§6.1 特殊和式的极限--定积分的概念
在每个小区间[xi1, a
xi]上任取一点i o x1
b
x xi1ixi xn1
以[xi1,xi]为底, f(i)为高的小矩形面积为
Si=f(i)xi
曲边梯形面积的近似值为
n
S f (i )xi i 1
当分割无限加细,即小区间的最大
长度=max{x1,x2,...,xn}0时,
曲边梯形面积为:
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
如图, 在区间[a, b]内插入n1个分点
a=x0<x1<x2< ...<xn1<xn=b
把区间[a,b]分成n y 个小区间[xi1,xi], 长度为xi=xixi1
思路：把整段时间分割成若干小段，每小 段上速度看作不变，求出各小段的路程再 相加，便得到路程的近似值，最后通过对 时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（1）分割 a t0 t1 t2 tn1 tn b
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）近似求和 s v( i )ti
n 6
n
n
1 3
三、 求定积分过程中的辩证思维
四、 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
i 1
（3）取极限 t max{ t1 , t2 , , tn }
n
路程的精确值
s
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
上述三个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、 定积分的概念
分割、近似求和、取极限
用矩形面积近似代替曲边梯形面积
y
y
oa
bxo a
bx
(四个小矩形)
(九个小矩形)
显然,小矩形越多,矩形总面积越接 近曲边梯形面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
第六章 求总量的问题——定积分
§6.1 特殊和式的极限 ——定积分的概念
一、 抽象定积分概念的两个现实原型
1.求曲边梯形的面积 2.求变力所作的功
原型1. 求曲边梯形的面积
如图,曲边梯形由连续曲线y=f(x) ( f(x)≥0), x轴与两条直线x=a, x=b所 围成
y y=f(x)
S=?
oa
bx
取i=xi , (i=1,2,...,n)
n
n
n
f (i )xi i 2xi xi 2xi
i 1
i 1
i 1
n ( i )2 i1 n
1 n
1 n3
n
i2
i 1
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
(1
1 n
)( 2
1 n
)
1 x2dx 0
n
lim
0
i 1
i
2xi
(0n)
lim 1 (1 1 )(2 1 )
n
S
lim 0 i1
f (i )xi
原型2 求变力所作的功 mF
oa
bx
设质点m受水平力F的作用沿x轴由
点a移动到点b
若F是常量,则它对质点所作的功为:
W=F(ba)
若F不是常量,而是质点所在位置x的连 续函数F=F(x),如何求对质点所作的功?
(1)分割 a=x0<x1<x2< ...<xn1<xn=b
的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法
以f(x及)在i区的间取[法a,b无]上关的,则定该积极分限,记值作称为ab f函( x数)dx
积分上限
即
b
a
积
分
号
积分下限
f ( x)dx 被被 积积 函表 数达
式
n
lim 0
积 分 变 量
f
i 1
积 分 和
(i )xi
积 分 元 素
[a,b]:积分区间
注意:
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的
(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
定积分的几何意义:
xi=xixi1 Wi=F(i)xi
(2)近似求和
n
n
W)取极限 =max{x1,x2,...,xn}
n
W
lim
0
i 1
F (i )xi
原型3 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [a,b] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
定积分的定义
设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn1<xn=b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xixi1
((i=i1,2x,.i.).,,作n).乘在积每f个(i子)区xi的间和上式任取n 一f (点i )ixi i 1 n 记=max{xi},当0时, f (i )xi i 1
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
曲边梯形面积
y
A1
a
A2
曲边梯形面积的负值
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx 0
解: 将[0,1]n等分
分点为:
xi
i n
(i=1,2,...,n)
子区间[xi1,
xi]的长度xi
1 n
(i=1,2,...,n)
定积分的概念-精品文档
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii
就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x
i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
前页 后页 返回
如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
x
1
b
x
前页 后页 返回
y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
2
x
3
b
x
前页 后页 返回
y
一分为八
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
3
x 81 b
x
前页 后页 返回
一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
6.1 定积分的概念与性质 课件 《高等数学》(高教版)
(2)定积分
是一个数值，它的大小仅与被积函数
和积分区间
关，而与积分区间的分法、点 的选取方法及积分变量的符号无关，即
(3)我们规定：
(4)“分割-近似-求和-取极限”是定积分的思想方法.
