高三一轮复习导学案65 第12章 第01节——随机事件的概率

§12.1随机事件的概率1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的____________．(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的________________．(3)________________________________统称为确定事件．(4)________________________________的事件，叫做随机事件．(5)______________和______________统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的________f n(A)稳定在某个__________上，把这个________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B________事件A(；或称事件A包含于事件B)________(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B ________并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的________(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当__________且__________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__________.(2)必然事件的概率P(E)＝______.(3)不可能事件的概率P(F)＝______.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝__________________________________. ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝_________________________________ [难点正本 疑点清源]1．随机事件和随机试验是两个不同的概念在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验． 2．对概率定义的进一步理解(1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A 的概率是事件A 的本质属性． (3)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法． 3．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．1．(1)在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾； (2)导体通电，发热； (3)同性电荷，互相吸引； (4)实心铁块丢入水中，铁块浮起； (5)买一张福利彩票，中奖； (6)掷一枚硬币，正面朝上．上述事件中是确定性事件的是__________，是随机事件的是________．2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．3．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9题型一事件的分类与事件关系的判断例1一口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任取两球．记“取到一白一黑”为事件A1，“取到两白球”为事件A2，“取到两黑球”为事件A3.解答下列问题：(1)记“取到2个黄球”为事件M，判断事件M是什么事件？(2)记“取到至少1个白球”为事件A，试分析A与A1、A2、A3的关系．探究提高在分析事件的关系时，要特别注意试验前提，关注“试验”和“事件”是解决概率问题的关键．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.题型二随机事件的频率与概率例2(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？探究提高利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率．某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)题型三互斥事件、对立事件的概率例3某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．探究提高(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，求该射击队员射击一次(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．14.忽略概率加法公式的前提条件致误试题：(12分)抛掷一枚骰子，事件A表示“朝上一面的点数是奇数”，事件B表示“朝上一面的点数不超过2”．求：(1)P(A)；(2)P(B)；(3)P(A∪B)．学生解答展示审题视角(1)基本事件总数为6，事件A包括3个基本事件，事件B包括2个基本事件．(2)事件A与事件B并不互斥，事件A∪B包括4个基本事件．规范解答解 基本事件总数为6个． [2分] (1)事件A 包括出现1,3,5三个基本事件，∴P (A )＝36＝12. [4分](2)事件B 包括出现1,2两个基本事件，∴P (B )＝26＝13. [8分](3)事件A ∪B 包括出现1,2,3,5四个基本事件，∴P (A ∪B )＝46＝23. [12分]批阅笔记 (1)本题重点考查了随机事件的概率，尤其是事件间的关系．(2)本题易错原因是学生错用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )来解决，因为这个公式的前提条件是A 、B 彼此互斥，而本题中的事件A 、B 并不互斥．所以在应用公式时，要特别注意是否具备应用公式的条件.方法与技巧1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P (A )≤1.3．随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn 总是接近于常数P (A )，称P (A )为事件A 的概率．4．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P (A )＝1－P (A )可得解． 失误与防范1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．课时规范训练(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、选择题1．从1,2，…，9中任取2个数，其中①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数；②至少有1个是奇数和2个都是奇数；③至少有1个是奇数和2个都是偶数；④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A ．至多有一次中靶 1 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶3．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为 ( ) A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.7二、填空题4．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________和________．5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．6．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________． 三、解答题7．射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中： (1)射中10环或7环的概率； (2)不够7环的概率．8．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率；(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？B 组 专项能力提升题组 一、选择题1．袋中有红色、黄色、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.1272．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么 ( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是 ( ) A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件 二、填空题4．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．5．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有______个． 6．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个 成员，一些成员参加了不止一个小组，具 体情况如图所示． 现随机选取一个成员， 他属于至少2个小组的概率是 ，他 属于不超过2个小组的概率是 .7．甲盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，乙盒子中装有5个编号分别为1,2,3,4,5的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出两个小球编号之积为奇数的概率为________． 三、解答题8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？答案要点梳理1．(1)必然事件 (2)不可能事件 (3)必然事件与不可能事件 (4)在条件S 下可能发生也可能不发生 (5)确定事件 随机事件2．(1)n An(2)频率 常数 常数3．包含 B ⊇A A ＝B 并事件 事件A 发生 事件B 发生 4．(1)0≤P (A )≤1 (2)1 (3)0 (4)①P (A )＋P (B ) ②1－P (B ) 基础自测1．(1)(2)(3)(4) (5)(6) 2.23 3.0 4.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)事件M 不可能发生，故为不可能事件．(2)事件A 1或A 2发生，则事件A 必发生，故A 1⊆A ，A 2⊆A ，且A ＝A 1＋A 2.又A ∩A 3为不可能事件，A ∪A 3为必然事件，故A 与A 3对立．变式训练1 解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 不发生可导致事件E 一定发生，且事件E 不发生会导致事件B 一定发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”只是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．例2 解 (1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906. (2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 变式训练2 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.例3 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为 11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.变式训练3 解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得 P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生．由互斥事件概率的加法公式得 P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10) ＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22. 课时规范训练 A 组1．C 2．D 3.D 4．0.97 0.03 5.35 6.815 14157．解 (1)记：“射中10环”为事件A ，记“射中7环”为事件B ，由于在一次射击中 ，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A ＋B .故P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49.(2)记“不够7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件． ∴P (E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而P (E )＝1－P (E )＝1－0.97＝0.03. 所以不够7环的概率为0.03.8．解 (1)记“他乘火车去开会”为事件A 1，“他乘轮船去开会”为事件A 2，“他乘汽车去开会”为事件A 3，“他乘飞机去开会”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7. (2)设他不乘轮船去开会的概率为P ， 则P ＝1－P (A 2)＝1－0.2＝0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5， 1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会． B 组1．B [P ＝1＋1＋127＝19.] 2．B 3．D 4．0.225 5．15 6.35 1315 7.258．解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到 ⎩⎪⎨⎪⎧14＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13.。