() ] ) １
5.对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的 有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1] （除可数个点外）
注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列 （如Ｃantor集的余集的构成区间）
（2）Lebesgue外测度的性质
（a）非负性：mE 0 ， 当E为空集时，mE 0
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi
Ei {x : yi1 f (x) yi}
yi-1
yi1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
lim
0
i 1
i mEi
问题：如何把长度,面积,体积概念推广?
•圆的面积
外切正n边形的面积（外包）
能覆盖除有限个点外的 [0,1]，从而 (mE)J 1
( [ ( ) )(
)(
０
() ] ) １
([ -ε ０
]) １ 1+ε
由于无理数在[0,1]中稠密，故任一开区间都不可能含在E内， 从而
(mE)J 0
所以 (mE)J (mE)J ，即E不Jordan可测
2 Lebesgue外测度(外包)
M ixi
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
xi-1 xi • Riemann积分
下积分（内填） 达布下和的极限
b
n
a
f
(x)dx
lim
||T ||0
i 1
mi xi
xi-1 xi
•Jordan测度
Jordan外测度（外包）
n
n
(m E ) J
inf{ | Ii
n
1 2
2Rtg
2
2n
R
sin
n
1
cos
R2
R2 (n )
n
n
外切
内接 内接正n边形的面积（内填）
n 1 2R sin 2 R cos 2
2
2n
2n
sin 2
n
2
R2 R2 (n )
n
•达布上和与下和
上积分（外包） 达布上和的极限
b
n
a
f
(x)dx
lim
||T ||0
i 1
E [0,1] Q {r1, r2 , r3, }
Ii
(ri
, r
2i1 i
2i 1
),i
1,2,3,
Hale Waihona Puke i 1|Ii
|
i 1
2i
r (
i 2i1
ri
r )
i 2i1
由无理数集在[0,1]上稠密可知
x [0,1] Q, 0, ri [0,1] Q,使得 | x ri |
从而取
2i1
n1
|
m1
I nm
|
n1
m* An
由的ε任意性，即得
m*
( n 1
An
)
n 1
m* An
注：一般证明都是 从大的一边开始， 因为外测度的定义 用的是下确界
注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也 可能不成立（反例要用不可测集），但有:
若d(A,B) >0,则 m( A B) m( A) m*(B)
证明：由于E为可数集，
故不妨令 E [0,1] Q {r1, r2 , r3, }
0,作开区间Ii
(ri
2i1
, ri
2i1
),i
1,2,3,
则E
i1
Ii且
i1
|
Ii
|
i1
2i
(
从而m*E
r
i 2i1
ri
)
r
i 2i1
再由ε的任意性知 m*E 0
思考： １. 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0