有
三、定积分的几何意义
在区间
1、如果函数
几何上表示由曲线
积A，即
2、如果函数
几何上表示由曲线
的相反数，即
数，且
是时间 在区间
上的连续函
，计算质点在这段时间内经过的路程 。
由于速度是变量，即速度
是随着时间
“速度×时间”来计算. 但是，若把时间区间
而变化，因此，路程s不能直接用
分成许多小时间段，因质点运动
的速度是连续变化的，则在每个小段时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀
速的. 于是，在时间间隔很短的条件下，可以用“匀速”近似地代替“变速”，从而
形分割成许多小曲边梯形，每个小区间上对应的小曲边梯形面积近似地看成小矩形，所有的小矩
形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值. 显然分割越细，每个小曲边梯形的顶部越接近平
顶，即每个小曲边梯形越接近小矩形，从而误差就越小. 因此，将区间[, ]无限的细分，并使
每个小曲边梯形的底边长都趋近于零，则小矩形面积之和的极限就可定义为所要求曲边梯形的面
的近似值，即
为底，
.
为高的小矩
(3)求和（近似和）：把n个小曲边梯形面积的近似值累加起来，就得到曲边梯形面积A
的近似值，即
(4)取极限：若记
， 则当
时，所有小区间的长度都趋于
零．如果上述和式的极限存在，这个极限值就是曲边梯形面积的精确值，即
实例2 变速直线运动的路程
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
§6.1 特殊和式的极限--定积分的概念
n 6
n
n
1 3
三、 求定积分过程中的辩证思维
四、 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
注： 无界函数一定不可积 有界函数不一定可积
定理2 (可积的充分条件) 若f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数,或者是闭区间[a,b]上 的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间 断点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积
xi=xixi1 Wi=F(i)xi
(2)近似求和
n
n
W Wi F (i )xi
i 1
i 1
(3)取极限 =max{x1,x2,...,xn}
n
W
lim
0
i 1
F (i )xi
原型3 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [a,b] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a)
此性质可用于估计积分值的大致范围
性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b]
上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得
b
a f ( x)dx f ( )(b a)
注意:
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的
(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
定积分的概念 课件
若 f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－bf(x)dx；
a
若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，
b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
【正解】 05(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故502(x －2)dx＝5.
∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123，
∴052(x－2)dx＝2×123＝13.
【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，
错解中没有考虑在 x 轴下方的面积取负号，x 轴上方的面积取
正号，导致错误． 【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面
积 S＝bf(x)dx；
间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
＝
，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常
数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
bf(x)dx，
a
即bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，区间 [a，b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ，f(x)dx 叫做 被积式 .
定积分的概念
定积分的概念 【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点． 【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
《大学数学》习题及答案
《大学数学》习题及答案大学数学习题第一章微积分的基础和研究对象?1 微积分的基础——集合、实数和极限一(论述第二次数学危机产生的背景和解决方法。
二(叙述极限，实数和集合在微积分中的作用。
二(叙述实数系的演变和性质，写出邻域的概念。
?2 微积分的研究对象——函数一(填空题21x，1(函数的定义域 . y,221xx,,1,|x|,1,2(设函数f (x) = 则函数f[f(x)]= . 2,,0|x|,1,1,x3(函数y =的反函数为 . 1，x11,4(设是奇函数,且(x)=.() , 则(x) 是___________函数. f(x),f(x),x22，15(函数f (x) = sinxsin3x的周期T= . 二(求下列函数定义域x,13arcsin 1(y = 4 + . 3x，222 2(y = + . ln(3，x)x,x2,0,,1xx三(设 , 求. (，1),x,(x),,21,,2xx,20,,1xx,四(设函数 f (x) = , g (x) = ln x ，求f [ g(x) ] , g[ f(x) ]. ,2x1,x,2,xx五(已知f (sin) = cos x + 1 , 求f (cos). 22六(证明题:设f(x)为定义在(-L,L)内的奇函数，若f(x)在(0,L)内单调增加，证明f(x)在(-L,0)内也单调增加.第二章微积分的直接基础——极限?1 数列的极限一、判断题1(数列中去掉或增加有限项，不影响数列的极限;( ) {a}n2(数列极限存在，则与极限均存在;( ) {a，b}{a}{b}nnnn3(若，存在无限多个满足，则有.( ) |a,a|,,}{a}lima,a,,,0nnn,，,n二(填空题1(数列有界是数列收敛的条件; {a}n2 2( ; lim,nn,，,3ncos 3( ; ,limn,，,n3n2，4( . lim,n,，,5n3,三(用极限定义证明2n，5 1(. lim,1n,，,n2 2(. lim(n,5,n),0n,，,ncos, 3(. lim,0n,，,n四(证明:若，则有，并举例说明其逆命题不成立.lim|a|,|a|lima,ann,，,,，,nnn,五(证明数列极限不存在. {cos}3?2 函数的极限一(填空题x，4,x,1,1(设函数f(x),，则, ，, . limf(x)limf(x),x,1,0x,1，02x,1,x,1, 12( . ,limsinx,0xx,ex,0，,3(设，则，，f(x),f(0),f(0),,ax，bx,0,当时，. limf(x),1b,x,0二(判断题f(x)lim1. 若，，则有不存在;( ) limf(x),Alimg(x),0x,xx,xx,x000g(x) 22. ;( ) lim(x，sinx),，,x,,3. 若，，且A,B，则;( ) limf(x),Alimg(x),Bf(x),g(x)x,xx,x00114. x;( ) limx,limcos,0limcosx,0x,0x,0xxf(x)lim5. 若存在，且则.( ) limg(x),0limf(x),0x,xx,xx,x000g(x)xsin 6(; ( ) lim,1x,,x1x 7(;( ) lim(1，x),e,,x1118(当时，与是等价无穷小量，则; ( ) x,,k,2，32kxxx9(无穷小量的代数和还是无穷小量 ;( )34 10(当时，无穷小量是关于的4阶无穷小量; ( ) y,x，xxx,0xxtan,sin0,0 11(因为时,,，所以有.( ) xtanxlim,lim,0x,0sinx33x,x,00xx 三(利用定义证明下列函数的极限x21,; 1(lim,2x,24x4,,2(。
6.1 定积分的概念及性质
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
6.1定积分的概念
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
b
[a , b] 称为积分区间
f ( i ) xi a f ( x) dx lim 0 i 1
被 积 积 积 分 分 表 变 和 达 量 式 (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 b b 变量用什么字母表示无关 , 即 f ( x) d x f (t ) d t
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
0
i 1
= y lim f ( i )( x i xi 1 )
0
i 1 n
= 右端
i 1
o ax
x1
1
xi 1 i xi
xn 1
b
x
o a xn1
xi
i
xi 1
b
x
数学教研室
可积的充分条件:
定理1. 定理2. 且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
O
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
1x
数学教研室
1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
6.1.1定积分概念
练习题答案
一、1、lim f ( i )x i ；
0
i =1 n
2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线 y = f ( x ) , x 轴 ,直线 x = a , x = b 之间 各部分面积的代数和； b 4、 dx .
a
1 3 3 二、 ( b a ) b a . 3 1 2 2 三、 ( b a ) . 2 五、88.2(千牛).
表示成定积分.
思路：
lim f (i )xi = f ( x )dx
b 0 i =1 a
n
1 注：一般 考虑 a, b = 0,1 , n等分,xi = . n n 1 1 lim f (i ) = f ( x )dx 0 n n i =1
1 2 ( n 1) lim sin sin sin n n n n n
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
四、定积分的几何意义
f ( x ) > 0, f ( x ) < 0,
i =1 n
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b] 的分法和i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分, 记为 f ( x)dx , a
b
b
即
n i=1
lim a f (x)dx = 0 f (i )xi
积分上限
6-1定积分概念(1)
n
1 1 1 n( n + 1)( 2n + 1) 1 = 1 + 2 + ,λ → 0 ⇒ n → ∞ = 3⋅ 6 n n n 6 n 1 2 1 1 1 2 x dx =பைடு நூலகம்lim ∑ ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = 1 . ∫0 λ → 0 i =1 n→ ∞ 6 n n 3
第一节
定积分概念(1) 定积分概念
一、 问题的提出 二、 定积分定义 三、 定积分存在定理 四、 定积分的几何意义 五、 小结
一、问题的提出
实例1 求曲边梯形的面积) 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、 x 轴与两条直线 x = a 、 x = b 所围成. 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定理6.1.1 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有定义 若积分 定理 上有定义, b f ( x )dx存在 则 f ( x )在区间 [a , b] 上有界 上有界. 存在, ∫a 证明 若 f ( x )在区间 [a , b] 上无界 则对每种分割 上无界, 至少存在一个子区间[ xi −1 , xi ], 使得 f ( x )在区间
1、 函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积分是积 分和的极限，即∫ f ( x )dx = _________ . 2、 定积分的值只与______及_______ 有关，而与_________的记法无关 . 3、 定积分的几何意义是__________. 4、区间[ a , b ]长度的定积分表示是____ . 二、 利用定积分的定义计算由抛物 线 y = x + 1 , 两直线 x = a , x = b ( b > a ) 及 横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 ∫ xdx ， (a<b) .